Tài liệu dạy thêm toán Hình lớp 10

Hai ectơ có giá song song ho c trùng nhau g i là ectơ cùng hương Hai cùng Hai Hai nhau Hai ectơ cùng hương n chúng cùng hướng và cùng đ dài.. Quy t c hình bình hành: Cho ABCD là hình bìn

CHƯƠNG 1 VECTƠ, TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG

CHUYÊN ĐỀ 1: VECTƠ VÀ CÁC PHÉP TOÁN CỦA VECTƠ

H N 1: LÝ THUY T T NG TÂM

Vectơ là đoạn thẳng có hướng, nghĩa là trong hai điểm mút của đoạn thẳng đã ch rõ điểm nào là điểm

đ , điểm nào là điểm c i

Vectơ có điểm đ là A, điểm c i là B ta kí hi AB

Vectơ còn đư c kí hi là: a, b, x, y,

Vectơ – không là ectơ có điểm đ trùng điểm c i Kí hi là 0

ư ng thẳng đi qua điểm đ và điểm c i của ectơ g i là giá của ectơ

dài đoạn thẳng AB g i là đ dài ectơ AB, kí hi AB Ta có ABAB

Hai ectơ có giá song song ho c trùng nhau g i là ectơ cùng hương

Hai cùng Hai Hai nhau Hai ectơ cùng hương n chúng cùng hướng và cùng đ dài

Chú ý: Vectơ – không cùng hướng ới m i ectơ

3 Các quy vec

Quy t c ba điểm Với ba điểm t A, B, C ta có ABACCB

Quy t c hình bình hành: Cho ABCD là hình bình hành khi đó ta có: ACABAD

Quy t c trung điểm Cho I là trung điểm AB, M là điểm t kì: 2MIMAMB

Quy t c tr ng tâm: G là tr ng tâm tam giác ABC: GAGBGC0

(M là điểm t 3MGMAMBMC

Quy t c tam giác đ i ới hi hai ectơ ới ba điểm t kì A, B, C ta có: ABCBCA

Vec tơ đ i của ectơ kí hi là a a c i t a  a 0, AB BA

H N 2: CÁC D NG BÀI T

1 Ví minh

Ví 1: Cho 7 điểm không thẳng hàng, có thể xác đ nh đư c bao nhiêu ectơ khác ectơ không có điểm

đ và điểm c i là các điểm trên?

i m t đoạn thẳng tạo thành 2 ectơ, ví đoạn thẳng AB tạo ra hai ectơ AB và BA.

V ectơ đư c tạo ra là 2

72C 42

Câu 1 Cho l c giác đ u ABCDEF tâm O S các ectơ khác ectơ không, cùng hương ới có điểm đ

và điểm c i là các đ nh của l c giác là:

Câu 2 i M, N l n lư t là trung điểm của các cạnh AB, AC của tam giác đ ABC i c ectơ nào sau đ cùng hướng

A MN và CB B AB và MB C MA và MB D AN và CA

Câu 3 Hai ectơ g i là ng nhau khi và ch khi:

A Giá của chúng trùng nhau và đ dài của chúng ng nhau

B Chúng trùng ới m t trong các c cạnh đ i của m t hình bình hành

C Chúng trùng ới m t trong các c cạnh đ i của m t tam giác đ

D Chúng cùng hướng và và đ dài của chúng ng nhau

A M là trung điểm của BC B M là trung điểm của AB

C M là trung điểm của AC D ABMC là hình bình hành

ướng n

t khác I là trung điểm AM nên IAIM0

Suy ra IBIC2IA2IM2IA2 IMIA 0

Ví 5: Cho tam giác ABC vuông tại A có ABC300 và BCa 5 Tính đ dài của ectơ ABAC

ướng n

i D là điểm sao cho t giác ABDC là hình bình hành

Khi đó theo quy t c hình bình hành ta có ABACAD

Vì tam giác ABC vuông A nên t giác ABDC là hình ch nh t suy ra

Phân tích ectơ ng đ nh lí m i ectơ đ phân tích đư c thành 2 ectơ không cùng hương

ng quy t c tam giác, quy t c hình bình hành trong phép c ng ectơ, quy t c ba điểm trong phép tr hai ectơ để phân tích m t ectơ theo nhi ectơ

tích ectơ ể tìm t h điểm M th a mãn m t đẳng th c ectơ ta i n đ i đẳng th c ectơ đó đưa các t h điểm cơ n đã i t

hương trình có ạng MA  MB, trong đó A, B c đ nh thì t h điểm M là đư ng trung tr c của đoạn thẳng AB

hương trình có ạng MA a, trong đó A c đ nh, a là đ dài đã i t thì t h điểm M là đư ng tròn có tâm A, bán kính a

T h nh ng điểm cách đ 2 đư ng thẳng c t nhau là đư ng phân giác của góc đư c tạo i hai

Vì M là trung điểm của BC nên ABAC2AM (1)

t khác I là trung điểm của AM nên 2AIAM (2)

Ví 2: Cho t giác ABCD trên cạnh AB, CD l l n lư t các điểm M, N sao cho 3AM2AB và

Tính ectơ theo hai ectơ



r6

ướng n

i G là tr ng tâm của tam giác ABC

Ta có 2MA3MB4MC2 MIIA 3 MIIB 4 MIIC

h n điểm I sao cho 2IA3IB4IC0 3 IAIBIC ICIA0

Mà G là tr ng tâm của tam giác ABC IAIBIC3IG

Khi đó 9IGICIA0 9IGAIIC0 9IGCA

C ư ng trung tr c của đoạn thẳng AB.

D ư ng trung tr c của đoạn thẳng IA

Câu 2 (ID:8211) Cho ba điểm phân i t a, b, c Khi đó

Câu 7 (ID:13288) Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC, G là tr ng tâm của tam giác ABC Khẳng đ nh nào sau đây đúng?

A ư ng trung tr c của đoạn thẳng BC B ư ng tròn đư ng kính BC

C ư ng tròn tâm G, bán kính a D ư ng trung tr c của đoạn thẳng AG

3Câu 9 (ID:13472) Cho hai điểm A, B phân i t và c đ nh, ới I là trung điểm của AB Tìm t h các điểm M th a mãn đẳng th c 2MAMB MA2MB

A ư ng trung tr c của đoạn thẳng AB B ư ng tròn đư ng kính AB

C ư ng trung tr c của đoạn thẳng IA D ư ng tròn tâm A, bán kính AB

án:

1 – C 2 – A 3 – A 4 – D 5 – D 6 – B 7 – B 8 – A 9 – A

CHƯƠNG 1 VECTƠ, TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG

• Cho M là một đi m tùy ý trên trục O;e Khi đ có duy nh t một k sao cho OM ke Ta gọi k

đ là tọa độ c a đi m M đ i i trục đ cho

• Cho hai đi m A và B trên trục O;e Khi đ có duy nh t a sao cho AB ae Ta gọi a là độ dài

13

Ví 3: Trong m t h ng Oxy, cho hai ct u 1;2 , v 1; 3 Góc gi a hai ct là:

Câu 1 (ID: 9106) Kh ng định nào đúng trong các kh ng định sau?

A Hai vect a 6;3 và b 2;1 ng c h ng v i nhau

B Hai vect a 5;0 và b 4;0 cùng h ng v i nhau

C Vect c 7;3 là vect đ i c a vect d 7;3

D Hai vect a 6;3 và b 2;2 cùng ph ng v i nhau

Câu 2 (ID:9204) Trong m t h ng Oxy, cho ba ct a 0;1 ,b 1;2 , c  3; 2 Tọa độ c a

2Câu 4 (ID:8750) Cho hai ct , sao cho a b a 3, b 5, a, b 120   0 Độ dài ct a b ng:

i tọa độ đi m E a;b AE a 2;b 5

Ta có: AB  1; 4 ,AC 1; 2  3AB 2AC   5; 8

Câu 2 (ID:9175) Trong m t h ng tọa độ Oxy cho n đi m A 3;1 , B 2;2 , C 1;6 , D 1; 6 i

đi m G 2; 1 là trọng tâm c a tam giác nào sau đ y

A Tam giác ABC B Tam giác ABD C Tam giác ACD D Tam giác BCD

Câu 3 (ID:9192) Trong m t h ng Oxy, cho hai đi m A 1;0 , B 1;0 Tìm tọa độ đi m N đ tam giác ABN vuông cân t i A.

12

Ví 4: Trong m t h ng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A 1;3 , B 4; 1 , C 2; 3   Tọa độ tâm

đ ng tròn ng i ti tam giác ABC là:

Câu 1 (ID:9742) Trong m t ph ng tọa độ Oxy, cho ba đi m A 1; 1 , B 3;1 , C 6;0  S đo góc B

c a tam giác ABC b ng:

Câu 9 (ID:9235) Trong h trục tọa độ Oxy, cho ba đi m A 1;2 , B 0;4 , C 3; 2 Tìm tọa độ đi m

D sao cho ABCD là hình bình hành

2

a 32



Câu 11 (ID:8937) Trong m t ph ng tọa độ Oxy, cho ba đi m A 2; 1 , B 3;4 , M m;0  Giá trị c a

m đ MA2MB2 đ t giá trị

A 1 B 0 C 1 D .

2

2Câu 12 (ID:8964) Trong m t ph ng Oxy, cho hai đi m A 1;3 , B 3;1 và tr c tâm H 1;1 Tọa độ

CHƯƠNG 1 : VECTƠ, TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTD VÀ ÚNG DỤNG

A 5 B 6 C 3 D 4.

.2

25cm

26cm

v a vào các tài i có, ng i ta o c kích t ớc c a tam giác ABC trên a là AB = 4,3cm,

Áp ng n lí hàm s cosin ta có:

430

4075

,7.3,4.2

7,35,73,4

.2

cos   2 2 2  2 2  2 

ACAB

ABACAB

BAC

v , sinBAC  1(cosBAC )2 0,323

47,11323,0

7,3sin

p2

 

tìm c á án là 5,735(cm)

;

3 

 CAB

.2

3.2

2.2Câu 2 (ID:14022) Cho ABC có T s là:

12

5.2

tìm các t còn i ta s ng n lí côsin và n lí sin; n lí t ng ba góc trong m t tam giác

b ng 1800 và trong m t tam giác i i n với góc ớn n thì có c n ớn n và ng c i i i n với

c n ớn n thì có góc ớn n

2 Ví minh

Ví 1: Cho tam giác ABC có c n a 2 3,b2,C 300 Tính c n c, góc A

A 4 và 1200 B 2 và 1100 C 2 và 1200 D 4 và 1100

H ớng nTheo n lí côsin ta có: 2  2 2    0

c a b 2ab cos C 12 4 2.2 3.2.cos30 4

c = 2 và tam giác ABC cân t i A có b = c = 2

,53

87sin.32sin

Ví 4: Cho tam giác ABC có BCa, CAb, ABc t a mãn t c c b Hãy tính s

.sin

.sin

0 0

3

34.94sinsin

sin.sin

ADDBA

AD

D

AB

ng n lí côsin; sin; công t c ng trung t n; công t c tính i n tích tam giác bi n i gi

t i t v t c liên c n o c góc) t ó suy ra ng c a tam giác

2 Ví minh a

Ví 1: Cho tam giác ABC t o mãn sinC2sinBcosA H i tam giác ABC là tam giác gì?

A Tam giác cân t i B B Tam giác cân t i A.

H ớng n2

2 2 2

2

p a p b p cS

A Tam giác vuông t i B B Tam giác cân t i A.

Câu 2 (ID:14475) Cho tam giác ABC có các c n t a mãn: 2 2 2 2 Tính s o góc

5.24Câu 2 (ID:14039) Cho tam giác ABC có AB14 cm, BC16 cm và góc B 1200 Tính c n AC c a tam giác ó

2

147cm

2

157cm

2Câu 4 (ID:14074) Cho tam giác ABC có 1 Tính i n tích tam giác

A 4 B C 1 D

3

3.4

1.abcCâu 7 (ID:14433) Tam giác ABC có i n tích S t ng c n BC lên 2 n ng t i t ng c n CA lên

3 n và gi nguyên ớn c a góc C thì khi ó i n tích c a tam giác mới c t o nên b ng:

Câu 8 (ID:14430) Tam giác ABC có BCa, CAb, ABc và ng trung t n AMc dài

ng trung t n AMc thì t n nào sau là ng:

Câu 10 (ID:14495) Cho tam giác ABC có s o ba góc t a mãn: 2 2 2 t n nào

sin Bsin C = 2sin A

sau là ng:

A Tam giác ABC là tam giác n n B AB 1800

C Tam giác ABC vuông t i A D A 600

Câu 11 (ID:14469) Hai c i c tàu t P và Q cách nhau 300 m ng t i t ng hàng với chân A c a tháp i ng trên b bi n T P và Q, ng i ta nhìn c i cao AB c a tháp ới góc 0và Tính

15

075

c i cao AB c a tháp i ng

Câu 12 (ID:14468) T v trí A ng i ta quan sát m t cây cao (Hình v Bi t

Tính 0

45,

20,

4 30.15

6 30.15

á án:

1 – C 2 – D 3 – B 4– C 5 – A 6 – B 7 – B 8 – C 9 – D 10 – D

11 – B 12 – A 13 – B 14 – B

CHƯƠNG 2: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNGCHUYÊN ĐỀ 1: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

t đư ng th ng có vô vectơ chỉ phương

là vectơ chỉ phương của thì u  ku k 0 c ng là vectơ chỉ phương của 

Cho đư ng th ng đi qua  M x ; y0 0 0 và u a;b là vectơ chỉ phương Khi đ phương trình tham của đư ng th ng có ng

, .0

t đư ng th ng có vô vectơ pháp t n

là vectơ pháp tn n của thì  kn k 0 c ng là vectơ pháp t n của 

Liên h gi a vectơ chỉ phương và vectơ pháp t n vectơ pháp t n và vectơ chỉ phương vuông góc

v i nhau Do đ n có vectơ chỉ phương  u a;b thì n b;a là t vectơ pháp t n của 

đi qua g c tọa đ

Cho hai đư ng th ng 1: a x b y c1  1  1 0 và 2: a x b y c2  2  2 0

xét v trí tương đ i của hai đư ng th ng 1 và 2 ta xét nghi của h phương trình

h (I) vô nghi hai đư ng th ng song song

h (I) vô nghi hai đư ng th ng trùng nhau

h (I) có t nghi duy nh t hai đư ng th ng c t nhau ghi của h chính là tọa đ giao đi của hai đư ng th ng

ư ng th ng qua đi M x ; y0 0 có h góc k có phương trình là: y k x x  0 y0

Vi t phương trình đư ng trung tr c của đ n AB i t A x ; y1 1 ,B x ; y2 2

ư ng trung tr c của đ n AB đi qua trung đi I x x y y1 2; 1 2 của AB và nh n

Vi t phương trình đư ng phân giác trong, phân giác ngoài của tam giác

Cho 2 đư ng th ng c t nhau: d : A x B y C1 1  1  10; d : A x B y C2 2  2  20

Phương trình các đư ng phân giác của góc t i 2 đư ng th ng đ là:

Chọn C

Ví 3: Vi t phương trình t ng quát của đư ng th ng đi qua 2 đi A 3; 1 và B 1;5

A 3x y 6 0   B 3x y 8 0   C  x 3y 6 0  D 3x y 10 0  

ư ng trung tr c của AB là đư ng th ng đi qua trung đi của AB và vuông góc v i AB.

Ta có I 4;6 là trung đi của AB

suy ra vectơ chỉ phương của đư ng th ng là

Ví 7: Cho tam giác ABC có phương trình các c nh AB : x y 1 0   ; AC : 7x y 2 0   ;

Vi t phương trình đư ng phân giác trong góc A của tam giác ABC

Suy ra B, C n khác phía so v i và cùng phía so v i d1 d2

V phương trình đư ng phân giác trong góc A là: d : 2x 6y 7 01   

ọi là góc gi a đư ng th ng d và tr c Ox

Do tam giác OAB vuông t i O nên ta có: tan BAO OB 1

ư ng th ng d có h góc ng 1 và đi qua nên có phương trình là:

Do M 1; 5  n trên d nên  1 2 5 2b 0   2b 11

Thay vào (2) ta được phương trình đư ng th ng d là: x 2y 11 0  

Trư ng hợp 2: a 2b ta có (1) bx 2by 2b  2   0 x 2y 2b 0  (3)

Do M 1; 5  n trên đư ng th ng d nên  1 2 5 2b 0   2b 9

Thay vào (3) ta được phương trình đư ng th ng d là: x 2y 9 0  

Ví 1: Xác đ nh v trí tương đ i của 2 đư ng th ng 1 và

x 3 4t:

A Song song nhau B Trùng nhau

C Vuông góc nhau D C t nhau nhưng không vuông góc

A C t nhau nhưng không vuông góc B Vuông góc nhau

C Song song v i nhau D Trùng nhau

p án

1 P pháp

Xác đ nh hình chi H của đi M trên đư ng th ng (d)

Cách 1: Vi t phương trình đư ng th ng đi qua M và vuông góc v i (d).

Tọa đ đi H là giao đi của đư ng th ng (d) và đư ng th ng 

1 – D 2 – B 3 – B 4 – C

Xác đ nh đi M1 đ i ng v i đi M qua (d).

ư c 1: Xác đ nh hình chi H của đi M trên đư ng th ng (d)

ư c 2: ọi M1 là đi đ i ng v i M qua d thì H là trung đi của MM1, ta được 1

Vi t phương trình hình chi đ i ng của đư ng th ng

Cho đư ng th ng và Vi t phương trình đư ng th ng d đ i ng v i qua d1 d2 d1 d2

ư c 1: Xác đ nh giao đi I của hai đư ng th ng và d1 d2

ư c 2: đi M d 1 Tìm tọa đ đi N đ i ng v i M qua d2

ư c 3: Vi t phương trình đư ng th ng d đi qua IM

Chú ý:

// ta làm như sau:d1 d2

ư c 1: đi M, Nd1 sau đ xác đ nh hình chi của đi M, N qua là d2 M N,

ư c 2: Vi t phương trình đư ng th ng d đi qua M , N

105

Ví 2: h ng cách gi a hai đư ng th ng song song : 6x 8y 101 0   và d : 3x 4y 0  là:

ư ng n

đi O 0;0 d :3x 4y 0 

h ng cách gi a hai đư ng th ng song song là:

.2

Ví 3: Tìm đi M trên tr c Ox sao cho nó cách đ hai đư ng th ng d :3x 2y 6 01    và

?2

Ví 5: Cho đi M 1;2 và đư ng th ng d : 2x y 5 0   Tọa đ của đi đ i ng v i đi M qua

ọi đi đ i ng của M qua d là M1, khi đ ta có A là trung đi MM1, suy ra

3 1010

3 1010



ư ng nVectơ pháp t n của và l n lượt là 1 2 n1 2;1 và n2  1;1

Ví 8: Cho tam giác ABC v i A 3;3 ,B 1;2 ,C 4;1 Tìm côsin góc t thành t hai đư ng th ng

Ví 10: Cho các đư ng th ng d : 2x y 5 01    ,d : 3x 6y 1 02    ọi A là giao đi của và d1 d2

Vi t phương trình đư ng th ng d đi qua đi M 2; 1 c t , l n lượt t i B, C sao cho tam giác ABC d1 d2cân đỉnh A

Do tam giác ABC cân t i A nên 1 2 2 2 2 2 2

Trư ng hợp 1: a = 3b chọn b = 1 a 3 thay vào (2) ta có: c b 2a 1 2.3     5

Thay vào (1) ta được phương trình đư ng th ng d là: 3x y 5 0  

Trư ng hợp 2: 3a b chọn a = 1 b 3 thay vào (2) ta có: c b 2a    3 2.1 5

Thay vào (1) ta được phương trình đư ng th ng d là: x 3y 5 0  

5Câu 3 h ng cách t đi M 2;0 đ n đư ng th ng x 1 3t là:

52Câu 4 Vi t phương trình đư ng th ng (d) qua N 3; 2 và t v i tr c Ox t góc 45

A x y 1 0   B x y 1 0   C x y 5 0   D x y 2 0  

Câu 5 Tìm tọa đ đi m M trên tr c Ox và cách đ u hai đư ng th ng: d :3x 2y 6 01    và

.2

1 – B 2 – A 3 – A 4 – A 5 – A

ư ng nPhương trình đư ng th ng AC qua A 2; 1 , nh n vectơ chỉ phương AC 0; 3 nên có vectơ pháp

Ví 3: Cho A 1;3 ,B 2;5 và C 3;1 Xác đ nh chân đư ng cao H t đỉnh C của tam giác ABC

Ví 7: Cho tam giác ABC i t tr c tâm H 1;1 và phương trình c nh AB :5x 2y 6 0   , phương trình c nh AC : 4x 7y 21 0   Phương trình c nh BC là:

Câu 3 Phương trình đư ng th ng d :x 5 y 2 có vectơ chỉ phương là:

Câu 14 Hai c nh của hình ch nh t n trên hai đư ng th ng d : 4x 3y 5 01    ,d : 3x 4y 5 02    , đỉnh A 2;1 i n tích của hình ch nh t là: