Tích n số nguyên liên tiếp chia hết cho n!. Tích của 3 số nguyên liên tiếp chia hết cho 6.. Trong 2 số nguyên liên tiếp bao giờ cũng có 1 số chẵn Số chẵn đó chia hết cho 2.. Vậy tích c
Trang 1TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1 ĐỊNH NGHĨA PHÉP CHIA
Cho 2 số nguyên a và b trong đó b 0 ta luôn tìm được hai số nguyên q và r duy nhất sao cho:
a = bq + r Với 0 r < b
Trong đó: a là số bị chia, b là số chia, q là thương, r là số dư.
Khi a chia cho b có thể xẩy ra b số dư
r {0; 1; 2; …; b-1}
Đặc biệt: r = 0 thì a = bq, khi đó ta nói a chia hết cho b hay b chia hết a
Ký hiệu: ab hay b\ a
Vậy: a b Có số nguyên q sao cho a = bq
2 CÁC TÍNH CHẤT
1 Với a 0 a a
2 Nếu a b và b c a c
3 Với a 0 0 a
4 Nếu a, b > 0 và a b ; b a a = b
5 Nếu a b và c bất kỳ ac b
6 Nếu a b (a) (b)
7 Với a a (1)
8 Nếu a b và c b a c b
9 Nếu a + b c và a c b c
10 Nếu a b và n > 0 an bn
11 Nếu ac b và (a, b) =1 c b
12 Nếu a b, c b và m, n bất kỳ am + cn b
13 Nếu a b và c d ac bd
14 Tích n số nguyên liên tiếp chia hết cho n!
3 MỘT SỐ DẤU HIỆU CHIA HẾT
Gọi N = a a n n1 a a1 0
3.1 Dấu hiệu chia hết cho 2; 5; 4; 25; 8; 125
+ N 2 a 0 2 a0{0; 2; 4; 6; 8}
+ N 5 a 0 5 a0{0; 5}
+ N 4 (hoặc 25) a a 1 0 4 (hoặc 25)
+ N 8 (hoặc 125) a a a 2 1 0 8 (hoặc 125)
3.2 Dấu hiệu chia hết cho 3 và 9
+ N 3 (hoặc 9) a na n1 a a1 03 (hoặc 9)
3.3 Một số dấu hiệu khác
+ N 11 a0 a2 a a1 3 11
+ N 101 a a1 0a a5 4 a a3 2a a7 6
+ N 7 (hoặc 13) a a a2 1 0a a a8 7 6 a a a5 4 3a a a11 10 9
+ N 37 a a a2 1 0 a a a5 4 3 37
2 2 2n 2n
19
CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN CHIA HẾT
Trang 21 Phương pháp 1: SỬ DỤNG DẤU HIỆU CHIA HẾT
Ví dụ 1: Tìm các chữ số a, b sao cho a56b 45
Giải
Ta thấy 45 = 5.9 mà (5 ; 9) = 1
để a56b 45 a56b 5 và 9
Xét a56b 5 b {0 ; 5}
Nếu b = 0 ta có số a56b 9 a + 5 + 6 + 0 9
a + 11 9
a = 7
Nếu b = 5 ta có số a56b 9 a + 5 + 6 + 5 9
a + 16 9
a = 2
Vậy: a = 7 và b = 0 ta có số 7560
a = 2 và b = 5 ta có số 2565
Ví dụ 4: Tìm các chữ số a và b sao cho 19ab chia hết cho 5 và 8
Giải
Vì 19ab chia hết cho 5 nên b=0 hoặc b=5 và 19abchia hết cho 8 nên suy ra b=0 Mặt khác , 19a0 chia hết cho 8 nên 19a0chia hết cho 4 khi a0chia hết cho 4 suy ra
a {0;2;4;6;8} Ta có 19a0 chia hết cho 8 khi 9a0chia hết cho 8 nên a=2 hoặc a=6 Vậy nếu a=2 thì b=0 và nếu a=6 thì b=0 nên số cần tìm là 1920 và 1960
Ví dụ 5: Chữ số a là bao nhiêu để aaaaa96 chia hết cho cả 3 và 8
Giải
Vì aaaaa96 8 a96 8 100a + 96 8 suy ra 100a8
Vậy a là số chẵn a 2, 4, 6, 8} (1)
Vì aaaaa96 3 (a + a + a + a + a + 9 + 6 ) 3 5a + 15 3
Mà 153 5a3
Mà (5, 3) = 1
Suy ra a 3 a 3, 6 ,9} (2)
Từ (1) và (2 ) suy ra a = 6
KL: Vậy số phải tìm là 6666696
Ví dụ 6: Tìm chữ số a để 1aaa1 11
Giải
HD: tổng các chữ số hàng lẻ là 2 + a Tổng các chữ số hàng chẵn là 2a
1
1aaa 11 2a – (a + 2)11
a - 211
a - 2=0
Trang 3 a = 2
.Vậy a=2
2 Phương pháp 2: SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CHIA HẾT
* Chú ý: Trong n số nguyên liên tiếp có 1 và chỉ 1 số chia hết cho n.
Ví dụ 1: Chứng minh rằng:
a Tích của 2 số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 2
b Tích của 3 số nguyên liên tiếp chia hết cho 6
Giải
a Trong 2 số nguyên liên tiếp bao giờ cũng có 1 số chẵn
Số chẵn đó chia hết cho 2
Vậy tích của 2 số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 2
b Tích 2 số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 2 nên tích của 3 số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 2
Trong 3 số nguyên liên tiếp bao giờ cũng có 1 số chia hết cho 3
Tích 3 số đó chia hết cho 3 mà (2; 3) = 1
Vậy tích của 3 số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 6
Ví dụ 2: Chứng minh rằng: Tổng lập phương của 3 số nguyên liên tiếp luôn chia hết
cho 9
Giải
Gọi 3 số nguyên liên tiếp lần lượt là: n - 1 , n , n+1
Ta có: A = (n - 1)3 + n3 + (n + 1)3
= 3n3 - 3n + 18n + 9n2 + 9
= 3(n - 1)n (n+1) + 9(n2 + 1) + 18n
Ta thấy (n - 1)n (n + 1) 3 (Chứng minh Ví dụ 1)Chứng minh Ví dụ 1))
3(n - 1)n (n + 1) 9
mà
9 18
9 ) 1 (
9 2
n n
A 9 (Chứng minh Ví dụ 1)ĐPCM))
Ví dụ 3: Chứng minh rằng: n4 - 4n3 - 4n2 +16n 384 với n chẵn, n4
Giải
Vì n chẵn, n4 ta đặt n = 2k, k2
Ta có n4 - 4n3 - 4n2 + 16n = 16k4 - 32k3 - 16k2 + 32k
= 16k(k3 - 2k2 - k + 2) = 16k(k - 2) (k - 1)(k + 1) Với k 2 nên k - 2, k - 1, k + 1, k là 4 số tự nhiên liên tiếp nên trong 4 số đó có 1 số chia hết cho 2 và 1 số chia hết cho 4
(k - 2)(k - 1)(k + 1)k 8
Mà (k - 2) (k - 1)k 3 ; (3,8)=1
(k - 2) (k - 1) (k + 1)k 24
16(k - 2) (k - 1) (k + 1)k 16.24
Vậy n4 - 4n3 - 4n2 +16n 384 với n chẵn, n 4
Ví dụ 4: Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì :
a A= 3n+2 – 2 n+2 + 3n – 2 n chia hết cho 10
b B = 10 n – 18 n – 1 chia hết cho 27
Giải
a A= 3n+2 – 2 n+2 + 3n – 2 n
Trang 4= 3n (32 + 1) – 2 n (22 +1)
= 10 3n – 5 2n
= 10 (3n –2n-1) 10
Vậy A chia hết cho 10
b B = 10 n + 18 n – 1
= 10n – 1 – 9n +27n
99 9 9 27
n
Ví dụ 5: chứng minh rằng
a) n5 - n chia hết cho 30 với n N ;
b) n4 -10n2 + 9 chia hết cho 384 với mọi n lẻ n Z
Giải
a) n5 - n = n(n4 - 1) = n(n - 1)(n + 1)(n2 + 1) = (n - 1).n.(n + 1)(n2 + 1) 6
Vì (n - 1).n.(n+1) là tích của ba số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 2 và 3 (*) Mặt khác n5 - n = n(n2 - 1)(n2 + 1) = n(n2 - 1).(n2 - 4 + 5)
= n(n2 - 1).(n2 - 4 ) + 5n(n2 - 1)
= (n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2) + 5n(n2 - 1)
Vì (n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2) là tích của 5 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 5 5n(n2 - 1) chia hết cho 5
Suy ra (n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2) + 5n(n2 - 1) chia hết cho 5 (**)
Từ (*) và (**) suy ra đpcm
b) Đặt A = n4 -10n2 + 9 = (n4-n2 ) - (9n2 - 9)
= (n2 - 1)(n2 - 9) = (n - 3)(n - 1)(n + 1)(n + 3)
Vì n lẻ nên đặt n = 2k + 1 (k Z) thì
A = (2k - 2).2k.(2k + 2)(2k + 4) = 16(k - 1).k.(k + 1).(k + 2)
A chia hết cho 16 (1)
Và (k - 1).k.(k + 1).(k + 2) là tích của 4 số nguyên liên tiếp nên A có chứa bội của 2,
3, 4 nên A là bội của 24 hay A chia hết cho 24 (2)
Từ (1) và (2) suy ra A chia hết cho 16 24 = 384
3 Phương pháp 3: XÉT TẬP HỢP SỐ DƯ TRONG PHÉP CHIA
Ví dụ 1: Chứng minh rằng: Với n N
Thì A(n) = n(2n + 7) (7n + 1) chia hết cho 6
Giải
Ta thấy 1 trong 2 thừa số n và 7n + 1 là số chẵn Với n N A(n) 2
Ta chứng minh A(n) 3
Lấy n chia cho 3 ta được n = 3k + r (k N)
Với r {0; 1; 2}
Trang 5Với r = 0 n = 3k n 3 A(n) 3
Với r = 1 n = 3k + 1 2n + 7 = 6k + 9 3 A(n) 3
Với r = 2 n = 3k + 2 7n + 1 = 21k + 15 3 A(n) 3
A(n) 3 với n mà (2, 3) = 1
Vậy A(n) 6 với n N
Ví dụ 2: Chứng minh rằng: Nếu n không chia hết cho 3 thì
A(n) = 32n + 3n + 1 13 Với n N
Giải
Vì n không chia hết cho 3 n = 3k + r (k N); r {1; 2}
A(n) = 32(3k + r) + 33k+r + 1
= 32r(36k - 1) + 3r (33k - 1) + 32r + 3r + 1
ta thấy 36k - 1 = (33)2k - 1 = (33 - 1)M = 26M 13
33k - 1 = (33 - 1)N = 26N 13
với r = 1 32r + 3r + 1 = 32 + 3 +1 = 13 13
32r + 3r + 1 13
với r = 2 32r + 3r + 1 = 34 + 32 + 1 = 91 13
32r + 3r + 1 13
Vậy với n không chia hết cho 3 thì A(n) = 32n + 3n + 1 13 Với n N
Ví dụ 3: Tìm tất cả các số tự nhiên n để 2n - 1 7
Giải
Lấy n chia cho 3 ta có n = 3k + r (k N); r {0; 1; 2}
Với r = 0 n = 3k ta có
2n - 1 = 23k - 1 = 8k - 1 = (8 - 1)M = 7M 7
với r =1 n = 3k + 1 ta có:
2n - 1 = 28k +1 - 1 = 2.23k - 1 = 2(23k - 1) + 1
mà 23k - 1 7 2n - 1 chia cho 7 dư 1
với r = 2 n = 3k + 2 ta có :
2n - 1 = 23k + 2 - 1 = 4(23k - 1) + 3
mà 23k - 1 7 2n - 1 chia cho 7 dư 3
Vậy 23k - 1 7 n = 3k (k N)
Ví dụ 4: Tìm n N để:
a) 3n – 1 chia hết cho 8
b) A = 32n + 3 + 24n + 1 chia hết cho 25
c) 5n – 2n chia hết cho 9
Giải
a) Khi n = 2k (k N) thì 3n – 1 = 32k – 1 = 9k – 1 chia hết cho 9 – 1 = 8 Khi n = 2k + 1 (k N) thì 3n – 1 = 32k + 1 – 1 = 3 (9k – 1 ) + 2 = 3.8M + 2 Vậy : 3n – 1 chia hết cho 8 khi n = 2k (k N)
b) A = 32n + 3 + 24n + 1 = 27 32n + 2.24n
= (25 + 2) 32n + 2.24n = 25 32n + 2.32n + 2.24n
= 25 32n + 2(9n + 16n)
Nếu n = 2k +1(k N) thì 9n + 16n = 92k + 1 + 162k + 1 chia hết cho 9 + 16 = 25
Trang 6Nếu n = 2k (k N) thì 9n có chữ số tận cùng bằng 1 , còn 16n có chữ số tận cùng bằng 6
suy ra 2(9n + 16n) có chữ số tận cùng bằng 4 nên A không chia hết cho 5 nên không chia hết cho 25
Vậy :A = 32n + 3 + 24n + 1 chia hết cho 25 khi n = 2k +1(k N)
c) Nếu n = 3k (k N) thì 5n – 2n = 53k – 23k chia hết cho 53 – 23 = 117 nên chia hết cho 9
Nếu n = 3k + 1 thì 5n – 2n = 5.53k – 2.23k
= 5(53k – 23k) + 3 23k = 5 9M + 3 8k
=5 9M + 3 (9-1)k
=5 9M+9.N + 3(-1)k 9
Tương tự: nếu n = 3k + 2 thì 5n – 2n không chia hết cho 9
Vậy : 5n – 2n chia hết cho 9 khi n = 3k (k N)
4 Phương pháp 4: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH THÀNH NHÂN TỬ
Giả sử chứng minh an k
Ta có thể phân tích an chứa thừa số k hoặc phân tích thành các thừa số mà các thừa số
đó chia hết cho các thừa số của k
Ví dụ 1: chứng minh rằng
a) 251 - 1 chia hết cho 7 b) 270 + 370 chia hết cho 13
c) 1719 + 1917 chi hết cho 18 d) 3663 - 1 chia hết cho 7 nhưng không chia hết cho 37
e) 24n -1 chia hết cho 15 với n N
Giải
a) 251 - 1 = (23)17 - 1 23 - 1 = 7
b) 270 + 370 =(22)35 + (32)35 = 435 + 935
(4 + 9) = 13 c) 1719 + 1917 = (1719 + 1) + (1917 - 1)
1719 + 1 17 + 1 = 18 và 1917 - 1 19 - 1 = 18 nên (1719 + 1) + (1917 - 1)
hay 1719 + 1917
18 d) 3663 - 1 36 - 1 = 35 7
3663 - 1 = (3663 + 1) - 2 chi cho 37 dư - 2
e) 2 4n - 1 = (24) n - 1 24 - 1 = 15
Ví dụ 2: Chứng minh rằng: 36n - 26n 35 Với n N
Giải
Trang 7Ta có 36n - 26n = (36)n - (26)n = (36 - 26)M
= (33 + 23) (33 - 23)M
= 35.19M 35
Vậy 36n - 26n 35 Với n N
Ví dụ 3: Chứng minh rằng: Với n là số tự nhiên chẵn thì biểu thức
A = 20n + 16n - 3n - 1 232
Giải
Ta thấy 232 = 17.19 mà (17;19) = 1 ta chứng minh
A 17 và A 19 ta có A = (20n - 3n) + (16n - 1) có 20n - 3n = (20 - 3)M 17M
16n - 1 = (16 + 1)M = 17M 17 (n chẵn)
A 17 (1)
Ta có: A = (20n - 1) + (16n - 3n)
có 20n - 1 = (20 - 1)p = 19p 19
có 16n - 3n = (16 + 3)Q = 19Q 19 (n chẵn)
A 19 (2)
Từ (1) và (2) A 232
Ví dụ 4: Chứng minh rằng: nn - n2 + n - 1 (n - 1)2 Với n >1
Giải
Với n = 2 nn - n2 + n - 1 = 1
và (n - 1)2 = (2 - 1)2 = 1
nn - n2 + n - 1 (n - 1)2
với n > 2 đặt A = nn - n2 + n - 1 ta có A = (nn - n2) + (n - 1)
= n2(nn-2 - 1) + (n - 1)
= n2(n - 1) (nn-3 + nn-4 + … + 1) + (n - 1)
= (n - 1) (nn-1 + nn-2 + … + n2 +1)
= (n - 1) [(nn-1 - 1) + … +( n2 - 1) + (n - 1)]
= (n - 1)2M (n - 1)2
Vậy A (n - 1)2 (Chứng minh Ví dụ 1)ĐPCM))
5 Phương pháp 5: BIẾN ĐỔI BIỂU THỨC CẦN CHỨNG MINH VỀ DẠNG TỔNG
Giả sử chứng minh A(n) k ta biến đổi A(n) về dạng tổng của nhiều hạng tử và chứng minh mọi hạng tử đều chia hết cho k
Ví dụ 1: CMR: n3 + 11n 6 với n Z
Giải
Ta có n3 + 11n = n3 - n + 12n = n(n2 - 1) + 12n
= n(n + 1) (n - 1) + 12n
Vì n, n - 1; n + 1 là 3 số nguyên liên tiếp
n(n + 1) (n - 1) 6 và 12n 6
Vậy n3 + 11n 6
Ví dụ 2: Cho a, b Z thoả mãn (16a +17b) (17a +16b) 11
CMR: (16a +17b) (17a +16b) 121
Giải
Có 11 là số nguyên tố mà (16a +17b) (17a +16b) 11
11 16b
17a
11 17b
16a
(1)
Có 16a +17b + 17a +16b = 33(a + b) 11 (2)
Trang 8Từ (1) và (2) 16a 17b 11
17a 16b 11
Vậy (16a +17b) (17a +16b) 121
6 Phương pháp 6: DÙNG QUY NẠP TOÁN HỌC
Giả sử CM A(n) P với n a (1)
Bước 1: Ta CM (1) đúng với n = a tức là CM A(a) P
Bước 2: Giả sử (1) đúng với n = k tức là CM A(k) P với k a
Ta CM (1) đúng với n = k + 1 tức là phải CM A(k+1) P
Bước 3: Kết luận A(n) P với n a
Ví dụ 1: Chứng minh A(n) = 16n - 15n - 1 225 với n N*
Giải
Với n = 1 A(1) = 225 225 vậy n = 1 đúng
Giả sử n = k 1 nghĩa là A(k) = 16k - 15k - 1 225
Ta phải CM A(k+1) = 16 k+1 - 15(k + 1) - 1 225
Thật vậy: A(k+1) = 16 k+1 - 15(k + 1) - 1
= 16.16k - 15k - 16
= (16k - 15k - 1) + 15.16k - 15
= 16k - 15k - 1 + 15.15m
= A(k) + 225
mà A(k) 225 (giả thiết quy nạp)
225m 225
Vậy A(n) 225
Ví dụ 2: CMR: với n N* và m là số tự nhiên lẻ ta có 2 2
1 2
Giải
Với n = 1 m2 - 1 = (m + 1)(m - 1) 8 (vì m + 1; m - 1 là 2 số chẵn liên tiếp nên tích của chúng chia hết cho 8)
Giả sử với n = k ta có m2k 1 2k 2
ta phải chứng minh
1
2k 1 2k 3
Thật vậy m2k 1 2k 2
m2k 1 2k 2q q Z
m q
2k 1 2k 1 2 k 2 1 1 2 2k 4 2 2 k 3 2k 3 2 k 1 2 2k 3
Vậy 2 2
1 2
với n 1
PHƯƠNG PHÁP TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG
+ Để tìm chữ số tận cùng của một lũy thừa cần chú ý rằng:
Các số có tận cùng là 0;1;5;6 thì nâng lên lũy thừa (khác 0) nào cũng có tận cùng là 0;1;5;6
Các số có tận cùng là 2;4;8 thì nâng lên lũy thừa 4 thì có tận cùng
là 6
Các số tận cùng là 3;7 thì nâng lên lũy thừa 4 thì có tận cùng là 1
Các số có tận cùng là 9 thì nâng lên lũy thừa chẵn thì được số có tận cùng là 1;nâng lên lũy thừa lẻ thì được số tận cùng là 9
+ Để tìm hai chữ số tận cùng của lũy thừa cần lưu ý:
Các số tận cùng là 01;25;76 nâng lên lũy thừa khác không nào cũng
có tận cùng là 01;25;76
Các số 320 (hoặc 815) ; 74 ; 512; 992 có tận cùng là 01
Trang 9 Các số 220 ; 65 ; 184 ; 242; 682 ; 742 có tận cùng bằng 76
Số 26n (với n > 1) có tận cùng bằng 76 + Để tìm ba chữ số tận cùng trở lên của lũy thừa cần chú ý:
Các số tận cùng bằng 001 ; 376 ; 625 nâng lên lũy thừa nào (khác không) cũng tận cùng bằng 001; 376; 625
Số có tận cùng bằng 0625 nâng lên lũy thừa nào (khác không) cũng tận cùng bằng 0625
Ví dụ 8 : Chứng minh 8102 - 2102 chia hết cho 5
Bài làm :
Cách 1 :
Ta có : 8102 = (84)25 82 = (…6)25 .64 = (…6) 64 = …4
2102 = (24)25 22 = 1625 4 = (…6).4 = …4
Vậy 8102 - 2102 có tận cùng là 0 8102 - 2102 chia hết cho 5
Ví dụ 9: Chứng minh 16101 14101 chia hết cho 4
Bài làm :
Ta có : 16101 14101 = (16.14)101 = 224101 = (2242 )50 224
= 76 50.224 = 76 .224 = 24
Vậy 16101 14101 có hai chữ số tận cùng là 24 16101 14101 chia hết cho 4 (vì 24 4)
8 Phương pháp 8: SỬ DỤNG NGUYÊN LÝ ĐIRICHLET
Nếu đem n + 1 con thỏ nhốt vào n lồng thì có ít nhất 1 lồng chứa từ 2 con trở lên
Ví dụ 1: Chøng minh r»ng trong 6 sè tù nhiªn bÊt k× lu«n t×m ® îc 2 sè cã hiÖu chiaưîc 2 sè cã hiÖu chia hÕt cho 5
Gi¶i:
Mét sè khi chia cho 5 cã thÓ nhËn mét trong c¸c sè đó lµ : 0; 1; 2; 3; 4
Trong 6 sè tù nhiªn bÊt k× khi chia cho 5 lu«n tån t¹i Ýt nhÊt 2 sè cã cïng sè đó ( nguyªn t¾c §irichlet)
HiÖu cña 2 sè chia hÕt cho 5
Ví dụ 2: Cho ba số lẻ chứng minh rằng tồn tại hai số có tổng hoặc hiệu chia hết cho 8
Gi¶i:
Một số lẻ chia cho 8 thì số dư chỉ có thể là một trong bốn số sau: 1;3;5;7 ta chia 4 số
dư này ( 4 con thỏ) thành 2 nhóm (2 lồng)
Nhóm 1: dư 1 hoặc dư 7 Nhóm 2: dư 3 hoặc dư 5
Có 3 số lẻ (3 thỏ) mà chỉ có hai nhóm số dư nên tồn tại hai số thuộc cùng một nhóm
- Nếu 2 số dư bằng nhau thì hiệu của chúng chia hết cho 8
Trang 10- Nếu 2 số dư khác nhau thì tổng của chúng chi hết cho 8
Ví dụ 3: Cho ba số nguyên tố lớn hơn 3.Chứng minh rằng tồn tại hai số có tổng hoặc
hiệu chia hết cho 12
Gi¶i:
Hướng dẫn: Một số nguyên tố lớn hơn 3 chia cho 12 thì số dư chỉ có thể là 1 trong 4 số 1; 5; 7; 11
Chia làm hai nhóm:
Nhóm 1: dư 1 hoặc dư 11 Nhóm 2: dư 5 hoặc dư 7
9 Phương pháp 9: PHƯƠNG PHÁP PHẢN CHỨNG
Để CM A(n) p (hoặc A(n) p )
+ Giả sử: A(n) p (hoặc A(n) p )
+ CM trên giả sử là sai
+ Kết luận: A(n) p (hoặc A(n) p )
Ví dụ 1: CMR n2 + 3n + 5 121 với n N
Giải
Giả sử tồn tại n N sao cho n2 + 3n + 5 121
4n2 + 12n + 20 121
(2n + 3)2 + 11 121 (1)
(2n + 3)2 + 11 11
(2n + 3)2 11
(2n + 3)2 121 (Vì 11 là số nguyên tố )
Từ (1) 11 121 vô lý
Vậy n2 + 3n + 5 121
Ví dụ 2 : Chøng minh r»ng a2 - 8 kh«ng chia hÕt cho 5 víi aN
Gi¶i:
Gi¶ sö A(n)=a2 - 8 5,nghÜa lµ A(n) ph¶i cã ch÷ sè tËn cïng lµ 0 hoÆc 5, suy
ra a2 (lµ mét sè chÝnh ph¬ng) ph¶i cã chø sè tËn cïng lµ mét trong c¸c ch÷ sè 3;8 - V« lý(v× mét sè chÝnh ph¬ng bao giê còng cã c¸c ch÷ sè tËn cïng
lµ:0;1;4;6;9)
VËy a2 - 8 kh«ng chia hÕt cho 5
DẠNG 2 : CÁC BÀI TOÁN VỀ TÌM SỐ TỰ NHIÊN N THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHIA HẾT
1 Phương pháp :
- Giả sử tìm n N sao cho A(n) B(n)
- Biến đổi điều kiện A(n) B(n) k B(n) (với k là số tự nhiên không phụ thuộc n) ,từ đó tìm n
- Thử lại các giá trị tìm được của n để có A(n) B(n)
2 Hệ thống các bài tập