52 đê thi HSG T9 va vao 10

Một đờng tròn O thay đổi luôn luôn đi qua hai điểm A, B và cắt các cạnh AC, BC tại các điểm thứ hai t ơng ứng D, E.. Chứng minh rằng có thể kẻ đ ợc hai đờng thẳng cắt nhau tạo thành cặp

Trang 1

Sở giáo dục đào tạo

hà nội

Kì thi học sinh giỏi thành phố

Năm học 1994- 1995

Môn thi :Toán 9 ( Vòng 1 ) Thời gian: 150 phút không kể chép đề Ngày thi :5 tháng 01 năm 1995

Bài 1 (4 điểm)

Xét số A =       

9 1995

4

444

so chu và B = 1644428Hỏi số A có chia hết cho số B hay không , tại sao ?

Bài 2 (4 điểm)

Bạn Việt nói với bạn Nam : “Nếu một tứ giác có hai góc đối bàng nhau đồng thời có một đờng chéo đi qua trung điểm của đ ờng chéo kia thì tứ giác đó là hình bình hành ” Bạn Nam nói “Điều bạn nói là sai rồi !” Ai nói đúng , ai nói sai Tại sao ?

Bài 3 (4 điểm)

Giải phơng trình :

2

5 1

x x

Bài 4 (4 điểm)

Cho ∆ABC vuông tại A Một đờng tròn (O) thay đổi luôn luôn đi qua hai

điểm A, B và cắt các cạnh AC, BC tại các điểm thứ hai t ơng ứng D, E Gọi F là

điểm đối xứng với E qua OD và I là giao điểm của BF với đ ờng trung trực của AF Tìm quĩ tích điểm I

Bài 5 ( 4 điểm)

Trên mặt phẳng có 1994 điểm tô xanh sao cho không có 3 điểm nào thẳng hàng Chứng minh rằng có thể kẻ đ ợc hai đờng thẳng cắt nhau tạo thành cặp góc đối đỉnh sao cho với mỗi cặp góc đối đỉnh đó, số điểm xanh trên miền trong góc này bằng số

điểm xanh trên miền trong góc kia

Trang 2

hà nội

Năm học 1994- 1995

Cho ngũ giác ABCDE nội tiếp đ ờng tròn (O;R) Gọi M, N lần l ợt là trung

điểm của CD, EA Biết AB = CD =DE = R Chứng minh rằng ∆BMN đều

Bài 5 (4 điểm)

Cho lục giác đều ABCDEF, các điểm M, N, P theo thứ tự là giao điểm của các cặp đờng thẳng: AB với CD; CD với EF ; EF với AB Ng ời ta tô các điểm A,B,C,D,E,F,M,N,P hoặc xanh hoặh đỏ Hỏi có cách nào tô sao cho bất cứ ba điểm nào cùng mầu đều không phải là ba đỉnh của mọt tam giác vuông hay không , tại sao ?

Trang 3

hà nội

Năm học 1994- 1995

Bài 5 ( 4 điểm )

Ngời ta dùng m mầu để tô các mặt của hai hình lập ph ơng sao cho trong mỗi hình không có hai mặt nào cùng mầu, đồng thời không có ba mầu nào đôi một kề nhau trong cả hai hình (hai mầu kề nhau trong một hình nếu chúng đ ợc tô trên hai mặt kề nhau của hình ấy) Hãy tìm số m bé nhất

Trang 4

hà nội

Năm học 1995- 1996

Cho tam giác ABC với điểm M nằm giữa B,C

Dựng đờng tròn qua A,M cắt AB, AC tại các điểm thứ hai t ơng ứng PQ sao cho PQ//BC

Bài 5 (4 điểm)

Ngời ta tô đỏ 7 cạnh của một hình lập ph ơng một cách hú hoạ .Mõi đỉnh kề với ít nhất hai cạnh đỏ dều đ ợc gọi là đỉnh đỏ.Chứng minh rằng có ít nhất một mặt của lập phơng đó chứa ít nhất 3đỉnh đỏ

Trang 5

hà nội

Năm học 1997- 1998

Câu 1 (5 điểm )

1) Cho x

1 , x

2 là 2 nghiệm của phơng trình x2 – 2x – 1 = 0 Chứng minh rằng x

1 1329

1

4

1 3

1 2

1

=

n m

−

= , với 0< x < 1Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của A

Câu 4 (4 điểm)

Cho 37 điểm, không có 3 điểm nào thẳng hàng, nằm bên trong hình vuông có cạnh bằng 1 Chứng minh rằng luôn tìm đ ợc 5 điểm trong 37 điểm đã cho thoả mãn : Các tam giác đợc tạo bởi 3 điểm bất kì trong 5 điểm đó có diện tích S

18

1

≤

Câu 5 (5 điểm )

Cho ∆ABC vuông ở C Một đ ờng thẳngd đi qua A không song song với BC và cắt

đờng trung trực của đoạn AB tại E Gọi H là hình chiếu vuông góc của B trên d, K

Trang 6

là hình chiếu vuông góc của E trên BC Hãy dựng đ ờng thẳng d thoả mãn góc CHK bằng 303.

Đề thi thuyển sinhvào lớp 10

trờng quốc học huế

năm học 2004thời gian làm bài 120 phút

b A

2

−

=1) Tìm điều kiện đối với a, b để biểu thức A đ ợc xác định

1 32

2

y x

Trang 7

k k n mx k k

cũng có nghiệm (m, n, k là các tham số : k ≠ 0)

Bài 4 ( 1,5 điểm)

Cho hàm số y = ax+ b có đồ thị (D) và hàm số y = kx2 có đồ thị (P)

a) tìm a, b biết rằng (D) đi qua A(-1; 3) và B(2; 0)

b) Tìm k (k ≠ 0) sao cho (P) tiếp xúc với đ ơừng thẳng (D) vờa tìm đ ợc Viết

3) Cho góc ACB = 600 Chứng minh CO = CH

đề thi tuyển sinh lớp 10 khối THPT chuyên

trờng đại học s phạm vinh 2005

(dành cho mọi thí sinh Thòi gan làm bài 150 phút)

THTH 10 –2005Vòng 1

Câu1

a) Rút gọn biểu thức sau :

2

15 8 2

Trang 8

a) Xác định vị trí của đờng thẳng d để độ dài đoạn thẳng MN lớn nhất.

b) Tìm tập hợp các trung điểm I của các đoạn thẳng MN khi đ ờng thẳng d quay quanh điểm A

Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10

Trờng Chu Văn An & Amsterdam

Trang 9

đạp Họ xuất phát cùng một lúc và đi về phía C Đến C thì M quay trở lại A ngay và

về đến B đúng vào lúc N đến C.Tính quãng đ ờng AC biết rằng quãng đ ờng BC dài gấp đôi quãng đờng AB và khoảng cách giữa hai địa điểm họ gặp nhau trên đ ờng đi (một lần khi họ đi cùng chiều , một lần khi họ đi ng ợc chiều) là 8 km

Bài 2 :

Cho hai số tự nhiên a, b sao cho a.b = 19911 9 9 2 Hỏi tổng a + b có thể chia hết cho

1992 hay không ? tại sao ?

Bài 3 :

Cho góc nhọn xAy với tia phân giác Az , một điểm B cố định trên Az (B ≠ A) Ngời ta kẻ một đờng tròn tâm O đi qua A, B cắt Ax, Ay lần l ợt tại các điểm M, N Gọi I là trung điểm của MN, dựng hình vuông ACID Tìm tập hợp C, tập hợp D khi

đờng tròn (O) thay đổi luôn luôn qua A, B

Sở giáo dục và đào tạo

hà nội

Năm học `1992 -1993

* Môn Toán * Ngày thi 11/6/1992 * Thời gian 150 phút

Trang 10

1 1

2

1

a

a a a

a) Chứng minh rằng các tứ giác ACMP, CDME nội tiếp đ ợc

b) Chứng minh rằng hai đờng thẳng AB, DE song song

c) Chứng minh rằng ba điểm P, M, Q thẳng hàng

d) Ngoài điểm M ra , các đ ờng tròn ngoại tiếp các tam giác DMP, EMQ còn có

điểm chung nào nữa không , tại sao ?

Trang 11

cứ 2 tam giác nào cũng chỉ có nhiều nhất 1 đỉnh chung.

a) Hỏi mỗi cách kể tên nh trên có nhiều nhất bao nhiêu tam giác ? tại sao ?b) Hãy nêu một cách kể tên với số tên tam giác nhất có thể đ ợc

Bài 3 :

Cho hình lục giác đều ABCDEG Ng ời ta tô đỏ 2 đỉnh A , D và tô xanh tất cả 4 đỉnh còn lại Sau đó, ngời ta đổi mầu các đỉnh đó theo quy tắc sau đây :

-Mỗi lần đổi mầu phải chọn 3 đỉnh của một tam giác cân, đổi mầu đồng thời 3 đỉnh

ấy (đỏ thành xanh, xanh thành đỏ) Hỏi sau một số lần thực hiện quy tắc đó, thì có thể thu đợc kết quả là đỉnh C đỏ còn 5 đỉnh còn lại là xanh không ? tại sao ?

Bài 4 :

Để kỉ niệm kỳ thi Toán Quốc tế lần thứ XXIII, một học sinh đã lấy một số n bằng

232 rồi ghi tất cả các số tự nhiên: 1, 2, , n vào tất cả các ô của một hình vuông

cỡ 23ì23 ô vuông, sao cho :

a) Mỗi một hàng đều có ít nhất một ô là ô lớn nhất trong cột chứa nó, và ít nhất một ô là ô nhỏ nhất trong cột chứa nó

b) Mỗi một cột, đều có ít nhất một ô là ô lớn nhất trong hàng chứa nó, và ít nhất một ô là ô nhỏ nhất trong hàng chứa nó

Hỏi, có thể thoả mãn đồng thời cả hai điều kiện a) và b) hay không ? tại sao ? (Ô này lớn hơn hoặc nhỏ hơn ô kia tuỳ theo số ghi trong ô đó lớn hơn hoặc nhỏ hơn số ghi trong ô kia)

Trang 12

hà nội

a

a a a

a

a a P

1 1

Bài 3 :(4 điểm)

Cho ∆ABC có ba góc nhọn, trực tâm là H Ng ời ta dựng hình bình hành BHCD và gọi I là giao điểm của hai đ ờng chéo

a) Chứng minh tứ giác ABDC nội tiếp đ ợc

b) So sánh các góc BAH và OAC (O là tâm đ ờng tròn ngoại tiếp ∆ABC )

c) Gọi G là giao điểm của AI và OH Chứng minh G là trọng tâm của ∆ABC.d) Tìm điều kiện rằng buộc giữa các góc B và C để OH song song với BC

Trang 13

hà nội

ở khác phía với B so với cạnh CA

a) Chứng minh rằng nếu 4 điểm X, Y, Z, C không thẳng hàng , thì tứ giác XYCZ

6 −x +x −x +x −x+ =

x

Trang 14

không có nghiệm.

hà nội

=

1 1 : 1

1 1

2

x

x x

x x x

x

x P

a) Chứng minh rằng tia MA là phân giác của góc BMx

b) Gọi K là gia điểm thứ hai của đ ờng thẳng DC với đờng tròn (O) Tứ giác MIKD là hình gì, tại sao ?

Trang 15

c) Gọi G là trọng tâm ∆MDK Chứng minh rằng khi M di động trên cung nhỏ

AC thì G luôn nằm trên một đ ờng tròn cố định

d) Gọi N là giao điểm thứ hai của đ ờng thẳng AD với đờng tròn (O); P là giao

điểm thứ hai của phân giác góc IBN với đ ờng tròn (O) Chứng minh rằng đ ờng DP luôn đi qua một điểm cố định khi M di động trên cung nhỏ AC

Bài 4 : (2 điểm)

Trang 16

Cho một số hữu hạn hình tròn chiếm trên mặt phẳng một diện tích bằng 1 Chứng minh rằng, có thể chọn ra một vài hình tròn đôi một không có điểm chung trong các hình tròn đã cho, có tổng diện tích không lớn hơn 1/9.

hà nội

3

+

− +

−

=

x

x x x B

a) Rút gọn A và B

b) Tìm giá trị x để A = B

Bài 2 : (3 điểm)

Cho phơng trình : x2 – 2(m -1)x + m – 5 = 0 (x là ẩn)

a) Xác định m để phơng trình có một nghiệm x =-1 và tìm nghiệm còn lại

b) Chứng minh rằng phơng trình luôn luôn có hai nghiệm phân biệt x

1 ; x

2 với mọi giá trị của m

c) Với giá trị nào của m thì x

Trang 17

với đờng tròn (O) Gọi M là điểm chính giữa của cung nhỏ AC; P là giao điểm của

AC , BM Tia BC cắt các tia AM, Ax lần l ợt tại N và Q

a) Chứng minh ∆ABN cân

b) Tứ giác APNQ là hình gì , tại sao ?

c) Gọi K là điểm chính giữa của cung AB không chứa điểm C Hỏi có thể xẩy ra

ba điểm Q, M, K thẳng hàng đ ợc không, tại sao ?

d) Xác định vị trí của điểm C để đ ợc đờng tròn ngoại tiếp ∆MNQ tiếp xúc với

2

hà nội

Bài 3 : (2 điểm)

Trang 18

4 513 23

a) Cho đờng tròn tâm O và một đờng thẳng d cắt đờng tròn tại hai điểm A và B

Từ một điểm M bất kì trên d và nằm bên ngoài đ ờng tròn, kẻ hai tiếp tuyến

ME và MF (E và F là hai tiếp điểm) Tìm tập hợp tâm các đ ờng tròn ngoại tiếp tam giác MEF, khi M di động trên d

b) Cho ∆ABC, các đờng phân giác trong và ngoài của góc C cắt đ ờng thẳng AB tại P và Q Chứng minh rằng nếu CP = CQ thì 4R2 = CB2 + CA2 Trong đó R

là bán kính đờng tròn ngoại tiếp ∆ABC

hà nội

2 2

3 9 3

− +

=

a a

a

a a P

1 Rút gọn P

2 Tìm a để P = 1

3 Tìm các giá trị của a ∈ N sao cho P∈ N

Bài 2 : (2,5 điểm)

Trang 19

Một lâm trờng dự định trồng 75 ha rừng trong một số tuần lễ Do mỗi tuần trồng v

-ợt mức 5 ha so với kế hoạch nên đã trồng đ ợc 80 ha và hoàn thành sớm hơn 1 tuần Hỏi mỗi tuần lâm trờng dự định trồng bao nhiêu ha rừng ?

Bài 3 : (4 điểm)

Cho đoạn thẳng AB và điểm M nằm giữa A và B Trong cùng một nửa mặt phẳng bờ

là đờng thẳng AB dựng các hình vuông AMCD và MBEF Hai đ ờng thẳng AF và BC cắt nhau ở N

1 Chứng minh AF vuông góc với BC, suy ra điểm N nằm trên hai đ ờng tròn ngoại tiếp các hình vuông AMCD và MBEF

2 Chứng minh ba điểm D, N, E thẳng hàng và MN ⊥ DE tại N

3 Cho A, B cố định còn M di động trên đoạn AB Chứng minh đ ờng thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định

4 Tìm vị trí điểm M sao cho đoạn thẳng MN có độ dài lớn nhất

Bài 4 : (1 điểm)

Cho hai phơng trình :ax2 + bx + c = 0 (1) và cx2 + bx + a = 0 (2) với a.c < 0 Gọi α

và β tơng ứng là nghiệm lớn nhất của ph ơng trình (1) và phơng trình (2), Chứng minh rằng α + β ≥ 2

hà nội

Trang 20

≥ +

+ +

+

c a c

b c b a

Bài 4 : (5 điểm)

Cho ∆ ABC nội tiếp đờng tròn O Đờng phân giác góc A cắt đờng tròn (O)

ở D Một đờng tròn (O) thay đổi nhng luôn đi qua hai điểm A và D, cắt hai

đờng thẳng AB và AC ở giao điểm thứ hai là M và N ( có thể trùng với A).

1 Chứng minh rằng BM = CN.

2 Tìm tập hợp trung điểm của MN.

3 Xác định vị trí của đờng tròn (L) sao cho đoạn MN có độ dài nhỏ nhất.

Bài 5 : (5 điểm)

Hình chữ nhật kích thớc 3 ì 4 đợc chia bởi các đờng thẳng song song với các cạnh thành 12 hình vuông đơn vị Chứng minh rằng với 7 điểm bất kì nằm trong hình chữ nhật luôn có thể chọn ra 2 điểm có khoảng cách không vợt quá 5 Chứng minh kết luận của bài toán vẫn đúng khi số điểm là 6

và không còn đúng khi số điểm là 5.

hà nội

Năm học `1997 -1998

* Môn Toán * Ngày thi 8/.7/1997 * Thời gian 150 phút

Bài 1 :(2,5 điểm)

Xét biểu thức :

Trang 21

2 2

3 2

) 3 (

3

−

− +

+ +

x x

Bài 3 :(4 điểm)

Cho ∆ ABC với ba góc nhọn nội tiếp đờng tròn (O) tia phân giác trong góc

B cắt đờng tròn tại D, tia phân giác trong của góc C cắt đ ờng tròn tại E; hai phân giác này cắt nhau tại F Gọi I, K theo thứ tự là giao điểm của dây

DE với các cạnh AB, AC.

a) Chứng minh rằng Các tam giác EBF, ADF cân

b) Chứng minh tứ giác DKCF nội tiếp và FK song song với AB.

c) Tứ giác AIFK là hình gì ? tại sao ?

d) Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác AEFD là hình thoi, đồng thời có diện tích gấp 3 lần diện tích tứ giác AIFK.

Năm học `1997 -1998

* Môn Toán chuyên * Ngày thi 9/7/1998 * Thời gian 150 phút

Trang 22

Cho ∆ABC có ba góc nhọn nội tiếp đ ờng tròn tâm O, bán kính R Kẻ các đ ờng cao

AA/, BB/, CC/ Gọi S là diện tích ∆ABC và S/ là diện tích ∆A/B/C/

a) Chứng minh rằng AO vuông góc với B/C /

b) Chứng minh : S =1/2 P.R ; trong đó P là chu vi ∆A/B/C/

c) Chứng minh hệ thức :

S

S C B

A

/ 2

a) Hãy lập một bảng số vuông cạnh 6 sao cho tổng các số ghi trong bảng theo mọi hàng , cột đều khác nhau

b) Có hay không bảng số vuông cạnh n nào đó mà tổng các số ghi trong bảng theo mọi hàng, cột và theo 2 đ ờng chéo đều khác nhau ?

Sở giáo dục và đào tạo Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10

Trang 23

=

1

1 1

1 : 1 1

1

xy

x xy

x xy xy

x P

c) Tìm các giá trị của m để x

1 + x

2 = 2

Bài 3 : ( 4 điểm )

Cho đờng tròn (O; R) , đờng kính AB; kẻ tiếp tuyến Ax và trên đó lấy một

điểm P ( AP > R) Từ P kẻ tia PM tiếp súc với đờng tròn (O ) tại M.

a) Tứ giác OBPM là hình gì ? tại sao ?

b) Cho AP =R 3, chứng minh tam giác PAM có trực tâm H nằm trên (O;R).

c) Chứng minh rằng khi P di động trên tia Ax (AP > R) thì trực tâm H của tam giác PAM chạy trên một cung tròn cố định.

d) Dựng hình chữ nhật PAON, chứng minh B, M, N thẳng hàng.

Sở giáo dục và đào tạo Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10

Trang 24

hà nội Trờng Chu Văn An & Amsterdam

Năm học `1998 -1999

* Môn Toán - tin * Ngày thi 9 /6/1998 * Thời gian 150 phút

Bài 1 :(2 điểm)

Cho phơng trình x3 – 2mx2 + (m2 + 1)x –m = 0 (*) với m là tham số

Tìm các giá trị của m để mọi nghiệm của (*) đều thuộc khoảng (-1; 1)

+ + +

+ +

c d

c a

b d

c b a

Bài 4 : (1,5 điểm).

Từ dãy số 1, 2, 3, 4, , 1998 chọn ra 1000 số tuỳ ý Chứng minh rằng trong 1000 số đợc chọn có ít nhất hai số sao cho số này là bội của số kia.

Bài 5 ; (1,5 điểm)

Xét một lới nìk ô vuông với các nút đ ợc kí hiệu theo chỉ số cột và theo chỉ số hàng

(xem hình vẽ) Một dãy các cạnh ô vuông liên tiếp (theo chiều sang phải hoặc lên trên) nối liến nút (0;0) với nút (n;k)đợng gọi là một đờng đi của lới.

1 Tìm tất cả các đờng đi của lới 2ì2

2 Hỏi có bao nhiêu đờng đi của lới nìk với n > k

(n; 0)

(n; k) (0; k)

(0; 0)

Trang 25

hà nội

−

+ +

2 3

2 2

3

x x

x

x x

x P

1 Rút gọn P

2 Tìm các giá trị nguyên của x để P < 0

3 Với giá trị nào của x thì biểu thức

2 Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu

3 Với những giá trị của m mà ph ơng trình có nghiệm, hãy tính tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong tất cả các nghiệm đó

Bài 3 :(4 điểm)

Cho ∆ ABC có góc A tù, đờng tròn (O) đờng kính AB cắt đờng tròn (O/) ờng kính AC tại giao điểm thứ hai là H Một đờng thẳng (d) quay quanh A cắt đờng tròn (O) và đờng tròn (O/) lần lợt tại M và N sao cho A nằm giữa

Trang 26

3 Gọi I là trung điểm của MN , K là trung điểm của BC Chứng minh 4

điểm A, H, K, I thuộc một đờng tròn và I di chuyển trên một cung tròn cố định.

4 Xác định vị trí trí của đờng thẳng (d) để diện tích ∆ HMN lớn nhất.

hà nội

b) Giả sử ABC nhọn, Chứng minh HA + HB + HC ≥ 6r (*)

c) Bất đẳng thức ( * ) còn đúng không khi ∆ABC có góc A tù không , vì sao ?

Bài 4 : ( 1,5 điểm)

Tìm các chữ số biểu thị bởi các chữ cái trong phép nhân sau :

Biết rằng T = 2E và chữ cái khác nhau ứng với chữ số khác nhau

Bài 5 : (1,5 điểm)

BIT 8 BYTE

Trang 27

Ngời ta kẻ n đờng thẳng sao cho không có 2 đ ờng nào song song và 3 đờng nào đồng quy để chia mặt phẳng thành các miền con Gọi Sn là số miền con có đợc từ n đờng thẳng đó.

x x x x

x x x

x P

1 Vẽ Parabol (P) và đờng thẳng (d) khi m = 1

2 Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, đ ờng thẳng (d) luôn đi qua một điểm cố định và luông cắt Parabol (P) tại hai điểm phân biệt A và B

3 Tìm giá trị của tham số m để diện tích ∆OAB bằng 2 (đơn vị diện tích)

Bài 3 : (4 điểm)

Trang 28

Cho đoạn thẳng AB = 2a có trung điểm O Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB kẻ các tia Ax, By vuông góc với AB Một đ ờng thẳng (d) thay đổi cắt Ax ở M ,

2 Gọi H là hình chiếu của O trên MN, chứng minh rằng đ ờng thẳng (d) luôn tiếp xúc với một nửa đờng tròn cố định tại H

một tia cố định

tính giá trị lớn nhất đó theo a

hà nội

Tiêu đề	52 đề thi HSG T9 và vào 10
Trường học	Sở Giáo Dục Đào Tạo Hà Nội
Chuyên ngành	Toán
Thể loại	đề thi
Năm xuất bản	1994-1995
Thành phố	Hà Nội

Định dạng
Số trang	57
Dung lượng	500,5 KB