Kiểm tra bài cũ Tìm x để:
x
a) 2 = 8
x
a = ⇒ = b x ?
Ví dụ: tìm x để: 2x = 3
Ta có: 2x = ⇔ 8 2x = 23 ⇔ = x 3
27
−
b) 3
27
=
Trang 3I - Kháí niệm lôgarít
0 a 1,b 0< ≠ >
a log b aα b
1 Định nghĩa:
2 Tính chất:
Chú ý: Không có lôgarít của số âm và số 0
ghi nhớ Cho hai số dương a, b với Số thỏa mãn
đẳng thức đựơc gọi là lôgarít cơ số a của b
và kí hiệu là
a 1.≠
aα = b
a
log b
α
Ví dụ 1: tính
3
a) log 27
2
1 b) log
4 = − 2
3
=
vì
vì
2
4
− =
3
Có số x, y nào để không?3x = 0, 2y = − 3 Câu hỏi:
ví dụ 2: cho tính
0 a 1,b 0< ≠ >
a
b) log a
a
a) log 1 = 0
1
= vì
vì a0 = 1
1
a = a
Đ3 Lôgarít
0 a 1,b 0< ≠ >
Đặt hay alog b a =b
a
log b
CM : a = b
( )
a
CM : log aα = α
a
log b
Đặt aα = ⇔ b α = log ba hay α = log a a( )α
Ví dụ 4: cho b1 = 2 ;b3 2 = 25
Tính
và so sánh các kết quả vừ tìm được
Ta có
8
=
2 1 2
log (b b )
Vậy
Ví dụ 3: tính
2 1 5 1 log log
25
Ta có
2 1 log 7
a)4
5
1 log 3
1 b) 25
ữ
( ) log217
2
2
=
1 log27 2
2
= ữ
2
1 7
= ữ = 49 1
( ) log513
2
5−
=
1 log53 2
5
−
= ữ
2
1 3
−
= ữ = 9
2
log (2 2 )
3 5
= +
2 1 2 2
8 2
log 2
1 lôgarít của một tích
II Quy tắc tính –
lôgarít
0 a 1;b ,b < ≠ > 0ta có
a 1 2
Định lí 1: với
( )
a
log b
a
log 1 0 log a 1
a b log aα
CM: Đặt α =1 log b ,a 1 α =2 log ba 2 ⇒
α + α = +
1 2
1 2
⇒ α + α =
Từ (1) và (2) suy ra định lí được CM
1 2
= ì ì ì ữ
2
1 2
1 log
2
1 2
1 log
4
=
2
=
0 a 1;b ,b , ,b < ≠ > 0 Ta có
Mở rộng:
log (b b b )a 1 2 n = log ba 1 + log ba 2 + + log ba n
Ví dụ 6: cho b1 = 3 ;b5 2 = 32
2
b
b
ữ
Tìm một hệ thức giữa
Ta có:
1 3 2
b log
b
ữ
log b
log b
1
2
b
b
ữ
5
3 log
3
3 3
log 3
5;
=
5 3
log 3
3
log 3
=
2 Lôgarít của một thương
Định lí 2: với 0 a 1;b ,b < ≠ 1 2 > 0 ta có
1
a a 1 a 2 2
b
b
Đặc biệt
1
Ví dụ7: tính log 10 log 11011 − 11
11
10 log
110
=
11
1 log
11
Ta có log 10 log 11011 − 11
3.Lôgarít của một lũy thừa
Định lí 3:
0 a 1;b ,b < ≠ ∀α∈ Ă ta có
log bα = α log b
n
1
n
=
Đặc biệt Với
Ví dụ8: tính a) log3 5 4
1
5 3
5
=
2 5 3
log 2
=
5
3 log
15
=
5
1 log
=
1 2
log 5
−
Ta có
1
CM: Đặt α =1 log b ,a 1 α =2 log ba 2 ⇒
1 2 log ba 1 log b (1)a 2
b = a ; bα = aα ⇒
1 2
1 2
α α
2
b
a b
α −α
1
2
b
b
⇒ α − α = ữ
Từ (1) và (2) suy ra định lí được CM
CM: Đặt α =1 log b ,a 1 α =2 log ba 2 ⇒
1 2 log ba 1 log b (1)a 2
b = a ; bα = aα ⇒
1 2
1 2
b b aα +α
( )
1 2 log b ba 1 2 (2)
⇒ α + α =
Từ (1) và (2) suy ra định lí được CM