Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh lớp 10 THPT thông qua việc dạy học theo hướng phát hiện và vận dụng bài toán gốc có liên quan

I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀILuật Giáo dục nước cộng hoà xã hội chủ nghĩa Việt Nam (2005) quy định: “Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của HS; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn”.Như vậy, quan điểm chung về hướng đổi mới PPDH đã được khẳng định, không còn là vấn đề tranh luận và càng thấy cấp thiết hơn đối với kì thi THPT quốc gia lần đầu tiên đươc tổ chức trong năm học này. Cốt lõi của việc đổi mới PPDH môn Toán ở trường THPT là làm cho HS học tập tích cực, chủ động, chống lại thói quen học tập thụ động. Phải làm sao trong mỗi tiết học HS được suy nghĩ nhiều hơn, thảo luận nhiều hơn, hoạt động nhiều hơn.Trong dạy học môn Toán, tư duy sáng tạo của HS phần lớn được hình thành trong quá trình giải toán, thông qua hoạt động này HS phải hoạt động tích cực để tự chiếm lĩnh tri thức cho bản thân. Cơ sở để học sinh hoạt động chính là những tri thức và kinh nghiệm đã có. Đứng trước một vấn đề đặt ra trong vốn tri thức mà bản thân đã có, đã tích luỹ được việc lựa chọn tri thức nào, sử dụng ra làm sao luôn luôn là những câu hỏi lớn, mà việc trả lời được những câu hỏi đó là mấu chốt trong việc giải quyết vấn đề. Việc tìm ra lời giải một bài toán nhiều khi không phải là quá khó, nhưng thực ra sau mỗi bài toán có biết bao điều lí thú. Nếu chúng ta không biết khơi dậy ở học sinh óc tò mò, sự tìm tòi khám phá những gì ẩn sau mỗi bài toán mà chỉ giải xong bài toán là kết thúc thì việc dạy học trở nên nhạt nhẽo. Điều quan trọng là nếu sau mỗi bài toán chúng ta tìm được nhiều cách giải khác nhau cho bài toán, xây dựng được chuỗi bài toán gốc liên quan từ dễ đến khó thì có thể rèn luyện năng lực tư duy sáng tạo cho học sinh, đồng thời kiến thức sẽ được mở rộng hơn, hệ thống hơn.Trong tác phẩm nổi tiếng “Giải bài toán như thế nào ?”, G.Polya cho rằng : “Ví như dòng sông nào cũng bắt nguồn từ những con suối nhỏ, mỗi bài toán dù khó đến đâu cũng có nguồn gốc từ những bài toán đơn giản, có khi rất quen thuộc đối với chúng ta”. Vì vậy, G.Polya đã nói rằng: Thật khó mà đề ra được một bài toán mới, không giống chút nào với bài toán khác, hay là không có một điểm nào chung với một bài toán trước đó đã giải. Vì vậy , trong dạy học toán GV nên tạo cho học sinh thói quen khắc sâu bài toán gốc để dễ dàng áp dụng khi cần thiết và từ đó giúp học sinh có cơ hội đào sâu, kiến tạo nên một số bài toán mới. Với những lý do trên tôi đã chọn đề tài nghiên cứu là: “Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh lớp 10 THPT thông qua việc dạy học theo hướng phát hiện và vận dụng bài toán gốc có liên quan” II. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ1. Cơ sở lý luận của đề tài.1.1. Đổi mới phương pháp giáo dục.Về PPGD, điều 4, luật GD 2003 quy định:“ PPGD phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của người học, bồi dưỡng năng lực tự học, lòng say mê học tập và ý chí vươn lên”. Trong hoạt động dạy toán ở trường THPT, rèn tư duy cho HS là giúp cho HS có khả năng phân tích tình huống hoặc vấn đề mà bàì toán nêu ra và cao hơn nữa là tư duy sáng tạo ra các bài toán mới trên nền tảng kiến thức đã tích lũy được. Về cách dạy, phư¬ơng pháp mới quan tâm nhiều đến việc tạo ra niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh. Xem đó nh¬ư là động lực để phát huy tính tự giác, tích cực, chủ động trong quá trình học tập của học sinh, đặc biệt là niềm vui, hứng thú của một ngư¬ời tự mình tìm ra chân lí. Nếu học sinh được độc lập quan sát, so sánh, phân tích, khái quát hóa các sự kiện, hiện tượng thì các em sẽ hiểu sâu sắc và hứng thú bộc lộ rõ rệt. Do đó, trong phương pháp giảng dạy, giáo viên cần phải “biết dẫn dắt học sinh luôn tìm thấy cái mới, có thể tự tìm lấy kiến thức, phải làm cho học sinh thấy mình mỗi ngày một trưởng thành” (Tài liệu Bồi d¬ưỡng giáo viên 2005, tr. 2). Hơn nữa, thực hiện định h¬ướng hoạt động hóa người học, học sinh cần được cuốn hút vào các hoạt động học tập do giáo viên tổ chức và chỉ đạo, thông qua đó tự lực khám phá những điều mình ch¬ưa biết, chứ không phải là thụ động tiếp thu tri thức đã đ¬ược sắp sẵn. Cần đặt học sinh vào những tình huống thực tế, trực tiếp quan sát làm thí nghiệm, thảo luận, giải quyết theo cách riêng của mình. Qua đó học sinh vừa nắm đ¬ược kiến thức mới, kỹ năng mới, vừa nắm đ¬ược ph¬ương pháp làm ra kiến thức, kỹ năng đó, không nhất thiết phải rập khuôn theo những mẫu sẵn có, đ¬ược bộc lộ và phát huy tiềm năng sáng tạo (Tài liệu Bồi dưỡng giáo viên 2005, tr. 3). 1.2 Mục tiêu của dạy học theo hướng phát hiện và vận dụng boán gốc .Từ cơ sở lí luận và kết quả khảo sát chúng ta có thể rút khẳng định để nâng cao chất lượng giáo dục trong giai đoạn hiện nay người giáo viên cần có sự kết hợp linh hoạt giữa phương pháp dạy học truyền thống và các phương pháp dạy học tích cực như dạy học giải quyết vấn đề, dạy học kiến tạo, dạy học khám phá,..... Dạy học theo con đường phát hiện và vận dụng người GV cần bồi dưỡng một số năng lực dạy học như: Năng lực dự đoán phát hiện vấn đề dựa trên cơ sở quy luật biện chứng, khả năng liên tưởng, chuyển hóa liên tưởng. Năng lực định hướng tìm tòi cách thức giải quyết vấn đề tìm tòi lời giải bài toán. Năng lực huy động kiến thức để giải quyết vấn đề Toán học bao gồm: + Năng lực lựa chọn các công cụ thích hợp để giải quyết một vấn đề. + Năng lực chuyển đổi ngôn ngữ. + Năng lực quy lạ về quen nhờ biến đổi vấn đề biến đổi bài toán về dạng tương tự. Năng lực tự lập luận logic, lập luận có căn cứ giải quyết chính xác các vấn đề đặt ra. Năng lực tự đánh giá phê phán..v.v...Vì vậy giáo viên cần nắm chắc các phương pháp dạy học tích cực, hiểu rõ các ưu, nhược điểm các phương pháp đó. Trước khi lên lớp giáo viên phải nghiên cứu kỹ nội dung bài dạy, lựa chọn phương pháp dạy phù hợp cho nội dung mỗi bài, mỗi phần, phù hợp với đối tượng học sinh nhằm tổ chức hiệu quả các hoạt động để học sinh tự tìm tòi kiến thức, phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo của mình1.3. Bài toán gốc.1.3.1 Bài toán: Thuật ngữ “Bài toán” được hiểu theo nghĩa rộng thông qua một số định nghĩa sau:G. Polya cho rằng: “Bài toán đặt ra sự cần thiết phải tìm kiếm một cách có ý thức, phương tiện thích hợp để đạt tới một mục đích rõ ràng nhưng không thể đạt được ngay”. Fanghaenel, Stoliar định nghĩa thuật ngữ “Bài toán” như sau:“Bài toán” là một sự đòi hỏi hành động, trong đó đã quy định: Đối tượng của hành động (cái đã có trong bài toán). Mục đích của hành động (cái phải tìm trong bài toán). Các điều kiện của hành động (mối liên hệ giữa cái đã có và cái phải tìm).Như vậy, khái niệm bài toán được gắn liền với hành động của chủ thể, không thể nghiên cứu bài toán tách rời với hành động của chủ thể. Các hành động của chủ thể trong giải Toán là: Phân tích bài toán, mô hình hoá và cụ thể hoá các mối liên hệ bản chất trong bài toán, phát hiện hướng giải và xây dựng kế hoạch giải bài toán, hành động thực hiện giải bài toán, kiểm tra đánh giá tiến trình giải bài toán, hành động thu nhận kiến thức mới do bài toán đem lại.Ở trường phổ thông, dạy Toán là dạy hoạt động Toán học cho học sinh trong đó giải toán là hình thức chủ yếu. Do vậy dạy bài tập toán có vị trí quan trọng trong dạy học Toán nhằm đạt nhiều mục đích khác nhau thể hiện ở các chức năng: Chức năng dạy học: Bài tập nhằm củng cố, rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo những vấn đề lí thuyết đã học. Qua đó học sinh hiểu sâu hơn và biết vận dụng những kiến thức đã học vào việc giải quyết các tình huống cụ thể. Có khi bài tập lại là một định lí, mà vì lí do nào đó không đưa vào lí thuyết. Cho nên qua việc giải bài tập học sinh mở rộng được tầm hiểu biết của mình. Chức năng giáo dục: Qua việc giải bài tập mà hình thành cho học sinh thế giới quan duy vật biện chứng, hứng thú học tập, niềm tin và phẩm chất đạo đức của người lao động mới. Chức năng phát triển: Bài tập nhằm phát triển năng lực tư duy cho học sinh, đặc biệt là rèn luyện những thao tác trí tuệ, hình thành những phẩm chất của tư duy khoa học., Chức năng kiểm tra: Bài tập nhằm đánh giá mức độ, kết quả dạy học, đánh giá khả năng độc lập học Toán và trình độ phát trển của học sinh.1.3.2 Bài toán gốc.Theo quan điểm của luận văn bài toán gốc có thể hiểu là bài toán tương đối dễ, chỉ nhằm củng cố vận dụng kiến thức, kỹ năng đã học ở mức độ đơn giản. Đồng thời bài toán gốc phải thỏa mãn một trong ba điều kiện sau: Kết quả bài toán được sử dụng nhiều trong việc tìm tòi lời giải các bài toán khác. Phương pháp giải bài toán được sử dụng nhiều trong việc tìm tòi lời giải các bài toán khác. Nếu thay đổi (một phần) giả thiết hoặc kết luận thì được bài toán mới.1.3.3. Bài toán nâng cao: Theo GS Đào Tam bài toán nâng cao là bài toán khi giải vận dụng nhiều bước của quy trình giải toán và sử dụng nhiều kiến thức bổ trợ, khắc sâu quy trình và khắc sâu các kiến thức của một dạng toán.1.3.4 Vai trò của bài toán gốc. Qua thực tiễn quá trình dạy học đồng thời thông qua việc tìm hiểu, điều tra từ giáo viên và học sinh ở các trường THPT trên địa bàn; tổng hợp các thông tin có được khi tìm hiểu trên các phương tiện thông tin tôi nhận thấy khi giải một bài toán, ta luôn luôn phải lợi dụng những bài toán đã giải, dùng kết quả, phương pháp hay kinh nghiệm có được khi giải các bài toán đó. Hiển nhiên, những bài toán dùng tới, phải có liên hệ nào đó với bài toán hiện có.Một bài toán, vấn đề có thể bắt nguồn từ một bài toán, một vấn đề khác, cũng có thể là một bộ phận của một bài toán, một vấn đề khác. Vì vậy, trong dạy học Toán, bài toán gốc có vai trò quan trọng như: Bài toán gốc nhằm củng cố, rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo về vấn đề lí thuyết đã học. Nhiều khi rèn luyện cho HS các bài toán gốc là một hình thức rất tốt để dẫn dắt HS tự mình đi đến kiến thức mới. Khắc sâu được các định lí, khái niệm và mối quan hệ giữa chúng. Qua các bài toán gốc giúp HS áp dụng vào giải quyết các bài toán liên quan một cách đơn giản hơn, lập luận lời giải được thu gọn hơn. Qua các bài toán gốc giúp HS huy động, kiến tạo ra được các bài toán mới. Qua bài toán toán gốc GV và HS có thể xây dựng thành chuổi bài toán với phương pháp giải đặc thù nhờ vào bài toán gốc.2. Thực trạng của đề tài.Qua thực tiễn quá trình giảng dạy tôi nhận thấy bài tập SGK là hệ thống bài tập cơ bản, nhằm cũng cố kiến thức cho HS sau mỗi giờ học lí thuyết. Bài tập SGK cũng chứa đựng nội dung kiến thức quan trọng, qua đó có thể mở rộng, xây dựng được hệ thống các bài toán mới. Đối với HS+ HS chỉ có thể lĩnh hội được kiến thức nếu có một nền tảng kiến thức vững vàng và khả năng sử dụng kiến thức đó vào việc giải thích, chứng minh hay tìm tòi, PH kiến thức mới. Trong khi đó tình trạng phổ biến của học sinh hiện nay là kiến thức rất “mơ màng”. Chất lượng đại trà của HS còn yếu, số HS tự mình tìm tòi kiến thức mới và giải quyết được vấn đề không nhiều. Do đó việc kiến tạo nên hệ thống tri thức mới trên nền tri thức cũ bị hạn chế+ Trong quá giải bài tâp toán, HS thường yếu trong việc chuyển đổi ngôn ngữ để quy lạ về quen. Dẫn đến, việc vận dụng và phát triển tri thức gặp khó khăn. Đồng thời sẽ dẫn đến những sai lầm rất dễ mắc phải. + Đa số học sinh học sinh thường có thói quen giải xong một bài toán xem như là mình đã hoàn thành công việc được giao và dừng lại ở đó, ít có em học sinh nào biết chủ động, khai thác, tìm tòi, suy nghĩ, vận dụng nó để giải một số bài toán khác. Với những kiến thức đó thì chưa đủ để HS giải các bài toán nâng cao, bài toán khó. Khi đứng trước một bài toán nâng cao HS thường gặp lúng túng ko định hướng được cách giải, không hình dung ra hướng giải quyết.+ HS chưa biết cách chọn lọc các kiến thức, không thể liên kết những kiến thức cũ liên quan với vấn đề đặt ra hoặc không biết cách vận dụng kiến thức cũ vào vấn đề mới như thế nào do đó ảnh hưởng lớn đến việc phát hiện và giải quyết vấn đề. Điều này hạn chế đến việc huy động vốn kiến thức của HS, hạn chế đến việc phát triển tư duy của HS trong học tập.Đối với GV Thời gian học tập của HS ở trên lớp còn hạn chế so với khối lượng tri thức cần truyền đạt. Kế hoạch dạy học phải theo phân phối chương trình nên nếu dạy học giải bài tập toán lớp 10 THPT theo hướng phát hiện và vận dụng các bài toán gốc liên quan, thì mất khá nhiều thời gian cho việc củng cố kiến thức liên quan dẫn đến việc không thể hoàn thành bài giảng. Do đó+ Hầu hết giáo viên đang nặng về thuyết trình, chưa phát huy được năng lực chủ động, tích cực và sáng tạo của HS trong dạy học. Việc mở rộng khai thác các bài toán cơ bản trong SGK ít có thời gian và điều kiện để thực hiện. Chưa chú ý đến việc xây dựng các bài toán gốc để tạo ra cơ sở cho HS vươn tới giải các bài toán nâng cao, bài toán khó+ Thường sau mỗi tiết lý thuyết là đến tiết bài tập, GV chỉ giảng dạy bằng cách chữa các bài tập, một cách thuần tuý, chưa làm nổi bật được mối quan hệ giữa các bài tập này với bài tập khác, giữa những kiến thức đang học với những kiến thức trước đó. Khi dạy xong một chương GV thường không hệ thống các dấu hiệu để nhận biết một đối tượng toán học nằm rải rác trong chương. Hay khi giải các bài tập một số GV không khuyến khích HS tìm nhiều lời giải khác nhau cho nhiều bài toán dưới nhiều khía cạnh khác nhau. Chẳng hạn khi học xong chương vectơ GV chưa tổng kết lại cho HS có thêm những phương pháp nào để chứng minh ba điểm thẳng hàng, phương pháp chứng minh một vectơ bằng vectơ không...+ Thường khi HS đã giải được một bài toán thì GV cũng thường bằng lòng với lời giải đó mà chưa khuyến khích các em tìm ra các bài toán tương tự, bài toán tổng quát hoặc đặc biệt hoá bài toán để tìm ra các bài toán mới. Đối với sách giáo khoa hiện nay lượng kiến thức đưa ra có phần dàn trải, các khái niệm, định lí chủ yếu là giới thiệu để ứng dụng, không chứng minh. Dẫn đến việc coi nhẹ vấn đề hình thành khái niệm, định lí. Vì vậy nên một số GV ít dành thời gian rèn luyện tư duy, tạo hứng thú kích thích tự tìm tòi nghiên cứu mà chủ yếu bắt học sinh thừa nhận khái niệm, định lí, đưa ra quy tắc và yêu cầu vận dụng giải bài tập, điều này ảnh hưởng không nhỏ đến chất lượng học tập của học sinh. Ở nội dung này dạy học theo con đường phát hiện và vận dụng là rất cần thiết.3. Các biện pháp tổ chức thực hiện3.1. Phát hiện và vận dụng bài toán gốc nhằm khắc sâu khái niệm.Khái niệm là một hình thức của tư duy trừu tượng, phản ánh những mối liên hệ và thuộc tính bản chất, phổ biến của một tập hợp các sự vật, hiện tượng nào đó. Khái niệm đóng vai trò quan trọng trong tư duy khoa học. Khái niệm là những vật liệu tạo thành ý thức tư tưởng là phương tiện để con người tích luỹ thông tin, suy nghĩ và trao đổi tri thức với nhauMột khái niệm sau khi đã được học thường có những hoạt động củng cố như sau: Nhận dạng và thể hiện, hoạt động ngôn ngữ, khái quát hoá, tương tự hoá, đặc biệt hoá và hệ thống hoá những khái niệm đã học. Việc xây dựng bài toán sau đó phát triển thành chuỗi bài toán để khắc sâu khái niệm sẽ góp phần nâng cao được các hoạt động củng cố khái niệm, đặc biệt là hoạt động ngôn ngữ, khái quát hoá, tương tự hoá. Chuỗi bài toán đóng vai trò là “cầu nối” các khái niệm, với các bài toán mức độ khó khăn cao dần. Việc giải được các bài toán trong chuỗi sẽ tạo lập được ở HS thói quen độc lập suy nghĩ, giúp các em có cách nhìn các khái niệm toán học một cách có chiều sâu, có hệ thống, điều đó góp phần nâng cao chất lượng học tập của các em. Quy trình của việc khắc sâu khái niệm có thể được thể hiện theo quy trình sau: Khi dạy học sinh khái niệm về vectơ không sau khi học xong khái niệm này GV cần hướng dẫn HS khắc sâu khái niệm bằng việc vận dụng giải bài toán cơ bản sau và tiến hành khai thác nó.“Vectơkhông là vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau” ( , … là các vectơkhông). Từ điều này cho ta xác định các dạng toán liên quan đến vectơ – không, ở đây vì khuôn khổ luận văn nên chúng tôi xin trình bày dạng toán chứng minh một đẳng thức vectơ. Phương pháp chứng minh một vectơ là vectơ không ta chứng minh điểm đầu trùng điểm cuối. Ta sẽ áp dụng điều này để chứng minh bài toán sau:Ví dụ 1: (Đây là bài toán gốc cho dạng toán này): Cho ABC với trọng tâm G. Chứng minh rằng: (Hình học 10 trang 11, ban cơ bản)Phân tích: Đứng trước bài toán này GV cần đặt các câu hỏi đối với học sinh:+ Điểm G có tính chất gì? + Nếu gọi M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh BC, AB, CA thì các em có được điều gì? + Thử vận dụng quy tắc 3 điểm và quy tắc hình bình hành? Từ đó ta có được:Lời giải: Ta có: = ( (với M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, AB, AC)mà Suy ra Vậy . HS thường có thói quen giải xong bài toán là hoàn thành nhiệm vụ (kể cả HS khá giỏi) mà ít quan tâm đến kết quả của bài toán, GV cần hướng dẫn HS khai thác bài toán trên theo các hướng sau:+ Nếu cho C ≡ B thì các em có được điều gì? Hãy phát biểu bài toán đó?+ Ta mong đợi HS trả lờiBài toán 3.1.1: Cho đoạn thẳng AB có M là trung điểm. CMR .Bây giờ ta tiếp tục đặt vấn đề, giả thiết của bài toán 2.1.2.1 có thể viết dưới dạng M là điểm thuộc đoạn AB thoả mãn MA = MB. Thay đổi giả thiết này để có bài toán mới?Bài toán 3.1.2: Cho đoạn thẳng AB, M là một điểm thuộc đoạn AB sao cho MA=kMB(k là số thực). CMR .(Với bài toán trên k = 1)Quay trở lại với ví dụ ban đầu, nếu ta gọi I là trung điểm của AM các em có được điều gì? ( ) Từ đó sử dụng kết quả của ví dụ ta có được bài toán mới.Bài toán 3.1.3: Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC, I là trung điểm của AM. Chứng minh rằng .Tổng quát bài toán 2.1.2.3 ta cóBài toán 3.1.4: Cho tam giác ABC, M là điểm thuộc BC, I là điểm thuộc đoạn AM thoả mãn MB = kMC và IA = hIM . CMR : .Bây giờ ta tiếp tục khai thác ví dụ theo hướng tìm điểm chia các cạnh AB, BC theo một tỷ số khác để có bài toán mới.Bài toán 3.1.5: (Bài toán nâng cao): Cho tam giác ABC, M là điểm thuộc AB, N là điểm thuộc đoạn BC thoả mãn MA = kMB và CN = kNB .Gọi G là giao điểm của AN và CM Chứng minh rằng .Xem đoạn thẳng AB ở bài toán 3.1.1 là trường hợp riêng của đa giác đều ta cóBài toán 3.1.6: Cho đa giác đều A1 A2 … An có tâm O. Chứng minh rằng .Như vậy từ khái niệm vectơ không ta có thể khai thác thành các bài toán mới ở mức độ khó khăn nâng cao dần. Nếu dừng lại ở bài toán ban đầu thì thật là đáng tiệc, chúng ta đã bỏ phí đi một mảnh đất “màu mỡ” mà cần phải khai thác. Các bài toán tương tự có được từ bài toán trên.Tóm lại nếu sau khi dạy học sinh về khái niệm nếu GV không đưa ra các dạng toán, các bài tập để khắc sâu khái niệm thì sẽ như gió thoảng qua. Rõ ràng với việc khai thác bài toán gốc như đã trình bày HS sẽ khắc sâu khái niệm, sẽ nắm chắc khái niệm từ đó nắm được sự kết nối giữa khái niệm và chuổi bài tập toán liên quan tạo niềm tin và hứng thú trong học tập.3.2. Phát hiện và vận dụng bài toán gốc nhằm khắc sâu định lí, quy tắc.Các định lí, quy tắc cùng với các khái niệm Toán học tạo thành nội dung cơ bản của môn Toán, làm nền tảng cho việc rèn luyện kĩ năng bộ môn, đặc biệt là khả năng suy luận và chứng minh. Việc thể hiện định lý được rèn luyện thông qua việc giải các bài toán của chuỗi. Trong chuỗi các bài toán nhằm củng cố định lý chúng ta cố gắng xây dựng trên cơ sở khái quát hoá, tương tự hoá các bài toán quen thuộc với cách thức nâng cao dần mức độ khó khăn, đồng thời để giải các bài toán của chuỗi cũng cần phải đặc biệt hoá để đưa về các bài toán đơn giản hơn. Điều đó sẽ giúp cho HS nhìn nhận những ứng dụng khá phong phú của các định lý toán học, từ đó giúp các em hứng thú hơn trong học tập, phát huy khả năng sáng tạo của các em.Chúng ta muốn học sinh nắm được các hệ thống định lí và những mối liên hệ giữa chúng, từ đó có khả năng vận dụng định lí vào các hoạt động giải Toán cũng như giải quyết các vấn đề trong thực tiễn. Vì vậy trong quá trình dạy học định lí chúng ta phải chú ý tới việc xem xét các định lí trong mối liên hệ với các đối tượng và định lí khác. Phải luôn đặt nó trong những mối quan hệ để thấy được nguồn gốc ra đời, điều kiện tồn tại và ý nghĩa thực tiễn của nó.Trong quá trình dạy học định lí giáo viên phải tổ chức được các hoạt động nhận thức cho HS, định hướng cho các em tự tìm ra định lí và khai thác định lí dưới nhiều hình thức khác nhau, từ đó tìm ra những tính chất tổng quát hơn. Khi đó các em sẽ thấy được tầm quan trọng của việc phát hiện, chứng minh và ứng dụng định lí trong Toán học. Nhờ đó các em khắc sâu định lí. Trong luận văn này chúng tôi xin được trình bày một vài định lí quen thuộc ở SGK và việc xây dựng chuỗi bài toán nhằm khắc sâu nó. Ta xét các định lí sau: Ví dụ 2: Định lí cosin trong tam giác: Với mọi tam giác ABC ta đều có: a2 = b2 + c2 2bc cosA; b2 = a2 + c2 2ac cosB; c2 = a2 + b2 2ab cosC Từ định lí trên ta suy ra (hệ quả 1): cosB = ; cosC = ; cosA = Ta có các nhận xét sau:Nếu biết ba cạnh của tam giác thì có thể tính được 3 góc của nó.Tính cạnh nếu biết hai cạnh và góc xen giữa.Chứng minh các hệ thức, bất đẳng thức lượng giác.Nhận dạng tam giác: Cho phép ta xét góc A (hoặc B, C) nhọn, vuông hay tù thông qua các cạnh của tam giác. Cụ thể: A nhọn  b2 + c2 > a2 ; A tù  b2+ c2 < a2; A vuông  b2 + c2 = a2(hệ quả 2) ABC có 3 góc nhọn (I)  ABC có góc tù (II)  ABC vuông (III) Viết công thức a2 = b2 + c2 2bc. cosA dưới dạng a2 = b2 + c2 2bcsinA. cot A a2 = b2 + c2 4S. cotA suy ra cot A = . tương tự ta cũng có cotB = , cotC = (Hệ quả 3)Như vậy từ định lí cosin ta suy ra được định lí “cosin suy rộng” còn được gọi là định lí cot. Định lí này có hiệu lực trong việc giải nhiều bài toán và nó cho ta lập mối liên hệ giữa cot của các góc với các cạnh và diện tích của tam giác. Mặt khác cũng từ định lí ta có thể biến đổi theo các cách khác như sau :a2 = b2 + c2 2bc cosA = (b + c)2 4bc.cos2A2a2 = b2 + c2 2bc cos A = (b c)2 + 4bc.sin2A2a2 = b2 + c2 4S cot Aa2 = (bsinC + c sinB)2 + (b cosC ccosB)2b2 + c2 a2 = 2bc cosATa có thể xem các hệ quả có được từ đinh lí cosin là những bài toán gốc bây giờ ta vận dụng nó vào để giải một vài dạng toán.Dạng 1: Chứng minh các đẳng thức liên quan tới các đại lượng giữa góc và cạnh trong tam giácBài toán 3.2.1: CMR trong mọi tam giác ABC ta có a = bcosC + ccosB Đẳng thức này được chứng minh dễ dàng nhờ thay trực tiếp cosB và cosC vào vế phải.Tương tự như ở bài toán 2.1.3.1 ta cũng có: b = a.cosC + c.cosA (2) c = b.cosA + a.cosB (3)cộng các đẳng thức trên và biến đổi ta có được các bài toán mớiBài toán 3.2.2: Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có:a a + b + c = (b + c)cosA + (c + a)cosB + (a + b)cosC.b b(cosA + cosC) + c(cosB + cosA) = a + b + c a(cosB + cosC) Bài toán 3.2.3: Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có:a. a2 + b2 + c2 = 2abcosC + 2bccosA + 2cacosB.b. 2abc(cosA + cosB) = (a + c b)(b + c a) (a+b).c. abc(cosA + cosB + cosC) a2(p a) = b2(p b) + c2(p c).d. bc(b2 c2)cosA + ac(c2 a2)cosB + ab(a2 b2)cosC = 0.Dạng 2: Nhận dạng tam giácBây giờ vận dụng kết quả (I) ta đi tìm lời giải cho bài toán nâng cao sau:Bài toán 3.2.4: Cho a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC và a5 = b5+c5. CMR tam giác ABC nhọn.Làm thế nào để chứng minh tam giác ABC nhọn?Ở bài toán này chúng ta có nhất thiết biến đổi về Hay chỉ cần chỉ ra một bất đẳng thức trong ba bất đẳng thức trên? Nếu vậy thì chỉ ra bất đẳng thức nào?Từ đẳng thức a5 = b5+c5 A là góc lớn nhất. Vì vậy ta chỉ cần chứng minh góc A nhọn tức là chỉ cần chứng minh b2+c2 > a2Làm thế nào để chứng minh được điều này? Các em hãy vận dụng giả thiết kết hợp với các điều kiện ta có được điều gì? Ta có: a5 = b5+c5< a3.b2 + a3c2 b2+c2 > a2 (chia 2 vế cho a3) A nhọn tam giác ABC là tam giác nhọn.Bài toán trên được phát biểu dưới dạng tổng quát sau: Bài toán 3.2.5: a, Cho an = bn + cn. CMR tam giác ABC nhọn với a, b, c là 3 cạnh của tam giác ABC, n ≥ 3.b, Cho góc tam diện vuông Oxyz. Trên các tia Ox, Oy, Oz lấy lần lượt các điểm A, B, C. Chứng minh rằng  ABC nhọn.Dạng 3: Các bài toán liên quan tới độ dài các đoạn thẳng.Bài toán 3.2.6: Cho tam giác ABC có BC = a, AB = c, AC = b. Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho BD = p (0  p  a). Tính AD.Ta vận dụng kết quả tính được của bài toán náy để áp dụng vào giải các bài toán khác (đây là bài toán gốc cho dạng toán thứ 3)Hướng dẫn: Ta có AD2 = c2 + p2 – 2pccosB. Thay cosB = và biến đổi ta có: aAD2 = pb2 + (a p)c2 p(ap)a. ( Định lý Stewart)Bây giờ ta tiến hành khai thác bài toán trên để được các bài toán nâng cao mức độ khó dần.Khi cho D là trung điểm BC ta được công thức độ dài đường trung tuyến. Khi AD là phân giác ta được công thức tính độ dài đường phân giác .Nhận xét rằng nếu đặt DC = n thì a p = n từ đó ta có: Bài toán 3.2.7 : Cho tam giác ABC có BC = a, AB = c, AC = b. Trên cạnh BC lấy điểm D. Đặt BD = p, CD = n và AD = d. Chứng minh rằng : ad2 = pb2 + nc2 pna.Nhìn bài toán 2.1.3.7 dưới dạng khác như sau: Thay giả thiết BD = p, CD =q bởi giả thiết , lúc đó và . Thay BD và CD vào kết quả bài toán 2.1.3.6 ta có d2 = . Từ đó ta có: Bài toán 3.2.8: Cho tam giác ABC có BC = a, AB = c, AC = b, trên cạnh BC lấy điểm D sao cho . Chứng minh rằng : AD2 = .Trong bài toán 2.1.3.8 ta chọn ta có được bài toán :Bài toán 3.2.9: Cho tam giác ABC có BC = a, AB = c, AC = b trên cạnh BC lấy điểm D sao cho . Chứng minh rằng : AD2 = .Trong bài toán 2.1.3.7 ta có thể chọn p + q =1. Từ đó có được Bài toán 3.2.10: Cho tam giác ABC có BC = a, AB = c, AC = b, trên cạnh BC lấy điểm D sao cho với .Chứng minh rằng : AD2 = .Trên đây là một vài khai thác từ định lí hàm số cosin bằng việc khai thác và nhìn bài toán ở nhiều góc độ khác nhau ta đã thu được những dạng toán, bài toán khác nhau, điều này cho thấy được sự hấp dẫn của toán học.Tóm lại với quy trình: Vận dụng lược đồ trên nhằm thực hiện mục đích kép: vừa để khắc sâu Khái niệm, Định lí; vừa bồi dưỡng năng lực huy động kiến thức cho học sinh khi giải các bài toán nâng cao. Thông qua việc học tập những định lí Toán học, học sinh biết nhìn nhận nội dung môn Toán dưới góc độ phát hiện và giải quyết vấn đề, đồng thời rèn luyện được khả năng phát hiện và giải quyết vấn đề ở mức độ yêu cầu của chương trình phổ thông.3.3. Phát hiện và vận dụng bài toán gốc trong dạy học giải bài tập.Trong trường phổ thông có thể xem việc giải bài tập toán là hình thức chủ yếu của HĐ toán học đối với HS. Các bài toán là một phương tiện không thể thay thế được, trong quá trình giúp HS nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành các kỹ năng, kỹ xảo, phát triển năng lực sáng tạo, giải quyết các bài toán thực tế. HĐ giải các bài tập toán là điều kiện để thực hiện tốt các mục tiêu dạy toán ở trường phổ thông. Vì vậy việc tổ chức giải các bài tập toán có hiệu quả sẽ góp phần quan trọng đối với chất lượng dạy học toán.Trong thực tiễn dạy học, các bài tập toán được sử dụng với những dụng ý khác nhau. Tất nhiên các bài tập toán thường không chỉ nhằm vào một mục đích đơn nhất nào đó mà thường bao hàm nhiều dụng ý khác nhau. Bài tập toán cụ thể được đặt ra ở thời điểm nào đó của quá trình dạy học đều chứa đựng một cách tường minh hay ẩn tàng những chức năng khác nhau. Ta thấy rằng bài tập sách giáo khoa được biên soạn khá công phu và có nhiều tiềm năng để phát triển năng lực sáng tạo cho HS, tuy nhiên để làm tốt hơn việc này thì cần phải bổ sung một lượng bài tập thích hợp nhằm phát huy được tối đa khả năng sáng tạo của các em, trong đó phải có những bài tập khó dành riêng cho HS khá và giỏi, đặc biệt là những bài tập có thể tương tự hoá, khái quát hoá, đặc biệt hoá... Thầy giáo là người tổ chức cho HS làm việc, HĐ tìm tòi phát hiện chân lí khoa học. Lớp học phải trở thành một cộng đồng xã hội trong đó có sự hợp tác học tập của tất cả các thành viên sao cho mọi người được phát huy đầy đủ năng lực và trách nhiệm của mình. Sau đây chúng ta hãy phân tích một vài ví dụ của việc xây dựng chuỗi bài toán để thấy rõ hơn vai trò của chuỗi đối với việc nâng cao chất lượng hoạt động nhận thức cho HS.Dạng 1: Chứng minh bất đẳng thức:Ta hãy xét bài toán trong SGK sau:Ví dụ 3.3.1 (Bài toán gốc ):“Cho là ba số thực dương. Chứng minh: ” (1) (Bài 8Sách Bài tập Đại số 10, NXB Giáo Dục). Có một số cách để chứng minh cho bài toán này. Tôi xin giới thiệu một lời giải cho bài toán+ Theo BĐT CauChy ta có . Suy ra: (đpcm).+ Bây giờ ta đặt x = a + b c; y = b + c – a; z = c + a – b với a, b, c là 3 cạnh của một tam giác. Khi đó BĐT (1) trở thành: Từ đó ta xây dựng được bài toán mới như sau:Bài toán 3.3.2: “Cho là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: ” (2). Ta thử “đi tìm” cách chứng minh BĐT(2) khi là ba số dương và không là ba cạnh của một tam giác. Giả sử không là ba cạnh của một tam giác khi đó xảy ra ba khả năng: . Với ta có: ; ; . Suy ra . Tương tự cho các trường hợp còn lại. Ta thu được bài toán “mạnh hơn” sau:Bài toán 3.3.3: “Cho là ba số thực dương. Chứng minh bất đẳng thức: ” (3). Bây giờ ta khai thác các BĐT(1), BĐT(2); BĐT(3) để “tạo ra” chuổi bài toán. a, Ta đi “khai thác” BĐT(1) như sau: Áp dụng BĐT(1) cho ba số dương: với là ba góc của một tam giác ta có: Ta thu được bài toán quen thuộc sau:Bài toán 3.3.4: “Cho tam giác . Chứng minh rằng: ”.Tiếp tục áp dụng BĐT(1) cho ba số dương: với là ba góc của một tam giác ta có: . Ta thu được bài toán quen thuộc sau:Bài toán 3.3.5: “Cho tam giác . Chứng minh rằng: ”. Tiếp tục áp dụng BĐT(1) cho ba số dương: với là ba góc của tam giác nhọn ta có: Ta thu được bài toán sau:Bài toán 3.3.5: “Cho tam giác nhọn . CMR: Tiếp tục áp dụng BĐT(1) cho ba số dương: ; trong đó là ba cạnh của một tam giác và ta có: Ta thu được bài toán sau:Bài toán 3.3.6: Cho tam giác có diện tích . Đặt . Chứng minh bất đẳng thức: Đẳng thức xảy ra khi nào? ” ( Bài T7376 THTT năm 2008). b. Ta đi “khai thác” BĐT(2) như sau:BĐT(2) . Ta có Bài toán 3.3.7: “Cho tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp, bán kính đường tròn nội tiếp lần lượt là . Chứng minh rằng: ”. Tiếp tục “khai thác” BĐT(2) ta cóBĐT(2) Ta áp dụng BĐT quen thuộc cho ba số dương ta được BĐT . Kết hợp với ta có . Từ đó ta thu được bài toán.Bài toán 3.3.8: “Cho tam giác có diện tích bằng . Đặt . Chứng minh bất đẳng thức: ”.Thêm một bước biến đổi cho BĐT thu được trong bài toán 3.3.8 như sau Ta thu được bài toán sau:Bài toán 3.3.9: “Cho tam giác có diện tích bằng .Đặt . CMR: ”.Tiếp tục “khai thác” BĐT thu được trong Bài toán 2.1.4.8 như sauÁp dụng BĐT quen thuộc: “ ”cho ba số dương ta được BĐT: . Kết hợp với BĐT ta có BĐT Ta thu được bài toán sau:Bài toán 3.3.10: “Cho tam giác có diện tích bằng . Đặt . Chứng minh bất đẳng thức: ”.Thêm một bước biến đổi cho BĐT thu được trong bài toán III.8 như sau Dạng 2: Tìm độ dài lớn nhất, nhỏ nhất của một đoạn thẳngVí dụ 3.3.11: ( Bài toán gốc ) Cho đường tròn tâm I bán kính R, H là một điểm nằm ngoài đường tròn . Tìm điểm M nằm trên đường tròn sao cho:a)Độ dài đoạn thẳng MH nhỏ nhất.b)Độ dài đoạn thẳng MH lớn nhất.Lời giải: Gọi d là đường thẳng đi qua hai điểm I và H. Giả sử A, B là các giao điểm của đường tròn và đường thẳng d sao cho điểm B nằm giữa hai điểm A và H. Khi đó, với một điểm M bất kỳ nằm trên đường tròn ta luôn có: Thật vậy: +) Ta chứng minh: . Khi điểm M trùng điểm A ta có: MH = AH Khi điểm M không trùng điểm A ta có: suy ra tù. Từ đó, trong tam giác AMH ta có: suy ra AH > MH. Như vậy, khi điểm M nằm trên đường tròn ta luôn có: , MH = AH khi và chỉ khi điểm M trùng điểm A.+) Ta chứng minh: Khi điểm M trùng điểm B: MH = BH Khi điểm M không trùng điểm B: Trong tam giác MBH ta luôn có, là góc tù tức là ta có . Suy ra MH > BH. Từ đó, khi điểm M nằm trên đường tròn ta luôn có: , MH = BH khi và chỉ khi điểm M trùng điểm B.Vậy, với một điểm M bất kỳ nằm trên đường tròn ta luôn có: ,MH=BH khi và chỉ khi điểm M trùng điểm B, MH=AH khi và chỉ khi điểm M trùng điểm A.Ví dụ 3.3.11 là bài toán đơn thuần nếu ta chỉ dừng lại ở đó nhưng nếu ta gắn các yếu tố của bài toán vào mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy thì ta sẽ có bài toán mới về hình học giải tích như sau:Bài toán 3.3.12: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn có phương trình và điểm H= (4;1). Tìm tọa độ điểm M nằm trên đường tròn sao cho:a)Độ dài đoạn thẳng MH nhỏ nhất.b)Độ dài đoạn thẳng MH lớn nhất.Lời giải: Đường tròn có tâm , bán kính .Ta có: . Suy ra, điểm H nằm ngoài đường tròn . Gọi d là đường thẳng đi qua hai điểm I và H. Khi đó, đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là , suy ra đường thẳng d có một vectơ pháp tuyến là . Suy ra, đường thẳng d có phương trình tổng quát là: hay đường thẳng d có phương trình: . Tọa độ giao điểm của đường thẳng d và đường tròn là nghiệm của hệ phương trình: hoặc Vậy đường thẳng d cắt đường tròn tại hai điểm và .Ta có: Suy ra, điểm B nằm giữa hai điểm A và H.Áp dụng kết quả ví dụ 3.3.12, ta có:a)Độ dài đoạn thẳng MH nhỏ nhất bằng khi điểm .b)Độ dài đoạn thẳng MH lớn nhất bằng khi điểm . Từ kết quả này, ta có thể phát biểu bài toán dưới dạng khác:Bài toán 3.3.13: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn có phương trình: và điểm H= (4;1). M là một điểm nằm trên đường tròn . Chứng minh rằng: Lời giải: Sử dụng kết quả bài toán 3.3.13Khi điểm và điểm suy ra . Tức là, ta có thêm bài toán mới: Chứng minh rằng: . Bài toán 3.3.13 là bài toán đơn thuần trong hình học giải tích nếu ta dừng lại ở đây nhưng nếu ta bỏ đi các yếu tố về điểm và đường tròn với hệ tọa độ Oxy thì ta được bài toán mới về bất đẳng thức đại số:Bài toán 3.3.14. Cho hai số thực a, b thỏa mãn: Chứng minh rằng: Lời giải: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, gọi điểm . Từ giả thiết, suy ra điểm M nằm trên đường tròn có phương trình: .Khi đó, ta có: với điểm .Áp dụng kết quả Bài toán 3.3.11, ta có: tương đương với khi và chỉ khi , khi và chỉ khi .Vậy , khi , khi và chỉ khi .4. Kết quả thực nghiệm của đề tài: Tôi đã sử dụng đề tài nghiên cứu trên vào quá trình dạy học và đã đạt được những kết quả tích cực ở cả hai mặt định tính và định lượng, cụ thể như sau:4.1. Kết quả định tính.Về ý kiến của giáo viên dự giờ thực nghiệm: Đa số các giáo viên nhất trí với nội dung thực nghiệm, đặc biệt ủng hộ các giải pháp và phương thức đã nêu trong đề tài. Các thấy cô đều đồng tình với phương thức tổ chức dạy học định lí, khái niệm theo hướng vận dụng và phát hiện bằng các phương pháp dạy học tích cực giúp học sinh hoạt động nhiều, học tập tích cực, chủ động , sáng tạo, linh hoạt hơn. Các thấy cô rất đồng ý với cách phát phiếu học tập cho từng nhóm học sinh với mục đích thể hiện sự hợp tác tạo mỗi tương tác cho các em học tập hiệu quả hơn.Về ý kiến của học sinh ở lớp dạy thực nghiệm:Qua quan sát bằng phiếu điều tra sau mỗi tiết dạy thực nghiệm đối với HS, tôi rút ra những ý kiến phản hồi từ phía các em về: nội dung bài học; lượng kiến thức; mức độ tiếp thu bài học; đề xuất ý kiến cho tiết dạy tiếp theo như sau:Phần lớn HS cho rằng: tiết học sôi nổi, cuốn hút nhiều HS tham gia vào bài học, các em thích thú với phần thảo luận nhóm, tạo cho các em có cơ hội phát biểu ý kiến của mình đồng thời cũng để khẳng định được năng lực của mình chính xác hơn, từ đó có hướng phấn đấu thích hợp. Nội dung bài học là phù hợp với hầu hết HS.Về cách tiếp cận tiết học 100% học sinh có ý kiến là các em khám phá kiến thức mới dưới sự huy động kiến thức đã có, rèn luyện kỹ năng phát hiện và giải quyết vấn đề để tìm tòi cái mới.Qua quan sát các giờ học được tiến hành theo tiến trình đó được xây dựng, chúng tôi nhận thấy học sinh lớp thực nghiệm có chuyển biến tích cực hơn so với trước thực nghiệm: Học sinh hứng thú trong giờ học Toán : điều này được giải thích là do trong khi các em được hoạt động, được suy nghĩ, được tự do bày tỏ quan điểm, được tham gia vào quá trình phát hiện và giải quyết vấn đề nhiều hơn; được tham gia vào quá trình khám phá và kiến tạo kiến thức mới. Khả năng phân tích, tổng hợp, so sánh, tương tự, khái quát hóa, đặc biệt hóa, hệ thống hóa của học sinh tiến bộ hơn: điều này để giải thích là do giáo viên đó chú ý hơn trong việc rèn luyện các kỹ năng này cho các em. HS tập trung chú ý nghe giảng, thảo luận nhiều hơn: điều này được giải thích là do trong quá trình nghe giảng theo cách dạy học mới, HS phải theo dõi, tiếp nhận nhiều hơn các nhiệm vụ học tập mà giáo viên giao, nghe những hướng dẫn, gợi ý, điều chỉnh,... của giáo viên để thực hiện các nhiệm vụ đề ra. Việc ghi chép, ghi nhớ thuận lợi hơn: điều này được giải thích là do trong dạy học, giáo viên đó quan tâm tới việc tạo điều kiện để học sinh ghi chép theo cách hiểu của mình. Việc đánh giá, tự đánh giá bản thân được sát thực hơn: điều này do trong quá trình dạy học, giáo viên đó cho học sinh thảo luận giữa thầy và trò, trò với trò được trả lời bằng các phiếu trắc nghiệm và khả năng suy luận của bản thân. Học sinh tự học, tự nghiên cứu ở nhà thuận lợi hơn: điều này được giải thích là do trong các tiết học ở trên lớp , giáo viên đó quan tâm tới việc hướng dẫn học sinh tổ chức việc tự học, tự nghiên cứu ở nhà. Học sinh tham gia vào bài học sôi nổi hơn, mạnh dạn hơn trong việc bộc lộ kiến thức của chính mình: điều này là do trong quá trình dạy học, giáo viên yêu cầu học sinh phải tự phát hiện và tự giải quyết một số vấn đề; tự khám phá và tự kiến tạo một số kiến thức mới, học sinh được tự thảo luận với nhau và được tự trình bày kết quả làm được.4.2. Kết quả định lượng.Trong năm học 2014 2015 tôi đã tiến hành thực nghiệm nhằm đánh giá hiệu quả của đề tài tại lớp 10C6 và lớp 10C7 Trường THPT Yên Định 2. Kết quả học tập môn Toán của hai lớp là tương đương (đánh giá qua quá trình trực tiếp giảng dạy). Cụ thể tôi tiến hành dạy ôn tập chủ đề tự chọn (3 tiết) cho học sinh hai lớp 10C6 và 10C7. Tôi chọn lớp 10C7 làm lớp dạy học thực nghiệm (sử dụng đề tài), lớp 10C6 làm lớp dạy học đối chứng (không sử dụng đề tài). Sau khi dạy thực nghiệm và đối chứng tôi tiến hành cho học sinh hai lớp làm bài kiểm tra 45 phút và đã thu được kết quả thống kê theo bảng sau:LớpSĩ sốGiỏiKháTrung bìnhYếu KémSL%SL%SL%SL%SL%10C645817,81022,22453,336,70010C7471429,81531,9163424,300Phương án tổ chức các tình huống dạy học định lí, khái niệm theo hướng vân dụng và phát hiện cho học sinh như đã đề xuất là khả thi. Thực hiện các biện phát đó sẽ góp phần phát triển năng lực nhận thức cho học sinh, góp phần nâng cao hiệu quả dạy học môn Toán cho học sinh phổ thụng.Như vậy, mục đích của thực nghiệm đó đạt được và giả thuyết khoa học rút ra đó được kiểm nghiệm.III. KẾT LUẬNĐề tài đã thu được một số kết luận như sau: Đưa ra được một số quan niệm về bài toán, bài toán gốc, bài toán nâng cao Nêu được vai trò của bài toán gốc. Đưa ra cách thức xây dựng và các phương thức phát hiện bài toán mới trong việc mở rộng tiềm năng ứng dụng. Làm rõ cơ sở lý luận và thực tiễn của việc phát hiện và vận dụng các bài toán mới, chuổi bài toán thông qua việc khai thác bài toán gốc ở trường THPT. Đã tổ chức thực nghiệm sư phạm để minh họa tính khả thi và hiệu quả của những biện pháp được đề xuất. Mặc dù đã có nhiều cố gắng trong việc nghiên cứu, thực hành rồi hoàn thành đề tài song đề tài chắc chắn không tránh khỏi những thiếu xót. Tôi rất mong các thầy cô giáo, các bạn đồng nghiệp góp ý để tôi hoàn thiện hơn đề tài của mình.Tôi xin chân thành cảm ơnXÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊThanh Hóa, ngày 1552015Tôi xin cam đoan đây là SKKN của tôi không sao chép nội dung của người khác.Tác giảTÀI LIỆU THAM KHẢO1Nguyễn Vĩnh Cận, Lê Thống Nhất, Phan Thanh Quang (2002), Sai lầm phổ biến khi giải Toán, Nxb Giáo dục, Hà Nội.2Hoàng Chúng (1969), Rèn luyện khả năng sáng tạo toán học ở trường phổ thông, Nxb Giáo dục, Hà Nội.3Hoàng Chúng (1978), Phương pháp dạy học toán học, Nxb Giáo dục, Hà Nội.4Cruchetxki V.A. (1978), Tâm lí năng lực toán của học sinh, Nxb Giáo dục, Hà Nội.5 Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên), Phạm Thị Bích Ngọc, Đoàn Quỳnh, Đặng Hùng Thắng, Lưu Xuân Tình, Đại số 10 (Sách chỉnh lí hợp nhất năm 2000), Nxb Giáo dục, Hà Nội.6Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên), Nguyễn Mộng Hy (chủ biên), Nguyễn Văn Đoành, Trần Đức Huyên (2007), Hình học 10, Nxb Giáo dục, Hà Nội.7Trần Bá Hoành (2007), Đổi mới phương pháp dạy học, chương trình và sách giáo khoa, Nxb Đại học Sư phạm, Hà Nội.8Nguyễn Bá Kim (2002), Ph¬ương pháp dạy học môn Toán, Nxb Đại học Sư phạm, Hà Nội.9Nguyễn Bá Kim (chủ biên), Đinh Nho Chương, Nguyễn Mạnh Cảng, Vũ Dương Thụy, Nguyễn Văn Thường (1994), Phương pháp dạy học môn toán (dạy học những nội dung cơ bản), Nxb Giáo dục, Hà Nội.10Phan Trọng Ngọ (2005), Dạy học và phương pháp dạy học trong nhà trường, Nxb Đại học Sư phạm, Hà Nội.11Polya G. (1997), Giải một bài toán như thế nào, Nxb Giáo dục, Hà Nội.12Polya.G (1997), Sáng tạo toán học, Nxb Giáo dục, Hà Nội.13Polya.G (1995), Toán học và những suy luận có lí, Nxb Giáo dục, Hà Nội..14Đào Tam (2005), Phương pháp dạy học hình học ở trường trung học phổ thông, Nxb Đại học Sư phạm, Hà Nội.15Đào Tam (2005), Giáo trình hình học sơ cấp, Nxb Đại học Sư phạm, Hà Nội. 16Đào Tam (2000), “Bồi dưỡng học sinh khá giỏi ở THPT năng lực huy động kiến thức khi giải các bài toán”, Tạp chí Nghiên cứu Giáo dục (1), tr. 19, 22.16Đào Tam (2007), “Rèn luyện cho học sinh phổ thông một số thành tố của năng lực kiến tạo kiến thức trong dạy học toán”, Tạp chí Giáo dục (165), tr. 26, 27.17Vũ Tuấn(chủ biên), Đoàn Minh Cường, Trần Văn Hạo, Đỗ Mạnh Hùng, Phạm Phu, Nguyễn Tiến Tài, Bài tập đại số 10, Nxb Giáo dục, Hà Nội..MỤC LỤCTrangI. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI1II. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ21. Cơ sở lí luận của đề tài242. Thực trạng của đề tài463. Các biện pháp tổ chức thực hiện63.1. Phát hiện và vận dung bài toán gốc nhằm khắc sâu khái niệm683.2. Phát hiện và vận dung bài toán gốc nhằm khắc sâu định lí, quy tắc8123.3 Phát hiện và vận dung bài toán gốc trong dạy hoc giải bài tập12184. Kết quả thực nghiệm của đề tài1820III. KẾT LUẬN20Tài liệu tham khảo21DANH MỤC NHỮNG TỪ VIẾT TẮT SỬ DỤNG TRONG ĐỀ TÀIVIẾT TẮTVIẾT ĐẦY ĐỦTHPTTrung học phổ thôngHSHọc sinhGVGiáo viênVDVí dụPPDHPh­¬ng ph¸p d¹y häcPPGDPh­¬ng ph¸p gi¸o dôcBPSPBiÖn ph¸p s­ ph¹mDHD¹y häc§C§èi chøngGQV§Gi¶i quyÕt vÊn ®ÒGVGi¸o viªnH§Ho¹t ®éngHSHäc sinhKNKÜ n¨ngNLN¨ng lùcPBPh©n bèPHPh¸t hiÖnPPDHPh­¬ng ph¸p d¹y häcQLTKQuy luËt thèng kªSGKS¸ch gi¸o khoaSLDDSuy luËn diÔn dÞchSLHLSuy luËn hîp lýTBCTrung b×nh céngTDTKT­ duy thèng kª

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Luật Giáo dục nước cộng hoà xã hội chủ nghĩa Việt Nam (2005) quy

định: “Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của HS; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn”.

Như vậy, quan điểm chung về hướng đổi mới PPDH đã được khẳng định, không còn là vấn đề tranh luận và càng thấy cấp thiết hơn đối với kì thi THPT quốc gia lần đầu tiên đươc tổ chức trong năm học này Cốt lõi của việc đổi mới PPDH môn Toán ở trường THPT là làm cho HS học tập tích cực, chủ động, chống lại thói quen học tập thụ động Phải làm sao trong mỗi tiết học HS được suy nghĩ nhiều hơn, thảo luận nhiều hơn, hoạt động nhiều hơn

Trong dạy học môn Toán, tư duy sáng tạo của HS phần lớn được hình thành trong quá trình giải toán, thông qua hoạt động này HS phải hoạt động tích cực để tự chiếm lĩnh tri thức cho bản thân Cơ sở để học sinh hoạt động chính là những tri thức và kinh nghiệm đã có Đứng trước một vấn đề đặt ra trong vốn tri thức mà bản thân đã có, đã tích luỹ được việc lựa chọn tri thức nào, sử dụng ra làm sao luôn luôn là những câu hỏi lớn, mà việc trả lời được những câu hỏi đó là mấu chốt trong việc giải quyết vấn đề Việc tìm ra lời giải một bài toán nhiều khi không phải là quá khó, nhưng thực ra sau mỗi bài toán có biết bao điều lí thú Nếu chúng ta không biết khơi dậy ở học sinh óc tò mò, sự tìm tòi khám phá những gì ẩn sau mỗi bài toán mà chỉ giải xong bài toán là kết thúc thì việc dạy học trở nên nhạt nhẽo Điều quan trọng là nếu sau mỗi bài toán chúng ta tìm được nhiều cách giải khác nhau cho bài toán, xây dựng được chuỗi bài toán gốc liên quan từ dễ đến khó thì có thể rèn luyện năng lực tư duy sáng tạo cho học sinh, đồng thời kiến thức sẽ được mở rộng hơn, hệ thống hơn

Trong tác phẩm nổi tiếng “Giải bài toán như thế nào ?”, G.Polya cho rằng : “Ví như dòng sông nào cũng bắt nguồn từ những con suối nhỏ, mỗi bài toán dù khó đến đâu cũng có nguồn gốc từ những bài toán đơn giản, có khi rất quen thuộc đối với chúng ta” Vì vậy, G.Polya đã nói rằng: Thật khó mà đề ra được một bài toán mới, không giống chút nào với bài toán khác, hay là không có một điểm nào chung với một bài toán trước đó đã giải Vì vậy , trong dạy học toán GV nên tạo cho học sinh thói quen khắc sâu bài toán gốc để dễ dàng áp dụng khi cần thiết và từ đó giúp học sinh có cơ hội đào sâu, kiến tạo nên một số bài toán mới Với những lý do trên tôi đã chọn đề tài nghiên cứu là:

“Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh lớp 10 THPT thông qua việc dạy học theo hướng phát hiện và vận dụng bài toán gốc có liên quan”

II GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

1 Cơ sở lý luận của đề tài.

1.1 Đổi mới phương pháp giáo dục.

Về PPGD, điều 4, luật GD 2003 quy định:

“ PPGD phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của người học, bồi dưỡng năng lực tự học, lòng say mê học tập và ý chí vươn lên” Trong hoạt động dạy toán ở trường THPT, rèn tư duy cho HS là giúp cho HS

có khả năng phân tích tình huống hoặc vấn đề mà bàì toán nêu ra và cao hơn nữa là tư duy sáng tạo ra các bài toán mới trên nền tảng kiến thức đã tích lũy được

Về cách dạy, phương pháp mới quan tâm nhiều đến việc tạo ra niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh Xem đó như là động lực để phát huy tính tự giác, tích cực, chủ động trong quá trình học tập của học sinh, đặc biệt là niềm vui, hứng thú của một người tự mình tìm ra chân lí "Nếu học sinh được độc lập quan sát, so sánh, phân tích, khái quát hóa các sự kiện, hiện tượng thì các em sẽ hiểu sâu sắc và hứng thú bộc lộ rõ rệt" Do đó, trong phương pháp giảng dạy, giáo viên cần phải “biết dẫn dắt học sinh luôn tìm thấy cái mới, có thể tự tìm lấy kiến thức, phải làm cho học sinh thấy mình mỗi ngày một trưởng thành” (Tài liệu Bồi dưỡng giáo viên 2005, tr 2) Hơn nữa, thực hiện định hướng "hoạt động hóa người học", học sinh cần được cuốn hút vào các hoạt động học tập do giáo viên tổ chức và chỉ đạo, thông qua đó tự lực khám phá những điều mình chưa biết, chứ không phải là thụ động tiếp thu tri thức đã được sắp sẵn Cần đặt học sinh vào những tình huống thực tế, trực tiếp quan sát làm thí nghiệm, thảo luận, giải quyết theo cách riêng của mình Qua đó học sinh vừa nắm được kiến thức mới, kỹ năng mới, vừa nắm được phương pháp làm ra kiến thức, kỹ năng đó, không nhất thiết phải rập khuôn theo những mẫu sẵn có, được bộc lộ và phát huy tiềm năng sáng tạo" (Tài liệu Bồi dưỡng giáo viên 2005, tr 3)

1.2 Mục tiêu của dạy học theo hướng phát hiện và vận dụng boán gốc

Từ cơ sở lí luận và kết quả khảo sát chúng ta có thể rút khẳng định để nâng cao chất lượng giáo dục trong giai đoạn hiện nay người giáo viên cần có sự kết hợp linh hoạt giữa phương pháp dạy học truyền thống và các phương pháp dạy học tích cực như dạy học giải quyết vấn đề, dạy học kiến tạo, dạy học khám phá, Dạy học theo con đường phát hiện và vận dụng người GV cần bồi dưỡng một số năng lực dạy học như:

- Năng lực dự đoán phát hiện vấn đề dựa trên cơ sở quy luật biện chứng, khả năng liên tưởng, chuyển hóa liên tưởng

- Năng lực định hướng tìm tòi cách thức giải quyết vấn đề tìm tòi lời giải bài toán

- Năng lực huy động kiến thức để giải quyết vấn đề Toán học bao gồm:

+ Năng lực lựa chọn các công cụ thích hợp để giải quyết một vấn đề

+ Năng lực chuyển đổi ngôn ngữ

+ Năng lực quy lạ về quen nhờ biến đổi vấn đề biến đổi bài toán về dạng tương tự.

- Năng lực tự lập luận logic, lập luận có căn cứ giải quyết chính xác các vấn đề đặt ra

- Năng lực tự đánh giá phê phán v.v

Vì vậy giáo viên cần nắm chắc các phương pháp dạy học tích cực, hiểu rõ các ưu, nhược điểm các phương pháp đó Trước khi lên lớp giáo viên phải nghiên cứu kỹ nội dung bài dạy, lựa chọn phương pháp dạy phù hợp cho nội dung mỗi bài, mỗi phần, phù hợp với đối tượng học sinh nhằm tổ chức hiệu quả các hoạt động để học sinh tự tìm tòi kiến thức, phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo của mình

1.3 Bài toán gốc.

1.3.1 Bài toán: Thuật ngữ “Bài toán” được hiểu theo nghĩa rộng thông qua một

số định nghĩa sau:

G Polya cho rằng: “Bài toán đặt ra sự cần thiết phải tìm kiếm một cách có

ý thức, phương tiện thích hợp để đạt tới một mục đích rõ ràng nhưng không thể đạt được ngay”

Fanghaenel, Stoliar định nghĩa thuật ngữ “Bài toán” như sau:

“Bài toán” là một sự đòi hỏi hành động, trong đó đã quy định:

- Đối tượng của hành động (cái đã có trong bài toán)

- Mục đích của hành động (cái phải tìm trong bài toán)

- Các điều kiện của hành động (mối liên hệ giữa cái đã có và cái phải tìm).Như vậy, khái niệm bài toán được gắn liền với hành động của chủ thể, không thể nghiên cứu bài toán tách rời với hành động của chủ thể Các hành động của chủ thể trong giải Toán là: Phân tích bài toán, mô hình hoá và cụ thể hoá các mối liên hệ bản chất trong bài toán, phát hiện hướng giải và xây dựng kế hoạch giải bài toán, hành động thực hiện giải bài toán, kiểm tra đánh giá tiến trình giải bài toán, hành động thu nhận kiến thức mới do bài toán đem lại

Ở trường phổ thông, dạy Toán là dạy hoạt động Toán học cho học sinh trong đó giải toán là hình thức chủ yếu Do vậy dạy bài tập toán có vị trí quan trọng trong dạy học Toán nhằm đạt nhiều mục đích khác nhau thể hiện ở các chức năng:

* Chức năng dạy học:

- Bài tập nhằm củng cố, rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo những vấn đề lí thuyết đã học Qua đó học sinh hiểu sâu hơn và biết vận dụng những kiến thức đã học vào việc giải quyết các tình huống cụ thể

- Có khi bài tập lại là một định lí, mà vì lí do nào đó không đưa vào lí thuyết Cho nên qua việc giải bài tập học sinh mở rộng được tầm hiểu biết của mình

* Chức năng giáo dục: Qua việc giải bài tập mà hình thành cho học sinh thế

giới quan duy vật biện chứng, hứng thú học tập, niềm tin và phẩm chất đạo đức của người lao động mới

* Chức năng phát triển: Bài tập nhằm phát triển năng lực tư duy cho học

sinh, đặc biệt là rèn luyện những thao tác trí tuệ, hình thành những phẩm chất của tư duy khoa học

*, Chức năng kiểm tra: Bài tập nhằm đánh giá mức độ, kết quả dạy học, đánh giá khả năng độc lập học Toán và trình độ phát trển của học sinh

1.3.2 Bài toán gốc.

Theo quan điểm của luận văn bài toán gốc có thể hiểu là bài toán tương đối

dễ, chỉ nhằm củng cố vận dụng kiến thức, kỹ năng đã học ở mức độ đơn giản Đồng thời bài toán gốc phải thỏa mãn một trong ba điều kiện sau:

- Kết quả bài toán được sử dụng nhiều trong việc tìm tòi lời giải các bài toán khác

- Phương pháp giải bài toán được sử dụng nhiều trong việc tìm tòi lời giải các bài toán khác

- Nếu thay đổi (một phần) giả thiết hoặc kết luận thì được bài toán mới

1.3.3 Bài toán nâng cao: Theo GS Đào Tam bài toán nâng cao là bài toán khi

giải vận dụng nhiều bước của quy trình giải toán và sử dụng nhiều kiến thức bổ trợ, khắc sâu quy trình và khắc sâu các kiến thức của một dạng toán.

1.3.4 Vai trò của bài toán gốc.

Qua thực tiễn quá trình dạy học đồng thời thông qua việc tìm hiểu, điều tra từ giáo viên và học sinh ở các trường THPT trên địa bàn; tổng hợp các thông tin có được khi tìm hiểu trên các phương tiện thông tin tôi nhận thấy khi giải một bài toán, ta luôn luôn phải lợi dụng những bài toán đã giải, dùng kết quả, phương pháp hay kinh nghiệm có được khi giải các bài toán đó Hiển nhiên, những bài toán dùng tới, phải có liên hệ nào đó với bài toán hiện có.Một bài toán, vấn đề có thể bắt nguồn từ một bài toán, một vấn đề khác, cũng có thể là một bộ phận của một bài toán, một vấn đề khác Vì vậy, trong dạy học Toán, bài toán gốc có vai trò quan trọng như:

- Bài toán gốc nhằm củng cố, rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo về vấn đề lí thuyết

đã học Nhiều khi rèn luyện cho HS các bài toán gốc là một hình thức rất tốt để dẫn dắt HS tự mình đi đến kiến thức mới

- Khắc sâu được các định lí, khái niệm và mối quan hệ giữa chúng

- Qua các bài toán gốc giúp HS áp dụng vào giải quyết các bài toán liên quan một cách đơn giản hơn, lập luận lời giải được thu gọn hơn

- Qua các bài toán gốc giúp HS huy động, kiến tạo ra được các bài toán mới

- Qua bài toán toán gốc GV và HS có thể xây dựng thành chuổi bài toán với phương pháp giải đặc thù nhờ vào bài toán gốc

2 Thực trạng của đề tài.

Qua thực tiễn quá trình giảng dạy tôi nhận thấy bài tập SGK là hệ thống bài

tập cơ bản, nhằm cũng cố kiến thức cho HS sau mỗi giờ học lí thuyết Bài tập

SGK cũng chứa đựng nội dung kiến thức quan trọng, qua đó có thể mở rộng, xây dựng được hệ thống các bài toán mới

Đối với HS

+ HS chỉ có thể lĩnh hội được kiến thức nếu có một nền tảng kiến thức vững vàng và khả năng sử dụng kiến thức đó vào việc giải thích, chứng minh hay tìm tòi, PH kiến thức mới Trong khi đó tình trạng phổ biến của học sinh hiện nay

là kiến thức rất “mơ màng” Chất lượng đại trà của HS còn yếu, số HS tự mình tìm tòi kiến thức mới và giải quyết được vấn đề không nhiều Do đó việc kiến tạo nên hệ thống tri thức mới trên nền tri thức cũ bị hạn chế

+ Trong quá giải bài tâp toán, HS thường yếu trong việc chuyển đổi ngôn ngữ để quy lạ về quen Dẫn đến, việc vận dụng và phát triển tri thức gặp khó khăn Đồng thời sẽ dẫn đến những sai lầm rất dễ mắc phải

+ Đa số học sinh học sinh thường có thói quen giải xong một bài toán xem như là mình đã hoàn thành công việc được giao và dừng lại ở đó, ít có em học sinh nào biết chủ động, khai thác, tìm tòi, suy nghĩ, vận dụng nó để giải một số bài toán khác Với những kiến thức đó thì chưa đủ để HS giải các bài toán nâng cao, bài toán khó Khi đứng trước một bài toán nâng cao HS thường gặp lúng túng ko định hướng được cách giải, không hình dung ra hướng giải quyết

+ HS chưa biết cách chọn lọc các kiến thức, không thể liên kết những kiến thức cũ liên quan với vấn đề đặt ra hoặc không biết cách vận dụng kiến thức cũ vào vấn đề mới như thế nào do đó ảnh hưởng lớn đến việc phát hiện và giải quyết vấn đề Điều này hạn chế đến việc huy động vốn kiến thức của HS, hạn chế đến việc phát triển tư duy của HS trong học tập

Đối với GV

Thời gian học tập của HS ở trên lớp còn hạn chế so với khối lượng tri

thức cần truyền đạt Kế hoạch dạy học phải theo phân phối chương trình nên nếu

dạy học giải bài tập toán lớp 10 THPT theo hướng phát hiện và vận dụng các bài toán gốc liên quan, thì mất khá nhiều thời gian cho việc củng cố kiến thức liên quan dẫn đến việc không thể hoàn thành bài giảng Do đó

+ Hầu hết giáo viên đang nặng về thuyết trình, chưa phát huy được năng lực chủ động, tích cực và sáng tạo của HS trong dạy học Việc mở rộng khai thác các bài toán cơ bản trong SGK ít có thời gian và điều kiện để thực hiện Chưa chú ý đến việc xây dựng các bài toán gốc để tạo ra cơ sở cho HS vươn tới giải các bài toán nâng cao, bài toán khó

+ Thường sau mỗi tiết lý thuyết là đến tiết bài tập, GV chỉ giảng

dạy bằng cách chữa các bài tập, một cách thuần tuý, chưa làm nổi bật được mối quan hệ giữa các bài tập này với bài tập khác, giữa những kiến thức đang học với những kiến thức trước đó Khi dạy xong một chương GV thường không hệ thống các dấu hiệu để nhận biết một đối tượng toán học nằm rải rác trong chương Hay khi giải các bài tập một

số GV không khuyến khích HS tìm nhiều lời giải khác nhau cho nhiều bài toán dưới nhiều khía cạnh khác nhau Chẳng hạn khi học xong chương vectơ GV chưa tổng kết lại cho HS có thêm những phương

pháp nào để chứng minh ba điểm thẳng hàng, phương pháp chứng minh một vectơ bằng vectơ - không

+ Thường khi HS đã giải được một bài toán thì GV cũng thường

bằng lòng với lời giải đó mà chưa khuyến khích các em tìm ra các bài toán tương tự, bài toán tổng quát hoặc đặc biệt hoá bài toán để tìm ra các bài toán mới

* Đối với sách giáo khoa hiện nay lượng kiến thức đưa ra có phần dàn trải,

các khái niệm, định lí chủ yếu là giới thiệu để ứng dụng, không chứng minh Dẫn đến việc coi nhẹ vấn đề hình thành khái niệm, định lí Vì vậy nên một số GV ít dành thời gian rèn luyện tư duy, tạo hứng thú kích thích tự tìm tòi nghiên cứu

mà chủ yếu bắt học sinh thừa nhận khái niệm, định lí, đưa ra quy tắc và yêu cầu vận dụng giải bài tập, điều này ảnh hưởng không nhỏ đến chất lượng học tập của học sinh Ở nội dung này dạy học theo con đường phát hiện và vận dụng là rất cần thiết

3 Các biện pháp tổ chức thực hiện

3.1 Phát hiện và vận dụng bài toán gốc nhằm khắc sâu khái niệm.

Khái niệm là một hình thức của tư duy trừu tượng, phản ánh những mối liên hệ và thuộc tính bản chất, phổ biến của một tập hợp các sự vật, hiện tượng nào đó Khái niệm đóng vai trò quan trọng trong tư duy khoa học Khái niệm là những vật liệu tạo thành ý thức tư tưởng là phương tiện để con người tích luỹ thông tin, suy nghĩ và trao đổi tri thức với nhau

Một khái niệm sau khi đã được học thường có những hoạt động củng cố như sau: Nhận dạng và thể hiện, hoạt động ngôn ngữ, khái quát hoá, tương tự hoá, đặc biệt hoá và hệ thống hoá những khái niệm đã học

Việc xây dựng bài toán sau đó phát triển thành chuỗi bài toán để khắc sâu khái niệm sẽ góp phần nâng cao được các hoạt động củng cố khái niệm, đặc biệt

là hoạt động ngôn ngữ, khái quát hoá, tương tự hoá Chuỗi bài toán đóng vai trò

là “cầu nối” các khái niệm, với các bài toán mức độ khó khăn cao dần Việc giải được các bài toán trong chuỗi sẽ tạo lập được ở HS thói quen độc lập suy nghĩ, giúp các em có cách nhìn các khái niệm toán học một cách có chiều sâu, có hệ thống, điều đó góp phần nâng cao chất lượng học tập của các em

Quy trình của việc khắc sâu khái niệm có thể được thể hiện theo quy trình sau:

Khái

niệm

Bài toán nâng cao

Các dạng toán

Bài toán gốc

Chuổi bài toán

Khi dạy học sinh khái niệm về vectơ - không sau khi học xong khái niệm

này GV cần hướng dẫn HS khắc sâu khái niệm bằng việc vận dụng giải bài toán

cơ bản sau và tiến hành khai thác nó.

“Vectơ-không là vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau” ( AA ,BB … là

các vectơ-không) Từ điều này cho ta xác định các dạng toán liên quan đến vectơ – không, ở đây vì khuôn khổ luận văn nên chúng tôi xin trình bày dạng toán chứng minh một đẳng thức vectơ Phương pháp chứng minh một vectơ là vectơ không ta chứng minh điểm đầu trùng điểm cuối Ta sẽ áp dụng điều này

để chứng minh bài toán sau:

Ví dụ 1: (Đây là bài toán gốc cho dạng toán này):

Cho ∆ABC với trọng tâm G Chứng minh rằng: GA+GB+GC=O

(Hình học 10 trang 11, ban cơ bản)

Phân tích: Đứng trước bài toán này GV cần đặt các câu hỏi đối với học sinh:

ACBAAC

NA

21

2

32

3

=

=+

+

=+

MA

Vậy GA GB GCuuu uuu uuuu+ + =0

HS thường có thói quen giải xong bài toán là hoàn thành nhiệm vụ (kể cả

HS khá giỏi) mà ít quan tâm đến kết quả của bài toán, GV cần hướng dẫn HS khai thác bài toán trên theo các hướng sau:

+ Nếu cho C ≡ B thì các em có được điều gì? Hãy phát biểu bài toán đó?+ Ta mong đợi HS trả lời

Bài toán 3.1.1: Cho đoạn thẳng AB có M là trung điểm CMR MA+MB= 0

Bây giờ ta tiếp tục đặt vấn đề, giả thiết của bài toán 2.1.2.1 có thể viết dưới dạng M là điểm thuộc đoạn AB thoả mãn MA = MB Thay đổi giả thiết này để có bài toán mới?

Bài toán 3.1.2: Cho đoạn thẳng AB, M là một điểm thuộc đoạn AB sao cho

MA=kMB(k là số thực) CMR MA+k MB= 0.(Với bài toán trên k = 1)

A

N B

C M

D

Quay trở lại với ví dụ ban đầu, nếu ta gọi I là trung điểm của AM các em

có được điều gì? (AM =2IM ) Từ đó sử dụng kết quả của ví dụ ta có được bài toán mới

Bài toán 3.1.3: Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC, I là trung điểm của

AM Chứng minh rằng 2IA+IB+IC = 0

Tổng quát bài toán 2.1.2.3 ta có

Bài toán 3.1.4: Cho tam giác ABC, M là điểm thuộc BC, I là điểm thuộc đoạn

AM thoả mãn MB = kMC và IA = hIM CMR : (k+1)IA+h IB+hk IC =0

Bây giờ ta tiếp tục khai thác ví dụ theo hướng tìm điểm chia các cạnh

AB, BC theo một tỷ số khác để có bài toán mới.

Bài toán 3.1.5: (Bài toán nâng cao): Cho tam giác ABC, M là điểm thuộc AB, N

là điểm thuộc đoạn BC thoả mãn MA = kMB và CN = kNB Gọi G là giao điểm của AN và CM Chứng minh rằng GA+k GB+GC =0.

Xem đoạn thẳng AB ở bài toán 3.1.1 là trường hợp riêng của đa giác đều ta có

Bài toán 3.1.6: Cho đa giác đều A1 A2 … An có tâm O Chứng minh rằng

0

3.2 Phát hiện và vận dụng bài toán gốc nhằm khắc sâu định lí, quy tắc.

Các định lí, quy tắc cùng với các khái niệm Toán học tạo thành nội dung

cơ bản của môn Toán, làm nền tảng cho việc rèn luyện kĩ năng bộ môn, đặc biệt

là khả năng suy luận và chứng minh Việc thể hiện định lý được rèn luyện thông qua việc giải các bài toán của chuỗi Trong chuỗi các bài toán nhằm củng cố định lý chúng ta cố gắng xây dựng trên cơ sở khái quát hoá, tương tự hoá các bài toán quen thuộc với cách thức nâng cao dần mức độ khó khăn, đồng thời để giải các bài toán của chuỗi cũng cần phải đặc biệt hoá để đưa về các bài toán đơn giản hơn Điều đó sẽ giúp cho HS nhìn nhận những ứng dụng khá phong phú của các định lý toán học, từ đó giúp các em hứng thú hơn trong học tập, phát huy khả năng sáng tạo của các em

Chúng ta muốn học sinh nắm được các hệ thống định lí và những mối liên

hệ giữa chúng, từ đó có khả năng vận dụng định lí vào các hoạt động giải Toán cũng như giải quyết các vấn đề trong thực tiễn Vì vậy trong quá trình dạy học

định lí chúng ta phải chú ý tới việc xem xét các định lí trong mối liên hệ với các đối tượng và định lí khác Phải luôn đặt nó trong những mối quan hệ để thấy được nguồn gốc ra đời, điều kiện tồn tại và ý nghĩa thực tiễn của nó.

Trong quá trình dạy học định lí giáo viên phải tổ chức được các hoạt động nhận thức cho HS, định hướng cho các em tự tìm ra định lí và khai thác định lí dưới nhiều hình thức khác nhau, từ đó tìm ra những tính chất tổng quát hơn Khi

đó các em sẽ thấy được tầm quan trọng của việc phát hiện, chứng minh và ứng dụng định lí trong Toán học Nhờ đó các em khắc sâu định lí Trong luận văn này chúng tôi xin được trình bày một vài định lí quen thuộc ở SGK và việc xây dựng chuỗi bài toán nhằm khắc sâu nó Ta xét các định lí sau:

Ví dụ 2:

* Định lí cosin trong tam giác: Với mọi tam giác ABC ta đều có :

a2 = b2 + c2 - 2bc cosA; b2 = a2 + c2 - 2ac cosB; c2 = a2 + b2 - 2ab cosC

* Từ định lí trên ta suy ra (hệ quả 1):

cosB =

ac

bca2

2 2

2 + − ; cosC =

ba

cba2

2 2

2 + − ; cosA =

bc

acb2

2 2

2 + −

Ta có các nhận xét sau:

- Nếu biết ba cạnh của tam giác thì có thể tính được 3 góc của nó

- Tính cạnh nếu biết hai cạnh và góc xen giữa

- Chứng minh các hệ thức, bất đẳng thức lượng giác

- Nhận dạng tam giác: Cho phép ta xét góc A (hoặc B, C) nhọn, vuông hay

tù thông qua các cạnh của tam giác Cụ thể:

2 2 2

2 2 2

cab

bca

acb

(I)

2 2 2

2 2 2

cab

bca

acb

=+

=+

2 2 2

2 2 2

2 2 2

cab

bca

acb

(III)

- Viết công thức a2 = b2 + c2 - 2bc cosA

dưới dạng a2 = b2 + c2 - 2bcsinA cot A

⇒ a2 = b2 + c2 - 4S cotA

suy ra cot A =

S

acb4

2 2

2 + − .

tương tự ta cũng có cotB =

S

bca4

2 2

2 + − , cotC =

S

cab4

2 2

a2 = b2 + c2 - 2bc cosA = (b + c)2 - 4bc.cos2A/2

a2 = b2 + c2 - 2bc cos A = (b - c)2 + 4bc.sin2A/2

Bài toán 3.2.1: CMR trong mọi tam giác ABC ta có a = bcosC + ccosB

Đẳng thức này được chứng minh dễ dàng nhờ thay trực tiếp cosB và cosC vào vế phải

Tương tự như ở bài toán 2.1.3.1 ta cũng có: b = a.cosC + c.cosA (2)

c = b.cosA + a.cosB (3)cộng các đẳng thức trên và biến đổi ta có được các bài toán mới

Bài toán 3.2.2: Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có:

a/ a + b + c = (b + c)cosA + (c + a)cosB + (a + b)cosC

b/ b(cosA + cosC) + c(cosB + cosA) = a + b + c - a(cosB + cosC)

Bài toán 3.2.3: Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có:

a a2 + b2 + c2 = 2abcosC + 2bccosA + 2cacosB

b 2abc(cosA + cosB) = (a + c - b)(b + c - a) (a+b)

c abc(cosA + cosB + cosC) - a2(p - a) = b2(p - b) + c2(p - c)

d bc(b2 - c2)cosA + ac(c2 - a2)cosB + ab(a2 - b2)cosC = 0

Dạng 2: Nhận dạng tam giác

Bây giờ vận dụng kết quả (I) ta đi tìm lời giải cho bài toán nâng cao sau:

Bài toán 3.2.4: Cho a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh BC, CA, AB của tam giác

ABC và a5 = b5+c5 CMR tam giác ABC nhọn

Làm thế nào để chứng minh tam giác ABC nhọn?

Ở bài toán này chúng ta có nhất thiết biến đổi về

2 2 2

2 2 2

c a b

b c a

a c b

Hay chỉ cần chỉ ra một bất đẳng thức trong ba bất đẳng thức trên? Nếu vậy thì chỉ ra bất đẳng thức nào?

B A

⇒A là góc lớn nhất

Vì vậy ta chỉ cần chứng minh góc A nhọn tức là chỉ cần chứng minh b2+c2 > a2Làm thế nào để chứng minh được điều này? Các em hãy vận dụng giả thiết kết hợp với các điều kiện

b a

ta có được điều gì?

Ta có: a5 = b5+c5< a3.b2 + a3c2 ⇒ b2+c2 > a2 (chia 2 vế cho a3) ⇒ A nhọn

⇒ tam giác ABC là tam giác nhọn.

Bài toán trên được phát biểu dưới dạng tổng quát sau:

Bài toán 3.2.5: a, Cho an = bn + cn CMR tam giác ABC nhọn với a, b, c là

3 cạnh của tam giác ABC, n ≥ 3

b, Cho góc tam diện vuông Oxyz Trên các tia Ox, Oy, Oz lấy lần lượt các điểm A, B, C Chứng minh rằng ∆ ABC nhọn

Dạng 3: Các bài toán liên quan tới độ dài các đoạn thẳng.

Bài toán 3.2.6: Cho tam giác ABC có BC = a, AB = c, AC = b Trên cạnh BC

lấy điểm D sao cho BD = p (0 ≤ p ≤ a) Tính AD

Ta vận dụng kết quả tính được của bài toán náy để áp dụng vào giải các bài toán khác (đây là bài toán gốc cho dạng toán thứ 3)

Hướng dẫn:

Ta có AD2 = c2 + p2 – 2pccosB Thay cosB =

ac

bca2

2 2

2 + − và biến đổi ta

có: aAD2 = pb2 + (a - p)c2 - p(a-p)a ( Định lý Stewart)

Bây giờ ta tiến hành khai thác bài toán trên để được các bài toán nâng cao mức độ khó dần

Khi cho D là trung điểm BC ta được công thức độ dài đường trung tuyến