Chuyên đề chia hết trong tập hợp các số nguyên là một chuyên đề bổ ích cho học sinh lơp 89 trong bồi dưỡng học sinh giỏi. Chia hết trong Z luôn nằm trong cấu trúc đề thi học sinh giỏi lớp 8, lớp 9. Với cách viết chi tiết, dễ hiểu. các bài tập được phân dạng đầy đủ từ dễ đến khó sẽ giúp các thầy cô và các em học sinh có thể nghiên cứu tự học một các dễ dàng, hiệu quả.
Trang 1Chuyên đề: CHIA HẾT TRONG Z
ĐA THỨC :
1 Ta sử dụng định lý Bơ zu :
Số dư trong phép chia đa thức f(x) cho nhị thức x – a bằng giá trị của đa thức f(x) tại x = a
Từ đó ta có các hệ quả : Đa thức f(x) ( x – a) ↔ f(a) = 0 tức là khi a là nghiệm của đa thức
Từ đó suy ra :
Đa thức f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì chia hết cho x – 1
Đa thức f(x) có tổng các hệ số của số hạng bậc chẵn bằng tổng các hệ số của số hạng bậc lẻ thì f(x) ( x + 1)
2 Chứng minh đa thức chia hết cho đa thức khác :
Cách 1 : Phân tích đa thức bị chia thành nhân tử trong đó có 1 thừa số chia hết cho đa thức chia
Cách 2 : Biến đổi đa thức bị chia thành tổng các đa thức chia hết cho đa thức chia
Cách 3 : Sử dụng biến đổi tương đương : chứng minh f(x) g(x) ta chứng minh : f(x) + g(x)g(x) hoặc f(x) - g(x)g(x)
Cách 4 : Chứng tỏ rằng mọi nghiệm của đa thức chia đều là nghiệm của đa thức bị chia
BÀI TẬP 1) Dạng 1: Tìm tham số để một đa thức chia hết cho đa thức
Bài 1 Xác định các hằng số a ; b sao cho:
a) 4x 2 - 6x + a (x-3)
- Cách 1: Đặt phép chia và cho số dư cuối cùng băng 0, ta được a = -18
- Cách 2: Theo bài ra, ta có:
4x 2 - 6x + a = (x-3).(4x - b)
4x 2 - 6x + a = 4x 2 - (b+12)x + 3b
b =-6 , a =-18
- Cách 3: Theo bài ra, ta có:
4x 2 - 6x + a = (x-3).(4x - b)
Cho x = 1 -2+a = -8 + 2b a - 2b = -6
Cho x = 0 a = 3b
Do đó, ta tìm được: b = -6, a = -18
b) 2x2 + x + a (x+3)
c) x3 + ax2 - 4 (x2 + 4x + 4) ĐS: a =3
d) 10x2 - 7x + a (2x - 3)
e) 2x2 + ax + 1 chia cho x - 3 dư 4 ĐS: a=-5
g) ax5 + 5x4 - 9 (x-1) ĐS: a= -14
Bài 2 Tìm các hằng số a và b sao cho x3 + ax + b chia cho x + 1 thì dư 7, chia cho
x - 3 thì dư -5
Trang 22) Dạng 2: Tìm giá trị của biến để giá trị của đa thức chia hết cho giá trị một
đa thức
Bài 1 Tìm n Z để :
a/ n2 + 2n – 4
b/ 2n3 + n2 + 7n +1 2n – 1
Giải:
2n3 + n2 + 7n +1 = 2n3 + n2 + 7n +1 = 2n - n + 2n - n + 8n - 4 + 5
= n(2n - 1) + n(2n - 1) + 4(2n - 1) + 5
Do đó: 2n3 + n2 + 7n +1 2n – 1 52n – 1
2n - 1 {-5;-1;1;5} n {-2;0;1;3}
c/ n3 – 2 n – 2
Giải:
n3 – 2 = (n - 8) + 6 n – 2 6 n – 2
n – 2 {-6;-3;-2;-1;1;2;3;6}
n {-4;-1;0;1;3;4;5;8}
d/ n3 - 3n2 + 3n - 1n2 +n + 1
e/ n4 – 2n3 + 2n2 – 2n + 1 n4 – 1
Giaỉ:
n4 – 2n3 + 2n2 – 2n + 1 n4 – 1
(n4 – 2n3 + n2) + (n2 - 2n+ 1) n4 – 1
(n2+1) (n-1)(n +1)(n - 1)(n + 1)
(n2+1) (n-1)(n +1)(n - 1)(n + 1)
n - 1n + 1 (n - 1) - (n + 1) n + 1
2 n + 1 n + 1 {-2;-1;1;2}
n + 1 {-3;-2;0;1}
Bài 2
a) n +1⋮ n - 2 ( GVG quỳnh lưu 2013-2015)
Giaỉ:
Theo bài ra ta có: n +1⋮ n - 2 n(n+1)⋮ n - 2 n + n ⋮n - 2
n- 2 + n + 2 ⋮ n - 2 n + 2⋮n - 2 mà n +1⋮ n - 2 (đề bài)
→1⋮ n - 2 n - 2=1 hoặc n - 2=-1 n=∓1
Thử lại thỏa mãn n +1⋮ n - 2
Vậy, n=∓1 thỏa mãn đk bài toán
b) Tìm số nguyên dương n để n5 +1 chia hết cho n3 +1
Giải:
5 1 3 1 5 2 2 1 3 1 2 1 3 1
n n n n n n n n
(n 1)(n 1) (n 1)(n n 1) n 1 n n 1
n n n n n n n n n n
Trang 3-Với 2
n n n n
-Với n2 n 1 1 n2 n 2 0 vô nghiệm
Thử lại, n=0, n=1 thỏa mãn đk bài toán
Bài 2 (HSG tỉnh Nghệ an)
Cho A = k4 + 2k3 16k2 2k + 15 với kZ Tìm điều kiện của k để A 16 Giải:
A = (k - 1).(k + 5k - k - 5) = (k - 1)(k + 6k + 5) = (k - 1)(k + 1)(k + 5) 16
k là số nguyên lẻ
3) Dạng 3: Tìm dư trong phép chia
Bài 4: Tìm dư phép chia x99 + x55 + x11 +x + 7 cho x + 1
4) Chứng minh chia hết:
a) Chứng minh đa thức chia hết cho đa thức
Bài 5: CMR : a/ x50 + x10 + 1 x20 + x10 + 1
b/ x2 - x9 – x1945 x2 - x + 1 c/ x10 - 10x + 9 (x – 1)2 d/ 8x9 - 9x8 + 1 (x – 1)2
b) Chứng minh đa thức chia hết cho một số:
Phương pháp thướng sử dụng:
- Phương pháp 1 : A(n) chia hết cho p; ta xét số dư khi chia n cho p
Ví dụ : A(n) = n(n2+1)(n2+4) chia hết cho 5
n chia cho 5 có số dư là r =0,1,2,3,4,5
a/ Với r = 0 thì n chia hết cho 5 => A(n) chia hết cho 5
b/ Với r = 1 => n = 5k+1 => n2= 25k2+10k +1 thì (n2+4) chia hết cho 5=> A(n) chia hết cho 5
c/ Với r = 2 => n = 5k+2 => n2= 25k2+20k +4 thì (n2+1) chia hết cho 5=> A(n) chia hết cho 5
d/ Với r = 3 => n = 5k+3 => n2= 25k2+30k +9 thì (n2+1) chia hết cho 5=> A(n) chia hết cho 5
e/ Với r = 4 => n = 5k+4 => n2= 25k2+40k +16 thì (n2+4) chia hết cho 5=> A(n) chia hết cho 5
- Phương pháp 2 : A(n) chia hết cho m; ta phân tích m = p.q
a/ (p,q) = 1 ta chứng minh: A(n) chia hết cho p, A(n) chia hết cho q => A(n) chia hết cho p.q
b/ Nếu p và q không nguyên tố cùng nhau ta phân tích A(n) = B(n).C(n) và
chứng minh B(n) chia hết cho p, C(n) chia hết cho q => , A(n) chia hết cho p.q
- Phương pháp 3 : Để chứng minh A(n) m có thể biến đổi A(n) thành tổng nhiều
hạng tử và chứng minh mỗi hạng tữ chia hết cho n
- Phương pháp 4 : Để chứng minh A(n) m ta phân tích A(n) thành nhân tử,
trong đó có một nhân tử bằng m hoặc chia hết cho m: A(n) = m.B(n)
Trang 4+ Thường ta sử dụng các hằng đẳng thức :
an – bn a – b ( ab) n bất kỳ
an – bn a – b ( a- b) n chẵn
an + bn a + b ( a- b) n lẻ
Các bài tốn cơ bản:
- Tích n số nguyên liên tiếp chia hết cho n
- Tích 2 số chẵn liên tiếp chia hết cho 8
- Tích 3 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 6
Ví dụ : A(n) = n(n2+1)(n2+4) chia hết cho 5
Cách 1:
n chia cho 5 cĩ số dư là r =0,1,2,3,4,5
a/ Với r = 0 thì n chia hết cho 5 => A(n) chia hết cho 5
b/ Với r = 1 => n = 5k+1 => n2= 25k2+10k +1 thì (n2+4) chia hết cho 5=> A(n) chia hết cho 5
c/ Với r = 2 => n = 5k+2 => n2= 25k2+20k +4 thì (n2+1) chia hết cho 5=> A(n) chia hết cho 5
d/ Với r = 3 => n = 5k+3 => n2= 25k2+30k +9 thì (n2+1) chia hết cho 5=> A(n) chia hết cho 5
e/ Với r = 4 => n = 5k+4 => n2= 25k2+40k +16 thì (n2+4) chia hết cho 5=> A(n) chia hết cho 5
* Chú ý: Phương pháp xét số dư chỉ áp dụng cho các số chia nhỏ
Cách 2:
n(n2+1)(n2+4) 5 n(n2+1)(n2- 1+5) 5 n(n2+1)(n2- 1)+5n(n2+1) 5
n(n2+1)(n2- 1) 5 n(n2+1)(n- 1)(n+1) 5 n(n2-4+5)(n- 1)(n+1) 5
n(n2-4+5)(n- 1)(n+1) 5 n(n2-4)(n- 1)(n+1) + 5(n- 1)(n+1) 5
n(n2-4)(n- 1)(n+1) 5 n(n-2)(n+2)(n- 1)(n+1) 5 Hiển nhiên
BÀI TẬP:
Bài 1: Chứng minh rằng số
là số nguyên với mọi n N
G
ợi ý:
Để chứng minh số 5 3 7
5 3 15
n n n
là số nguyên ta phải chứng minh : 3n5 + 5n3 + 7n 15
* Nhận xét: tích 3 số nguyên liên tiếp thì chia hết cho 3, tích 5 số nguyên liên tiếp
thì chia hết cho 5 Vì vậy, ta nghĩ ngay đến việc phân tích đa thức thành tích 5 số nguyên liên tiếp.
Thật vậy, ta có :
3n5 + 5n3 + 7n = n(3n4 + 5n2 + 7) = n(3n4 + 5n2 - 8 + 15)
= n.(3n4 + 5n2 - 8)+ 15n = n.(n2-1).(3n2+ 8)+ 15n
= n(n-1)(n+1).(3n2-12 + 20) = 3n(n - 1)(n + 1)(n - 2)(n + 2) + 20n(n-1) (n+1)
Do 3n(n - 1)(n + 1)(n - 2)(n + 2) 15
Trang 520n(n-1)(n+1) 15 với mọi n N , Vậy
Bài 2 : Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta luơn cĩ: n3+2n 3
Cĩ: n3+2n = n - n + 3n = n(n+1)(n-1) + 3n 3
Bài 3:
Chứng minh rằng : n(n+2)(25n2-1) 24 với n N
Vậy, ta sẽ phân tích thành tích 4 số nguyên liên tiếp(cĩ 2 số chẵn liên tiếp chc 8)
Giải:
Vì 24n(n+2)24
(n-1)n(n+1)(n+2) 3 và (n-1)n(n+1)(n+2) 8
Mà (3 ; 8)=1 (n-1)n(n+1)(n+2) 24
A24
Bài 4: Chứng minh rằng nếu m là số nguyên lẻ thì:
(m3 + 3m2 – m – 3) 48
* Nhận xét: ta dễ nhận thấy cĩ thể phân tích đa thức thành nhân tử
Giải:
Ta cĩ: m3 + 3m2 – m – 3 = (m - 1)(m + 4m + 3) = (m-1)(m+1)(m + 3)
Vì m lẻ nên m = 2k+1, thay vao trên ta cĩ:
(m-1)(m+1)(m + 3) = 2k.(2k+2)(2k+4) = 8k(k+1)(k+2)
Vì 8 8 ; k(k+1)(k+2) 6 nên 8k(k+1)(k+2)8.6 hay (m3 + 3m2 – m – 3) 48
Bài 5: Chứng minh : B = n4 - 14n3 + 71n2 - 154n + 120
chia hết cho 24 với n Z
Chú ý: Khi các hệ số lớn ta cĩ thể đơn giản hĩa bằng áp dụng cơng thức:
a m a + b.m m
Giải:
B = n4 - 14n3 + 71n2 - 154n + 120 24
n4 - 14n3 + 71n2 - 154n 24
n4 - 14n3 + 71n2 - 154n - 24.3n2 + 24.6n 24
n4 - 14n3 - n2 - 10n 24
Trang 6Ta có: n4 - 14n3 - n2 - 10n = n(n3 - 14n2 - n - 10)
= n[(n3- n2) - (13n2- 13n) - (14n - 14) - 24]
= n(n - 1)(n2-13n-14) - 24n
= n(n-1)(n+1)(n-14) - 24n = n(n-1)(n+1)(n-2- 12) - 24n
= n(n-1)(n+1)(n-2) -12n(n-1)(n+1) -24n
Dễ thấy: n(n-1)(n+1)(n-2) - 12n(n-1)(n+1) 3 và 8 mà (3,8) = 1
Do đó n(n-1)(n+1)(n-2) - 12n(n-1)(n+1) 24, lại có 24n 24
Vì vậy: n(n-1)(n+1)(n-2) -12n(n-1)(n+1) -24n 24
Bài 6:
Chứng minh rằng: (n5 – 5n3 + 4n) 120 với m,n Z
Giải:
(n5 – 5n3 + 4n) = n( n4 – 5n2 + 4) = (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2) 3, 5, 8
mà (3, 5, 8) = 1
Vậy, (n5 – 5n3 + 4n) 120
Bài 7: ( tx Hoàng Mai 2016)
CMR: n8 - n6 - n4 + n2
1152, với moi n tự nhiên lẻ Giải: Ta sẽ kết hợp cả 2 phương pháp để giải bài tập này
Xét A= n8 - n6 - n4 + n2 = n(n +1)(n - 1)(n+1)
Ta có: + (n - 1)(n+1) 8 ( tích 2 số nguyên chẵn liên tiếp) (n - 1)(n+1) 64
+ (n +1) 2
Do đó: A = n(n +1)(n - 1)(n+1) 128
Mặt khác: n(n - 1)(n+1) 3 ( tích 3 số nguyên liên tiếp )
n(n - 1)(n+1) 9
A = n(n +1)(n - 1)(n+1) 9
mà (128,9) = 1 nên A 1152
Bài 8 Chứng minh rằng: n3 17 6n với mọi số nguyên n
Lời giải:
n n n n n n n n n
Trang 7* Chú ý: Nhiều bài toán ta cũng hay sử dụng HĐT:
a- b = (a-b)(a+ a.b + ab + ab + + a.b+ b)
Bài 8: Chứng minh rằng với mọi n N biểu thức 13n -1 chia hết 6
Giaỉ: áp dụng nhị thức: a- b = (a-b)(a+ a.b + ab + ab + + a.b+ b)
Bài 9: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta có: 4.32n 2 32n 36 64
n n 1 n 2
4.3 32n 36 (4.9 36) 32n 36(9 1) 32n
36(9 1)(9 9 1) 32n 36.8(9 9 1) 32n
32.9.(9 9 1) 32n 32(9 9 9 9) 32n
32(9 9 9 9 n)
Nhận thấy n chẵn hay lẻ thì 9n 9n 1 9n 2 9 n
luôn là số chẵn nên 32(9n 9n 1 9n 2 9 n) 64
Bài 10: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta luôn có: 16n 15n 1 225
16 15n 1 (16 1)(16 16 16 1) 15n
15(16 16 16 1) 15n 15(16 16 16 1 n)
15 (16 1) (16 1) (16 1) (16 1) 1 1
15 (16 1) (16 1) (16 1) (16 1
Nhận thấy 15 15 và (16 n 1 1) (16 n 2 1) (16 n 3 1) (16 1) 15
Vậy: 16n 15n 1 225
Bai 11:
a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì n2 n 2 không chia hết cho 3 b) Chứng minh rằng với mọi số n lẻ : n2 + 4n + 5 không chia hết cho 8
a) Giải:
+ Cách 1:
- Nếu n=3k n + n + 2 3
- Nếu n = 3k+1 n + n + 2 =9k + 6k +1 +3k+1+2 =9k+9k+4 3
- Nếu n = 3k+2 n + n + 2 =9k + 12k +4 +3k+2+2 =9k + 15k +4 3
b) Giải:
+ Cách 1: Vì n lẻ nên n = 2k + 1 n2 + 4n + 5 = 4k + 12k + 10
= 4k(k+3) + 10
Vì k(k+3) có một thừa số chẵn 4k(k+3) 8 4k(k+3) + 10 8
+ Cách 2: Vì số chia là 8 nên ta phải tạo tích 2 số chẵn liên tiếp:
n2 + 4n + 5 = (n - 1) + (4n + 4) + 2 = (n+1)(n-1) + 4(n+1) + 2
Trang 8= (n+1)(n+3) + 2
Vì (n+1)(n+3) 8 và 2 8 nên (n+1)(n+3) + 28 đpcm
Bài tập:
Bài 1 Chứng minh rằng :
a) n5 - 5n3 + 4n 120 ; với n Z
b) n3-3n2-n+3 48 ; với n lẻ
c) n4 + 4n3 -4n2 -16n 384 với n chẵn
Bài 2 CMR:
a) 4 2
n n 12
c) Chữ số tận cùng của số tự nhiên n và n5 là giống nhau
d) (a b) 6 (a3b ) 63
e) Cho n > 2 và (n, 6) = 1 CMR n 2 1 24
g) 32n 1 2n 2 7
f) 32n 2 26n 1 11
Bài 3 CMR: A 7.5 2n 12.6n chia hết cho 19 với mọi số tự nhiên n.
Lời giải:
+ Với n=0 hoặc n=1 thì A chia hết cho 19
+ Với n>1.
Xét: 7.5 2n 12.6n 19.6n 7.5 2n 7.6n 7(5 2n 6 ) 7(25n n 6 )n
7.(25 6).(25n 1 25 6 25 6n 2 n 3 2 6) 19
→ 7.5 2n 12.6n 19.6 19n
mà 19.6 19n A 19
Vậy, A 7.5 2n 12.6n chia hết cho 19 với mọi số tự nhiên n.
Tổng hợp đề thi:
Bài 1: ( 2,0 điểm)
Tìm số chia nhỏ nhất khi chia cho 3 dư 1, chia cho 4 dư 2, chia cho 5 dư 3, chia cho 6 dư 4 và chia hết cho 11
Giải: a+2 BC(3,4,5,6) và a 11
Câu 3 Chứng minh rằng a3 – 13a 6 với a Z
Chứng minh: Ta có: a3 – 13a = a3 – a - 12a
= a(a -1) -12a = a(a+1)(a-1)-12a 12
Bµi 4 : Chøng minh r»ng A =
9
2
10 2008 3
lµ sè tù nhiªn
Bài 5: Tìm n để B =
2
2 6 2 3 2
2 3 4
n
n n n n
có giá trị là một số nguyên
Bài 6: Chứng minh rằng hiệu số 92012 - 72012 chia hết cho 10
Trang 9Bài 7 Chứng minh rằng A = 23 17 17 23 là số chia hết cho 10.
Bài 8:
Tìm các số tự nhiên có 3 chữ số, biết rằng: số đó là số chẵn, chia hết cho 11
và tổng các chữ số của số đó cũng chia hết cho 11
Bài 9:
Cho cỏc số nguyờn a1, a2, a3, , an Đặt S = 3
1
2
a + + 3
n
a
và P = a1 + a2 + + an
Chứng minh rằng: S chia hết cho 6 khi và chỉ khi P chia hết cho 6
Bài 10:
a Cho cỏc số nguyờn dương: a a a1; ; ; ;2 3 a2013 sao cho:
N = a1a2a3 a2013 chia hết cho 30
Chứng minh: M = a15a25a35 a20135 chia hết cho 30
Bài 11: Cho biết a = 2 + 2 + 1
b = 2 - 2 + 1 với n N
Chứng minh rằng: trong hai số a và b cú một và chỉ một số chia hết cho 5
Bài 12:
CMR: a3 6a2 11a 6 chia hết cho 6 với mọi số nguyờn a
b) 3n 1 và 5n 4 (với n N *) là hai số khụng nguyờn tố cựng nhau Tỡm ước chung lớn nhất của hai số đú
Cõu 2 a Chứng minh rằng: 4 1005 1 3
c Tỡm cỏc số nguyờn dương n để phõn số: 2 11
2
n n
là phõn số tối giản
Cõu 2 (4,0 điểm)
b) Chứng minh rằng phân số 12 1
40 3
n n
là phân số tối giản ( n N )
a) Giả sử n là số tự nhiờn thỏa món đk n + n +6 khụng chia hết cho 3
CMR: 2n +n + 8 khụng là số chớnh phương
Cõu 3
a Cho A5n226.5n82 1n ; với n N Chứng minh: A chia hết cho 59
Cõu 2.(2,0 điểm)
a) Chứng minh rằng a2 a 1 khụng chia hết cho 25 với mọi số nguyờn a a) N a 2 =a 1 (a 2)(a3) 5
Vỡ (a 2) ( a3)5 chia hết cho 5 nờn a 2;a3 hoặc cựng chia hết cho 5 hoặc cựng khụng chia hết cho 5
Trang 10*Nếu a 2;a3 cùng chia hết cho 5 thì (a 2)(a3) chia hết cho 25 mà 5 không chia hết cho 25 suy ra N không chia hết cho 25
*Nếu a 2;a3 cùng không chia hết cho 5 thì (a 2)(a3) không chia hết cho 5 ( do 5 là số nguyên tố) suy ra N không chia hết cho 5, do đó Nkhông chia hết cho 25
Vậy N không chia hết cho 25 với mọi số nguyên a
(2)
Từ (1) và (2) suy ra k 2k 1
nên 2k 2k (3)
Dễ thấy k 3 thì bất đẳng thức (3) không xảy ra Do đó k 2.
Thay k 2 vào (1) ta được x 2 y 2.2 4
Bai tập:
Cho các số nguyên a, b, c thỏa mãn a + b + c 6
Chứng minh rằng: a3 + b3 + c3
6
Cách 1: Xét ( a3 + b3 + c3 ) – ( a + b + c) = (a3 – a) + ( b3 – b) + ( c3 – c)
Ta có (a3 – a) = ( a – 1) a ( a + 1) 6
Vì tích của ba số nguyên liên tiếp chia hết cho 2 và cho 3 mà (2; 3) =1
Lập luận tương tự b3 – b 6 và c3 – c 6.
=> ( a3 + b3 + c3 ) – ( a + b + c) 6
mà a + b + c 6 => a3 + b3 + c3 6
Cách 2:
Câu 2:
Giải bài toán nến n là số nguyên
Câu 2: (2.5đ)
a (1.5đ)
Biến đổi:
n5 + 1 n3 + 1 n2(n3 + 1) – (n2 –1) n3 + 1 (0.5đ)
(n + 1) (n – 1) (n + 1)(n2 - n + 1) (0.25đ)
n – 1 n2 – n + 1 (vì n + 1 0 ) (0.25đ)
Nếu n = 1 thì ta được 0 chia hết cho 1 (0.25đ)
Nếu n > 1 thì n – 1 < n(n – 1) + 1 = n2 – n +1
Do đó không thể xảy ra quan hệ n – 1 chia hết cho n2 – n +1 trên tập hợp số nguyên dương
Vậy giá trị duy nhất của n tìm được là 1 (0.25đ)
b n – 1 n2 – n +1
n(n – 1) n2 – n + 1