010 đề HSG toán 8 móng cái 2011 2012

Trên tia đối của tia BC lấy điểm K sao cho KH HA.Qua K kẻ đường thẳng song song với AH, cắt đường thẳng AC tại P.. a Chứng minh : Tam giác AKC đồng dạng với tam giác BPC b Gọi Q là tru

Bài 1 (4,0 điểm)

Cho biểu thức

1

M

          

a) Rút gọn M

b) Tìm x nguyên để M có giá trị là số nguyên dương

c) Tìm x để M  3

Bài 2 (6,0 điểm)

a) Cho ,x y là hai số dương và x2010 y2010x2011 y2011x2012 y2012.Tính giá

trị của biểu thức S x2020 y2020

b) Giải phương trình: 2015 2007 2006 2018

x  x  x  x

c) Tìm x và y thỏa mãn: 2  2   

y  x   y x

Bài 3 (4,0 điểm)

a) Chứng minh bc ac ab a b c

a  b  c    với mọi số dương a b c , , b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Lx4 4x37x212x20

Bài 4 (6,0 điểm)

Cho tam giác ABC vuông tại A AC AB Vẽ đường cao AH H BC

Trên tia đối của tia BC lấy điểm K sao cho KH HA.Qua K kẻ đường thẳng song

song với AH, cắt đường thẳng AC tại P

a) Chứng minh : Tam giác AKC đồng dạng với tam giác BPC

b) Gọi Q là trung điểm của BP Chứng minh tam giác BHQ đồng dạng với tam

giác BPC

c) Tia AQ cắt BC tại I Chứng minh AH BC 1

HB  IB 

ĐÁP ÁN Câu 1

a) 2  2  2 3    2 

2x  8 2 x 4 0;8 4 x2x x  2x x 4 0và x0

M xác định  x 2;x0

2

2 2

2

2 2

2

M

x

x

x x

x x



b) Với x2;x0,Mcó giá trị nguyên dương 1

2

x M

x



  có giá trị nguyên

dương 2 2 2 1 1

2

x M



    nguyên dương

1

;2

x

     là ước của 1  x 1(Thỏa mãn điều kiện)

Thử lại: Với x1ta có: 1

2

x M

x



 có giá trị bằng 1(Thỏa mãn)

Với x 1 ta có: 1

2

x M

x



 có giá trị bằng 0 (không thỏa mãn) Vậy x1

c)

1

2

x

x



         

Ta có: 7 1 0

x

x

 



 

x x

 



 

 Giải được x0hoặc 1

7

x 

x

Câu 2

2a) Có 2012 2012  2011 2011    2010 2010

Do ,x y là hai số dương và x2010y2010 x2011 y2011x2012 y2012

Nên x2010 y2010 x2011 y2011x2012 y2012 m 0

1

x

y





 Với x 1 y2010 y2011 y 0(loại) hoặc y1

Với y 1 x2010 x2011 x 0(ktm) hoặc x1

2b

0

2010 2012 2011 2013

2010 2012 2011 2013

1 5

2010

x

2012 2011 2013

2c

2

Câu 3

3a Với mọi số dương a b c ta có: , ,

     

     

bc ac ab

bc ac ab a bc b ac c ab

0

ac ab bc ab ac bc

BĐT cuối đúng nên ta có điều phải chứng minh

3b

2

Do  2  2   

x  x x     x L x

Đẳng thức xảy ra  2

     Vậy với x2thì L có giá trị nhỏ nhất Giá trị nhỏ nhất của L là 8

a) PK / /AH CKP CAB CK CA

CP CB

Suy ra AKC BPC c g c  (1)

b) AKHvuông cân tại H K145 0 Từ (1)K1  P1 450 BAPvuông cân tại ABP AB 2

Chứng minh BHA BAC BH AB

AB BC

2

2 2

BP BQ

BHQ

 và BPC có: BH BQ;PBC

BP  BC chung  BHQ BPC c g c 

1

1

I

Q

P

K

H B

c) BAPvuông cân tại A, AQ là trung tuyến nên cũng là phân giác AI là phân giác ngoài của ABC IC AC (2)

IB AB

(3)

AC AH ABC HBA

AB HB

Từ (2) và (3) ta có:

1 1

dfcm

