PP giải pt chứa căn

Chuẩn bị thi vào đại họcGiải Phơng Trình chứa căn nh thế nào?. Khi các bạn giải phơng trình PT dạng ax+b =cx+d, chúng ta đều biết bình phơng 2 vế để khử căn bậc hai, vậy với PT ax+b =cx2

Chuẩn bị thi vào đại học

Giải Phơng Trình chứa căn nh thế nào?

Khi các bạn giải phơng trình (PT) dạng ax+b =cx+d, chúng ta đều biết bình phơng 2 vế để khử căn bậc hai, vậy với PT ax+b =cx2 +dx+ecó giải đợc bằng

ph-ơng pháp đó đợc nữa không? Xin trả lời trừ một số trờng hợp đặc biệt Vậy thì có phơng pháp giải chung không ? Đây là câu hỏi mà nhiều bạn đọc cha trả lời đợc, Ví

dụ khi giải PT sau:

3 2 3

5

9x− = x2 + x+ ,ta đặt 9x− 5 = 3y+ 1 ,y≥ −31, rồi khi giải PT:

2004 16032

1 2004

2 −x− + x =

2

1 , 1 2 16032

Vậy bạn đã tự hỏi xem tại sao lại có đợc phép đặt nh vậy( Đã có một chuyên đề

đ-ợc đăng trên Toán học và tuổi trẻ nói về phơng pháp giải) Đặc biệt với các bạn đã

học về đạo hàm thì phơng pháp sau sẽ giải quyết bớc chọn đặt nhanh hơn rất nhiều Sau đây là nội dung phơng pháp cụ thể:

Dạng 1: + = 1x2 +cx+d, (a≠ 0 )

a b









 +

= +

2

1 2

2c c a

ad

d cx

x

a

=> ' ( ) 2x c 0 x ac2

a x

f = + = <=> = − , khi đó bằng phép đặt ax+b = y+ac2

, ta sẽ đa PT dạng 1 về hệ đối xứng quen thuộc

Chú ý: Khi bài toán đã cho thì điều kiện sẽ thỏa mãn Do vậy ta cũng không phải kiểm tra điều kiện đó.

Ví dụ: Giải PT sau:

36

61 12 6

29

3 2+ − = x+

x x

Làm nháp: f(x) = 3x2 +x−296 => f' (x) = 6x+ 1 = 0 <=>x= −61

Giải: Đặt

6

1 36

61 12

+

=

6

1

−

≥

y <=>

36

1 3

1 36

61

+ +

=

+

y y x

<=> 12x+61 = 36y2 +12y +1 <=> 3y2 + y = x +5 (1)

Mà theo cách đặt ta có: 3x2 +x−296 = y+61<=> 3x2 + x = y +5 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ:









+

= +

+

=

+

5 3

5 3

2

2

y x x

x y

y

=> 3(y2 – x2) + ( y – x) = x – y

<=> (x-y)(3y + 3x +2) = 0 <=> y = x hoặc y= −3x3+2

* Với y = x => 3y2 = 5 =>y = x =

3

5 ,(

6

1

−

≥

* Với y= −3x3+2 => 3x2 + x = 3x3+2+5 <=> 9x2 +6x - 13 = 0

=>

9

126 3

2

,

1

±

−

=

x Từ đây ta tìm đợc y và kết luận đợc nghiệm của PT đã cho

Dạng 2: 2 , ( 0 , 0 , 1)

c a c a e dx cx b

Xét f(x) = cx2 + dx + e => f’(x) = 2cx + d = 0 => x d c

2

−

= , khi đó bằng phép đặt

d cy

b

ax+ = 2 +

Ví dụ1: Giải PT sau: 9x− 5 = 3x2 + 2x+ 3

Làm nháp: f(x) = 3x2 + 2x + 3 =>f’(x) = 6x + 2 = 0 =>x = - 1/3

Giải: Đặt

3

1 ,

1 3 5

=> 9x – 5 = 9y2 +6y + 1 <=> 9y2 + 6y = 9x – 6 <=> 3y2 + 2y = 3x – 2 (1) Mặt khác ta có: 3x2 + 2x + 3 = 3y +1 <=> 3x2 + 2x = 3y – 2 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ









−

= +

−

=

+

2 3 2 3

2 3 2 3

2

2

y x x

x y

y

đến đây xin dành cho bạn đọc tự giải nh ví dụ

trên

Ví dụ 2: Giải PT sau: x2 −x− 2004 1 + 16032x = 2004

(Thi chọn HSG Bắc Giang năm học 2003 – 2004)

Làm nháp: Xét hàm số f(x) = x2 – x – 2004 => f’(x) = 2x – 1 = 0 <=> x =

2 1

Do

c

a≠1, nên ta sử dụng phơng pháp đặt:

Giải: Đặt 1 + 16032x = 2t− 1 ,t≥21 => t2 – t = 4008x, (1)

Mặt khác do từ PT ta có: x2 – x – 2004 = 2004( 2t – 1) => x2 – x = 4008t,(2)

Từ (1) và (2) ta có hệ PT sau:









=

−

=

−

t x

x

x t

t

4008

4008

2 2

=> (t2 – x2) – (t – x) = 4008(x – t)

<=> (t – x)[ t + x – 1 + 4008] = 0

<=> t = x hoặc t = - x – 4007

* Với t = x ta có: x2 – 4009x = 0 <=> x = 0 và x = 4009 Ta có x = 0 không thỏa mãn

* Với t = - x – 4007=> x2 – x = 4008(- x- 4007) <=> x2 +4007x – 4007.4008 =

0 => PT vô nghiệm

KL: PT đã cho có nghiệm duy nhất x = 4009.

Dạng 3: 3 3 2 , ( 0 , 0 , 1)

c a c a m ex dx cx b

Xét hàm số f(x) = cx3 +dx2 +ex+m => f’(x) = 3cx2 + 2dx + e

=> f’’(x) = 6cx + 2d = 0 =>

c

d x

3

−

= , Khi đó bằng phép đặt:

c

d y

b

ax

3

3 + = +

Ví dụ: Giải PT sau: x x x x

4

9 2

3 3 8

63

Làm nháp: Xét hàm số f(x) = x x x

4

9 2

3 3

2

3

+

− => f’(x) = x2 - 3x +9/4 =>

f’’(x) = 2x – 3 = 0 <=>

2

3

=

Giải: Đặt

2

3 8

63 3

3 x− =y− => 3x−638 =y3 −29y2 +274 y−278

<=> x y y y

4

27 2

9 2

9

3 − = 3 − 2 + <=> 12x – 18 = 4y3 – 18y2 + 27y, (1)

Từ PT đã cho và theo cách đặt ta có: y x x x

4

9 2

3 3 2

+

−

=

−

<=>12y – 18 = 4x3 – 18x2 + 27x, (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ:









+

−

=

−

+

−

=

−

x x

x y

y y

y x

27 18 4 18 12

27 18

4 18 12

2 3

2 3

( việc giải hệ này xin dành cho độc

giả)

Dạng 4: 3 3 2 , ( 0 , 0 , 1)

c a c a m ex dx cx b

Xét hàm số f(x) = cx3 +dx2 +ex+m => f’(x) = 3cx2 + 2dx + e

=> f’’(x) = 6cx + 2d = 0 => x d c

3

−

= , Khi đó bằng phép đặt:

d cy

b

ax+ = 3 +

3

Ví dụ: ( Toán học và Tuổi trẻ Tháng 6 năm 2001) Giải PT sau:

2

3

4 2 8

3 x− =x − x + x−

Làm nháp: Xét hàm số f(x) = 2

3

4

2 2

3 − x + x−

x => f’(x) = 3x2 – 4x + 4/3

=> f’’(x) = 6x – 4 = 0 <=> x =32 do a ≠1c

Giải: Đặt 3 81x− 8 = 3y− 2=> 3x = y3 – 2y2 + y

3 4

,( Biến đổi tơng tự ta có hệ)











+

−

=

+

−

=

y y

y

x

x x

x

y

3

4 2

3

3

4 2

3

2

3

2

3

=> (x – y)( x2 + xy +y2 - 2x – 2y + 133 ) = 0(*),

Do x2 + xy +y2 - 2x – 2y + 133 = 0

3

1 ) 2 ( 2

1 ) 2 ( 2

1 ) ( 2

>

+

− +

− +

ta có x = y => 3x = x3 – 2x2 + x

3

4

=> x1= 0 ; x2,3 =

3

6 2

3 ±

Trên đây chỉ là một số ví dụ điển hình.Để thành thạo hơn các bạn luyện tập qua một số ví dụ dới đây Hy vọng rằng phơng pháp trên đem lại cho bạn thành công khi giải phơng trình chứa căn Chúc các bạn đạt kết quả cao trong học tập !

Bài tập tự luyện:

Giải các phơng trình sau:

1) x2 = 2 −x+ 2

2) x2 − 4x− 3 = x+ 5

3) x3 + 2 = 3 3 3x− 2

4) 3x+ 1 = − 4x2 + 13x− 5

5) x+ 1 =x2 + 4x+ 5

6) x 7x 7x

28

9

+

=

+

Phan Hoàng Ninh

GV Trờng THPT Lục Ngạn số 1 Bắc Giang–