Tiểu luận hệ tọa độ cực

Tọa độ này luôn gắn liền với một hệ tọa độ xác định bao gồm gốc tọa độ và các trục tọa độ.. Từ trước đến nay, ta thường quen với hệ tọa độ Decartes tức là hệ tọa độ xác định vị trí của m

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ

MINH KHOA VẬT LÝ

Đề tài

HỆ TỌA ĐỘ CỰC

Giảng viên: Nguyễn Vũ Thụ Nhân

Nhóm thực hiện: Nguyễn Bình An

Trần Thị Vĩnh Đào Trần Gia Linh

Tp HCM, 2016

LỜI NGỎ

Tọa độ của một của điểm là một bộ số đặc trưng cho vị trí của điểm

đó trong mặt phẳng, không gian Tọa độ này luôn gắn liền với một

hệ tọa độ xác định bao gồm gốc tọa độ và các trục tọa độ

Từ trước đến nay, ta thường quen với hệ tọa độ Decartes tức là hệ tọa độ xác định vị trí của một điểm trên mặt phẳng cho trước dựa vào cặp số tọa độ (x;y) hay (x;y;z).Tuy nhiên, trên thực tế, trong một

số trường hợp, ta cần sử dụng đến một số hệ tọa độ khác, trong đó bao gồm hệ tọa độ cực Hệ tọa độ này có ưu điểm lớn nhất khi khảo sát những đường cong xuất hiện mối quan hệ đặc biệt với gốc tọa độ

Ngoài ra, hệ tọa độ cực cũng là một hệ tọa độ đủ thú vị, đặc biệt là trong vấn đề khảo sát hàm số để nhiều người phải say mê với nó Mặc khác, những tri thức mà hệ tọa độ cực đem lại cho chúng ta khá thú vị ,bổ ích và cần thiết Những tri thức đó có thể được vận dụng

để nghiên cứu, giải đáp một số bài tập một cách dể dàng hơn so với nhiều phương pháp khác hay có thể ứng dụng được trong một số lĩnh vực thiết thực như hàng hải, thiên văn,

Chính vì những lý do trên mà nhóm đã quyết định chọn “ Khảo sát hàm số trong hệ tọa độ cực” làm đề tài tiểu luận

Trong quá trình thực hiện, nhóm vẫn còn nhiều thiếu sót Mong nhận được sự góp ý từ thầy

HỆ TỌA ĐỘ CỰC

Ngoài tọa độ Descartes thường gặp trong chương trình học phổ thông thì hệ tọa độ cực cũng là một trong những công cụ giúp ta giải quyết một số bài toán mà hệ Descartes khó có thể giải quyết được Hệ tọa độ cực hữu ích trong những trường hợp trong đó quan hệ giữa hai điểm được viết dưới dạng góc và khoảng cách I.ĐỊNH NGHĨA

Hệ tọa độ cực là một hệ tọa độ 2 chiều, trong đó mỗi điểm bất kì được biểu diễn bẳng 2 thành phần:

Khoảng cách từ điểm đó đến gốc O

(gốc cực) gọi là bán kính

Góc tạo bởi đường thẳng từ O đến

điểm đó với hướng gốc cho trước

(trục cực)

Cụ thể: Khi xét tọa độ của điểm M

trên hệ tọa độ cực như hình ta dựa

vào bán kính véctơ và góc định

hướng giữa OM và trục Ox tức là

góc

1 Bán kính và hướng:

-Bán kính được tính bằng các tỉ lệ dài, tập hợp các điểm có cùng bán kính được biểu diễn trên mặt phẳng cực bằng các đường tròn đồng tâm tại gốc tọa độ

Ví dụ:

-Hướng được đo bằng độ hoặc radian, chiều tăng của hướng là chiều ngược chiều kim đồng hồ, tập hợp các điểm có cùng hướng là đường thẳng

đi qua gốc tọa độ và tạo với trục một góc bằng Ở đây ta xét số đo hướng

là radian

Ví dụ:

+Lưu ý:

-Khác với hệ tọa độ Descartes mỗi điểm chỉ được xác định bởi duy nhất một cặp giá trị , trong hệ tọa độ cực mỗi điểm có nhiều cách xác định ứng với các giá trị tăng hoặc giảm so với giá trị ban đầu:

-Trong tọa độ cực tồn tại bán kính âm, ta có thể chuyển về bán kính dương bằng cách tăng hoặc giảm đi từ hướng cũ và đổi dấu :

+Ví dụ: Tìm tất cả các tọa độ cực cho điểm

-Với lưu ý 2, một cách biểu diễn khác tọa độ cực của là

-Sử dụng lưu ý 1 ta tìm được 2 họ giá trị tọa độ cực của là:

hay

2 Mối liên hệ với hệ tọa độ Descartes:

Ta có thể rút ra mối liên hệ giữa các giá trị và :

+Ví dụ:

1.Chuyển từ tọa độ cực thành tọa độ Descartes

Ta có:

2.Chuyển từ tọa độ Descartes sang tọa độ cực

Ta có:

là một giá trị tọa độ cực của

3.Chuyển phương trình sang tọa độ cực

Ta có:

4.Chuyển phương trình sang tọa độ cực

Ta có:

II.MỘT VÀI VÍ DỤ VỀ ĐỒ THỊ HÀM SỐ TRONG TỌA ĐỘ CỰC

1.Đường thẳng

+Đặc biệt đường thẳng qua gốc tọa độ:

2.Đường tròn

+Đặc biệt đường tròn có tâm là gốc tọa độ:

Ngoài ra còn có những đường cong lạ mắt có phương trình của chúng trong hệ Descartes rất phức tạp nhưng ở hệ tọa độ cực lại khá đơn giản như:

3.Đường xoáy ốc – Đường Archimede

4.Đường LEMNISCAT : hoặc

5.Đường hình tim – Đường Cardioide:

6.Các đường hình hoa:

hoặc ,

7.Đường hình bướm:

III KHẢO SÁT HÀM SỐ TRONG TỌA ĐỘ CỰC

1.Các tính chất đối xứng :

a.Đối xứng qua Ox: Nếu hàm số chẵn: thuộc đồ thị thì cũng thuộc đồ thị

Đồ thị đối xứng qua Ox

b.Đối xứng qua Oy: Nếu hàm số lẻ thuộc đồ thị thì cũng thuộc đồ thị

Đồ thị đối xứng qua Oy

Ví dụ:

c.Đối xứng tâm: Nếu thuộc đồ thị thì cũng vậy

Ví dụ:

2.Các bước khảo sát

+ Tìm miền xác định

-Trong hệ tọa độ cực hay xảy ra trường hợp các hàm số được khảo sát tuần hoàn Do đó ta có một số nhận xét về tính tuần hoàn như sau:

Hàm số tuần hoàn với chu kì � khảo sát trong  0,T hoặc 2 2,

T T

� �

� � , qua

đồ thị mỗi lần một góc cho đến khi không sinh ra nhánh mới � đồ thị đường cong

Nếu hàm số lẻ : đồ thị đối xứng qua Oy

Nếu hàm số chẵn : đồ thị đối xứng qua Ox

+ Tính đạo hàm r’, vẽ bảng biến thiên

Để phục vụ việc vẽ đồ thị, tính , với là góc giữa tia bán kính và tiếp tuyến tại điểm khảo sát

: tiếp tuyến trùng bán kính

: tiếp tuyến vuông góc bán kính

BBT

Ví dụ:

a.Khảo sát hàm số

MXĐ:

Ta có là hàm số lẻ � đồ thị đối xứng qua Oy.Và có chu kì khảo sát trên Có: ,

BBT

Do là hàm lẻ, lấy đối xứng qua Oy ta được:

b.Khảo sát hàm số

MXĐ:

Ta có là hàm số chẵn � đồ thị đối xứng qua Ox.Và có chu kì khảo sát trên

Có:

BBT

Lấy đối xứng qua Ox ta được:

IV.ỨNG DỤNG CỦA HỆ TỌA ĐỘ CỰC

1.Trong toán học

-Trong một số trường hợp, khi chuyển sang tọa độ cực thì phép tính tích phân sẽ đơn giản hơn cả về cận lẫn công thức tính tích phân Một ứng dụng điển hình là dùng tích phân để tính diện tích hình phẳng

Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong và các tia là:

+Ví dụ: tính diện tích giới hạn bởi đường Cardioide:

Đạo hàm đổi dấu tại nên diện tích

2.Trong lĩnh vực hàng hải và thiên văn

+Trong hàng hải:Các nhà hàng hải và quân đội sử dụng mặt phẳng tọa độ như sự yêu thích của các nhà toán học Bán kính được gọi là phạm vi, và các đơn vị thực tế thường được ghi rõ, như mét (m) hay ki-lô-mét (km) Góc hay hướng được gọi là góc phương vị, vị trí, hay phương hướng, và được đo bằng độ từ hướng Bắc theo chiều kim đồng hồ Góc phương vị được ký hiệu � (chữ cái Hy Lạp cổ), và phạm vi được ký hiệu � Vị trí của điểm được xác định bằng cặp số (�, �)

+Trong thiên văn: Nhà thiên văn học Hipparchus (190-120 TCN) đã lập một bảng hàm các dây cung cho biết chiều dài dây cung cho mỗi góc Có tài liệu cho rằng ông sử dụng tọa độ cực để thiết lập vị trí các thiên hà

TÀI LIỆU THAM KHẢO