1. Cơ sở lý luận của đề tài 1.1. Đổi mới phương pháp giáo dục Về PPGD, điều 4, luật GD 2003 quy định: “ PPGD phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của người học, bồi dưỡng năng lực tự học, lòng say mê học tập và ý chí vươn lên”. Trong hoạt động dạy toán ở trường THPT, rèn tư duy cho HS là giúp cho HS có khả năng phân tích tình huống hoặc vấn đề mà bàì toán nêu ra và cao hơn nữa là tư duy sáng tạo ra các bài toán mới trên nền tảng kiến thức đã tích lũy được. Về cách dạy, phư¬ơng pháp mới quan tâm nhiều đến việc tạo ra niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh. Xem đó nh¬ư là động lực để phát huy tính tự giác, tích cực, chủ động trong quá trình học tập của học sinh, đặc biệt là niềm vui, hứng thú của một ngư¬ời tự mình tìm ra chân lí. Nếu học sinh được độc lập quan sát, so sánh, phân tích, khái quát hóa các sự kiện, hiện tượng thì các em sẽ hiểu sâu sắc và hứng thú bộc lộ rõ rệt. Do đó, trong phương pháp giảng dạy, giáo viên cần phải “biết dẫn dắt học sinh luôn tìm thấy cái mới, có thể tự tìm lấy kiến thức, phải làm cho học sinh thấy mình mỗi ngày một trưởng thành” (Tài liệu Bồi d¬ưỡng giáo viên 2005, tr. 2). Hơn nữa, thực hiện định h¬ướng hoạt động hóa người học, học sinh cần đ¬ược cuốn hút vào các hoạt động học tập do giáo viên tổ chức và chỉ đạo, thông qua đó tự lực khám phá những điều mình ch¬ưa biết, chứ không phải là thụ động tiếp thu tri thức đã đ¬ược sắp sẵn. Cần đặt học sinh vào những tình huống thực tế, trực tiếp quan sát làm thí nghiệm, thảo luận, giải quyết theo cách riêng của mình. Qua đó học sinh vừa nắm đ¬ược kiến thức mới, kỹ năng mới, vừa nắm đ¬ược ph¬ương pháp làm ra kiến thức, kỹ năng đó, không nhất thiết phải rập khuôn theo những mẫu sẵn có, đ¬ược bộc lộ và phát huy tiềm năng sáng tạo (Tài liệu Bồi dưỡng giáo viên 2005, tr. 3). 1.2. Bài toán gốc 1.2.1 Bài toán: Thuật ngữ “Bài toán” được hiểu theo nghĩa rộng thông qua một số định nghĩa sau: G. Polya cho rằng: “Bài toán đặt ra sự cần thiết phải tìm kiếm một cách có ý thức, phương tiện thích hợp để đạt tới một mục đích rõ ràng nhưng không thể đạt được ngay”. Fanghaenel, Stoliar định nghĩa thuật ngữ “Bài toán” như sau: “Bài toán” là một sự đòi hỏi hành động, trong đó đã quy định: Đối tượng của hành động (cái đã có trong bài toán). Mục đích của hành động (cái phải tìm trong bài toán). Các điều kiện của hành động (mối liên hệ giữa cái đã có và cái phải tìm). Như vậy, khái niệm bài toán được gắn liền với hành động của chủ thể, không thể nghiên cứu bài toán tách rời với hành động của chủ thể. Các hành động của chủ thể trong giải Toán là: Phân tích bài toán, mô hình hoá và cụ thể hoá các mối liên hệ bản chất trong bài toán, phát hiện hướng giải và xây dựng kế hoạch giải bài toán, hành động thực hiện giải bài toán, kiểm tra đánh giá tiến trình giải bài toán, hành động thu nhận kiến thức mới do bài toán đem lại. Ở trường phổ thông, dạy Toán là dạy hoạt động Toán học cho học sinh trong đó giải toán là hình thức chủ yếu. Do vậy dạy bài tập toán có vị trí quan trọng trong dạy học Toán nhằm đạt nhiều mục đích khác nhau thể hiện ở các chức năng: Chức năng dạy học: Bài tập nhằm củng cố, rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo những vấn đề lí thuyết đã học. Qua đó học sinh hiểu sâu hơn và biết vận dụng những kiến thức đã học vào việc giải quyết các tình huống cụ thể. Có khi bài tập lại là một định lí, mà vì lí do nào đó không đưa vào lí thuyết. Cho nên qua việc giải bài tập học sinh mở rộng được tầm hiểu biết của mình. Chức năng giáo dục: Qua việc giải bài tập mà hình thành cho học sinh thế giới quan duy vật biện chứng, hứng thú học tập, niềm tin và phẩm chất đạo đức của người lao động mới. Chức năng phát triển: Bài tập nhằm phát triển năng lực tư duy cho học sinh, đặc biệt là rèn luyện những thao tác trí tuệ, hình thành những phẩm chất của tư duy khoa học. , Chức năng kiểm tra: Bài tập nhằm đánh giá mức độ, kết quả dạy học, đánh giá khả năng độc lập học Toán và trình độ phát trển của học sinh. 1.2.2 Bài toán gốc. Bài toán gốc có thể hiểu là bài toán tương đối dễ, chỉ nhằm củng cố vận dụng kiến thức, kỹ năng đã học ở mức độ đơn giản. Đồng thời bài toán gốc phải thỏa mãn một trong ba điều kiện sau: Kết quả bài toán được sử dụng nhiều trong việc tìm tòi lời giải các bài toán khác. Phương pháp giải bài toán được sử dụng nhiều trong việc tìm tòi lời giải các bài toán khác. Nếu thay đổi (một phần) giả thiết hoặc kết luận thì được bài toán mới. 1.2.3. Bài toán nâng cao: Theo GS Đào Tam bài toán nâng cao là bài toán khi giải vận dụng nhiều bước của quy trình giải toán và sử dụng nhiều kiến thức bổ trợ, khắc sâu quy trình và khắc sâu các kiến thức của một dạng toán. 1.2.4 Vai trò của bài toán gốc. Qua thực tiễn quá trình dạy học đồng thời thông qua việc tìm hiểu, điều tra từ giáo viên và học sinh ở các trường THPT trên địa bàn; tổng hợp các thông tin có được khi tìm hiểu trên các phương tiện thông tin tôi nhận thấy khi giải một bài toán, ta luôn luôn phải lợi dụng những bài toán đã giải, dùng kết quả, phương pháp hay kinh nghiệm có được khi giải các bài toán đó. Hiển nhiên, những bài toán dùng tới, phải có liên hệ nào đó với bài toán hiện có.Một bài toán, vấn đề có thể bắt nguồn từ một bài toán, một vấn đề khác, cũng có thể là một bộ phận của một bài toán, một vấn đề khác. Vì vậy, trong dạy học Toán, bài toán gốc có vai trò quan trọng như: Bài toán gốc nhằm củng cố, rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo về vấn đề lí thuyết đã học. Nhiều khi rèn luyện cho HS các bài toán gốc là một hình thức rất tốt để dẫn dắt HS tự mình đi đến kiến thức mới. Khắc sâu được các định lí, khái niệm và mối quan hệ giữa chúng. Qua các bài toán gốc giúp HS áp dụng vào giải quyết các bài toán liên quan một cách đơn giản hơn, lập luận lời giải được thu gọn hơn. Qua các bài toán gốc giúp HS huy động, kiến tạo ra được các bài toán mới. Qua bài toán toán gốc GV và HS có thể xây dựng thành chuổi bài toán với phương pháp giải đặc thù nhờ vào bài toán gốc. 2. Thực trạng của đề tài. Qua thực tiễn quá trình giảng dạy tôi nhận thấy bài tập SGK là hệ thống bài tập cơ bản, nhằm cũng cố kiến thức cho HS sau mỗi giờ học lí thuyết. Bài tập SGK cũng chứa đựng nội dung kiến thức quan trọng, qua đó có thể mở rộng, xây dựng được hệ thống các bài toán mới. Đối với HS + HS chỉ có thể lĩnh hội được kiến thức nếu có một nền tảng kiến thức vững vàng và khả năng sử dụng kiến thức đó vào việc giải thích, chứng minh hay tìm tòi, phát hiện kiến thức mới. Trong khi đó tình trạng phổ biến của học sinh hiện nay là kiến thức rất “mơ màng”. Chất lượng đại trà của HS còn yếu, số HS tự mình tìm tòi kiến thức mới và giải quyết được vấn đề không nhiều. Do đó việc kiến tạo nên hệ thống tri thức mới trên nền tri thức cũ bị hạn chế + Trong quá giải bài tâp toán, HS thường yếu trong việc chuyển đổi ngôn ngữ để quy lạ về quen. Dẫn đến, việc vận dụng và phát triển tri thức gặp khó khăn. Đồng thời sẽ dẫn đến những sai lầm rất dễ mắc phải. + Đa số học sinh học sinh thường có thói quen giải xong một bài toán xem như là mình đã hoàn thành công việc được giao và dừng lại ở đó, ít có em học sinh nào biết chủ động, khai thác, tìm tòi, suy nghĩ, vận dụng nó để giải một số bài toán khác. Với những kiến thức đó thì chưa đủ để HS giải các bài toán nâng cao, bài toán khó. Khi đứng trước một bài toán nâng cao HS thường gặp lúng túng ko định hướng được cách giải, không hình dung ra hướng giải quyết. + HS chưa biết cách chọn lọc các kiến thức, không thể liên kết những kiến thức cũ liên quan với vấn đề đặt ra hoặc không biết cách vận dụng kiến thức cũ vào vấn đề mới như thế nào do đó ảnh hưởng lớn đến việc phát hiện và giải quyết vấn đề. Điều này hạn chế đến việc huy động vốn kiến thức của HS, hạn chế đến việc phát triển tư duy của HS trong học tập. Đối với GV Thời gian học tập của HS ở trên lớp còn hạn chế so với khối lượng tri thức cần truyền đạt. Kế hoạch dạy học phải theo phân phối chương trình nên nếu dạy học môn Toán lớp 10 nói chung, dạy học Hình học 10 nói riêng theo hướng phát hiện và vận dụng các bài toán gốc liên quan, thì mất khá nhiều thời gian cho việc củng cố kiến thức liên quan dẫn đến việc không thể hoàn thành bài giảng. Do đó: +Hầu hết GV về phương pháp dạy học còn nặng về thuyết trình, trong dạy học chưa phát huy hết được năng lực chủ động, tích cực và sáng tạo của HS. Nhiều GV chỉ tập trung hướng dẫn và yêu cầu HS làm các bài tập được giao trong SGK mà chưa quan tâm nhiều đến việc phát hiện nguồn gốc của bài toán hay việc phát triển, mở rộng và tổng quát bài toán. + Thường sau mỗi tiết lý thuyết là đến tiết bài tập, GV chỉ tập trung chữa bài tập một cách thuần túy, chưa tìm cách xây dựng chuỗi bài tập nhằm củng cố, khắc sâu lý thuyết đã học.Nhiều GV chưa thực sự quan tâm để giúp HS làm nổi bật lên được mối quan hệ giữa các bài tập này với bài tập khác, giữa những kiến thức đang học với những kiến thức trước đó. Khi dạy xong một chương GV thường không hệ thống các dấu hiệu để nhận biết một đối tượng toán học nằm rải rác trong chương. Chẳng hạn khi học xong chương “Véc tơ” (Hình học lớp 10) nhiều GV chưa tổng kết lại cho HS nắm vững được có thêm những phương pháp nào để chứng minh ba điểm thẳng hàng, chứng minh một véc tơ bằng vec tơ – không... + Thường khi HS đã giải được một bài toán thì GV cũng thường bằng lòng với lời giải đó mà chưa khuyến khích các em tìm ra các bài toán tương tự, bài toán tổng quát hoặt đặt biệt hóa bài toán để tìm ra các bài toán mới. Đối với sách giáo khoa hiện nay lượng kiến thức đưa ra có phần dàn trải, các khái niệm, định lí chủ yếu là giới thiệu để ứng dụng, không chứng minh. Dẫn đến việc coi nhẹ vấn đề hình thành khái niệm, định lí. Vì vậy nên một số GV ít dành thời gian rèn luyện tư duy, tạo hứng thú kích thích tự tìm tòi nghiên cứu mà chủ yếu bắt học sinh thừa nhận khái niệm, định lí, đưa ra quy tắc và yêu cầu vận dụng giải bài tập, điều này ảnh hưởng không nhỏ đến chất lượng học tập của học sinh. Ở nội dung này dạy học theo con đường phát hiện và vận dụng là rất cần thiết. 3. Các biện pháp tổ chức thực hiện 3.1. Phát hiện và vận dụng bài toán gốc nhằm khắc sâu khái niệm. Khái niệm là một hình thức của tư duy trừu tượng, phản ánh những mối liên hệ và thuộc tính bản chất, phổ biến của một tập hợp các sự vật, hiện tượng nào đó. Khái niệm đóng vài trò quan trọng trong tư duy khoa học nói chung, môn toán nói riêng. Dạy học khái niệm là một trong những tình huống dạy học điển hình, một khái niệm sau khi đã được học thường có những hoạt động củng cố như: Nhận dạng và thể hiện, hoạt động ngôn ngữ, khái quát hoá, tương tự hoá, đặc biệt hoá và hệ thống hoá những khái niệm đã học. Chính vì ý nghĩa và tầm quan trọng đó của việc dạy học khái niệm mà GV cần phải quan tâm nhiều đến việc đổi mới phương pháp dạy học để học sinh có động lực phát hiện, khắc sâu khái niệm bằng chính thực lực của mình. Một trong những cách thức như vậy chính là việc xây dựng bài toán sau đó phát triển thành chuỗi bài toán để khắc sâu khái niệm sẽ góp phần nâng cao được các hoạt động củng cố khái niệm. Chuỗi bài toán đóng vai trò là “cầu nối” các khái niệm, với các bài toán mức độ khó khăn cao dần. Việc giải được các bài toán trong chuỗi sẽ tạo lập được ở HS thói quen độc lập suy nghĩ, giúp các em có cách nhìn các khái niệm toán học một cách có chiều sâu, có hệ thống, điều đó góp phần nâng cao chất lượng học tập của các em. Việc học tập để khắc sâu khái niệm có thể được thể hiện theo quy trình sau: Ví dụ 1: Rèn luyện tư duy sáng tạo cho HS thông qua việc xây dựng bài toán gốc để củng cố khái niệm về vectơ – không: Nắm vững được ý nghĩa, tầm quan trọng của việc vận dụng bài toán gốc trong dạy học với những cơ sở lý luận nêu trên tôi đã không ngừng vận dụng trong suốt quá trình dạy học nói chung, dạy học môn toán lớp 10 nói riêng. Sau khi HS đã được học khái niệm về vectơ – không tôi đã tổ chức cho học sinh củng cố khái niệm bằng cách giải các bài tập có liên quan và xây dựng chuỗi bài toán để khắc sâu khái niệm. Phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề, đan xen hoạt động nhóm, cụ thể trong tiết dạy bài tập (sau tiết lý thuyết về vectơ) tôi đã yêu cầu học sinh giải bài toán gốc sau đây để củng cố khái niệm về vectơ – không: Bài toán 1: Cho ABC với trọng tâm G. Chứng minh rằng: (SGK Hình học 10 trang 11, ban cơ bản) Bằng việc dẫn dắt, gợi mở và tổ chức cho học sinh thảo luận thông qua các câu hỏi: + Điểm G có tính chất gì? + Nếu gọi M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh BC, AB, CA thì các em có được điều gì? + Thử vận dụng quy tắc 3 điểm và quy tắc hình bình hành? HS đã dễ dàng giải được bài toán trên, cụ thể lời giải như sau: Lời giải: Ta có: = ( (với M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, AB, AC) mà Suy ra Vậy .
Trang 1I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Luật Giáo dục nước cộng hoà xã hội chủ nghĩa Việt Nam (2005) quy
định: “Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của HS; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn” Như vậy, quan điểm chung về hướng đổi mới PPDH đã được khẳng định,
không còn là vấn đề tranh luận và càng thấy cấp thiết hơn đối với kì thi THPTquốc gia lần đầu tiên đươc tổ chức trong năm học này Cốt lõi của việc đổi mớiPPDH môn Toán ở trường THPT là làm cho HS học tập tích cực, chủ động,chống lại thói quen học tập thụ động Phải làm sao trong mỗi tiết học HS đượcsuy nghĩ nhiều hơn, thảo luận nhiều hơn, hoạt động nhiều hơn
Trong dạy học môn Toán, tư duy sáng tạo của HS phần lớn được hìnhthành trong quá trình giải toán, thông qua hoạt động này HS phải hoạt động tíchcực để tự chiếm lĩnh tri thức cho bản thân Cơ sở để học sinh hoạt động chính lànhững tri thức và kinh nghiệm đã có Đứng trước một vấn đề đặt ra trong vốn trithức mà bản thân đã có, đã tích luỹ được việc lựa chọn tri thức nào, sử dụng ralàm sao luôn luôn là những câu hỏi lớn, mà việc trả lời được những câu hỏi đó làmấu chốt trong việc giải quyết vấn đề Việc tìm ra lời giải một bài toán nhiềukhi không phải là quá khó, nhưng thực ra sau mỗi bài toán có biết bao điều líthú Nếu chúng ta không biết khơi dậy ở học sinh óc tò mò, sự tìm tòi khám phánhững gì ẩn sau mỗi bài toán mà chỉ giải xong bài toán là kết thúc thì việc dạyhọc trở nên nhạt nhẽo Điều quan trọng là nếu sau mỗi bài toán chúng ta tìmđược nhiều cách giải khác nhau cho bài toán, xây dựng được chuỗi bài toán gốcliên quan từ dễ đến khó thì có thể rèn luyện năng lực tư duy sáng tạo cho họcsinh, đồng thời kiến thức sẽ được mở rộng hơn, hệ thống hơn
Trong tác phẩm nổi tiếng “Giải bài toán như thế nào ?”, G.Polya cho rằng:
“Ví như dòng sông nào cũng bắt nguồn từ những con suối nhỏ, mỗi bài toán dùkhó đến đâu cũng có nguồn gốc từ những bài toán đơn giản, có khi rất quenthuộc đối với chúng ta” Vì vậy, G.Polya đã nói rằng: Thật khó mà đề ra đượcmột bài toán mới, không giống chút nào với bài toán khác, hay là không có mộtđiểm nào chung với một bài toán trước đó đã giải Vì vậy , trong dạy học toán
GV nên tạo cho học sinh thói quen khắc sâu bài toán gốc để dễ dàng áp dụng khicần thiết và từ đó giúp học sinh có cơ hội đào sâu, kiến tạo nên một số bài toánmới
Với riêng chương trình môn toán lớp 10, đây là chương trình đầu tiên củacấp THPT, nhiều kiến thức mới được đưa ra (như khái niệm véc tơ, phươngtrình tổng quát của đường thẳng, đường tròn ) làm cho HS thường khó khăn khitiếp cận Bởi vậy cần thiết phải giúp HS liên hệ những kiến thức mới với kiếnthức đã học, đặt HS luôn phải tư duy để lĩnh hội cái mới từ những cái tương tựđơn giản hơn Với những lý do trên tôi đã chọn đề tài nghiên cứu là:
“Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh lớp 10 THPT theo hướng dạy học phát hiện và vận dụng bài toán gốc có liên quan”
Trang 2II GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
1 Cơ sở lý luận của đề tài
1.1 Đổi mới phương pháp giáo dục
Về PPGD, điều 4, luật GD 2003 quy định:
“ PPGD phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo củangười học, bồi dưỡng năng lực tự học, lòng say mê học tập và ý chí vươn lên”.Trong hoạt động dạy toán ở trường THPT, rèn tư duy cho HS là giúp cho HS
có khả năng phân tích tình huống hoặc vấn đề mà bàì toán nêu ra và cao hơnnữa là tư duy sáng tạo ra các bài toán mới trên nền tảng kiến thức đã tích lũyđược
Về cách dạy, phương pháp mới quan tâm nhiều đến việc tạo ra niềm vui,hứng thú học tập cho học sinh Xem đó như là động lực để phát huy tính tự giác,tích cực, chủ động trong quá trình học tập của học sinh, đặc biệt là niềm vui,hứng thú của một người tự mình tìm ra chân lí "Nếu học sinh được độc lập quansát, so sánh, phân tích, khái quát hóa các sự kiện, hiện tượng thì các em sẽ hiểusâu sắc và hứng thú bộc lộ rõ rệt" Do đó, trong phương pháp giảng dạy, giáoviên cần phải “biết dẫn dắt học sinh luôn tìm thấy cái mới, có thể tự tìm lấy kiếnthức, phải làm cho học sinh thấy mình mỗi ngày một trưởng thành” (Tài liệu Bồidưỡng giáo viên 2005, tr 2) Hơn nữa, thực hiện định hướng "hoạt động hóangười học", học sinh cần được cuốn hút vào các hoạt động học tập do giáo viên
tổ chức và chỉ đạo, thông qua đó tự lực khám phá những điều mình chưa biết,chứ không phải là thụ động tiếp thu tri thức đã được sắp sẵn Cần đặt học sinhvào những tình huống thực tế, trực tiếp quan sát làm thí nghiệm, thảo luận, giảiquyết theo cách riêng của mình Qua đó học sinh vừa nắm được kiến thức mới,
kỹ năng mới, vừa nắm được phương pháp làm ra kiến thức, kỹ năng đó, khôngnhất thiết phải rập khuôn theo những mẫu sẵn có, được bộc lộ và phát huy tiềmnăng sáng tạo" (Tài liệu Bồi dưỡng giáo viên 2005, tr 3)
1.2 Bài toán gốc
1.2.1 Bài toán: Thuật ngữ “Bài toán” được hiểu theo nghĩa rộng thông qua một
số định nghĩa sau:
G Polya cho rằng: “Bài toán đặt ra sự cần thiết phải tìm kiếm một cách có
ý thức, phương tiện thích hợp để đạt tới một mục đích rõ ràng nhưng không thểđạt được ngay”
Fanghaenel, Stoliar định nghĩa thuật ngữ “Bài toán” như sau:
“Bài toán” là một sự đòi hỏi hành động, trong đó đã quy định:
- Đối tượng của hành động (cái đã có trong bài toán)
- Mục đích của hành động (cái phải tìm trong bài toán)
- Các điều kiện của hành động (mối liên hệ giữa cái đã có và cái phải tìm).Như vậy, khái niệm bài toán được gắn liền với hành động của chủ thể,không thể nghiên cứu bài toán tách rời với hành động của chủ thể Các hànhđộng của chủ thể trong giải Toán là: Phân tích bài toán, mô hình hoá và cụ thểhoá các mối liên hệ bản chất trong bài toán, phát hiện hướng giải và xây dựng kế
Trang 3hoạch giải bài toán, hành động thực hiện giải bài toán, kiểm tra đánh giá tiếntrình giải bài toán, hành động thu nhận kiến thức mới do bài toán đem lại.
Ở trường phổ thông, dạy Toán là dạy hoạt động Toán học cho học sinhtrong đó giải toán là hình thức chủ yếu Do vậy dạy bài tập toán có vị trí quantrọng trong dạy học Toán nhằm đạt nhiều mục đích khác nhau thể hiện ở cácchức năng:
* Chức năng dạy học:
- Bài tập nhằm củng cố, rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo những vấn đề lí thuyết đãhọc Qua đó học sinh hiểu sâu hơn và biết vận dụng những kiến thức đã học vàoviệc giải quyết các tình huống cụ thể
- Có khi bài tập lại là một định lí, mà vì lí do nào đó không đưa vào lí thuyết.Cho nên qua việc giải bài tập học sinh mở rộng được tầm hiểu biết của mình
* Chức năng giáo dục: Qua việc giải bài tập mà hình thành cho học sinh thế
giới quan duy vật biện chứng, hứng thú học tập, niềm tin và phẩm chất đạo đứccủa người lao động mới
* Chức năng phát triển: Bài tập nhằm phát triển năng lực tư duy cho học
sinh, đặc biệt là rèn luyện những thao tác trí tuệ, hình thành những phẩm chấtcủa tư duy khoa học
*, Chức năng kiểm tra: Bài tập nhằm đánh giá mức độ, kết quả dạy học,đánh giá khả năng độc lập học Toán và trình độ phát trển của học sinh
1.2.2 Bài toán gốc.
Bài toán gốc có thể hiểu là bài toán tương đối dễ, chỉ nhằm củng cố vậndụng kiến thức, kỹ năng đã học ở mức độ đơn giản Đồng thời bài toán gốc phảithỏa mãn một trong ba điều kiện sau:
- Kết quả bài toán được sử dụng nhiều trong việc tìm tòi lời giải các bàitoán khác
- Phương pháp giải bài toán được sử dụng nhiều trong việc tìm tòi lời giảicác bài toán khác
- Nếu thay đổi (một phần) giả thiết hoặc kết luận thì được bài toán mới
1.2.3 Bài toán nâng cao: Theo GS Đào Tam bài toán nâng cao là bài toán khi
giải vận dụng nhiều bước của quy trình giải toán và sử dụng nhiều kiến thức bổ trợ, khắc sâu quy trình và khắc sâu các kiến thức của một dạng toán.
1.2.4 Vai trò của bài toán gốc.
Qua thực tiễn quá trình dạy học đồng thời thông qua việc tìm hiểu, điềutra từ giáo viên và học sinh ở các trường THPT trên địa bàn; tổng hợp các thôngtin có được khi tìm hiểu trên các phương tiện thông tin tôi nhận thấy khi giảimột bài toán, ta luôn luôn phải lợi dụng những bài toán đã giải, dùng kết quả,phương pháp hay kinh nghiệm có được khi giải các bài toán đó Hiển nhiên,những bài toán dùng tới, phải có liên hệ nào đó với bài toán hiện có.Một bàitoán, vấn đề có thể bắt nguồn từ một bài toán, một vấn đề khác, cũng có thể làmột bộ phận của một bài toán, một vấn đề khác Vì vậy, trong dạy học Toán, bàitoán gốc có vai trò quan trọng như:
Trang 4- Bài toán gốc nhằm củng cố, rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo về vấn đề lí thuyết
đã học Nhiều khi rèn luyện cho HS các bài toán gốc là một hình thức rất tốt đểdẫn dắt HS tự mình đi đến kiến thức mới
- Khắc sâu được các định lí, khái niệm và mối quan hệ giữa chúng
- Qua các bài toán gốc giúp HS áp dụng vào giải quyết các bài toán liênquan một cách đơn giản hơn, lập luận lời giải được thu gọn hơn
- Qua các bài toán gốc giúp HS huy động, kiến tạo ra được các bài toánmới
- Qua bài toán toán gốc GV và HS có thể xây dựng thành chuổi bài toán vớiphương pháp giải đặc thù nhờ vào bài toán gốc
2 Thực trạng của đề tài.
Qua thực tiễn quá trình giảng dạy tôi nhận thấy bài tập SGK là hệ thống bài
tập cơ bản, nhằm cũng cố kiến thức cho HS sau mỗi giờ học lí thuyết Bài tậpSGK cũng chứa đựng nội dung kiến thức quan trọng, qua đó có thể mở rộng,xây dựng được hệ thống các bài toán mới
Đối với HS
+ HS chỉ có thể lĩnh hội được kiến thức nếu có một nền tảng kiến thứcvững vàng và khả năng sử dụng kiến thức đó vào việc giải thích, chứng minh haytìm tòi, phát hiện kiến thức mới Trong khi đó tình trạng phổ biến của học sinhhiện nay là kiến thức rất “mơ màng” Chất lượng đại trà của HS còn yếu, số HS
tự mình tìm tòi kiến thức mới và giải quyết được vấn đề không nhiều Do đóviệc kiến tạo nên hệ thống tri thức mới trên nền tri thức cũ bị hạn chế
+ Trong quá giải bài tâp toán, HS thường yếu trong việc chuyển đổi ngônngữ để quy lạ về quen Dẫn đến, việc vận dụng và phát triển tri thức gặp khókhăn Đồng thời sẽ dẫn đến những sai lầm rất dễ mắc phải
+ Đa số học sinh học sinh thường có thói quen giải xong một bài toán xemnhư là mình đã hoàn thành công việc được giao và dừng lại ở đó, ít có em họcsinh nào biết chủ động, khai thác, tìm tòi, suy nghĩ, vận dụng nó để giải một sốbài toán khác Với những kiến thức đó thì chưa đủ để HS giải các bài toán nângcao, bài toán khó Khi đứng trước một bài toán nâng cao HS thường gặp lúngtúng ko định hướng được cách giải, không hình dung ra hướng giải quyết
+ HS chưa biết cách chọn lọc các kiến thức, không thể liên kết những kiếnthức cũ liên quan với vấn đề đặt ra hoặc không biết cách vận dụng kiến thức cũvào vấn đề mới như thế nào do đó ảnh hưởng lớn đến việc phát hiện và giảiquyết vấn đề Điều này hạn chế đến việc huy động vốn kiến thức của HS, hạnchế đến việc phát triển tư duy của HS trong học tập
Đối với GV
Thời gian học tập của HS ở trên lớp còn hạn chế so với khối lượng tri
thức cần truyền đạt Kế hoạch dạy học phải theo phân phối chương trình nên nếu
dạy học môn Toán lớp 10 nói chung, dạy học Hình học 10 nói riêng theo hướngphát hiện và vận dụng các bài toán gốc liên quan, thì mất khá nhiều thời gian cho
Trang 5việc củng cố kiến thức liên quan dẫn đến việc không thể hoàn thành bài giảng Dođó:
+Hầu hết GV về phương pháp dạy học còn nặng về thuyết trình, trong dạyhọc chưa phát huy hết được năng lực chủ động, tích cực và sáng tạo của HS.Nhiều GV chỉ tập trung hướng dẫn và yêu cầu HS làm các bài tập được giao trongSGK mà chưa quan tâm nhiều đến việc phát hiện nguồn gốc của bài toán hay việcphát triển, mở rộng và tổng quát bài toán
+ Thường sau mỗi tiết lý thuyết là đến tiết bài tập, GV chỉ tập trung chữabài tập một cách thuần túy, chưa tìm cách xây dựng chuỗi bài tập nhằm củng cố,khắc sâu lý thuyết đã học.Nhiều GV chưa thực sự quan tâm để giúp HS làm nổibật lên được mối quan hệ giữa các bài tập này với bài tập khác, giữa những kiếnthức đang học với những kiến thức trước đó Khi dạy xong một chương GVthường không hệ thống các dấu hiệu để nhận biết một đối tượng toán học nằm rảirác trong chương Chẳng hạn khi học xong chương “Véc tơ” (Hình học lớp 10)nhiều GV chưa tổng kết lại cho HS nắm vững được có thêm những phương phápnào để chứng minh ba điểm thẳng hàng, chứng minh một véc tơ bằng vec tơ –không
+ Thường khi HS đã giải được một bài toán thì GV cũng thường bằnglòng với lời giải đó mà chưa khuyến khích các em tìm ra các bài toán tương tự,bài toán tổng quát hoặt đặt biệt hóa bài toán để tìm ra các bài toán mới
Đối với sách giáo khoa hiện nay lượng kiến thức đưa ra có phần dàn trải,
các khái niệm, định lí chủ yếu là giới thiệu để ứng dụng, không chứng minh Dẫnđến việc coi nhẹ vấn đề hình thành khái niệm, định lí Vì vậy nên một số GV ítdành thời gian rèn luyện tư duy, tạo hứng thú kích thích tự tìm tòi nghiên cứu
mà chủ yếu bắt học sinh thừa nhận khái niệm, định lí, đưa ra quy tắc và yêu cầuvận dụng giải bài tập, điều này ảnh hưởng không nhỏ đến chất lượng học tập của họcsinh Ở nội dung này dạy học theo con đường phát hiện và vận dụng là rất cầnthiết
3 Các biện pháp tổ chức thực hiện
3.1 Phát hiện và vận dụng bài toán gốc nhằm khắc sâu khái niệm.
Khái niệm là một hình thức của tư duy trừu tượng, phản ánh những mốiliên hệ và thuộc tính bản chất, phổ biến của một tập hợp các sự vật, hiện tượngnào đó Khái niệm đóng vài trò quan trọng trong tư duy khoa học nói chung,môn toán nói riêng Dạy học khái niệm là một trong những tình huống dạy họcđiển hình, một khái niệm sau khi đã được học thường có những hoạt động củng
cố như: Nhận dạng và thể hiện, hoạt động ngôn ngữ, khái quát hoá, tương tựhoá, đặc biệt hoá và hệ thống hoá những khái niệm đã học Chính vì ý nghĩa vàtầm quan trọng đó của việc dạy học khái niệm mà GV cần phải quan tâm nhiềuđến việc đổi mới phương pháp dạy học để học sinh có động lực phát hiện, khắcsâu khái niệm bằng chính thực lực của mình Một trong những cách thức nhưvậy chính là việc xây dựng bài toán sau đó phát triển thành chuỗi bài toán đểkhắc sâu khái niệm sẽ góp phần nâng cao được các hoạt động củng cố kháiniệm Chuỗi bài toán đóng vai trò là “cầu nối” các khái niệm, với các bài toán
Trang 6mức độ khó khăn cao dần Việc giải được các bài toán trong chuỗi sẽ tạo lậpđược ở HS thói quen độc lập suy nghĩ, giúp các em có cách nhìn các khái niệmtoán học một cách có chiều sâu, có hệ thống, điều đó góp phần nâng cao chấtlượng học tập của các em
Việc học tập để khắc sâu khái niệm có thể được thể hiện theo quy trìnhsau:
Ví dụ 1: Rèn luyện tư duy sáng tạo cho HS thông qua việc xây dựng bài toán gốc để củng cố khái niệm về vectơ – không:
Nắm vững được ý nghĩa, tầm quan trọng của việc vận dụng bài toán gốc
trong dạy học với những cơ sở lý luận nêu trên tôi đã không ngừng vận dụngtrong suốt quá trình dạy học nói chung, dạy học môn toán lớp 10 nói riêng Saukhi HS đã được học khái niệm về vectơ – không tôi đã tổ chức cho học sinhcủng cố khái niệm bằng cách giải các bài tập có liên quan và xây dựng chuỗi bài
toán để khắc sâu khái niệm Phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn
đề, đan xen hoạt động nhóm, cụ thể trong tiết dạy bài tập (sau tiết lý thuyết vềvectơ) tôi đã yêu cầu học sinh giải bài toán gốc sau đây để củng cố khái niệm vềvectơ – không:
Bài toán 1: Cho ABC với trọng tâm G Chứng minh rằng:
O GC
GB
GA (SGK Hình học 10 trang 11, ban cơ bản)
Bằng việc dẫn dắt, gợi mở và tổ chức cho học sinh thảo luận thông qua các câu hỏi:
+ Điểm G có tính chất gì?
+ Nếu gọi M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh BC, AB, CA thì các em
có được điều gì?
+ Thử vận dụng quy tắc 3 điểm và quy tắc hình bình hành?
HS đã dễ dàng giải được bài toán trên, cụ thể lời giải như sau:
AC BA AC
NA
2 1
A N
B
C M
Khái
niệm
Bài toán nâng cao
Các dạng toán
Bài toán gốc
Chuổi bài toán
Trang 7Suy ra 0
2
3 2
Bằng việc đặt học sinh đứng trước một khó khăn, thử thách mới ngay saukhi họ đã giải quyết được khó khăn trước đó (giải Bài toán 1) HS đã phát hiện ramối liên hệ và tìm ra bài toán sau đây:
Bài toán 1.2: Cho đoạn thẳng AB có M là trung điểm CMR MAMB 0.
Như vậy thông qua việc dẫn dắt, gợi mở của GV mà HS dễ dàng nhậnthấy mối liên hệ giữa hai bài toán trên Tuy vậy để rèn luyện tư duy sáng tạo,tìm tòi phát hiện các vấn đề mới GV vẫn cần tiếp tục đặt vấn đề, dẫn dắt, gợi mở
để học sinh tìm ra các bài toán khác Trong thực tiễn dạy học tôi đã đặt vấn đề:
Giả thiết của Bài toán1.2 có thể viết dưới dạng M là điểm thuộc đoạn AB thoả
mãn MA = MB Thay đổi giả thiết này để có bài toán mới?
Câu trả lời mong đợi ở HS là việc tìm ra bài toán sau:
Bài toán 1.3: Cho đoạn thẳng AB, M là một điểm thuộc đoạn AB sao cho
MA=kMB (k là số thực) CMR MAk MB 0.(Với bài toán trên k = 1)
Thông qua việc phát triển bài toán gốc để HS phát hiện các bài toán liênquan thì GV không chỉ giúp cho học sinh củng cố, khắc sâu khái niệm vectơ –không mà còn giúp HS hình thành thói quen tư duy tích cực, không ngừng phát
hiện tìm tòi cái mới Tiếp tục đặt vấn đề: Quay trở lại với ví dụ ban đầu, nếu ta gọi I là trung điểm của AM các em có được điều gì? ( AM 2IM ) Từ đó giáo
viên giúp HS tìm được bài toán mới:
Bài toán 1.4: Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC, I là trung điểm
của AM Chứng minh rằng 2IAIBIC 0.
Tổng quát bài toán 1.4 ta có:
Bài toán 1.5: Cho tam giác ABC, M là điểm thuộc BC, I là điểm thuộc
đoạn AM thoả mãn MB = kMC và IA = hIM CMR : (k 1 )IAh IBhk IC 0.
Tùy theo từng đối tượng HS mà GV có thể phát triển, mở rộng bài toángốc ở những mức độ khác nhau Đối với những đối tượng HS khá giỏi để pháttriển tư duy sáng tạo cho họ cần thiết GV phải khuyến khích, yêu cầu và địnhhướng để HS tìm được những bài toán nâng cao có liên quan đến bài toán gốc
Chẳng hạn từ Bài toán 1 tiếp tục khai thác theo hướng tìm điểm chia các cạnh
AB, BC theo một tỷ số khác để có các bài toán nâng cao mới:
Bài toán 1.6: (Bài toán nâng cao): Cho tam giác ABC, M là điểm thuộc
AB, N là điểm thuộc đoạn BC thoả mãn MA = kMB và CN = kNB Gọi G là giao điểm của AN và CM Chứng minh rằng GAk GBGC 0.
Bài toán 1.7: Cho đa giác đều A1 A2 … An có tâm O Chứng minh rằng
0
2
1 OA OA n
Trang 8Như vậy từ khái niệm vectơ - không ta có thể khai thác thành các bài toánmới ở mức độ khó khăn nâng cao dần Nếu dừng lại ở bài toán ban đầu thì thật
là đáng tiếc, chúng ta đã bỏ phí đi một mảnh đất “màu mỡ” mà cần phải khaithác Hơn nữa việc dừng lại ở một bài toán, không đặt ra yêu cầu để HS tìm cáchphát triển bài toán sẽ vô hình chung kìm hãm tư duy sáng tạo của HS Trong Ví
dụ nêu trên nếu việc phát triển, vận dụng bài toán gốc được GV khéo léo ápdụng trong thực tiễn dạy học chắc chắn sẽ giúp học sinh vừa cũng cố, khắc sâukhái niệm vừa giúp HS hình thành thói quen làm việc tích cực, không bằng lòngvới những gì đã đạt được quá dễ dàng Thói quen suy nghĩ, tư duy tích cực đónếu được nhân lên trong suốt quá trình học tập chắc chắn HS sẽ có được kết quảhọc tập tích cực
3.2 Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua việc phát hiện và vận dụng bài toán gốc nhằm khắc sâu định lí, quy tắc
Các định lí, quy tắc cùng với các khái niệm Toán học tạo thành nội dung
cơ bản của môn Toán, làm nền tảng cho việc rèn luyện kĩ năng bộ môn, đặc biệt
là khả năng suy luận và chứng minh Việc thể hiện định lý được rèn luyện thôngqua việc giải các bài toán của chuỗi Trong chuỗi các bài toán nhằm củng cốđịnh lý chúng ta cố gắng xây dựng trên cơ sở khái quát hoá, tương tự hoá các bàitoán quen thuộc với cách thức nâng cao dần mức độ khó khăn, đồng thời để giảicác bài toán của chuỗi cũng cần phải đặc biệt hoá để đưa về các bài toán đơngiản hơn Điều đó sẽ giúp cho HS nhìn nhận những ứng dụng khá phong phúcủa các định lý toán học, từ đó giúp các em hứng thú hơn trong học tập, pháthuy khả năng sáng tạo của các em
Vận dụng “Bài toán gốc” trong dạy học định lý thường theo quy trình sau:
Chúng ta muốn học sinh nắm được các hệ thống định lý và những mối liên
hệ giữa chúng, từ đó có khả năng vận dụng định lí vào các hoạt động giải Toáncũng như giải quyết các vấn đề trong thực tiễn Vì vậy trong quá trình dạy họcđịnh lí chúng ta phải chú ý tới việc xem xét các định lý trong mối liên hệ với cácđối tượng và định lý khác Phải luôn đặt nó trong những mối quan hệ để thấyđược nguồn gốc ra đời, điều kiện tồn tại và ý nghĩa thực tiễn của nó
Trong quá trình dạy học định lý GV phải tổ chức được các hoạt động nhậnthức cho HS, định hướng cho các em tự tìm ra định lý và khai thác định lý dướinhiều hình thức khác nhau, từ đó tìm ra những tính chất tổng quát hơn Khi đócác em sẽ thấy được tầm quan trọng của việc phát hiện, chứng minh và ứngdụng định lý trong Toán học
Dạng toán ứng dụng
Quy trình giải
Các bài toán nâng cao
Trang 9Ý thức được vai trò, ý nghĩa của việc dạy học định lý nêu trên tôi đã ápdụng vào trong thực tiễn dạy học môn toán lớp 10, sau đây là một ví dụ cụ thể:
Ví dụ 2: Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh thông vận dụng bài toán gốc nhằm khắc sâu định lý cosin trong tam giác:
Xuất phát từ Định lý cosin trong tam giác mà HS đã được học:
(Bài toán 2) Với mọi tam giác ABC ta đều có:
a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cosA; b 2 = a 2 + c 2 - 2ac cosB; c 2 = a 2 + b 2 - 2ab cosC
Trong thực tiễn dạy học tôi đã hướng để HS xem định lý trên như là mộtbài toán gốc để có thể vận dụng, phát triển thành một chuỗi bài toán, dạng toán
có liên quan Cụ thể sau khi HS đã nắm được định lý cosin, GV có thể đặt vấn
đề: Từ định lý cosin em hãy nêu công thức tính cosin của một góc trong tam giác khi biết độ dài ba cạnh? Vấn đề nêu trên dễ dàng được HS trả lời và rút ra
được công thức (Bài toán 2.1):
cos B =
ac
b c a 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
Tiếp tục đặt vấn đề phát triển ta có các bài toán sau đây:
Bài toán 2.2 (Bài toán về nhận dạng tam giác) Cho tam giác ABC có độ
dài ba cạnh AB = c, BC = a, CA = b hãy tìm điều kiện cần và đủ để tam giác đó
là tam giác tù, nhọn hay vuông?
Tóm tắt lời giải: Cho phép ta xét góc A (hoặc B, C) nhọn, vuông hay tù
thông qua các cạnh của tam giác Cụ thể:
2
2 2
2
2 2
2
c a
b
b c
a
a c
b
(I)
2 2 2
2 2 2
c a b
b c a
a c b
2 2 2
2 2 2
c a b
b c a
a c b
2 2 2
2 2 2
Dạng 1 : Chứng minh các đẳng thức liên quan tới các đại lượng giữa góc và cạnh trong tam giác
Bài toán 2.4: CMR trong mọi tam giác ABC ta có a = bcosC + ccosB
Trang 10Đây là bài toán trong SGK được đưa ra để HS vận dụng định lý cosin, tuynhiên trong quá trình dạy học giáo viên vẫn có thể giúp HS tự tìm ra bài toán từBài toán 2.1.
Tương tự như ở Bài toán 2.4 HS dễ dàng nhận thấy được:
b = a.cosC + c.cosA ; c = b.cosA + a.cosB
GV tiếp tục đặt vấn đề: Hãy cộng các đẳng thức trên và biến đổi và biến đổi để có được các bài toán mới?
Bằng các câu hỏi phù hợp với đối tượng HS kết hợp với sự hướng dẫn, gợi
mở GV có thể giúp HS tìm ra hàng loạt bài toán có liên quan Hoặc nếu gặp mộtbài toán liên quan HS có thể dễ dàng trong việc liên hệ giữa chúng với nhữngbài toán nêu trên Sau đây là những bài toán mới GV mong muốn HS tìm rahoặc liên hệ được với bài toán gốc để tìm ra cách giải:
Bài toán 2.5: Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có:
a/ a + b + c = (b + c)cosA + (c + a)cosB + (a + b)cosC.
b/ b(cosA + cosC) + c(cosB + cosA) = a + b + c - a(cosB + cosC)
Bài toán 2.6: Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có:
a a 2 + b 2 + c 2 = 2abcosC + 2bccosA + 2cacosB.
b 2abc(cosA + cosB) = (a + c - b)(b + c - a) (a+b).
c abc(cosA + cosB + cosC) - a 2 (p - a) = b 2 (p - b) + c 2 (p - c).
d bc(b 2 - c 2 )cosA + ac(c 2 - a 2 )cosB + ab(a 2 - b 2 )cosC = 0.
Dạng 2: Nhận dạng tam giác
Từ Bài toán 2.2 GV có thể đưa ra hoặc giúp học sinh tìm ra các bài toán nâng
cao sau:
Bài toán 2.7: Cho a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh BC, CA, AB của tam
giác ABC và a 5 = b 5 +c 5 CMR tam giác ABC nhọn.
GV tiếp tục đặt vấn đề để HS tìm được hay giải được bài toán tổng quát:
Bài toán 2.8: Cho an = bn + cn CMR tam giác ABC nhọn với a, b, c là 3cạnh của tam giác ABC, n ≥ 3
Dạng 3: Các bài toán liên quan tới độ dài các đoạn thẳng.
Xuất phát từ các bài toán gốc (định lý cosin và các hệ quả) GV có thể giúp
HS tìm ra bài toán hay tìm ra cách giải các bài toán khác liên quan đên độ dàicác đoạn thẳng với các mức độ từ dễ đến khó Chẳng hạn các bài toán sau đây:
Bài toán 2.9: Cho tam giác ABC có BC = a, AB = c, AC = b Trên cạnh
BC lấy điểm D sao cho BD = p (0 p a) Tính AD.
Bài toán 2.10 : Cho tam giác ABC có BC = a, AB = c, AC = b Trên cạnh
BC lấy điểm D Đặt BD = p, CD = n và AD = d
Chứng minh rằng : ad 2 = pb 2 + nc 2 - pna.
Bài toán 2.11: Cho tam giác ABC có BC = a, AB = c, AC = b, trên cạnh
BC lấy điểm D sao cho
n
m DC
DB
Chứng minh rằng :
2 2
2
BC ) n m (
mn AB
n m
n AC n m