Chuyên đề 3 dấu hiệu chia hết tính chia hết số chính phương

Chứng tỏ rằng số có dạng abcabcbao giờ cũng chia hết cho 11... Hãy tìm số dư trong phép chia a cho 36... Gọi T là tổng các lập phương của tất cả các số đó.. Chứng minh S chia hết cho 126

CHUYÊN ĐỀ 3: DẤU HIỆU CHIA HẾT – TÍNH CHIA HẾT

SỐ CHÍNH PHƯƠNG

ĐỀ BÀI TỪ BÀI 1 ĐẾN BÀI 10

Bài 1 Cho A  2 22 2324  2 20 Tìm chữ số tận cùng của A

Bài 2.Chứng minh rằng: n n 1 2  n1 3  n1 4  n1chia hết cho 5 với mọi số tự nhiên n

Bài 3.

a) Cho biết a4bchia hết cho 13 a b  Chứng minh rằng ,  10 b 13

b) Tìm số nguyên tố ab a b  0sao cho ab ba là số chính phương

Bài 4.

Cho B  21 22 23 2  30 Chứng minh rằng B chia hết cho 21.

Bài 5.

Một số chia cho 7 dư 3, chia cho 17 dư 12, chia cho 23 dư 7 Hỏi số đó chia cho

2737 dư bao nhiêu ?

a) Cho ababablà số có 6 chữ số.Chứng tỏ số ababablà bội của 3

b) Cho S  5 52 5354  5 2004 Chứng minh S chia hết cho 126 và chia hết

cho 65

Bài 8.Tìm số tự nhiên nhỏ nhất biết rằng số đó chia cho 9 dư 5, chia cho 7 dư 4, chia cho

5 dư 3

Bài 9.Chứng minh rằng: Nếu 7x4 37y thì 13x18 37y

Bài 10 Với ,q p là số nguyên tố lớn hơn 5, chứng minh rằng: p4  q4240

Th2: n chia cho 5 dư 1 thì n5k 1

4n 1 20k 5

    chia hết cho 5  tích chia hết cho 5

Th3: n chia cho 5 dư 2 thì n5k 2

2n 1 10k 5

    chia hết cho 5 tích chia hết cho 5

Th4: n chia cho 5 dư 3 thì n5k 3

3n 1 15k 10

    chia hết cho 5 tích chia hết cho 5

Th5: n chia cho 5 dư 4 thì n5k 4

1 5 5

    chia hết cho 5 tích chia hết cho 5

Vậy n n 1 2  n1 3  n1 4  n1chia hết cho 5 với mọi số tự nhiên n

Như vậy A 39đồng thời chia hết cho 7,17 và 23

Nhưng 7,17 và 23 đôi một nguyên tố cùng nhau nên A 39 7.17.23 nên A 39 2737Suy ra A39 2737 k  A2737k  39 2737 k  1 2698

Do 2698 2737 nên 2698là số dư của phép chia Acho 2737

b) Vì 2012;92 đều là bội của 4 nên 20122015và 92 cũng là bội của 494

Tổng trên có 2004 : 4 501 số hạng chia hết cho 130 nên nó chia hết cho 130

Có S chia hết cho 130 nên chia hết cho 65

Bài 8.

Ta có

ĐỀ BÀI TỪ BÀI 11 ĐẾN BÀI 20

Bài 11.Tìm số nguyên tố aba b  0 biết ab ba là số chính phương

Bài 12 Tìm số tự nhiên có 3 chữ số, biết rằng khi chia số đó cho các số 25;28;35 thì

được các số dư lần lượt là 5;8;15

a) Chứng minh rằng A chia hết cho 24

b) Chứng minh rằng A không phải là số chính phương

Chứng minh rằng: 1028  chia hết cho 728

Bài 18 Chứng tỏ rằng số có dạng abcabcbao giờ cũng chia hết cho 11

+)Với a b  4 mà ablà số nguyên tố  ta được số ab 73

Vậy ab 43;73

Bài 12.

Gọi số tự nhiên phải tìm là x

Từ giả thiết suy ra x 20 25 và x 20 28 và x 20 35

10 ;10 ;10 ;10 khi chia cho 3 đều có số dư bằng 1, 8 chia 3 dư 2

Vậy Achia hết cho 3 (2)

Vậy A không phải là số chính phương vì số chính phương là những số có tận cùng là0;1;4;5;6;9

Ta có: abcabc abc .1001abc.11.91 11

1) Tìm tất cả các chữ số , ,a b c thỏa mãn abc cba 6 3b

2) Tìm một số chính phương có 3 chữ số, biết rằng nó chia hết cho 563) Chứng minh rằng: A 75 4 2018 42017  4 2 5

Bài 28 Tìm số tự nhiên a biết rằng khi chia 355 cho a ta được số dư là 13 và khi chia

Thấy ,a n khác tính chất chẵn lẻ thì vế trái (*) là số lẻ nên không thỏa mãn (*)

Nếu ,a n cùng tính chẵn hoặc lẻ thì a n 2,a n  nên vế trái chia hết cho 4 và2

vế phải không chia hết cho 4

Vậy không tồn tại n để n 2 2006là số chính phương

D chia hết cho 2 nên D là tổng các số chia hết cho 2

D chia hêt cho 5 (chứng minh câu a)

Nên D chia hết cho 2 và 5, do đó D có chữ số tận cùng là 0

Bài 27.

3k  chia hết cho 4 k  hay 1 3k  3 7 k 1

Do 3k  3 3 k 1k  1 7k  1 k  1 U(7)7;1  k8;2

ĐỀ BÀI TỪ BÀI 31 ĐẾN BÀI 40

Bài 31 Tìm số tự nhiên có ba chữ số, biết rằng khi chia số đó cho các số 25;28;35 thì

được các số dư lần lượt là 5;8;15

b) A có chia hết cho 2, cho 3, cho 5 không ?

c) A có bao nhiêu ước tự nhiên ? Bao nhiêu ước nguyên ?

2) Thay ,a b bằng các chữ số thích hợp sao cho 24 68 45a b

3) Cho a là một số nguyên có dạng a3b7b   Hỏi a có thể nhận những giá trị.nào trong các giá trị sau:

a) Cho ababablà số có 6 chữ số Chứng tỏ ababablà bội của 3

b) Cho S  5 52 5354  5 2004.Chứng minh S chia hết cho 126 và chia hết cho 65

số trong các số trên có cùng số dư khi chia cho 2010 Hiệu của chúng có dạng222 2000 0 chia hêt cho 2010

b) A cho A2 5, không chia hết cho 3

c) A có 6 ước tự nhiên và có 12 ước nguyên

Ta có a chia cho 9 dư 5 a9k 5k  2a 9k1 1 2a 1 9

Ta có a chia cho 7 dư 4 a7m4m 2a7m1 1 2a 1 7

Ta có a chia cho 5 dư 3 a5t3t 2a5t1 1 2a 1 5

73

73

2012 1

2012 12011

Bài 40.

a ababab ab   ababablà bội của 3

b) Chứng minh S chia hết cho 126

Tổng trên có 2004:6=334 số hạng chia hết cho 126 nên S126

*Chứng minh S chia hết cho 130

Tổng trên có 2004 :4=501 số hạng chia hết cho 130 nên S130.

ĐỀ BÀI TỪ BÀI 41 ĐẾN BÀI 50

a) Chứng minh rằng: 1028  chia hết cho 728

b) Khi chia một số tự nhiên a cho 4 ta được số dư là 3 Còn khi chia a cho 9 ta được

số dư là 5 Hãy tìm số dư trong phép chia a cho 36

b) 261*chia hết cho 2 và chia 3 dư 1

Bài 47.

1) Cho C  4 42 43 4 2014 42015 42016

Chứng minh rằng C chia hết cho 21 và 105

2) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên khác 0, có số lượng các ước tự nhiên là một

Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho số đó chia cho 3 dư 1, chia cho 4 dư 2, chia cho

5 dư 3, chia cho 6 dư 4 và chia hết cho 11

Bài 50.

a) Cho A  1 32 34 36  3 2004 32006

Chứng minh A chia 13 dư 10

b) Chứng tỏ rằng 2n  và 1 2n3n  là hai số nguyên tố cùng nhau.

b) Vì 102011  có tổng các chữ số chia hết cho 9 nên tổng chia hết cho 98

Lại có 102011  có 3 chữ số tận cùng là 008 nên chia hết cho 88

Vậy 102011  chia hết cho 72.8

Lại có 1028  có ba chữ số tận cùng là 008 chia hết cho 8 nên tổng đó chia hết cho8

8, mà 8,9  nên 1 1028  chia hết cho 72.8

b) Đặt a4q 3 9p (p, q là thương trong hai phép chia)5

p  do p nguyên tố nên p không chia hết cho 3

Nếu p3k  thì 1 p 26 3 không thỏa mãn

Nếu p3k  thì 2 p  10 3không thỏa mãn

Vậy p 3

3) Gọi số phải tìm là a a,a10

Theo đề bài ta có:

a chia cho 5 dư 3 a 3 5  a 3 5 5 hay a  8 5

a chia cho 6dư 2 a 2 6  a 2 6 6 hay a  8 6

a chia cho 7 dư 1 nên a 1 7  a 1  7 7 hay a  8 7

Vậy 2n1;2n là hai số nguyên tố cùng nhau.3

ĐỀ BÀI TỪ BÀI 51 ĐẾN BÀI 60

Bài 51.

1) Chứng minh rằng số A10n 18n chia hết cho 271

2) Chứng tỏ rằng với mọi số tự nhiên n phân số sau tối giản:

16 3

12 2

n n

a Chứng minh rằng với mọi số nguyên n ta có n3 n 6

b Viết số 43211234dưới dạng tổng của một số số nguyên dương Gọi T là tổng các lập phương của tất cả các số đó Tìm số dư của T trong phép chia cho 6

a) Cho ababablà số có 6 chữ số.Chứng tỏ số ababablà bội của 3

b) Cho S  5 52 5354  5 2004 Chứng minh S chia hết cho 126 và chi hết cho

Theo câu a ta có a13 a1  6,a23 a2  6,a33 a3  6, a3n a n 6, nên T  43211234 6

Suy ra T và 43211234cùng dư khi chia cho 6

Mặt khác 4321 chi 6 dư 1 nên 4321 1234 chia cho 6 cũng dư 1 Vậy T chia 6 dư 1

Bài 54.

a) Do n 1là số chính phương nên khi chia cho 3 chỉ có thể dư 0 hoặc 1.Nếu n  1 3thì n chia cho 3 dư 2  2n 1chia cho 3 dư 2, vô lý

Do đó n 1chia cho 3 sẽ dư 1 n 3

Do 2n 1là số chính phương lẻ nên 2n 1chia cho 8 dư 1, suy ra 2 8n , từ đó n4

Do đó n 1 là số chính phương lẻ nên n 1chia cho 8 dư 1, suy ra n8

Ta thấy n3, 8n mà 3,81 nên n24mà n là số nguyên dương

Gọi số tự nhiên phải tìm là x

Từ giả thiết suy ra x20 25, x20 28, x20 35  x20BC25,28,35

(25;28;35) 700 20 700

Vì x là số tự nhiên có ba chữ số  x999 x20 1019  k 1

Tổng trên có 2004 : 4 501 số hạng chia hết cho 130 nên nó chia hết cho 130.

Có S chia hết cho 130 nên chia hết cho 65

Với n  thì ! 1.2.3 4 n  nlà một số tự nhiên có chữ số tận cùng là 0 Nên

1! 2!   n! 33 cộng vơi một số có tân cùng là 0 ra số tận cùng là 3 nên không phải là

11 7 22(số thứ hai)

Số thứ ba bằng:

9 2 27:

11 3 22(số thứ hai)Tổng của 3 số bằng

21 27

1

22 22  (số thứ hai)

7022

(số thứ hai)

B   

 

Tính B A

a) Cho ababablà số có 6 chữ số.Chứng tỏ số ababablà bội của 3

b) Cho S  5 52 5354  5 2004 Chứng minh S chia hết cho 126 và chi hết cho

65

Bài 68.

Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho: 1! 2! 3!    n!là số chính phương

Bài 69.

Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho sau khi viết tiếp số đó vào sau số 2014 ta

được số chi hết cho 101

*Nếu a2 3,b lập luận tương tự được: b2 3a

Vậy ta luôn có a2 3b khi và chỉ khi b2 3a

A  có tổng các chữ số là 9 nên chia hết cho 3

Do 3,8  Vậy M chia 24 dư 01

Bài 67.

a) Ta có: ababab ab .10000ab.100ab10101ab3( 10101 3)do b) Có 5 5 2 53 54 55 56 5 1 5  3 5 1 52  3 5 1 53  3

Tổng trên có 2004 : 4 501 số hạng chia hết cho 130 nên nó chia hết cho 130

Có S chia hết cho 130 nên chia hết cho 65

4 1! 2! 3! 4! 33

n      

Với n  thì ! 1.2.3 4 n  nlà một số tự nhiên có chữ số tận cùng là 0 Nên

1! 2!   n! 33 cộng vơi một số có tân cùng là 0 ra số tận cùng là 3 nên không phải là

Tìm số tự nhiên nhỏ nhất có chữ số hàng đơn vị là 5, chia cho 11 dư 4, chia cho 13

dư 6 và chia hết cho 7

Bài 73.

Cho 3a2 17 ,b a b Chứng minh  10a b 17

Bài 74.

Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho: a chia cho 2 dư 1, a chia cho 3 dư 1, a chia cho

5 dư 4, a chia cho 7 dư 3

Bài 75.

Có 64 người đi tham quan bằng hai loại xe, loại 12 chỗ và loại 7 chỗ ngồi Biết số người đi vừa đủ số ghế ngồi Hỏi mỗi loại có mấy xe ?

Bài 76.

Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho sau khi viết tiếp số đó sau số 2014 ta được số chia hết cho 101

Bài 77.

a) Tìm số tự nhiên nhỏ nhất, biết rằng số đó khi chia cho 3, cho 4, cho 5, cho 6 đều dư là 2, còn chia cho 7 thì dư 3

b) Tìm ,x y nguyên biết: x y xy  40

c) Khi chia một số tự nhiên a cho 4 ta được số dư là 3 còn khi chia a 9 ta được số dư

là 5 Tìm số dư trong phép chia a cho 36

a) Chứng minh rằng S là bội của 20

b) Tính S, từ đó suy ra 3 chia cho 4 dư 1.100

Bài 82.

Cho S   1 3 32 33  3 98 399

a) Chứng minh rằng S là bội của 20

b) Tính S, từ đó suy ra 3 chia cho 4 dư 1100

Bài 88.

Ta có: 36 9.4 mà ƯC( 4,9) 1

Vậy để 34 5x ychia hết cho 36 thì 34 5x ychia hết cho 4 và 9

34 5x ychia hết cho 9 khi 3 4   x 5 y9 12 x y9 1 

34 5x ychia hết cho 4 khi 5 4y  y2,y6

Với y  thay vào (1)2  14x9 x4

Với y  thay vào (1)6

0

18 9

9

x x

Một số chia cho 4 dư 3, chia cho 17 dư 9, chia cho 19 dư 13 Hỏi số đó chia cho

1292 dư bao nhiêu

Với n  thì ! 1.2.3 4 n  nlà một số tự nhiên có chữ số tận cùng là 0 Nên

1! 2!   n! 33 cộng vơi một số có tân cùng là 0 ra số tận cùng là 3 nên không phải là

Tích số chẵn có 22,34,106 nên Tích số chẵn chia hết cho 11, 17, 53

Nên tổng hai tích chia hết cho 9911 (do 11, 17, 53 nguyên tố cùng nhau)

ĐỀ BÀI TỪ BÀI 101 ĐẾN BÀI 110

Bài 101.

Cho số 155* 710 * 4 *16có 12 chữ số Chứng minh rằng nếu thay các dấu *bởi cácchữ số khác nhau trong 3 chữ số 1;2;3một cách tùy ý thì số đó luôn chia hết cho396

Bài 106.

Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất sao cho a chia cho 3 dư 2, chia cho 5 dư 3, chia cho 7

dư 4

Bài 107.

a) Cho ababablà số có 6 chữ số Chứng tỏ ababablà bội của 3

b) Cho S  5 52 5354  5 2004.Chứng minh S chia hết cho 126 và chia hết cho 65

Bài 108.

Chứng tỏ rằng: 102011 chia hết cho 728

Bài 109.

1 Cho A 9999931999  5555571997

Chứng minh rằng A chia hết cho 5

2 Cho số 155* 710 * 4 *16có 12 chữ số Chứng minh rằng nếu thay các dấu *bởi cácchữ số khác nhau trong ba chữ số 1,2,3một cách tùy ý thì số đó luôn chia hết cho 396

Bài 110.

a) Cho ababablà số có 6 chữ số.Chứng tỏ số ababablà bội của 3

b) Cho S  5 52 5354  5 2004 Chứng minh S chia hết cho 126 và chi hết cho

65

ĐÁP ÁN TỪ BÀI 101 ĐẾN BÀI 110

Bài 101.

Ta thấy, vị trí của các chữ số thay thế ba dấu sao trong số trên đều ở hàng chẵn vì

ba chữ số đó đôi một khác nhau, lấy từ tập hợp 1;2;3 nên tổng của chúng luôn bằng

1 2 3 6  

Mặt khác 396 4.9.11 , trong đó 4;9;11đôi một nguyên tố cùng nhau nên ta cần chứng minh A 155* 710 * 4 *16chia hết cho 4;9;11

Thật vậy:

*)A vì số tạo bởi hai chữ số tận cùng của Alà 16 chia hết cho 44

*)A9vì tổng các chữ số chia hết cho 9:

a) Vì 1028  có tổng các chữ số chia hết cho 9 nên chia hết cho 98

Lại có 1028  có 3 chữ số tận cùng chia hết cho 8 nên chia hết cho 88

a ababab ab   ababablà bội của 3

b) Chứng minh S chia hết cho 126

Tổng trên có 2004:6=334 số hạng chia hết cho 126 nên S126

*Chứng minh S chia hết cho 130

Bài 108.

Vì 102011  có tổng các chữ số chia hết cho 9 nên tổng chia hết cho 98

Lại có 102011  có 3 chữ số tận cùng là 008 nên chia hết cho 88

Vậy 102011  chia hết cho 72.8

3 Ta nhận thấy, vị trí của các chữ só thay thế ba dấu sao trong số trên đều ở hàng chẵn và vì ba chữ số đôi một khác nhau, nên tổng của chúng bằng 1 2 3 6  Mặt khác: 396 4.9.11 trong đó 4;9;11 đôi một nguyên tố cùng nhau nên cần chứng minh A 155* 710 * 4 *16chia hết cho 4, 9, 11

Có S chia hết cho 130 nên chia hết cho 65

ĐỀ BÀI TỪ BÀI 111 ĐÉN BÀ I 120

Bài 111.

a) Chứng minh rằng: nếu ab cd eg  11

thì abcdeg 11b) Cho A  2 22 23  2 60 Chứng minh A3,7,15

Bài 112.

a) Cho ababablà số có 6 chữ số.Chứng tỏ số ababablà bội của 3

b) Cho S  5 52 5354  5 2004 Chứng minh S chia hết cho 126 và chi hết cho

Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất sao cho: a chia cho 2 dư 1, a chia cho 3 dư 1, a chia

cho 5 dư 4, a chia cho 7 dư 3

Bài 119.

a) Cho B  21 22 23 2  30 Chứng minh rằng B chia hết cho 21.

Bài 120.

Một số chia cho 7 dư 3, chia cho 17 dư 12, chia cho 23 dư 7 Hỏi số đó chia cho

2737 dư bao nhiêu ?

ĐÁP ÁN TỪ BÀI 111 ĐẾN BÀI 120

Bài 111.

Tổng trên có 2004 : 4 501 số hạng chia hết cho 130 nên nó chia hết cho 130.

Có S chia hết cho 130 nên chia hết cho 65

Bài 113.

Ta có: 36 9.4 mà ƯC( 4,9) 1

Vậy để 34 5x ychia hết cho 36 thì 34 5x ychia hết cho 4 và 9

34 5x ychia hết cho 9 khi 3 4   x 5 y9 12 x y9 1 

34 5x ychia hết cho 4 khi 5 4y  y2,y6

Với y  thay vào (1)2  14x9 x4

Với y  thay vào (1)6

0

18 9

9

x x

Như vậy A 39đồng thời chia hết cho 7,17 và 23.

Nhưng 7,17 và 23 đôi một nguyên tố cùng nhau nên A 39 7.17.23 nên A 39 2737Suy ra A39 2737 k  A2737k  39 2737 k  1 2698

Do 2698 2737 nên 2698là số dư của phép chia Acho 2737

ĐỀ BÀI TỪ BÀI 121 ĐÉN BÀI 130

Bài 121.

1) Chứng minh rằng số viết bởi 27 chữ số giống nhau thì chia hết cho 27

2) Tìm số tự nhiên n có 4 chữ số biết rằng n là số chính phương và n là bội của 147

2) Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất sao cho: a chia cho 2 dư 1, a chia cho 3 dư 2, a chia cho 5 dư 4, a chia cho 7 dư 3

a) Chứng minh rằng: 1028  chia hết cho 728

b) Khi chia một số tự nhiên a cho 4 ta được số dư là 3 Còn khi chia a cho 9 ta được

số dư là 5 Hãy tìm số dư trong phép chia a cho 36

b) Vì n là số tự nhiên có 4 chữ số nên 1000 n 9999

Theo bài ra n là bội của 147 nên n147k 7 32 k

Do n là số chính phương nên khi phân tích ra thừa số nguyên tố thì lũy thừa các thừa số

nguyên tố phải có số mũ chẵn  k3 k 3m n7 3 2 2m441m

1000 441m 9999 2 m 22

Để n là số chính phương thì m là số chính phương  m4;9;16

b) Vì 102011  có tổng các chữ số chia hết cho 9 nên tổng chia hết cho 98

Lại có 102011  có 3 chữ số tận cùng là 008 nên chia hết cho 88

Vậy 102011  chia hết cho 72.8

b) Nhận xét 377 13.29 , tìm được quy luật của các thừa số trong tích B là các số

tự nhiên chia 3 dư 1, nên B chứa thừa số 13 Do đó

1.4.7.10.13 58 1.4.7.10.13.29.2

Suy ra B chia hết cho 377