DE THI HSG T9 DE SO 10

Chứng minh rằng nếu tam giác mà độ dài các đường trung tuyến đều bé hơn 1 thì diện tích tam giác đó bé hơn 0,67.... Híng dÉn chÊm Néi dung..[r]

TRƯỜNG THCS NGUYỄN BIỂU

ĐỀ KIỂM TRA CHỌN HỌC SINH DỰ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9

Năm học : 2016-2017 : Thời gian 120’

Bài số 10 :

Bài 1

Cho biểu thức:

A= 2√x − 9

√x +3

√x −2 −

2√x+1

3 −√x

a, Rút gọn biểu thức A

b, Tìm x nguyên để A có giá trị nguyên

Bài 2 (2®)

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

B = x2 + √1− x −2 x2

Bài 3

Giải phương trình: √x2

4 +√x2− 4=8 − x2 Câu 4 : Tìm gía tri nhỏ nhất ( min) của biẻu thức Q :

Q =

1 4  x  4 x  4 x  12 x  9

Bài 5

Cho tam giác ABC cân tại A Gọi D, F và H lần lượt là trung điểm của AB, AC và

BC, O là giao điểm của các đường trung trực ABC; G và E tương ứng là trọng tâm các

ABC và ACD Từ G kẻ đường thẳng song song với AC cắt BC tại I Chứng minh:

a,

b, ADG ~ DOE Từ đó suy ra OE CD

Bµi 6

Chứng minh rằng nếu tam giác mà độ dài các đường trung tuyến đều bé hơn 1 thì diện tích tam giác đó bé hơn 0,67

Híng dÉn chÊm C©

1 a, Điều kiện : x0;x4;x9

=

=

=

=

3

A

x



b, A ¿ 1+ 4

√x −3 nguyên ⇒√x −3 Ư(4)

* √x −3 = 1 ⇒ x=16

* √x −3 = -1 ⇒ x=4 (loại)

* √x −3 = 2 ⇒ x=25

* √x −3 = -2 ⇒ x=1

* √x −3 =4 ⇒ x=49

* √x −3 =- 4 : Không có x

Vậy x {1;16;25;49}

2 + ĐK: 1- x- 2x2 0 ⇔ (x+1)(1-2x) 0 ⇔ - 1 x 12

+ Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số không âm 1 và (1- x- 2x2)

Ta có:

2

2

1.(1 2 ) 2

  

Hay

2

2 2 2

2

2

 B  1 x2  1 Dấu bằng xẩy ra

2

0 0

x x

   



 Vậy giá trị lớn nhất của B là 1 khi x = 0

3

√x2

ĐK: x2− 4 ≥ 0 2≤ x ≤ 2√2

⇔ (2)

8 − x2≥ 0 −2√2≤ x ≤ −2

(1) ⇔

√x2+4√x2− 4

4 =8 − x

2⇔√x2− 4+4√x2− 4+4

2⇔√(√x2− 4 +2)

4

2

=8 − x2

⇔√x2− 4+2

2 =8 − x

2⇔√x2− 4=14 −2 x2⇔√x2− 4=6+ 2(4 − x2

) (*)

⇔ t=3

2⇔ x2

4⇔ x2

= 25

2 (thoả mãn 2) t=−2 (loại)

Vậy phương trình có 2 nghiệm là: x=±5

2

4

a, GHI ~ ADO

b,

; mà DE =

2

3DF =

2

2

3HC HI

GH =

1

2AG

Mặt khác góc DAG bằng góc ODE

Suy ra ADG ~ DOE

A

G

I O E

Góc AGD bằng góc DAO suy ra OE CD

5 - Ký hiệu:

+ Các trung tuyến và đường cao xuất phát từ các đỉnh A, B, C tương ứng là

ma, mb , mc và ha , hb , hc

+ Các cạnh đối diện với các đỉnh A, B, C tương ứng là a, b, c

+ Diện tích tam giác ABC là S

- Ta có 2S < a.ha = b.hb = c.hc (1)

có aha < ama < a (2) vì ma < 1

Tương tự: bhb < b (3); chc < c (4)

Từ (1), (2), (3), (4) ta có 6S < a + b + c (5)

mà a <

2

3(mb + mc) <

2 2 4

3 3 3 (vì độ dài các đường trung tuyến nhỏ hơn 1) Tương tự b <

4

3 , c <

4

3 Vậy từ (5) suy ra S < 0,666 hay S < 0,67