[HỌC VIỆN LIVE] CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐỒ THỊ (1)

Một ngày tuyệt vời nữa lại bắt đầu, và những cơ hội, trải nghiệm, thử thách đang chờ đón bạn ở phía trước. Chào mừng bạn đến với bài viết đầy tâm huyết của tôi. Và tôi tin rằng, chỉ cần làm theo từng bước. Việc dậy sớm sẽ trở thành thói quen, và ngủ nướng chỉ còn trong giấc mơ của bạn. Tôi chắc chắn điều này, bởi vì tôi đã từng tệ hơn bạn rất nhiều. Tôi biết rằng, bạn đã thử nhiều cách, áp dụng nhiều phương pháp khác nhau để có thể dậy sớm. Nhưng bạn vẫn chưa thành công, nút Snooze được bật liên tục. Cho dù bạn cố gắng bằng cách đặt 10 cái báo thức vẫn thất bại. Thậm chí, những kỹ thuật lên kế hoạch cho ngày hôm sau vẫn đưa bạn vào bế tắc. Tôi biết bạn đã rất cố gắng. Bạn đừng lo lắng, tôi cũng đã từng như bạn. Tôi muốn chắc rằng, việc bạn dậy trễ, ngủ nướng hoàn toàn bình thường. Nếu bạn lo lắng mình sẽ không bao giờ dậy sớm hơn, điều đó không đúng. Bạn chỉ cần một người hướng dẫn đúng đắn. Có thể người khác chỉ cho bạn các mẹo và thủ thuật. Nhưng đó chỉ là phần nổi của tảng băng. Bạn biết đấy, nó chỉ chiếm 10% sự thành công. Còn 90% quyết định nằm ở yếu tố khác. 1 Đấy chính xác là điều mà tôi giúp bạn trong bài viết ngày hôm nay. Và đó chính là lý ở đây. Tôi biết bạn thực sự muốn dậy sớm, sống một cuộc sống trọn vẹn và có tuổi trẻ tuyệt vời, và tôi ở đây để đồng hành, giúp đỡ bạn đạt được mục tiêu đó. Liệu bạn đang tự hỏi, tôi là ai mà có thể giúp bạn điều bạn thấy bại bấy lâu nay. Xin hãy cho tôi kể câu chuyện của chính mình…. Khoảng một năm trước. Đấy là học kỳ 2 đại học. Tôi học ca chiều… Mọi chuyện bắt đầu từ đây. Những ngày không đi học, tôi ngủ đến 10h sáng. Đôi khi đi học, nhưng tôi vẫn bị trễ, bởi vì ngủ quá nhiều. Trễ học ám ảnh tôi mỗi ngày trước khi đi ngủ. Bạn biết đấy, nếu không đủ buổi đi học, tôi sẽ phải học lại. Vài tháng sau, sự việc nghiêm trọng hơn. Tôi ngủ dậy trung bình là 11h trưa và trễ học ngay cả khi mình học buổi chiều. Báo thức ư? Tôi e rằng nó không hoạt động với mình. Bệnh của hầu hết mọi người là nghe được báo thức, sau đó tắt nó hoặc Snooze nhiều lần. Còn bệnh tôi tệ hơn rất nhiều. KHÔNG NGHE ĐƯỢC CHUÔNG BÁO THỨC. Thậm chí, sau vài tháng, 2

Archimedes của Syracuse là một nhà toán học, nhà vật lý, kỹ sư, nhà phát minh, và một nhà thiên văn học người Hy Lạp Dù ít chi tiết về cuộc đời ông được biết, ông được coi là một trong những nhà khoa học hàng đầu của thời kỳ

bang của Hy Lạp cổ đại Cha của

Acsimet là một nhà thiên văn và

toán học nổi tiếng Phidias, đã đích

thân giáo dục và hướng dẫn ông đi

sâu vào hai bộ môn này Năm 7 tuổi

ông học khoa học tự nhiên, triết

học, văn học Mười một tuổi ông đi

du học Ai Cập, là học sinh của nhà

toán học nổi tiếng Ơclit; rồi Tây

Ban Nha và định cư vĩnh viễn tại

thành phố Cyracuse, xứ Sicile Ðược

hoàng gia tài trợ về tài chính, ông

cống hiến hoàn toàn cho

Acsimet có nhiều đóng góp to lớn trong lĩnh vực Vật lý, Toán học và Thiên văn học

 Về Vật lý, ông là người đã sáng chế ra chiếc máy bơm dùng để tưới tiêu

nước cho đồng ruộng Ai Cập, là người đầu tiên sử dụng hệ thống các đònbẩy và ròng rọc để nâng các vật lên cao, là người đã tìm ra định luật vềsức đẩy của nước

 Về Toán học, Acsimet đã giải bài toán về tính độ dài của đường cong, đường xoắn ốc, đặc biệt ông đã tính ra số Pi bằng cách đo hình có nhiều

góc nội tiếp và ngoại tiếp

 Về Thiên văn học, ông đã nghiên cứu sự chuyển động của Mặt Trăng và

các vì sao Acsimet suốt cuộc đời say sưa học tập, nghiên cứu Tương truyền

rằng ông đã tìm ra định luật về sức đẩy của nước khi đang tắm Ông đã

sung sướng nhảy ra khỏi bồn tắm, chạy thẳng về phòng làm việc mà quên cảmặc quần áo, miệng kêu lớn: "Ơrêca! Ơrêca (Tìm thấy rồi! Tìm thấy rồi!) Trongcuộc chiến tranh của Hy Lạp chống quân xâm lược Rôma, Acsimet đã sáng chế

ra nhiều loại vũ khí mới như máy bắn đá, những cái móc thuyền, đặc biệt trong

đó có một thứ vũ khí quang học để đốt thuyền giặc Thành Xicacudo đã được

bảo vệ đến 3 năm mới bị thất thủ Khi bọn xâm lược hạ được thành, chúng thấyông vẫn đang say sưa ngồi nghiên cứu những hình vẽ trên đất Ông đã thét lên:

"Không được xóa các hình vẽ của ta", trước khi bị ngọn giáo của kẻ thù đâm

vào ngực Acsimet đã anh dũng hi sinh như một chiến sĩ kiên cường

Acsimet là người yêu nước thiết tha Trong giai đoạn cuối đời mình, ông đã

tham gia bảo vệ quê hương chống lại bọn xâm lược La Mã Ông đã lãnh đạoviệc xây dựng các công trình có kỹ thuật phức tạp và chế tạo vũ khí khángchiến Hơn hai nghìn năm đã trôi qua từ khi Acsimet bị quân La Mã giết hại,song người đời vẫn mãi ghi nhớ hình ảnh một nhà bác học thiết tha yêu nước,đầy sáng kiến phát minh về lý thuyết cũng như về thực hành, hình ảnh một conngười đã hiến dâng cả đời mình cho khoa học, cho tổ quốc đến tận giờ phútcuối cùng

Những công trình ông tìm ra

 Công thức tính diện tích và thểtích hình lăng trụ và hình cầu

 Số thập phân của số Pi Năm-250, ông chứng minh rằng số Pinằm giữa 223/7 và 22/7

 Phương pháp tính gần đúng chu

vi vòng tròn từ những hình lụcgiác đều nội tiếp trong vòngtròn

 Những tính chất của tiêu cự củaParabole

 Phát minh đòn bẩy, đinh visAcsimet (có thể do Archytas deTarente), bánh xe răng cưa

 Chế ra máy chiến tranh khiCyracuse

bị quân La Mã vây

 Chế ra vòng xoắn ốc không ngừng của Acsimet (có thể do Conon de Samos)

 Tính diện tích parabole bằng cách chia ra thành tam giác vô tận

 Nguyên lý Thủy tĩnh (hydrostatique), sức đẩy Acsimet, Trọng tâm Barycentre

 Những khối Acsimet (Solides Acsimet)

 Những dạng đầu tiên của tích phân

Nhiều công trình của ông đã không được biết đến cho đến thế kỷ XVIIe, thế kỷXIXe, Pascal , Monge và Carnot đã làm công trình của họ dựa trên công trìnhcủa Acsimet

Tác phẩm ông đã viết về

 Sự cân bằng các vật nổi

 Sự cân bằng của các mặt phẳng trên ký thuyết cơ học

 Phép cầu phương của hình Parabole

 Hình cầu và khối cầu cho Toán Tác phẩm này xác định diện tích hình cầutheo bán kính, diện tích bề mặt của hình nón từ diện tích mặt đáy của nó.

 Hình xoắn ốc (đó là hình xoắn ốc Acsimet, vì có nhiều loại xoắn ốc)

 Hình nón và hình cầu (thể tích tạo thành do sự xoay tròn của mặt phẳngquanh một trục (surface de révolution), những parabole quay quanhđường thẳng hay hyperbole

 Tính chu vi đường tròn (Ông đã cho cách tính gần đúng của con số Pi màEuclide đã khám phá ra

 Sách chuyên luận về phương pháp để khám phá Toán học Sách này chỉmới được khám phá ra vào năm 1889 tại Jérusalem

 Về trọng tâm và những mặt phẳng: đó là sách đầu tiên viết về trọng tâmbarycentre (ý nghĩa văn chương là "tâm nặng")

Acsimet - Tôi đã phát hiện ra rồi

Một hôm Quốc vương sứ cổ Hy Lạp muốn làm một chiếc vương miện mới và

thật đẹp Vua cho gọi người thợ kim hoàn tới, đưa cho anh ta một thỏi vàng óngánh yêu cầu anh ta phải làm nhanh cho vua chiếc vương miện Không lâu sauvương miện đã được làm xong, nó được làm rất tinh vi và đẹp, Quốc vương rấthài lòng và đội lên đi đi lại lại trước mặt các đại thần Lúc đó có tiếng thì thầm:

"Vương miện của bệ hạ đẹp quá nhưng không biết có đúng đều là vàng thật không?" Quốc vương nghe xong liền cho gọi người thợ kim hoàn tới, hỏi: "Chiếc vương miện ngươi làm cho ta có đúng là toàn bằng vàng không?" Người thợ kim hoàn bỗng đỏ mặt, cúi xuống thưa với vua rằng: "Thưa bệ hạ tôn kính, số vàng Người đưa con đã dùng hết, vừa đủ không thừa cũng không thiếu, nếu không tin bệ hạ cho cân lại thử xem có đúng nặng bằng thỏi vàng Người đưa cho con không ạ." Các đại thần đem vương miện ra cân thử, quả là không thiếu, vua

đành phải thả người thợ kim hoàn về Nhưng vua biết rằng lời nói của người thợkim hoàn ấy khó có thể tin được vì rằng anh ta có thể dùng bạc để thay vàngvới trọng lượng tương đương mà nhìn bề ngoài không thể phát hiện ra được.Quốc vương buồn phiền chuyện này nói với Acsimet, Acsimet nói với Quốc

vương: "Đây quả là bài toán khó, con xin giúp người làm rõ chuyện này."

Về đến nhà, Acsimet cân lại vương miện cùng thỏi vàng, đúng là trọng lượngbằng nhau Ông đặt chiếc vương miện lên bàn ngắm nghía và suy nghĩ đếnmức người phục vụ gọi ăn cơm mà vẫn không biết

Ông nghĩ: "Vương miện nặng đúng bằng thỏi vàng, nhưng bạc lại nhẹ hơn vàng, nếu như trong vương miện có trộn lượng bạc nặng đúng bằng lượng vàng lấy ra, như vậy chiếc vương miện này phải lớn hơn chiếc vương miện làm hoàn toàn bằng vàng Làm thế nào để biết được thể tích của chiếc vương miện này

và thể tích của chiếc vương miện làm toàn bằng vàng cái nào lớn, cái nào nhỏ? Chẳng lẽ phải làm một chiếc nữa, như vậy thì thật tốn công tốn sức." Acsimet lại nghĩ: "Đương nhiên có thể nấu lại chiếc mũ này và đúc thành vàng thỏi để xem nó còn to bằng thỏi vàng

cũ không, nhưng như vậy chắc chắn nhà vua không đồng ý, tốt nhất là phải nghĩ ra cách gì khác để so sánh thể tích của chúng Nhưng cách gì đây?"

Acsimet thông minh bỗng trở lên trầm lặng, ông vắt óc suy nghĩ mãi mà vẫn

chưa tìm ra cách Ông thường lặng lẽ ngồi cả buổi, mọi người nói ông "đang bí".

Một hôm Acsimet đi tắm, vì mải suy nghĩ để nước chảy đầy bồn tắm, sắp tràn

cả ra ngoài Ông bước vào bồn tắm, nước tràn ra ngoài, ông càng chìm ngườivào bể nhiều thì nước càng tràn ra ngoài nhiều Acsimet như bừng tỉnh, mắtbỗng sáng lên, ông nhìn nước tràn ra ngoài bể và nghĩ rằng: Số nước tràn ra cóthể bằng với thể tích phần cơ thể của ông chiếm trong bể nước không? Ông rấtvui, lập tức cho đầy nước vào bồn tắm và lại bước vào bồn, sau đó lại làm lại

một lần nữa Đột nhiên, ông bỗng chạy ra ngoài vỗ tay reo lên: "Tôi đã phát hiện ra rồi, phát hiện ra rồi!"mà quên cả mặc quần áo.

Ngày thứ hai, Acsimet đã làm thực nghiệm trước mặt Quốc vương và các đạithần và có cả người thợ kim hoàn để mọi người cùng xem Ông thả vương miện

và thỏi vàng cùng trọng lượng vào hai dụng cụ đựng nước có thể tích bằngnhau được chứa đầy nước, sau đó thu nước tràn ra vào hai bình đựng Kết quảcho thấy nước ở bên vương miện tràn ra nhiều hơn bên thả thỏi vàng rất nhiều

Acsimet nói: "Mọi người đều đã nhìn thấy Rõ ràng là vương miện chiếm chỗ ở trong nước nhiều hơn so với thỏi vàng, nếu như vương miện đều là vàng thì lượng nước tràn ra ở hai bên sẽ bằng nhau, cũng tức là thể tích của chúng bằng nhau".

Người thợ kim hoàn không còn gì để thanh minh được nữa, Quốc vương bực tứctrừng phạt anh ta Nhưng cũng rất rui vì Acsimet đã giúp vua giải được bài toánkhó này

11

O

1

có f ''x 

3x

 x 22

Mà

hoành tại 1 điểm duy nhất nên

đồ thị hoặc 0 có nghiệm nào

g '6  f '4

g x   2x2  2 So sánh

y

d

265

f

x

65

có số tiệm cận đứng là lớn nhất là n ( với m,n nguyên

dương).Tính giá trị nhỏ nhất của S = m2  n2

f

x dưới hình vẽ Hàm số f x códạng mx3

y ''  6mx  2n Lời giải

Tiếp tuyến tại điểm có hoành độ là 1 là y  3m  2nx  1  m  n  p

 26  3m  2n 1  m  n  p

26 36

 Trường hợp 2 : Đường màu vàng cắt Ox tại 2 điểm khác

cực trị của điểm) có ít nhất 3 điểm cực trị và đường đỏ có 3

điểm cực trị (loại)

 Trường hợp 3 : Đường màu vàng cắt Ox tại 4 điểm (loại)

 Trường hợp 4 : Đường màu vàng cắt Ox tại 2 điểm là

x có đạo hàm đến cấp 2 liên tục trên 1; 4

5

thỏa mãn và có đồ thịnhư hình vẽ dưới đây Tính giá trị của tích

1

f ''xx  1x  5 dx ?

O

1

12

2

1

vào

* ta được f 1  0

2

 x    x  2 2  x   1Tích phân từng phần được  xf '.  dx  2  x f     f   dx  =

k.x x  x

Số giao điểm của đồ thị hàm

Một số bài toán tổng hợp

5

y '  2x  1 f 'x2  x, x2  x  m có nghiệm khi và chỉ khi m   1 Dựa vào đồthị ta

4thấy đồ thị hàm f 'x  cắt trục hoành tại 5 điểm trong đó 1 điểm có hoành độ nhỏ hơn





Câu 13 Cho hình vẽ của đồ thị các hàm số y

Khi đó hãy tìm tổng của giá trị nhỏ nhất

và giá trị lớn nhất của biểu thức

Đến đây thay vào biểu thức ta được một hàm thuần nhất 2 biến rồi đặt 1 ẩn

đưa về khảo sát hàm 1 biến!

Câu 14 Hình vẽ bên là đồ thị của hai hàm y y  log x

f x  ax3  bx2  cx  d  f 'x  3ax2  2bx  c Hàm số đạt cực trị tại x  0; x  2

và

đồ thị đi qua điểm 1; 0 , 0; 2  nên ta có

 f '0 0



f '2 0

Câu 18 Cho

hàm số f x có đạo hàm và xác định trên tập số thực và có đồ thị như hình

vẽ dưới Tính tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số

y  f

'x

O

3 4

y  h

'x

đoạn 2; 2 và có đồ thị trên đoạn 2; 2

như hình vẽ dưới Hỏi phương trình

2

O

1



5

3 .

50

Câu 24. Cho hai đồ thị y

vẽ Gọi B, D là hai điểm cực trị của C1  , A

và C lần lượt là hai điểm cực đại và cực tiểu

O 1 3 4

3  4

 4  3  3 4

Để nhận thêm nhiều tài liệu bổ ích cả 3 môn toán