§3 CẤP SỐ CỘNG I/ ĐỊNH NGHĨA Cấp số cộng là một dãy số hữu hạn hoặc vô hạn , trong đó kể từ số hạng thứ hai ,mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d
Trang 2KIỂM TRA BÀI CŨ
Biết bốn số hạng đầu tiên của một dãy số là 3,7,11,15 Hãy chỉ
ra quy luật của dãy số trên và viết tiếp năm số hạng của dãy số
đã cho ?
•Quy luật của dãy số trên là : 7=3+4;11=7+4;15=11+4
•Năm số hạng tiếp theo của dãy số đã cho là :19,23,27,31,35
BÀI GIẢI
Trang 3§3 CẤP SỐ CỘNG I/ ĐỊNH NGHĨA
Cấp số cộng là một dãy số ( hữu hạn hoặc vô hạn ), trong đó kể từ
số hạng thứ hai ,mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d
Số d gọi là công sai
Khi d = 0 thì cấp số cộng là một dãy số không đổi
VD : 5,5,5,5,5,5,5 với U1=5 và d = 0
+ = + ∈ ¥ *
n 1 n
Công thức truy hồi :
ĐỊNH NGHĨA
Trang 4§3 CẤP SỐ CỘNG I/ ĐỊNH NGHĨA
+ = + ∈ ¥ *
n 1 n
ĐỊNH NGHĨA
HOẠT ĐỘNG 1
Mỗi nhóm hãy cho một ví dụ cấp số cộng
2,7 ;2,7 ;2,7 ;2,7 2,7 0
Một số ví dụ về cấp số cộng
Trang 5§3 CẤP SỐ CỘNG
HOẠT ĐỘNG KHÁM PHÁ
Bạn An chơi trò xếp que diêm thành hình tháp ,cách xếp thể hiện
như sau:
Hỏi nếu có 100 tầng thì tầng đáy có bao nhiêu que diêm ?
Tầng 1
- - -
Tầng 2
Tầng 3
Tầng 4
Tầng 100 (tầng đáy)
1 que
3 que
5 que
7 que
Có bao nhiêu que ?
?
Trang 6§3 CẤP SỐ CỘNG
II/SỐ HẠNG TỔNG QUÁT
ĐỊNH LÝ 1
Nếu cấp số cộng (un) có số hạng đầu u1 và công sai d thì số hạng tổng quát un, được xác định bởi công thức :
n 1
u = + − u (n 1)d vớin 2 ≥ ( * )
Trang 7§3 CẤP SỐ CỘNG
ĐỊNH LÝ 1
Nếu cấp số cộng (Un) có số hạng đầu u1 và công sai d thì số hạng tổng quát un, được xác định bởi công thức :
II/SỐ HẠNG TỔNG QUÁT
n 1
u = + − u (n 1)d vớin 2 ≥ ( * )
CHỨNG MINH
Sử dụng phương pháp quy nạp :
Khi n = 2 thì u2=u1+d (đúng)
Giả sử công thức ( * ) đúng với n = k ,tức là u k = u 1 + (k-1)d.
Ta chứng minh ( * ) đúng với n = k+1,tức ta chứng minh :u k+1 = u 1 + kd.
ta có : uk+1 =uk+d ( định nghĩa cấp số cộng )
<=> uk+1 = u1 + (k-1)d + d ( theo gt quy nạp )
<=> uk+1 = u1 + kd -d + d <=> uk+1 = u1 + kd ( điều phải chứng minh )
Vậy : uk = u1 +(n-1)d với n 2≥
Trang 8HOẠT ĐỘNG 2
Bạn An chơi trò xếp que diêm thành hình tháp ,cách xếp thể hiện như sau:
Hỏi nếu có 100 tầng thì tầng đáy có bao nhiêu que diêm ?
Tầng 1
?
- - -
Tầng 2 Tầng 3 Tầng 4
Tầng 100 (tầng đáy)
1 que
3 que
5 que
7 que
Có bao nhiêu que ?
Qua định lý 1 vừa học ta trở lại bài toán tính số que diêm của tầng đế
( tức là tính u100 )
Tóm tắt :Với u1=1,d = 2 Tính u100
Áp dụng công thức tính số hạng tổng quát:
u100 = 1+(100-1).2 = 199 Vậy tầng đế có 199 que diêm
BÀI GIẢI
Trang 9§3 CẤP SỐ CỘNG ĐỊNH LÝ 1
II/SỐ HẠNG TỔNG QUÁT
n 1
u = + − u (n 1)d vớin 2 ≥
VÍ DỤ :
Cho cấp số cộng (un) biết u1= -5,d = 3
a/ Tính u15.
b/ Số 100 là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số cộng ?
c/ Biểu diễn các số hạng u1,u2,u3,u4,u5 trên cùng trục số Nhận xét vị
trí của mỗi điểm u2,u3,u4 so với hai điểm liền kề
a/ u15 = -5 +(15-1).3 = 37
b/ un = -5 +(n-1).3 <=> 100 = -5 +(n-1).3 <=>100 = -5 +3n -3 <=>108 = 3n <=> n = 36
GIẢI
u4 là trung điểm của đoạn u3u5 hay 3 5
4
u u u
2
+
= tương tự với u3 và u2
Trang 10§3 CẤP SỐ CỘNG III/ TÍNH CHẤT CÁC SỐ HẠNG CỦA CẤP SỐ CỘNG :
ĐỊNH LÝ 2 :
Trong cấp số cộng , mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối ) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề với nó ,nghĩa là
k 1 k 1 k
2
CHỨNG MINH : giả sử (un) là cấp số cộng với d là công sai
Theo định nghĩa cấp số cộng :
uk-1 = uk – d (1)
uk+1 = uk+ d (2) Cộng (1) với (2): uk-1+ uk+1 = 2uk <=>
k 1 k 1 k
u u
u (k 2)
2
− + +
Trang 11§3 CẤP SỐ CỘNG III/ TÍNH CHẤT CÁC SỐ HẠNG CỦA CẤP SỐ CỘNG :
ĐỊNH LÝ 2 :
Trong cấp số cộng , mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối ) đếu là trung
bình cộng của hai số hạng đứng kề với nó ,nghĩa là
k 1 k 1 k
2
Câu hỏi :
Cho cấp số cộng hữu hạn gồm 4 số hạng :3 ; x ; -5 ;-9 Áp dụng định lý 2, tìm x
GIẢI Áp dụng định lý 2 : x = [3 + (-5)]:2 = -1.Vậy x = -1
Ngoài ra ta có thể giải bằng cách khác :
d = -9 – (-5) = -4 => x = 3 + (-4) = -1
Trang 12§3 CẤP SỐ CỘNG IV/ TỔNG n SỐ HẠNG ĐẦU CỦA MỘT CẤP SỐ CỘNG :
ĐẶT VẤN ĐỀ: cho cấp số cộng 1;2;3;4;5; ;98;99;100 tính :
Sn= 1+2+3+4+5+ +98+99+100
NHẬN XÉT: 1+2+3+4+5+ +96+97+98+99+100
1+100=101 2+99=101 3+98=101 4+97=101 5+96=101
KẾT LUẬN : từ 1 đến 100 có 50 cặp ,mà mỗi cặp có tổng bằng 101 nên:
n
100
2
số hạng đầu:u1
số hạng cuối :un
số cặp: n
2
=> Tổng quát :Sn = ?
Trang 13§3 CẤP SỐ CỘNG IV/ TỔNG n SỐ HẠNG ĐẦU CỦA MỘT CẤP SỐ CỘNG :
ĐỊNH LÝ 3
Cho cấp cộng (un) Đặt Sn = u1 + u2 +u3 + +un.Khi đó :
n
n(u u ) S
2
+
CHÚ Ý : thay un = u1 +(n-1)d vào (1) ta có :
1 n
S
2
+ −
Lưu ý : công thức (1) sử dụng khi biết n,u 1 ,u n
công thức (2) sử dụng khi biết n,u 1 ,d
Tuỳ theo điều kiện đề bài mà ta sử dụng hợp lý
Trang 14§3 CẤP SỐ CỘNG IV/ TỔNG n SỐ HẠNG ĐẦU CỦA MỘT CẤP SỐ CỘNG :
n
n(u u ) S
2
+
1 n
S
2
+ −
VÍ DỤ : cho cấp số cộng có 10 số hạng ,biết u1 = 3 và d = 5 Tính S10
1 n
n[2.u (n 1)d] 10[2.3 (10 1).5]
Trang 15§3 CẤP SỐ CỘNG CỦNG CỐ :
1/ Bạn Lan phát biểu :” theo định nghĩa cấp số cộng kể từ số
hạng thứ hai , mỗi số hạng bằng số liền trước cộng với một số
không đổi Vậy cấp số cộng luôn là một dãy số tăng” Theo
em phát biểu trên đúng hay sai ? Vì sao ?
2/ Cho cấp số cộng có u1 = 1011 , d = 200.Tính u6 ?.Kết
quả bài toán này có liên quan đến ngày kỉ niệm nào trong
năm ?
Trang 16+HỌC THUỘC CÁC CÔNGTHỨC +LÀM CÁC BÀI TẬP 1 ĐẾN 6 TRANG 97
VÀ 98
Trang 17TIẾT HỌC HÔM NAY ĐÃ HẾT KÍNH CHÚC SỨC KHOẺ QUÝ THẦY CÔ
VÀ CÁC EM HỌC SINH
Trang 18§3 CẤP SỐ CỘNG