SKKN LỚP 6 TÌM UCLN VÀ BCNN

Sáng kiến kinh nghiệm lớp 6 tìm ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất, đầy đủ các dạng toán, lời giải cụ thể chi tiết phù hợp với học sinh lớp 6, chỉ ra những lỗi sai hay mắc phải và hướng khắc phục

CHUYÊN ĐỀ HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 6: “ GIẢI TOÁN TÌM ƯCLN VÀ BCNN”

I - ĐẶT VẤN ĐỀ

Là giáo viên giảng dạy bộ môn Toán, ai cũng muốn có nhiều giờ giảng lôi cuốn, thu hút học sinh Đó là những giờ giảng mà học sinh tích cực, tự giác tham gia giải quyết các vấn đề mà các em quan tâm,mong muốn được hiểu biết Tuy nhiên để làm được những điều đó không phải là chuyện dễ dàng, giáo viên cần có những phương pháp dạy học riêng, có tính sáng tạo trong việc hướng dẫn, chỉ đạo học sinh cho phù hợp với từng bài, từng đối tượng học sinh Đối với dạng bài toán “Tìm ƯCLN &BCNN”, sách giáo khoa đã trình bày theo 3 bước cơ bản:

* Quy tắc tìm ƯCLN của hai hay nhiều số lớn hơn 1:

B1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố

B2: Chọn ra các thừa số chung

B3: Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất của nó, tích đó là ƯCLN phải tìm

* Quy tắc tìm BCNN của hai hay nhiều số lớn hơn 1:

B1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố

B2: Chọn ra các thừa số chung và riêng

B3: Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất của nó, tích đó là BCNN phải tìm

Trong quá trình giảng dạy chúng tôi thấy đa số các em học sinh làm tốt những dạng bài

có yêu cầu rõ ràng, cụ thể ( ví dụ : Tìm ƯCLN, BCNN của hai số) Tuy nhiên, học sinh lại thường gặp khó khăn khi phải gặp những bài toán phức tạp, đòi hỏi người học phải biết suy luận, vận dụng linh hoạt phương pháp giải cho bài toán liên quan ƯCLN và BCNN Học sinh lớp 6 thường lúng túng, chưa định hướng được cách giải dạng toán này Bởi vì khái niệm ƯCLN và BCNN chưa được học ở các lớp tiểu học, trong khi đó khái niệm này cũng chỉ được dạy một vài tiết ở lớp 6 Nhưng những bài tập liên quan đến ƯCLN và BCNN lại rất phong phú và đa dạng

Vậy làm thế nào để nâng cao chất lượng học sinh, giúp các em vận dụng các kiến thức đã học ở trường vào cuộc sống, gây kích thích sự hứng thú, ham học hỏi, ham hiểu biết của các em? Đó là lý do chúng tôi chọn đề tài này

II- THỰC TRẠNG TRƯỚC KHI THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI:

1- Thuận lợi

- Đa số học sinh nắm vững lý thuyết sau mỗi tiết học

- Một số học sinh thích khám phá, ham tìm tòi học hỏi trong học tập

- Cơ sở vật chất và đồ dùng dạy học được trang bị tương đối đầy đủ

2- Khó khăn:

-Không ít học sinh chưa có ý thức cao trong học tập cộng với điều kiện hoàn cảnh gia đình còn khó khăn

- Tài liệu tham khảo của học sinh còn hạn chế chủ yếu là sách giáo khoa, sách bài tập

- Đa số học sinh vận sụng lý thuyết vào bài tập còn hạn chế, lung túng Có em còn vận dụng nhầm kiến thức, không nắm vững phương pháp giải

3 -Số liệu thống kê:

Năm học 2012-2013 Trước khi áp dụng đề tài

DUNG

A- Cơ sở lí luận

Trong phân phối chương trình lớp 6, giải toán bằng cách tìm ƯCLN và BCNN được học trong 2 tiết lý thuyết và 4 tiết luyện tập ( mỗi phần 3 tiết) Trong mỗi phần có 10 bài tập và 2 bài ở phần ôn tập chương Trong các bài tập có 6 bài toán đố Đây là một dạng toán không

dễ đối với học sinh Nó đòi hỏi học sinh phải có khả năng “phiên dịch” các dữ kiện có trong bài: từ ngôn ngữ thông thường thành ngôn ngữ toán học, thành các biểu thức, các dạng toán

mà học sinh đã biết cách giải Học sinh lớp 6 thường gặp khó khăn khi định hướng cách giải cho bài toán liên quan ước chung lớn nhất ( ƯCLN) và bội chung nhỏ nhất (BCNN) Vì vậy người giáo viên nắm giữ một vai trò rất quan trọng Đó phải là người thiết kế, tổ chức hướng dẫn điều khiển học sinh học tập nắm giữ vai trò chủ đạo, giúp học sinh là chủ thể nhận thức, giữ vai trò chủ động, biết cách tự học, tự rèn luyện, từ đó hình thành, phát triển nhân cách năng lực cần thiết cho người lao động mới theo những mục tiêu mới đã đề ra

B- Nội dung

Sau khi đọc một số tài liệu có liên quan đến đề tài, nghiên cứu sách giáo khoa, sách hướng dẫn và một số sách tham khảo khác cùng với kinh nghiệm trong giảng dạy, chúng tôi xin trình bày một số kinh nghiệm nhỏ để giúp học sinh giải bài toán “Tìm ƯCLN & BCNN” như sau:

1- Nắm vững kiến thức cơ bản và các kiến thức liên quan:

 Để giải tốt dạng bài “Tìm ƯCLN & BCNN” trước hết học sinh phải nắm vững cách phân tích một số ra thừa số nguyên tố, quy tắc tìm ƯCLN, BCNN và vận dụng tốt 2 quy tắc trong giải toán

 Nắm vững khái niệm ước và bội: “Nếu a chia hết cho b thì a là bội của b và b là ước của a”

Khái niệm ước chung, bội chung, khái niệm hai số nguyện tố cùng nhau Các khái niệm này giúp học sinh xác định cách giải dạng toán mà mình xét

Ví dụ:

a) Tìm số tự nhiên a biết: 16 chia hết cho a, 24 chia hết cho a

Theo khái niệm của ước và bội , ta xác định được a là ước chung của 16 và 24

aƯC(16,24)

b) Tìm số tự nhiên b biết b chia hết cho 3, b chia hết cho 5, b < 50

Lớp Sĩ số Số HS làm bài dưới TB Số HS làm bài trên TB

6A1 36 19 ≈ 52,78 17 ≈ 47,22

Rõ ràng khi b chia hết cho 3, b chia hết cho 5 thì b vừa là bội của 3 vừa là bội của 5

bBC(3,5) và b < 50

 Học sinh biết cách xác định ước của một số khi phân tích số đó ra thừa số nguyên tố

Ví dụ:

a) Cho số a = 5.13 Hãy viết tất cả các ước của a

Các ước của a là: 1, 5, 13, 65

b)Cho số b = 25 Hãy viết tất cả các ước của b

Các ước của b là: 1, 2, 4, 8, 16, 32

 Biết cách tìm ƯC thông qua việc tìm ƯCLN, biết cách tìm BC thông qua BCNN Trong quá trình giải toán “Tìm ƯCLN & BCNN”, tất cả những kiến thức trên đóng một vai trò rất quan trọng Nhờ các kiến thức đó mà học sinh có thể thực hiện giải toán dễ dàng hơn Vì vậy, việc nắm vững các kiến thức cơ bản là rất cần thiết

2- Phương pháp giải một số dạng toán có liên quan đến ƯCLN và BCNN

a) Dạng phát hiện khái niệm ƯCLN & BCNN có ngay trong đề toán

Đối với dạng này, chỉ cần học sinh hiểu rõ khái niệm ƯC&BC và thực hiện tốt cách tìm ƯCLN, BCNN của hai hay nhiều số là ta có thể giải được ngay

Ví dụ 1 (bài 143 SGK trang 56)

Tìm số tự nhiên a lớn nhất biết 420a và 700a

Đối với bài toán này giáo viên phải định hướng cho học sinh hiểu

- Vì 420a và 700a nên a ƯC(420,700)

- a là số lớn nhất nên a là ƯCLN(420,700)

- Tìm ƯCLN(420,700) theo 3 bước trong sách giáo khoa

- Kết luận

Ví dụ 2: (bài 153 SGK trang 59)

Tìm các bội chung nhỏ hơn 500 của 30 và 45

Ở đây, học sinh có thể giải theo cách liệt kê các phần tử của tập hợp B(30), B(45) Rồi sau

đó đi tìm BC(30,45), chọn ra các bội chung nhỏ hơn 500 Tuy nhiên cách này khá phức tạp, không nhanh chóng Giáo viên nên định hướng cho các em cách tìm BC thông qua BCNN

- Tìm BCNN(30,45)

- Tìm BC(30,45) bằng cách tìm bội của BCNN(30,45)

- Chọn ra các bội chung nhỏ hơn 500 của 30 và 45

- Kết luận

Ví dụ 3: (Bài 146 SGK trang 57)

Tìm số tự nhiên x biết rằng 112x, 140  x và 10< x <20

- Vì 112x, 140  x nên x vừa là ước của 112, vừa là ước của 140 xƯC(112,140)

- Tìm ƯCLN(112,140)

- Tìm ƯC bằng cách tìm ước của ƯCLN(112,140)

- Chọn ra các ước chung lớn hơn 10 và nhỏ hơn 20

- Kết luận

Ví dụ 4: (bài 156 SGK trang 60)

Tìm số tự nhiên x biết rằng x12, x  21, x  28 và 150< x <300

Tương tự như ví dụ 3, giáo viên cần cho học sinh xác định cách giải:

- Vì x12, x  21, x  28 nên xBC(12,21,28)

- Tìm BCNN(12,21,28)

- Tìm BC bằng cách tìm bội của BCNN(12,21,28)

- Chọn ra các bội chung thỏa mãn điều kiện 150< x <300

- Kết luận

b) Dạng toán có nội dung gần gũi với cuộc sống

Đối với dạng này, giáo viên cần phải định hướng cho học sinh cách giải , suy nghĩ, tóm tắt

đề toán dễ hiểu đối với mình, đưa về dạng quen thuộc đã biết cách giải

Giáo viên cần hướng dẫn học sinh tuân theo 3 bước:

 Tìm hiểu đề toán: Nghiên cứu kĩ đề bài Đề bài cho biết cái gì, yêu cầu làm gì để hiểu rõ nội dung của các sự kiện chính và thiết lập mối quan hệ của chúng, nắm mục đích cần giải quyết

 Tìm lời giải

 Nghiên cứu, kiểm tra lại nghiệm của bài toán

Ví dụ 1: (Bài 148 SGK trang 57)

Đội văn nghệ của một trường có 48 nam và 72 nữ về một huyện để biểu diễn Muốn phục

vụ đồng thời tại nhiều địa điểm, đội dự định chia thành các tổ nam và nữ, số nam được chia đều vào các tổ, số nữ cũng vậy

Có thể chia thành nhiều nhất thành bao nhiêu tổ? Khi đó mỗi tổ có bao nhiêu nam, bao nhiêu nữ?

 Tìm hiểu đề:

Đối với bài toán này giáo viên nên nhắc lại khái niệm về chia hết

Số nam chia đều cho các tổ tức là 48 chia hết cho số tổ ( số tổ là ước của 48)

Số nữ chia đều cho các tổ tức là 72 chia hết cho số tổ ( số tổ là ước của 72)

Như vậy số tổ là ước chung của 48 và 72

Số tổ nhiều nhất chính là ƯCLN(48,72)

Khi tính được số tổ nhiều nhất ta có thể dễ dàng tính được số lượng nam, nữ trong mỗi tổ

 Lời giải:

Gọi số tổ nhiều nhất là a

48 = 24 3

72 = 23 32

Ta có: ƯCLN(48,72) = 23 3 =24

số nam trong mỗi tổ là :

48 : 24 =2 ( nam )

số nữ trong mỗi tổ là :

72 : 24 =3 ( nữ )

* Kết luận: Vậy số tổ nhiều nhất là 24

Ví dụ 2: ( Bài 154 SGK trang 59)

Học sinh lớp 6C khi xếp hàng 2, hàng 3, hàng 4, hàng 8 đều đủ hàng Biết học sinh lớp đó trong khoảng từ 35 đến 60 Tính số học sinh lớp 6C

 Tìm hiểu đề: Bài toán cho biết cái gì? Yêu cầu làm gì?

Học sinh lớp 6C khi xếp hàng 2, hàng 3, hàng 4, hàng 8 đều đủ hàng tức là số học sinh chia hết cho 2, cho 3, cho 4, cho 8 Hay số học sinh là bội chung của 2, 3, 4, 8

 Trình bày lời giải:

- Gọi ẩn:

Gọi số học sinh lớp 6C là a

- Dựa vào những điều cho biết nêu mối quan hệ của ẩn

Theo bài ra:

35 < a < 60

- Muốn tìm BC(2,3,4,8) ta nên tìm BCNN(2,3,4,8)

- Tìm bội của BCNN(2,3,4,8)

- Chọn ra các các bội chung thỏa mãn điều kiện 35< x <60

-Trả lời

Ví dụ 3: (Bài 196 SBT trang 25)

Một khối học sinh khi xếp hàng 2, hàng 3, hàng 4, hàng 5, hàng 6 đều thiếu 1 người, nhưng xếp hàng 7 thì vừa đủ Biết số học sinh chưa đến 300 Tính số học sinh?

 Tìm hiểu đề:

So với ở ví dụ 2 thì ví dụ này có sự khác biệt chủ yếu ở cụm từ “ thiếu 1 người” Giáo viên cần giải thích cho học sinh hiểu rằng “ thiếu 1 người” nghĩa là nếu ta thêm vào khối

đó một học sinh thì tổng số học sinh là BC ( 2,3,4,5,6)

Giáo viên hướng dẫn học sinh bằng các câu hỏi:

Số học sinh khi xếp hàng 2, hàng 3, hàng 4, hàng 5, hàng 6 đều thiếu 1 người vậy nếu ta thêm vào số học sinh đó một người thì khi xếp hàng 2, hàng 3, hàng 4, hàng 5, hàng 6 sẽ như thế nào?

Gọi số học sinh là a a phải có điều kiện gì?

Số nào sẽ chia hết cho 2, 3, 4, 5, 6?

Điều kiện của a + 1 là gì?

Số học sinh xếp hàng 7 thì vừa đủ có nghĩa là gì?

 Trình bày lời giải:

- Gọi ẩn, điều kiện của ẩn

Gọi số học sinh là a (0<a<300, aN)

- Dựa vào những điều cho biết nêu mối quan hệ của ẩn

Do a chia cho 2, 3, 4, 5, 6 thiếu 1 nên a + 1 chia hết cho 2, 3, 4, 5, 6

a + 1BC(2,3,4,5, 6), 1< a + 1< 301

- Muốn tìm BC(2,3,4,5,6) ta nên tìm BCNN(2,3,4,5,6)

- Tìm bội của BCNN(2,3,4,8)

- Chọn ra các các bội chung thỏa mãn điều kiện 1< a+1 <301, a7

-Trả lời

Học sinh thường nhầm lẫn việc xét a + 1 với a - 1, để chữa nhược điểm này giáo viên có thể đưa ra bài tập sau:

Ví dụ 4: Người ta đếm trứng trong rổ, nếu đếm theo từng chục ( 10 quả) cũng như theo

từng tá( 12 quả) hoặc đếm từng 15 quả thì lần nào cũng thừa lại một quả Tính số trứng trong rổ biết rằng số trứng chưa đến 100

Ở ví dụ 4 này khác so với ví dụ 3 chủ yếu ở cụm từ “ còn thừa lại 1 quả” Vậy do đó nếu gọi a là số trứng cần tìm thì ta phải xét số a- 1 Vì ở đây a- 1 là BC( 10,12,15) = 60 Do số trứng chưa đến 100 nên kết quả tìm được là 61 quả Giáo viên định hướng cho học sinh tương tự như ví dụ 3

c) Dạng toán tìm số khi biết ƯCLN, BCNN

Ví dụ 1: Tìm hai số tự nhiên biết rằng ƯCLN của chúng bằng 10, BCNN của chúng bằng

900

Để giải bài toán này học sinh cần vận dụng kiếnthức:

“Tích của hai số bằng tích của BCNN và ƯCLN của chúng”

a.b = ƯCLN ( a,b) BCNN (a,b)

 Hướng dẫn:

Nếu gọi hai số phải tìm là a và b Ta có:

a.b = ƯCLN ( a,b) BCNN (a,b) = 10.900

Hãy biểu diễn a và b dựa vào ƯCLN(a,b) =10?

Vì ƯCLN bằng 10 nên ta có thể đặt a = 10p , b = 10q (p, q là hai số nguyên tố cùng nhau) Muốn tìm a, b ta cần tìm p, q

a = 10p , b = 10q Khi đó a.b = ?

Tích p.q = ?

a.b = 100 p q = 9000 => p.q = 90

p, q là gì của 90?

Nếu giả sử p ≤ q, dựa vào các ước của 90, p và q là hai số nguyên tố cùng nhau ta lập đựoc bảng

Suy ra

Học sinh có thể kiểm tra lại kết quả bằng cách thử

Bài toán trên cũng có thể được thay đổi để có bài toán sau

Tìm 2 số tự nhiên có tích là 4320 và BCNN là 360

Đối với bài toán này học sinh cần tìm ƯCLN của hai số.ƯCLN ( a, b) = a.b : BCNN

( a,b) thay số vào ta được 4320 : 360 = 12 đến đây thì bài toán lại trở về dạng ví dụ 1

Ví dụ 2: Tìm 2 số tự nhiên biết rằng tổng của chúng bằng 84 và ƯCLN của chúng bằng 6.

Hướng dẫn cho học sinh giải :

Gọi 2 số cần tìm là a, b ( a ≤ b)

Hãy biểu diễn a và b dựa vào ƯCLN(a,b) =6?

Vì ƯCLN ( a, b) = 6 do đó có thể đặt a = 6p , b = 6q, trong đó p,q là hai số nguyên tố cùng nhau ( a, b, p, q  N )

a + b = 84 suy ra được điều gì?

6 ( p + q) = 84 suy ra p + q =14

Học sinh cần chọn các cặp số p, q nguyên tố cùng nhau có tổng bằng 14 và p < q Lập bảng tìm được như sau

Do đó

Từ ví dụ trên giáo viên có thể thay đổi để được ví dụ mới như sau:

Cách giải tương tự như giải ví dụ 2 chỉ cần thay tính a b cho việc tính a + b

d) Một số dạng có liên quan khác:

ở đây ta xét một số bài toán có liên quan đến phép chia có dư Đối với dạng này ta phải có sự lựa chọn các dữ kiện và thay đổi cách phát biểu bài toán, đưa về dạng đơn giản, dễ hiểu đối với học sinh

Ví dụ 1: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất có 3 chữ số biết rằng số đó chia cho 18, 30, 45 có số dư

lần lượt 8, 20, 35

Hướng dẫn:

Gọi số phải tìm là a

Nếu ta biểu diễn dưới dạng phép chia có dư

a = 18p + 8

a = 30q + 20

a = 45l + 35

Việc tìm a trở nên phức tạp Do đó giáo viên nên định hướng theo cách khác:

Do số a chia cho 18, 30, 45 có số dư lần lượt 8, 20, 35 nên dễ nhận thấy a + 10 chia hết cho

18, 20, 45 vậy a + 10 BC(18,30,45)

Ta đi tìm BC thông qua BCNN

BCNN(18,30,45) = 2.32.5 = 90

a + 10 = 90 k ( kN*) => a = 90k – 10

lần lượt thay k = 1, 2, 3, 4… Vào a = 90k – 10

Chọn kết quả với a là số tự nhiên có ba chữ số nhỏ nhất và trả lời

Ví dụ 2: Tìm số tự nhiên a biết chia 326 cho a thì dư 11, chia 553 cho a thì dư 13

Số 326 chia cho a thì dư 11, số 553 chia cho a thì dư 13 Học sinh có thể biểu diễn a dưới dạng phép chia có dư Tuy nhiên bài toán sẽ trở nên phức tạp, giáo viên nên định hướng theo cách khác Nếu bớt 326 đi 11 đơn vị thì được một số chia hết cho a, bớt 553 đi 13 đơn

vị được một số chia hết cho a

Thiết lập mối quan hệ giữa các đại lượng:

Số 326 chia cho a thì dư 11 => 326 – 11 = 315  a (a >11)

Số 553 chia cho a thì dư 13 => 553 – 13 = 540  a (a >13)

Khi đó a là gì của 315, 540?

a  ƯC(315,540)

Muốn tìm a ta đi tìm ƯCLN(315, 540)

Vì a> 13, a  ƯC(315,540) => a = 5, a = 45

IV- KẾT QUẢ

Qua việc áp dụng kinh nghiệm vào dạy “ giải toán tìm ƯCLN & BCNN” chúng tôi nhận thấy:

- Học sinh hiểu kiến thức nhanh, chắc, dễ hình dung ra bước làm

- Trong quá trình học tập, lớp hăng say phát biểu, xây dựng bài

- Lý luận khoa học, hệ thống vững chắc hơn

- Rèn luyện tích chủ động tích cực học tập, có ý thức tự giác ngày càng cao và có hứng thú khi học Toán

Số liệu như sau:

Lớp Sĩ số Số HS làm bài dưới TB Số HS làm bài trên TB

6A1 36 4 ≈ 11,11 32 ≈ 88,89

V- BÀI HỌC KINH NGHIỆM

-Giáo viên cần phải đầu tư, nghiên cứu sao cho mỗi tiết dạy học học sinh nắm vững được

lý thuyết vá cách giải bài tập có liên quan Học sinh có thể tự phát hiện vấn đề và hướng giải quyết các bài toán có tính tư duy, suy luận

- Giáo viên cần bồi dưỡng cho học sinh lòng ham thích, hứng thú say mê với học tập biểu dương những học sinh chịu khó, đọc nhiều sách tham khảo, có kết quả tốt trong học tập Trên đây là một số kinh nghiệm nhỏ Đề tài còn hạn chế, nhiều thiếu sót Kính mong quý thầy cô góp ý thêm để chuyên đề toán 6 hoàn thiện hơn nhằm nâng cao chất lượng dạy học

VI- TÀI LIỆU THAM KHẢO:

- SGK, sách thiết kế, sách tham khảo của giáo viên

- Sách đổi mới phương pháp học toán

Phú Tân, ngày 29 tháng 10 năm học 2013

Người thực hiện