Đề thi 9 -đáp án

Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số là một đường thẳng cắt hai trục tọa độ tạo thành tam giác có diện tích bằng 1 đơn vị diện tích.. Cho hình vuông ABCD, trên cạnh BC lấy điểm M, trên tia

UBND HUYỆN NA HANG

PHÒNG GD&ĐT

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9-CẤP HUYỆN

NĂM HỌC 2008-2009 MÔN TOÁN

Thời gian làm bài: 150phút (không kể thời gian giao đề)

ĐỀ BÀI Câu 1 (4 điểm).

Rút gọn các biểu thức sau:

a A = 6 3 2 2 3 2 2   6 3 2 2 .

2008 2014 2008 4016 3 2009

2005.2007.2010.2011

Câu 2 (4 điểm).

a Giải phương trình sau: 2 2 1



 x



 x

b Giải bất phương trình sau:2x 4  x 3  10

Câu 3 (3 điểm)

Cho hàm số: y  mx - 3x + m + 1 Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số là một đường thẳng cắt hai trục tọa độ tạo thành tam giác có diện tích bằng 1 (đơn vị diện tích).

Câu 4 (2 điểm)

Chứng minh bất đẳng thức: a2b2  c2d2  (a c )2(b d )2 .

Câu 5 (3 điểm)

Cho hình vuông ABCD, trên cạnh BC lấy điểm M, trên tia đối của tia BA lấy điểm

N sao cho BN = BM Chứng minh hai đường thẳng AM và CN vuông góc với nhau.

Câu 6 (4 điểm)

ABC = 60 ; BC = a ; AB = c (a, c là hai độ dài cho trước) Hình chữ nhật MNPQ có đỉnh M trên cạnh AB, N trên cạnh AC, P và Q ở trên cạnh BC Tìm vị trí của M trên cạnh AB để hình chữ nhật MNPQ có diện tích lớn nhất và tính diện tích lớn nhất đó.

Đề này có 01 trang, cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

§Ò chÝnh thøc

ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 - CẤP HUYỆN

NĂM HỌC 2008-2009 MÔN TOÁN

1

a













 3 2 2 6 3 2 2 6

3 2 2 ( 6) ( 3 2 2) 3 2 2 6 (3 2 2)

A = (3 2 2)(3 2 2)   9 (2 2) 2 1

0,5 0,5 1,0

4,0 b

B =  2   2 

2008 2014 2008 4016 3 2009

2005.2007.2010.2011

Đặt x = 2008, khi đó

B =      

x x 6 x 2x 3 x 1

x 3 x 1 x 2 x 3

x 2 x 3 x 3 x 1 x 1

x 3 x 1 x 2 x 3

    = x + 1 = 2009

0,5 0,5 1,0

2

a

5 1 2

1   



 x x Ta xét các trường hợp sau:

* x  1 thì phương trình có dạng:

3

4 5

2 2

1      



*  1 x 1 thì phương trình có dạng: x 1  2x 2  5  x  2 (loại)

* x 1 thì phương trình có dạng: x 1  2x 2  5  x 2

Vậy nghiệm của phương trình là:

3

4





0,5 0,5 0,5 0,5

2,0

b

Ta xét các trường hợp sau:

* x  3thì phương trình có dạng:  2x 4  x 3  10  x  3 (loại)

*  3 x 2 thì phương trình có dạng  2x 4 x 3  10  x  3

* x  2 thì phương trình có dạng

3

11 10

3 4

2x x   x

Vậy nghiệm của bất phương trình là:

3

11

3  

0,5 0,5 0,5 0,5

2,0

A

H C

B M

3

Ta có: Đồ thị là đường thẳng cắt hai trục tọa độ khi m – 3  0 m3

SABO = OA OB

2

m m m



 2

(m 1) 2m 3

   

Nếu m> 3  m2 +2m +1 = 2m -6  m2 = -7 ( loại)

Nếu m < 3  m2 +2m +1 = 6 – 2m m2 + 4m – 5 =0

 (m – 1)(m + +5) = 0  m = 1; m = -5

0,5

1,0

1,0 0,5

3,0

4

Hai vế BĐT không âm nên bình phương hai vế ta có:

a2 + b2 +c2 + d2 +2 (a2b2)(c2d2) a2 +2ac + c2 + b2 + 2bd + d2

 (a2b c2)( 2d2)  ac + bd (1)

Nếu ac + bd < 0 thì BĐT được c/m

Nếu ac + bd 0 (1)  ( a2 + b2 )(c2 + d2) a2c2 + b2d2 +2acbd

 a2c2 + a2d2 + b2c2 + b2d2  a2c2 + b2d2 +2acbd

 a2d2 + b2c2 – 2abcd  0  (ad – bc)2  0 ( luôn đúng)

Dấu “=” xẩy ra  ad = bc  a c

b d

1,0

1,0

2,0

5

Hình vẽ chính xác

Gọi H là giao của AM và CN

Xét AMBvà CNB là hai tam giác vuông có:

AB = CB (cạnh hình vuông)

BM = BN (gt)

 AMB= CNB (c-g-c)

BCN

N

Xét trong AMBvà CMH có:

AMB CMH (đối đỉnh), kết hợp với (1)

 CHM  ABM  90 0hay ACH  90 0 hay đường thẳng AM vuông

góc với đường thẳng CN tại H

1,0

1,0

1,0

3,0

6 Hình vẽ

Ta đặt AM = x (0 < x < c)

Ta có: MN =AM MN =ax

BC AB  c

0 c - x 3

MQ = BM.sin60 =

2 Suy ra diện tích của MNPQ là:

0,5 0,5

0,5

4,0

A

P Q

0

60

x

A

B

O

x y

 

 

ax c - x 3 a 3

S = = x c - x

2c 2c

+ Ta có bất đẳng thức:

2

a + b a + b

ab ab (a > 0, b > 0)

 

 

Áp dụng, ta có:

x + c - x c x(c - x) =

Dấu đẳng thức xảy ra khi: x = c - x x = c

2

 Khi đó diện tích của hình chữ nhật MNPQ có diện tích lớn nhất

Suy ra: S a 3 c 2 = ac 3

2c 4 8

 Vậy: Smax = ac 3

8 khi x = c

2 hay M là trung điểm của cạnh AB

0,5 0,5

0,5 1,0