088 đề HSG toán 8 yên mỗ 2015 2016

Đường thẳng qua O và song song với đỏy AB cắt cỏc cạnh bờn AD, BC theo thứ tự ở M và N.. Giỏm thị khụng giải thớch gỡ thờm... Chứng minh tương tự ON.. - Bài hỡnh khụng cú hỡnh vẽ thỡ khụ

PHềNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO

TẠO HUYỆN YấN Mễ

(ĐỀ CHÍNH THỨC)

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8

NĂM HỌC 2015 – 2016 MễN TOÁN

Thời gian: 120 phỳt (khụng kể thời gian giao đề)

(Đề này gồm 05 cõu, 01 trang)

Cõu 1 (4,0 điểm): Phõn tớch cỏc đa thức sau thành nhõn tử:

( 2)( 2 2) 1

2016 2015 2016

Cõu 2 (3,5 điểm):

a, Cho a +b +c0 và a3 + b3 + c3 = 3abc Tớnh N =

2016 2016 2016

2016

 

a b c

b, Tỡm số tự nhiờn n để 2

4 2013

n  n là một số chớnh phương

Cõu 3 (4,5 điểm): Giải cỏc phương trỡnh sau:

a, 2

2 (2 3)( 5) 23

b,

20

9

1

2  x

30 11

1

2  x

42 13

1

2  x

18

1

Cõu 4 (6,0 điểm):Hỡnh thang ABCD (AB // CD) cú hai đường chộo cắt nhau tại O Đường thẳng qua O và song song với đỏy AB cắt cỏc cạnh bờn AD, BC theo thứ tự

ở M và N

a, Chứng minh rằng OM = ON

b, Chứng minh rằng

MN CD AB

2 1 1



c, Biết SAOB= 20152 (đơn vị diện tớch); SCOD= 20162 (đơn vị diện tớch) Tớnh SABCD

Cõu 5 (2,0 điểm) Cho a, b, c là các số d-ơng Chứng minh bất đẳng thức:

c b

a



2

+

a c

b



2

+

b a

c



2

 2

c b

a 

-Hết -

Thớ sinh khụng được sử dụng tài liệu Giỏm thị khụng giải thớch gỡ thờm

Họ và tờn thớ sinh: Số bỏo danh: Chữ ký của giỏm thị 1: Chữ ký của giỏm thị 2:

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HUYỆN YÊN MÔ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HƯỚNG DẪN CHẤM

NĂM HỌC 2015-2016

Môn : Toán lớp 8

(Hướng dẫn chấm gồm 3 trang)

Câu 1

(4,0đ)

( 2)( 2 2) 1

(x 2 )(x x 2x 2) 1

(x 2 )x 2(x 2 ) 1x

(x  2x 1)

4

(x 1)

 

0,5

0,5 0,5

0,5

2016 2015 2016

2016( 1)

(   1) 2016(   1)

(  1)(    1) 2016(   1)

(x  x 1) x x(   1) 2016

(x  x 1)(x  x 2016

0,5 0,5 0,5 0,5

Câu 2

(3,5đ)

a) a3 + b3 + c3 = 3abc

 

3 3 3

3 3

2 2 2

0,5

a2 + b2 + c2 – ab – ac – bc = 0 ( vì a +b +c  0)

 2a2 + 2b2 + 2c2 – 2ab – 2ac –2bc = 0

 (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 = 0

Vì (a – b)2  0 a, b; (b – c)2  0 b,c; (c – a)2  0 a, c

0,5

Nên (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2  0 a, b,c ;

Do đó (a – b)2

+ (b – c)2 + (c – a)2 = 0 a, b,c Khi a – b = 0 và b – c = 0 và c – a =0

a = b = c

Mà a +b +c  0 a = b = c  0 (*)

0,5

Thay (*) vào N ta có:

2016 2016 2016 2016 2016

2016 2016 2016 2015

(3 ) 3 3

 

N

a

0,5

4 2013 ,

n  n m m

m n  2m n  2 2009

0,5

Mặt khác 2009  2009.1 287.7   49.41 và m n     2 m n 2 nên có các trường

TH1: 2 2009 1005







     

Vậy cỏc số cần tỡm là: 1002; 138; 2

0,5

Cõu 3

(4,5đ)

0,5 0,5 0,5 0,5

b)Ph-ơng trình đ-ợc biến đổi thành: (Với ĐKXĐ: x     4; 5; 6; 7)

(x 4)(x 5)  (x 5)(x 6)  (x 6)(x 7)

1 18

( 1 1

1 18

x x

  =

1

18  (x + 4)(x +7) = 54

Vậy nghiệm của ph-ơng trình là: S =  13; 2

0,5 0,5

0,5 0,5 0,5

Cõu 4

(6đ)

O

N M

B A

a)( 2,0 điểm)

Lập luận để cú

BD

OD AB

AC

OC AB

Lập luận để cú

AC

OC DB

OD



AB

ON AB

OM

b)( 2,0 điểm)

Xột ABDđể cú

AD

DM AB

AD

AM DC

CD AB

1 1

AD

AD AD

DM AM

0,75

Chứng minh tương tự ON.( 1  1 )  1

CD

CD

MN CD AB

2 1

c)( 2,0 điểm)

Từ ΔCBH ΔEAH( cmt)

2 ΔCBH

ΔEAH

=

 

ΔCBH ΔEAH

S

= 4

2 BC

= 4 AE

0,5

) ( DOC AOD

Do đú SABCD= 20152 + 2.2015.2016 + 20162 = (2015 + 2016)2 = 40312

Cõu 5

(2đ)

áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho cặp số

c b

a



2

,

4

c

b

không âm ta có :

c b

a



2

+

4

c

b

 2

4

2

c b c b

a

= a

Suy ra

c b

a



2

 a -

4

c

b

T-ơng tự

a c

b



2

 b -

4

c

a

b a

c



2

 c -

4

b

a

Cộng vế theo vế ba bất đẳng thức trên ta đ-ợc :

c b

a



2

+

a c

b



2

+

b a

c



2

 ( a + b + c )

-2

c b

a 

=

2

c b

a 

Vậy

c b

a



2

+

a c

b



2

+

b a

c



2

 2

c b

a 

(đpcm)

0,5

0,5

0,5

0,5

Lưu ý:

- Học sinh làm bài cỏc cỏch khỏc nhau mà đỳng thỡ vẫn cho điểm tối đa

- Bài hỡnh khụng cú hỡnh vẽ thỡ khụng chấm

- Tổng điểm của bài cho điểm lẻ đến 0,25đ (vớ dụ : 13,25đ ; 14,5đ;

16,75đ)