Tài liệu dạy thêm toán Hình lớp 12

B: diện tích đáyh: chiều cao của hình chóp a.. mà nên AB là hình chi u của SB lên suy ra góc gi a SB và... Th tích hình chóp S.ABCD là:... Tính th tích kh i chóp SABC.. Cho hình chóp S.A

CHƯƠNG 1: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆNCHUYÊN Đ 1: KHỐI ĐA DIỆN

H N 1: LÝ TH T T NG TÂM

1 Hình

Hình đa diện (gọi tắt là đa diện) là hình được tạo

b i t h hạn các đa giác h ng th a mãn hai

đi iện sau:

• Hai đa giác phân biệt ch có th ho c không có

đi chung ho c có đ nh chung ho c có t cạnh

chung

• i cạnh c a đa giác nào c ng là cạnh chung c a

đ ng hai đa giác

h i đa diện = hình đa diện + h n không gian

được gi i hạn b i hình đa diện

Chú ý:

• i h i đa diện b t kì luôn có th được phân

chia được thành nh ng h i t diện

• i đ nh c a t hình đa diện là đ nh chung c a

ít nh t 3 cạnh

• i hình đa diện có ít nh t 6 cạnh

• Không t n tại hình đa diện có 7 cạnh

• Không t n tại t hình đa diện có:

A T diện đ B Bát diện đ

Hư ng d nHình t diện đ không có tâm đ i ng

Ví d 3: Trong các phát bi sau, phát bi nào sai:

A Hình chóp đ là hình chóp có t t c các cạnh bên b ng nhau và đ là đa giác đ

B Trong t hình chóp đ các góc gi a t cạnh bên và t đ thì b ng nhau

C Hình chóp đ là hình chóp có đ là đa giác đ và chân đư ng cao trùng i tâm c a đ

D Hình chóp đ là hình chóp có t t c các cạnh b ng nhau

Hư ng d nHình chóp đ th a mãn hai đi iện sau:

+ là đa giác đ

+ Chân đư ng cao c a hình chóp là tâm c a đ

Các t bên c a hình chóp đ là các tam giác cân nên các cạnh bên c a hình chóp đ chưa chắc đ

b ng cạnh đ do đ đ án D là phát bi sai

họn D

Câu 3: Trong các ệnh đ sau, ệnh đ nào sai?

A T n tại hình đa diện có cạnh b ng 7

B T n tại t hình đa diện có cạnh nh h n 7

C cạnh đa diện luôn luôn l n h n ho c b ng 6

D T n tại hình đa diện có cạnh l n h n 7

Câu 4: T ng đ dài c a t t c các cạnh c a h i ư i hai t đ cạnh b ng 2

Câu 5: Trong các ệnh đ sau, ệnh đ nào đ ng

A T n tại t hình đa diện có cạnh b ng đ nh

B T n tại t hình đa diện có cạnh và t b ng nhau

C đ nh và t c a t hình đa diện luôn b ng nhau

D T n tại hình đa diện có đ nh và t b ng nhau

Câu 6: ọi m là t đ i ng c a hình l hư ng n là t đ i ng c a hình bát diện đ Khi đ

A Không th so sánh m và n B m n

Câu 7: họn ệnh đ đ ng trong các ệnh đ sau?

A Hình chóp có đ là t giác thì có t c ngoại ti

B Hình chóp có đ là hình thang cân thì có t c ngoại ti

C Hình chóp có đ là hình thang vuông thì có t c ngoại ti

Câu 12: Trong các ệnh đ sau, ệnh đ nào sai?

A T n tại h i t diện là h i đa diện đ

B T n tại h i l ng tr đ là h i đa diện đ

C T n tại h i h là h i đa diện đ

D T n tại h i chóp t giác đ là h i đa diện đ

Câu 16: Cho hình bát diện đ cạnh a ọi S là t ng diện tích t t c các t c a hình bát diện đ Tính S.

B: diện tích đáy

h: chiều cao của hình chóp

a ệ th c ng trong tam giác vuông

Cho ABC vuông đ ng cao AH ta có:

iện tích hình ch nh t: S = chiều dài chiều r ng

iện tích hình thoi: S 1đ ng chéo đ ng chéo

2S S SV

2 ABCD 2

12





Th tích hình chóp tam giác đều

c nh đáy ng a, t bên t o i đáy

góc 

3 S.ABC a tanV

6



Khi hình chóp t giác đều có t t c các c nh

ng a

3 S.ABCD a 2V

6

 



Trong đó:

i t đáy và SB a 5 Tính th tích V của h i chóp S.ABC.

mà nên AB là hình chi u của SB lên suy ra góc gi a SB và

Ví d 4: Cho h i chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình ch nh t AB a , AD a 3 , SA vuông góc i

t ph ng đáy và t ph ng (SBC) t o i đáy t góc 60 Tính th tích của h i chóp S.ABCD

SBC , ABC  SM,AM SMA 45

Do đó tam giác SAM vuông cân t i A nên ta có SA AM a 2

3

a 3

32a 3Câu 3 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông t i B, AB 2a,BAC 60  nh bên SA vuông góc i t ph ng (ABC) và SA a 3 Tính theo a th tích h i chóp S.ABC

A V a  3 B V 3a  3 C V 2a  3 D V 4a  3

Câu 4 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có c nh a và SA vuông góc đáy ABCD và

t bên (SCD) h p i đáy t góc 60 Th tích hình chóp S.ABCD là:

A a 3 B C D

8

3

a 3

33a 3 8

3

a 3 3

Trong đó:

B: diện tích đáy

h = đ dài đ ng cao = đ dài đ ng cao h t đ nh

chóp của t bên vuông góc i c nh đáy

3

3

a 3 6

t bên (SAB) là tam giác đều n trong t

ph ng vuông góc i đáy ABCD và SAB ABCD AB

i H là trung đi của AB

đều ABC

B S aTam giác SAB đều nên h SA a 3

2

V y th tích h i chóp S.ABCD là:

3 ABCD

36a 12

36a 8

ng d nTam giác SAB vuông cân t i S và SA a nên AB a 2.

i M là trung đi AB, ta có SM AB và SM AB a 2 (SM là đ ng trung tuy n của tam giác

SAB vuông cân t i S)

t khác SAB ABC SM AB, và SAB ABC AB nên

V y tích h i chóp S.ABCD là:

3 2

Ví d 3: Cho hình chóp S.ABC có góc gi a SC và t đáy ng 45 , đáy ABC là tam giác vuông t i A

có AB 2a , góc ABC 60 và hình chi u của S lên t ph ng (ABC) là trung đi AB Tính theo a th tích h i chóp S.ABC

Tam giác SHC vuông cân t i H nên SH HC

Vì ABC là tam giác vuông t i A có AB 2a , góc ABC 60 Ta có

AC AB.tan 60 2a 3

iện tích tam giác ABC là:

2 ABC 1

Câu 1 Cho hình chóp SABC có đáy ABC đều c nh a, tam giác SBC vuông cân t i S và n m trong m t

ph ng vuông góc v i (ABC) Tính th tích kh i chóp SABC

9

3

a 3 9

3

a 3 24

3

a 16Câu 2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông c nh a, SD 3a Hình chi u vuông góc H của đ nh

3

a 3 36

3

a 6 36

Trong đó :

B: diện tích đáy

h = đ dài đ ng cao = đ dài đ ng cao h t đ nh

t i tâm hình chóp

Ví d : Cho chóp tam giác đều S.ABC c nh đáy

ng a và c nh bên ng 2a Tính th tích chóp đều S.ABC

12

3

a 12 11

12

3

a 11

Chú ý:

h i chóp tam giác đều có đáy là tam giác đều

chân đ ng vuông góc h t đ nh là tâm của đáy

h i chóp t giác đều có đáy là hình vuông, chân

đ ng vuông góc h t đ nh là giao đi hai đ ng

3

a 2 6

3

a 6

ng d n

i O là tr ng tâm của ABC, do ABCD là t diện đều nên DO ABC

Tam giác ABC đều c nh a nên diện tích tam giác ABC là:

2 ABC a 3

Xét tam giác ABO vuông t i O: AB AO2BO2 a 2.

iện tích đáy ABCD là:

34a 3

32a 3

Câu 2 Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có c nh đáy a và t bên h p i đáy t góc 60 Tính th tích hình chóp S.ABC.

12

3

a 2 24

3

a 3 24

3

a 24Câu 3 Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có c nh đáy ng a, các c nh bên SA, SB, SC đều t o i đáy

3

a 3 9

3

a 3 12

Công th c trên ch áp d ng cho hình chóp tam giác

Ví d : Cho t diện ABCD có th tích V và các

đi M, N, P th a mãn điều iệnAM 2AB ,

AN 3AC A C 1

AN 3 nên

AP 4AD A D 1

AP 4

Áp d ng công th c t ệ th tích ta có:

A.BCD A.MNP

V AB AC AD 1 1 1. . 1 .

V  AM AN AP 2 3 4 24   Suy ra VA.MNP 24.VA.BCD 24V

giá tr của k là:

Ví d 2: Cho hình chóp S.ABC có chiều cao ng 9, diện tích đáy ng 5 i M là trung đi của c nh

SB và N thu c c nh SC sao cho NS 2NC Tính th tích của h i chóp A.BMNC

Ví d 3: Cho hình chóp S.ABC i M, N n t thu c các c nh SB, SC sao cho SM MB ,

t ph ng (AMN) chia h i chóp thành hai ph n g i và h ng

đ nh nào sau đ y đ ng

Ví d 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình ch nh t t ph ng  đi qua A, B và trung

đi M của SC t ph ng  chia h i chóp đ cho thành hai ph n có th tích n t là , i V1 V2

Ví d 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD c nh a, SA vuông góc i đáy SA a 2

i B ,D là hình chi u của A n t lên SB, SD t ph ng AB D c t SC t i Th tích h i Cchóp S.AB C D là:

h n C

3 Bài

Câu 1 Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc v i m t đáy, SA a , ABC đều c nh 2a G i M, N

l n l t thu c các c nh SB, SC sao cho SM MB,SN  2CN Tính th tích kh i AMNCB

9

33a 9

3

4 3a 9

3

2 3a 3Câu 2 Cho h i chóp t giác đều S.ABCD t t ph ng  qua A, B và trung đi M của SC Tính

t th tích của hai ph n h i chóp phân chia i t ph ng đó

Câu 1 Cho hình chóp t giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông c nh a, c nh bên SA vuông góc

v i m t ph ng đáy và SA 2a Tính th tích V của kh i chóp S.ABCD

Th tích h i t diện ABCD là:

AD 6a

Câu 3 Cho hình chóp S.ABC có c nh bên SA vuông góc i đáy và AB a , AC 2a , BAC 120

t ph ng (SBC) t o i đáy t góc 60 Tính th tích của h i chóp S.ABC

SC t o i đáy góc 45 Tính th tích h i chóp S.ABCD

A V 20a  3 B V 20a 2. 3 C V 30a  3 D V 22a  3

Câu 5 Cho hình chóp S.ABC có SA SB SC a   , ASB 90 , BSC 120 , ASC 90 Th tích

3

a 3 4

3

a 3 12Câu 6 Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình ch nh t có AB a , BC 2a i H là trung đi

c nh AB, SH vuông góc i t ph ng đáy c nh bên SA a 5 Tính th tích hình chóp S.ABCD

A a 11 3 B C D

12

3

a 12 11

3

a 12

3

a 11Câu 8 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông t i A và D, c nh bên SD vuông góc

i đáy cho AB AD a  , CD 3a , SA a 3 Th tích h i chóp S.ABCD là:

3

34a 3

3

a 2 3

32a 2 3Câu 9 Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông t i B, AB a , ACB 60 , c nh bên SA vuông góc i t ph ng đáy và SB t o i t đáy t góc ng 45 Th tích h i chóp S.ABC là:

6

3

a 3 18

3

a 3 9

3

a 3 12Câu 10 Cho h i chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành i , n B D t là trung đi của

SB và SD t ph ng AB D c t SC t i Tính t th tích của hai h i chóp C S.AB C D và S.ABCD

CHƯƠNG 1: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆNCHUYÊN ĐỀ 3: THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TR

H N 1: LÝ THUY T T NG TÂM

1 Đ nh

Cho hai mặt song song () và (') Trên () ta lấy

đa giác lồi A1A2 An, qua các đ nh này ta ng các

đ ng th ng song song c t (’) t i A1’A2’ An’

Hình bao gồm hai đa giác A1A2 An, A1’A2’ An’ và

- Hình h ch nh t có tất c các mặt là hình ch

nh t

- Hình l h ng là có tất c các mặt là hình vuông

3 T tích

V = B.hTrong đ

- B là i n tích đáy

- h là hi cao h i l ng tr

4 T tích

V = a.b.cTrong đ a, b, c là ba kích th c c a h i h ch

B là i n tích đáy

h là đ dài c nh bên c a h i l ng tr

Ví Cho hình l ng tr đ ng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân t i A, AB = a, BB' = 2a Tính th tích V c a h i l ng tr ABC.A'B'C'

Do A’B’A vuông cân t i A’ nên A’A = A’B’ = a

Do đ chi cao c a l ng tr là h = A’A = a

Ví 3: Cho l ng tr đ ng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông t i A và AB = a, AC = a 3 , mặt

h ng (A’BC) t o v i đáy m t góc 30° Th tích c a h i l ng tr ABC.A’B’C’ là:

A a 33 B C D

4

3

a 33

3

a 37

3

a 38

Suy ra A 'MA A 'BC , ABC 30

Tám giác ABC vuông t i A nên ta có:

Do tam giác ABC vuông cân t i A nên AB = AC = a

i n tích tam giác ABC là:

ng n

Do tam giác ABC vuông cân t i A nên AB = AC = a

i n tích tam giác ABC là:

V AA '.S

2

Ch n B

Ví 7: t tấm bìa hình vuông có c nh 44 cm, ng i ta c t đi m i góc tấm bìa m t hình vuông

c nh 12 cm rồi gấ l i thành m t cái h ch nh t không có n Tính th tích cái h này

A 4800 cm3 B 1400 cm3 C 1200 cm3 D 4000 cm3

ng n

Theo đ bài, ta có AA’ = BB’ = CC’ = DD’ = 12cm

Do đ ABCD là hình vuông có AB = 44cm – 24cm = 20cm và chi cao h h = AA’ = 12cm

3

27 cm8Câu 2 Cho l ng tr đ ng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông, AB = BC = a, c nh bên

Câu 3 Cho l ng tr đ ng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình vuông c nh a và đ ng chéo BD’ c a

l ng tr h v i đáy ABCD m t góc 30° Tính t ng i n tích các mặt bên c a l ng tr

6

2

a 36

2

a 64

24a 63Câu 4 Cho hình l ng tr đ ng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân t i A, AB = a, (AB'C')

B là i n tích đáy (đáy là đa giác đ ) h là đ dài

c nh bên c a h i l ng tr

Ví Tính th tích c a h i l ng tr tam giác đ ABC.A'B'C' có tất c các c nh đ ng 2a

Do ABC.A'B'C' là l ng tr đ nên đ ng cao c a

l ng tr là BB' = 2a

i n tích đáy là:

2

2 ABC (2a) 3

14

35

i M là trung đi m B’C’ Do tam giác A’B’C’ đ nên A'M  B'C' t h v i AA'  B'C' suy ra B'C'  (AMA') => B'C'  AM

Do ABCDEF.A'B'C'D'E'F' là l ng tr đ nên đ ng cao c a l ng tr là BB' = 2a.

Ta có: B'OC' 360 60 OB'C'là tam giác đ

3

3 6 a4

3

3 6 a2Câu 3 Tính th tích V c a h i l ng tr t giác đ ABCD.A'B'C'D' có tất c các c nh đ ng 2a

Ví Cho hình l ng tr ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đ c nh a, c nh bên ng a 3 và hình chi c a A’ lên mặt h ng (ABC) trùng v i trung

B a 33 D

8

3a8

33a8

3a8

ng n C’H  (ABC) nên H là hình chi c a CC’ trên (ABC)

Ta có CC' (ABC) C,CH ' (ABC) 

Xét tam giác vuông CHC’, ta có:

3aC'H CC'.sin 60

Do A’H  (ABC) (A’A;(ABC)) = A 'AH 60

Xét tam giác A’HA vuông t i H, ta có:

Ví 4: Cho hình l ng tr ABC.A’B’C’, ABCđ có c nh ng a, AA' = a và đ nh A’ cách đ A, B,

C i M là trung đi m c a c nh BC Th tích h i l ng tr ABC.A’B’C’ là:

A a 23 B C D

2

3

a 24

3

a 28

3

a 23

Suy ra MI 3

Do A'A (AKE) MI (AKE)

AM (A'B'C ')







Suy ra AKE , A'B'C '  MI,AM AMI

Suy ra cos (AKE),(A'B 'C ') MI 3

3a8

3

3 a8Câu 2 Cho l ng tr xiên tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đ c nh a Hình chi c a A’

ng (ABC) là tâm O đ ng tròn ngo i ti tam giác ABC, i t AA’ h v i đáy ABC m t góc 60° Tính th tích h i l ng tr

3

3

3 a4

3

3 a8

3

3 a2Câu 3 Cho l ng tr t giác đ ABCD.A’B’C’D’ có c nh đáy a và mặt h ng (BDC’) h v i đáy (ABCD) m t góc 60° Tính th tích h i h ch nh t

2

3

6 a4

3

6 a3

3

6 a12

3

6 a2

3

2 6 a3Câu 3 Cho hình l ng tr đ ng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông t i B Cho AB = 3a,

BC = 4a, CC' = 2a Th tích l ng tr này ng

Câu 4 Th tích hình l ng tr tam giác đ c nh đáy ng a, c nh bên 2a là

6

3

a 32

3a2Câu 5 Tính th tích V c a kh i l ng tr tam giác đ u có c nh đáy b ng a và t ng di n tích các mặt bên

9Câu 9 Cho l ng tr đ ng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông t i B, AB = a, BC a 2 , mặt bên (A’BC) h p v i mặt đáy (ABC) môt góc 30 Tính th tích kh i l ng tr

9

3

a 64

3

a 63

3

a 66Câu 10 Cho l ng tr đ ng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông t i A và AB = a, AC a 3 , mặt

h ng (A’BC) t o v i đáy m t góc 30° Th tích c a h i l ng tr ABC.A’B’C’ là:

4

32a 33

33a 27

33a 27Câu 11 Cho l ng tr xiên tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đ c nh a, i t c nh bên là

33a8

3a8Câu 12 Cho hình l ng tr ABC.A’B’C’, đáy ABC cóAC 3, BC = 3a, ACB 30 C nh bên h v i mặt h ng đáy góc 60° và mặt h ng (A'BC) vuông góc v i mặt h ng (ABC) i m H trên c nh BC sao cho HC = 2BH và mặt h ng (A'AH) vuông góc v i mặt h ng (ABC) Th tích h i l ng tr ABC.AB’C’ là:

4

39a4

39a2

3

3 3a4Câu 13 Cho l ng tr đ ng tam giác đ u ABC.A’B’C’, có c nh đáy b ng a, đ ng chéo BC’ c a mặt bên (BCC’B’) t o v i mặt ph ng (ABB’A’) m t góc 30° Th tích kh i l ng tr ABC.A’B’C’ theo a

A a 63 B C D

3

3

a 68

3

a 66

3

a 64Câu 14 Cho l ng tr đ ng tam giác ABC.A'B'C có đáy ABC là tam giác vuông t i A v i AC = a,

Cho tam giác SOA vuông tại Quay tam giác ó O

quanh cạnh góc vuông SO tạo ra hình nón tròn

 Đ dài ường sinh là:

h i nón ng

ướng nGóc nh là ASB 60  nên tam giác SAB là tam giác u.

Khi tam giác SAC quay quanh cạnh SA thì ường g p khúc SAC

tạo thành m t hình nón tròn xoay có ường cao là:

3

8 3a3

Ví 4: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh , a SA vuông góc với ,

Khi tam giác quay quanh cạnh thì ường g p khúc tạo thành m t hình nón

3

a 36

Ví 5: Cho ABO vuông tại , O BAO 30  AB a,  , quay ABO quanh tr c AO ta ư c hình nón

có i n tích xung quanh ng

2

2a4

2

2 a