Chứng minh rằng với mọi điểm P trên cạnh BC, ta luôn có diện tích ∆P ED không lớn hơn 1 4 diện tích ∆ABC.
Trang 1đề thi học sinh giỏi cấp huyện lớp 9
Môn thi: Toán Năm học: 2008 - 2009
Câu 1: Cho các số a, b, c thoả mãn: a+b+c = 4 và a, b, c dơng
Chứng minh: a+b+ b+c+ c+a> 4
câu 2 : a) Chứng minh rằng: (x3 - x) 6 với ∀ x∈Z
b) Tính giá trị của biểu thức: B = ( a2006- a2007+ a2008)2009
Biết a = ( 6 + 2 5 + 6 − 2 5 ): 20
CÂU 3: Cho ba số x, y, z thoã mãn đồng thời
x2 + 2y = -1; y2 + 2z = -1; z2 + 2x = -1
Tính giá trị của biểu thức: P = x2009 + y2009 + z2009
câu 4: a) Biết b > a > 0 và 3a2 + b2 = 4ab Tính a a+−b b
b) Chứng minh rằng nếu a+b+c = 0 thì:
0 1
1 1
2 2 2 2 2 2 2 2
− +
+
− +
+
− +c a c a b a b c b
câu 5 : Tìm nghiệm dơng của phơng trình:
( 1+x - x2 − 1 )2005 + (1+ x + x2 − 1)2005 = 22006
câu 6 : Gọi ha, hb, hc là các đơng cao ứng với các cạnh a, b, c của tam giác ABC, I là tâm
đờng tròn nội tiếp tam giác, r là bán kính đờng tròn nội tiếp tam giác
a) Chứng minh: IA + IB + IC ≥ 6r
b) Cho biết diện tích tam giác ABC bằng 1
Chứng minh: (a2+b2+c2)(ha2+ hb2+ hc2) ≥ 36
câu 7: Cho ∆ABC Một đờng thẳng song song với cạnh BC cắt AB tại D v cắt AC tại à
E Chứng minh rằng với mọi điểm P trên cạnh BC, ta luôn có diện tích ∆P ED không lớn hơn 1
4 diện tích ∆ABC
Đờng thẳng DE ở vị trí n o thì diện tích à ∆P ED đạt giá trị lớn nhất
câu 8: Cho tam giác ABC Các đờng cao AH, BK, CI Chứng minh:
a) ∆AKI đồng dạng với ∆ABC
b) AI BK CH = AB BC CA cosA cosB cosC
Họ và tên: Nguyễn Nam Anh SBD: 430
Trang 2đáp án đề thi học sinh giỏi cấp huyện lớp 9
Môn thi: Toán Năm học: 2008 – 2009
Câu 1:
Câu 2: a) Ta có P = x3 – x = x(x2-1) = (x-1)x(x+1)
Vì x, x+1 là 2 số nguyên liên tiếp nên P 2 • Nếu x 3 thì P 3
• Nếu x chia cho 3 d 1 thì (x-1) 3 suy ra P 3
• Nếu x chia cho 3 d 2 thì (x+1) 3 suy ra P 3
Vậy P 3 mà (2,3) = 1 suy ra P 6
b) Ta có a = ( 6 + 2 5 + 6 − 2 5 ): 20 = ( 5 + 1 + 5 − 1): 20= 1
Từ đó P = (12006-12007+12008)2009 = 1
Câu 3: Từ giả thiết ta có :
2 2 2 2 1 0 2 1 0 2 1 0 x y y z z x + + = + + = + + =
Cộng từng vế các đẳng thức ta có : (x2 + 2x+ + 1) (y2 + 2y+ + 1) (z2 + 2z+ = 1) 0
( ) (2 ) (2 )2 1 1 1 0 x y z ⇒ + + + + + =
1 0 1 0 1 0 x y z + = ⇔ + = + = ⇒ x = y = z = -1
⇒ P = x2009 + y2009 + z2009 = (-1) 2009 + (-1) 2009 + (-1) 2009 = -3 Vậy : P = -3 Câu 4: a) 3a2 + b2 = 4ab nên 3a2+ b2- 4ab = 0 hay 3a(a - b) - b(a- b) = 0
⇒ (b - 3a)(b- a) = 0
Từ đó suy ra b - 3a = 0 ⇒ b = 3a ( Vì b > a⇒ a - b < 0)
Vậy a a+−b b= 33 =−42 = −12
+
−
a
a a
a
a a
(vì a > 0)
b) Từ a+ b+ c = 0 ⇒ a+ b = - c ⇒ a2+ b2 + 2ab = c2
⇒ a2+ b2 - c2 = - 2ab
Trang 3Tơng tự: c2 + a2 - b2 = - 2ac và b2 + c2- a2 = - 2bc.
Thay vào vế trái, ta đợc:
2 2
1 2
1
2
1
= + +
−
=
−
−
abc
c b a bc ac
Câu 5: Vì tìm nghiệm dơng của phơng trình nên ta chỉ xét với x ≥ 1
Do (x - x2 − 1 )( x + x2 − 1)= 1
Đặt t = x - x2 − 1 > 0 => x + x2 − 1 =
t
1 > 0
Ta đợc phơng trình ( 1 + t )2005 + ( 1+
t
1 )2005 = 22006 (1)
Ta có (1 + t )2005 = [( 1 - t )2 + 2 t ]2005 ≥ (2 t )2005 = 22005 ( t )2005 (2)
và (1 + 1t ) 2005 = [(1 - 1t )2 + 2t ]2005≥ ( 2t )2005 = 22005 ( 1t )2005 (3)
=> (1 + t) 2005 + (1 +
t
1 ) 2005≥ 22005 [( t )2005 + (
t
1 )2005 ]
Mặt khác ( t )2005 + ( 1t )2005 = [ ( t )2005 - ( t )2005 ]2 + 2 ≥ 2 (4) nên (1 + t) 2005 + (1 +
t
1 ) 2005≥ 22006
Vậy phơng trình 1 có nghiệm khi dấu " = " ở (2), (3) và (4) xảy ra => t = 1
⇔ x - x2 − 1 = 1 ⇔ x2 − 1 = x - 1 ⇔ x = 1
Vậy phơng trình có nghiệm duy nhất x = 1
Câu 6:
Câu 7:
Kẻ AH ⊥BC , AH cắt DE tại K
Đặt AH = h, AK = k
) (
k
k h k h
k h BC
DE S
S
P
ABC
=
Áp dụng bất đẳng thức: 2 ab a b≤ + (a b, ≥ 0)
Dấu “=” xảy ra khi a b=
⇒ Tổng không đổi thì tích lớn nhất khi a b=
Ta có k + h – k = h không đổi mà k≥ 0, h k− ≥ 0
k K
H
E A
D
P
Trang 4⇒ tÝch k(h – k) lín nhÊt khi
2
h
k h k= − ⇒ =k
ABC PDE S S
h
h P
4
1 4
1 4
2
2
≤
⇒
=
≤
⇒
VËy S P ED lín nhÊt khi
2
h
k= hay DE l ®à êng trung b×nh cña ∆ABC
C©u 8: A
K
I
B H C
a) Gäi giao ®iÓm cña AH, BK vµ CI lµ M