Bài tập hình học ôn thi vào lớp 10

CMR: Tứ giác AMON nội tiếp và tính diện tích hình tròn ngoại tiếp tứ giác 3 Gọi I là giao điểm của BE và CF; D là điểm đối xứng của I qua BC... Qua điểm M thuộc nửa đường trịn M khác A v

Trang 1

Bài 99: Cho ∆ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R Các

phân giác của các góc ·ABC, ·ACB lần lượt cắt đường tròn tại E, F

1) CMR: OF ⊥ AB và OE ⊥ AC

2) Gọi M là giao điểm của của OF và AB; N là giao điểm của OE và AC

CMR: Tứ giác AMON nội tiếp và tính diện tích hình tròn ngoại tiếp tứ giác 3) Gọi I là giao điểm của BE và CF; D là điểm đối xứng của I qua BC CMR:

4 CMR: Nếu D nằm trên (O) thì ·BAC = 60 0 :

+ I và D đối xứng qua BC ⇔ BC là đường trung trực của ID, suy ra:

- ∆IBD cân tại B ⇒CBD CBE· = · ( BC là đường trung trực đồng thời là đường cao)

- ∆ICD cân tại C ⇒·BCD BCF= · ( BC là đường trung trực đồng thời là đường cao)

+ Khi D nằm trên (O,R) thì: CBD CBE cmt· =· ( ) ⇒CD CE» =» mà CE» = »AE cmt( )

75

Trang 2

Bài 100: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a Gọi M là điểm trên cạnh BC và N

là điểm trên cạnh CD sao cho BM = CN Các đoạn thằng AM và BN cắt nhau tại H

1 CMR: Các tứ giác AHND và MHNC là những tứ giác nội tiếp

2 Khi BM =

4

a

Tính diện tích hình tròn ngoại tiếp tứ giác AHND theo a

3 Tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn MN theo a

+ Tứ giác AHND có: ⇒·AHN + ·ADN= 180 0 ⇒AHND là tứ giác nội tiếp.

+ Tứ giác MHNC có: ⇒MHN· + MCN· = 180 0 ⇒MHNC là tứ giác nội tiếp.

76

Trang 3

Bài 101: Cho ∆ABC cĩ ba gĩc nhọn nội tiếp đường trịn tâm O Đường cao BH

và CK lần lượt cắt (O) tại E và F

1) CMR: Tứ giác BKHC nội tiếp

2) CMR: OA ⊥ EF và EF // HK

3) Khi ∆ABC là tam giác đều cĩ cạnh bằng a Tính diện tích hình viên phân

chắn cung nhỏ BC của (O)

Hướng dẫn:

a) ·BHC= ·BKC = 900 ⇒B, H, C, K ∈ đường trịn đường kính BC ⇒ BKHC nội tiếp

b)KBH KCH chắnHK· =· ( ¼ ) ⇒·ABE ACF=· ; ·ABE CAF cmt=· ( ) ⇒ »AE CF=» ⇒ AE = AF (1)

Mặc khác: OE = OF = R (2)

Từ (1) và ( 2)⇒ OA là đường trung trực của EF ⇒ OA⊥ EF.

+ BCK BHK chắnBK· =· ( » ) ⇒BCF BHK· =· (3) BCF BEF chắnBF· =· ( » ) (4)

Từ (3) và (4) ⇒ BHK BEF; BHK và BEF đồng vị EF // HK· =· · · ⇒

c) Gọi R là bán kính của (O) và h là chiều cao của ∆ABC đều, ta cĩ:h = 3

Bài 102: Cho hình vuơng ABCD cĩ cạnh bằng a Gọi E là một điểm bất kỳ trên

cạnh BC Qua B vẽ đường thẳng vuơng gĩc với tia DE tại H, đường thẳng này cắt tia

DC tại F

a) CMR: Năm điểm A, B, H, C, D cùng nằm trên một đường trịn

b) CMR: DE.HE = BE.CE

c) Tính độ dài đoạn thẳng DH theo a khi E là trung điểm của BC

d) CMR: HC là tia phân giác của ·DHF

Hướng dẫn:

¤n tËp: Thi vµo líp 10 THPT Gi¸o viªn: Hµ V¨n BØnh

77

Trang 4

a) ·BAD = ·BHD = ·BCD = 900 ⇒A, B, H, C, D ∈ đường trịn đường kính BD.

DEC BEH ( đối đỉ nh)

DCE BHE ⇒ ∆DEC ∆ BEH ⇒ DE = EC

+ Từ (1) và (2) ⇒ · = · = 1·

2

CHD CHF DHF ⇒ HC là tia phân giác của ·DHF

Bài 103: Một hình vuơng ABCD nội tiếp trong đường trịn ( O; R) Điểm

M di động trên cung ABC, M khơng trùng với A, B và C, MD cắt AC tại H

1) CMR:Tứ giác MBOH nội tiếp được trong đường trịn và DH.DM = 2R2 2) CMR: MD.MH = MA.MC

3) ∆MDC và∆ MAH bằng nhau khi M ở một vị trí đặc biệt M’ Xác địnhđiểm M’ Khi đĩ M’D cắt AC tại H’ Đường thẳng qua M’ và vuơng gĩc với AC cắt

AC tại I Chứng minh rằng I là trung điểm của H’C

Hướng dẫn:

1 CMR: Tứ giác MBOH nội tiếp dược đường trịn:

+ ABCD là hình vuơng ⇒ BD ⊥ AC ⇒ ·BOH = 90 0(1)

+ (O) cĩ:·BMD nội tiếp chắn đường trịn ⇒BMD· = 90 0(2)

78

Trang 5

CD = AD (ABCD là hình vuông) ⇒ CD» = »AD⇒CMD AMD· = · ⇒CMD AMH· = ·

+ ∆MDC và ∆MAH có:MDC MAH cmt· =· ( ); CMD AMH cmt· =· ( )

⇒∆MDC : ∆MAH (g.g)⇒MD = MC ⇔ MD MH = MA MC.

3 Chứng minh rằng I là trung điểm của H’C:

+ ∆MDC = ∆MAH ⇒ MD = MA

+ MD = MA ⇒¼MCD MBA=¼ ⇒MC¼ +CD MB» =» + BA» (1) Do: CD = BA ⇒CD» = BA(2)»

Từ (1); (2)⇒MC¼ = ¼MB⇒M là điểm chính giữa »BC Hay M’là điểm chính giữa »BC.+ ∆MDC = ∆MAH ⇒∆M’DC = ∆M’AH’ ⇒ M’C = M’H’⇒∆M’H’C cân tại M (3)+ Do M’I ⊥ AC ⇒ M’I ⊥ H’C (4)

Từ (3) và (4) ⇒ M’I là đường là đường trung tuyến của ∆M’H’C ⇒ IH’ = IC

Hay I là trung điểm của H’C (đpcm)

Bài 104: Cho hai đường tròn (O; 20cm) và (O’; 15cm) cắt nhau tại A và B.Biết AB = 24cm và O và O’ nằm về hai phía so với dây chung AB Vẽ đường kính

AC của đường tròn (O) và đường kính AD của đường tròn (O’)

a) CMR: Ba điểm C, B, D thẳng hàng

b) Tính độ dài đoạn OO’

c) Gọi EF là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và (O’) (E, F làcác tiếp điểm) CMR: Đường thẳng AB đi qua trung điểm của đoạn thẳng EF

Hướng dẫn:

:

a) (O) có·ABCnội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính AC ⇒ ·ABC = 900 (1)

+ (O’) có·ABDnội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính AD ⇒ ·ABD = 900 (2)

+ Từ (1) và (2)⇒ ·CBD = ·ABC+·ABD = 1800 ⇒ Ba điểm C, B, D thẳng hàng.

b) (O) và (O’) cắt nhau tại A và B ⇒ OO’ là đường trung trực của AB

+ Gọi H là giao điểm của OO’ và AB ⇒OO’ ⊥AB tạiH;HA =HB = 1

2AB = 12 (cm)+∆ AHO vuông tại H ⇒OH = OA2 −HA2 = 20 2 − 12 2 = 16 (cm)

+ ∆ AHO’ vuông tại H ⇒ 2 2

O H = O A −HA = 2 2

15 − 12 = 9 (cm)

Suy ra: OO’ = OH + O’H = 16 + 9 = 25 (cm)

c) Gọi K là giao điểm của AB và EF.

+ ∆OEK vuông tại E ⇒ KE2 =OK2 −OE2 (1)

79

Trang 6

+ ∆OHK vuơng tại H 2 2 2

⇒ AB đi qua trung điểm của EF (đpcm).

Bài 105: Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB = 2R Từ A và B lần lượt kẻ hai

tiếp tuyến Ax và By với nửa đường trịn Qua điểm M thuộc nửa đường trịn (M khác

A và B) kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt các tiếp tuyến Ax và By lần lượt tại C và D

1 CMR:

a) Tứ giác AOMC nội tiếp

b) CD = CA + DB và ·COD = 900.c) AC BD = R2

2 Khi ·BAM = 600 Chứng tỏ ∆BDM là tam giác đều và tính diện tích của hình

quạt trịn chắn cung MB của nửa đường trịn đã cho theo R

Hướng dẫn:

1a) Ax là tiếp tuyến tại A⇒ ·OAC= 900 (1) CD là tiếp tuyến tại M⇒ ·OMC= 900 (2)

Từ (1) và (2) ⇒ ·OAC+ ·OMC= 1800 ⇒ AOMC là tứ giác nội tiếp đường trịn

1b) CMR: CD = CA + DB và ·COD = 90 0 :

+ CA = CM và OC là tia phân giác của ·AOM (T/c 2 tiếp tuyến cắt nhau) (1)

+ DB = DM và OD là tia phân giác của ·MOB (T/c 2 tiếp tuyến cắt nhau) (2)

Suy ra: CD = CM + MD = CA + DB

AOM MOB 180 0(kềbu)ø ·AOM + MOB· = 180 0(kềbu)ø Mà OC làphân giá c

·

củ a AOM và OD làphân giá c củ a MOB· ⇒ ·COD = 900

1c) ∆COD vuông tại O : OM ⊥CD⇒OM2 = MC.MD

vớ i OM =R,MC AC, MD BD AC.BD R2

2 Khi ·BAM = 60 0 Chứng tỏ ∆BDM là tam giác đều và tính diện tích của

hình quạt trịn chắn cung MB của nửa đường trịn đã cho theo R:

+ DBM BAM· =· = 60 0 ( cùng chắn BM¼ ) (1)

BDM

∆ cĩ DB = DM ⇒ ∆BDM cân tại D (2) Từ (1) và (2)⇒ ∆BDM đều.

+ BOM· = 2.BAM· = 2 60 120. 0 = 0 ( hệ quả gĩc nội tiếp)

80

Trang 7

•Squạt = π 2 = π 2 60= π 2

Bài 106: Từ điểm M ở ngoài đường tròn (O) vẽ cát tuyến MCD không đi qua tâm O

và hai tiếp tuyến MA và MB đến đường tròn (O), ở đây A, B là các tiếp điểm và Cnằm giữa M, D

b) - I là trung điểm của dây CD ⇒OI ⊥CD ⇒ OIM· = 90 0nhìn đoạn OM(1)

- MA OA⊥ (T/c tiếp tuyến) ⇒ OAM· = 90 0nhìn đoạn OM (2)

- MB OB⊥ (T/c tiếp tuyến) ⇒OBM· = 90 0nhìn đoạn OM (3)

Từ (1), (2) và (3) ⇒ 5 điểm M, A, I, O, B ∈ đường tròn đường kính OM.

c) + ∆OAMvuông tại A⇒MA2 = MO MH Mà: MA2 =MC MD cmt ( )

⇒CDO CHO+ = 180 0 Suy ra: Tứ giác CHOD nội tiếp được đường tròn

* CMR: AB là phân giác của ·CHD:

+ ∆CODcó OC = OD = R ⇒ ∆CODcân tại O⇒CDO DCO· = · ⇒ MDO DCO· = ·

81

Trang 8

+ Mặc khác: ·AHC = 90 0 − ·MHC; AHD· = 90 0 −OHD· (2)

Từ (1) và (2) ⇒

Suy ra: HA là tia phân giác của ·CHD⇒ AB là tia phân giác của ·CHD(đpcm)

d) Gọi K là giao điểm của các tiếp tuyến tại C và D của đường trịn (O) CMR: 3 điểm A, B, K thẳng hàng:

+ Gọi K là giao điểm của 2 tiếp tuyến tại C và D của (O)

+ CK OC⊥ (T/c tiếp tuyến) ⇒OCK· = 90 0nhìn đoạn OK (1)

+ DK OD⊥ (T/c tiếp tuyến) ⇒ODK· = 90 0nhìn đoạn OK (2)

Từ (1), (2) ⇒ Tứ giác OCK nội tiếp đường trịn đường kính OK

⇒OKC ODC (cùng chắn OC)= OKC MHC· =·

Mà : MHC OHC 180 0(kềbu)ø⇒ OKC· = ·MDO Mà : MHC· =MDO(cmt)· ⇒

⇒ OKC OHC+ · = 180 0 ⇒Tứ giác OKCH nội tiếp đường trịn đường kính OK

⇒ OHK = ·OCK = 900(gĩc nội tiếp chắn nửa đường trịn)

⇒ HK ⊥ MO Mà : AB MO(cmt)⊥ ⇒ HK ≡ AB ⇒ 3 điểm A, B, K thẳng hàng

Bài 107: Cho hình vuơng cạnh a, lấy điểm M bất kỳ thuộc cạnh BC (M khác B,C).

Qua B kẻ đường thẳng vuơng gĩc với đường thẳng DM tại H, kéo dài BH cắt đườngthẳng DC tại K

1 Chứng minh: BHCD là tứ giác nội tiếp

4 CMR: (SABM + SDCM ) khơng đổi:

+ ∆ABMvuơng tại B ⇒SABM = 1

2AB.BM =

1

82

AHC AHD Mà : AHC AHD CHD

Trang 9

2a không đổi ⇒ (SABM + SDCM ) không đổi.

* Xác định vị trí của M trên BC để S 2 ABM + S 2

DCM đạt giá trị nhỏ nhất Tìm giá trị nhỏ nhất đó theo a:

a

Bài 108: Cho điểm A ở ngoài đường tròn (O, R) Gọi AB, AC là hai tiếp tuyến của

đường tròn (B và C là hai tiếp điểm) Từ A vẽ một tia cắt đường tròn tại E và F (Enằm giữa A và F)

a) CMR: ∆AEC và ∆ACF đồng dạng Suy ra AC2 = AE AF

b) Gọi I là trung điểm của EF Chứng minh 5 điểm A, B, O, I, C cùng nằmtrên một đường tròn

c) Từ E vẽ đường thẳng vuông góc với OB cắt BC tại M Chứng minh tứgiác EMIC nội tiếp được trong đưởng tròn Suy ra tứ giác MIFB là hình thang

d) Giả sử cho OA = R 2 Tính theo R phần diện tích tứ giác ABOC nằm ởngoài hình tròn (O)

a)∆AECvà∆ACF có:·ACE CFE (cuøng chaén CE) CAF : chung= · » · ⇒

∆KCB: ∆KHD(g.g) AC AE

AF AC

⇒ = ⇒ AC2 = AE AF (đpcm)

83

Trang 10

Hình 01

O

K H

M E

B A

b) Gọi I là trung điểm của EF Chứng minh 5 điểm A, B, O, I, C cùng nằm trên một đường tròn:

•I là trung điểm của dây EF ⇒OI⊥EF ⇒OIA· = 90 0nhìn đoạn OA (1)

• AB OB⊥ (T/c tiếp tuyến) ⇒OBA· = 90 0nhìn đoạn OA (2)

• AC OC⊥ (T/c tiếp tuyến ) ⇒OCA· = 90 0nhìn đoạn OA (3)

Từ (1), (2) và (3) ⇒ 5 điểm , A,B, O, I, C ∈ đường tròn đường kính OA.

c) Từ E vẽ đường thẳng vuông góc với OB cắt BC tại M Chứng minh tứ giác EMIC nội tiếp được trong đưởng tròn Suy ra tứ giác MIFB là hình thang:

Bµi 109: Cho hình thang cân ABCD (AB > CD, AB // CD) nội tiếp trong đườngtròn (O) Kẻ các tiếp tuyến với đường tròn (O) tại A và D chúng cắt nhau ở E Gọi M

là giao điểm của hai đường chéo AC và BD

1 Chứng minh tứ giác AEDM nội tiếp được trong một đường tròn

xDB= sđ »DB (Dx là tia đối của tia tiếp tuyến DE)

Mà AC = BD (do ABCD là hình thang cân) nên »AC BD=»

Do đó ·EAC=·xDB Vậy tứ giác AEDM nội tiếp được trong một đường tròn

2 Chứng minh AB // EM

Tứ giác AEDM nội tiếp nên EAD EMD· = · (cùng chắn cung ED)

Mà ·EAD ABD= · (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung )

Suy ra:·EMD ABD= · Do đó EM // AB.

3 Chứng minh M là trung điểm HK

84

Trang 11

3) Gọi P là điểm chính giữa cung nhỏ »BC Cmr: AP là phân giác của ·HAO

4) Cho BC cố định A di động trên cung lớn »BC

a) CMR: bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆AED luôn không đổi

b) Tìm điều kiện của ∆ABC sao cho OH//BC

H E

D

C B

A

Bài 111: Cho nửa đường tròn đường kính AB, C trên cung AB Kẻ CH ⊥AB I, K

là tâm đường tròn ngọai tiếp ∆CAH, ∆BCH,đường thẳng IK cắt CA, CB tại M, N1) CMR: CM =CN

2) Xác định vị trí của C để tứ giác ABNM nội tiếp

3)Kẻ CD⊥MN Cmr: khi C di động trên »AB thì CD luôn đi qua một điểm cố định.4) Tìm vị trí C để diện tích ∆CMN lớn nhất

2) M là trung điểm của DE

3) Gọi N là điểm đối xứng của B qua M Cmr: tứ giác ADNE nội tiếp

4) Qua D kẻ đường thẳng // với AE, qua E kẻ đường thẳng // AD Hai đườngthẳng này cắt nhau tại S Cmr: SB R≤ + 1 R2

85

Trang 12

O

N M

K I

E D

B A

Bài 113: Cho (O) đường kính AB =2R trên OA lấy một điểm bất kì kẻ đườngthẳng d vuông góc AB tại I Cắt (O) tại hai điểm M; N trên IM lấy một điểm E (Ekhác M; I) nối AE cắt (O) tại K, BK cắt d tại D

1) Chứng minh :

a) MECF là tứ giác nội tiếp b) MF vuông góc với HK 2) Tìm vị trí của M trên cung nhỏ BC để tích MD ME lớn nhất

Bài 115: Cho ∆ABC nội tiếp (O) có AC >AB Gọi D là điểm chính giữa cungnhỏ BC P là giao điểm của AB và CD Tiếp tuyến của đường tròn tại C cắt tiếp tuyếntại D và AD tại E và Q Chứng minh :

a) Tứ giác PACQ nội tiếp

b) DE//PQ

c) Nếu F là giao điểm của AD và BC thì : CE1 =CQ CF1 + 1

Bài 116: Từ một điểm S ở ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến SA, SB và cáttuyến SCD của đường tròn đó

a) Gọi E là trung điểm của dây CD Chứng minh 5 điểm S, A, E, O, B cùng thuộcmột đường tròn

b) Nếu SA = AO thì SAOB là hình gì? tại sao?

86

Trang 13

o

p

e d

c b

e) Chứng minh : AP là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp AED

f) Gọi R1, R2 là các bán kính đường tròn ngoại tiếp AED và BED.Chứngminh: R1 + R2 = 4R -PA 2 2

Bài 118: Cho hình vuông ABCD, điểm M thuộc cạnh BC (M khác B, C) Qua B

kẻ đường thẳng vuông góc với DM, đường thẳng này cắt các đường thẳng DM và DCtheo thứ tự tại H và K

1 Chứng minh: Các tứ giác ABHD, BHCD nội tiếp đường tròn;

Bài 119: Hình thang ABCD có đáy AD, BC ( AD > BC)nội tiếp (O) Kéo dài AB

và CD cắt nhau tại I Các tiếp tuyến của (O) tại B và D cắt nhau tại K

1) Chứng minh BIKD nội tiếp và IK // BC

2) Vẽ hình bình hành BDKM Đường tròn ngoại tiếp ∆BKM cắt (O) fại N.Chứng minh: D, N, M thẳng hàng

3) Hình thang ABCD cần có thêm điều kiện gì để AIKD là hình bình hành?Khi đó chứng minh IC IE = ID CE với E là giao điểư của BK và ID

Hướng dẫn:

3) ( Hướng dẫn: IE IK DA IC IC IE ID CE .

EC =BC=BC =ID⇒ = )

Bài 120: Cho đường tròn (O) với dây BC cố định và một điểm A thay đổi trên cung

lớn BC sao cho AC > AB và AC> BC Gọi D là điểm chính giữa của cung nhỏ BC.Các tiếp tuyến của (O) tại D và C cắt nhau tại E Gọi P, Q lần lượt là giao điểm củacác cặp đường thẳng AB với CD; AD với CE

1) Chứng minh rằng: DE//BC

2) Chứng minh tứ giác PACQ nội tiếp đường tròn

3) Gọi giao điểm của các dây AD và BC là F Chứng minh: 1

87

Trang 14

2) ·APC = 12 sđ (AC - DC) = AQC» » ·

⇒ Tứ giác PACQ nội tiếp (vì APC = AQC· · )

3) Tứ giác APQC nội tiếp

PQ FC CQ CQ

1 1 1 + =

c) Chứng minh 3 điểm D, E, F thẳng hàng

d) Gọi P là giao điểm của MA với BC Chứng minh:

MC MB MP

1 1

P E

M D

F

O

C B

A

Bài 122: Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn (O) Đường thẳng BD vàcác tiếp tuyến với (O) tại A, C đồng qui tại S Gọi I là giao điểm của AC và BD.Chứng minh rằng:

a) AB.DC = AD.BC

C

A

O D

B

S

Trang 15

HD: a) ΔSAB ΔSDA nên: SA AB SB

a) Xác định vị trí của N để ΔAHB có diện tích lớn nhất

b) CmR: Khi M thay đổi, HN luôn đi qua một điểm cố định

F tương ứng là giao điểm của BM, CN với AC

a) CmR: các tứ giác ABFM, BCNE, MEFN nội tiếp

b) CmR: MN luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định và chu vi ΔMNDkhông đổi

c) Tìm vị trí của M, N và nêu cách dựng các điểm đó để ΔMND có diện tíchlớn nhất

HD: a) FBM FAM 45· = · = 0⇒ ABFM nội tiếp

Tương tự: BCNE nội tiếp

⇒BEN BCN 180 · + · = 0 ⇒ BEN 90 · = 0 Tương tự: MFN 90· = 0⇒ đpcm

b) Lấy điểm K trên tia đối của tia AD sao cho AK = CN:

⇒ BK = CN và KBM KBA ABM· = · + · =NBC ABM· + ·

89

H

ED

C

MNP

45 0

K

L H

F

E

N

C B

Trang 16

2 2 1

≤

+ .Dấu “=” xảy ra ⇔ MD = ND ⇔ MBA · = · NBC 22,5 = 0

Bài 125: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R, M là một điểm bất kìtrên nửa đường tròn (M khác A và B) Hạ MH ⊥ AB tại H Gọi P, Q, I lần lượt là tâmđường tròn nội tiếp các tam giác MAH, MBH, AMB

a) Chứng minh điểm I là trực tâm của ∆MPQ

b) Tìm quĩ tích điểm I khi điểm M di động trên nửa đường tròn

c) Xác định vị trí của điểm M trên nửa đường tròn để chu vi ∆PHQ lớn nhấtHD: a) Dễ thấy: A, P, I thẳng hàng và B, Q, I thẳng hàng

Gọi K ≡ MP ∩ AB: KMB KMH BMH· = · + · , MKB KMA MAB· = · +·

⇒ BHQF nội tiếp Từ đó suy ra: MFE QHB 45· = · = 0

∆MEF cân tại M nên: ME = MF ∆MQF = ∆MQH (c.g.c) ⇒: MF = MH và QF = QH

b) Gọi I là trung điểm của BC Tìm quĩ tích điểm I

HD: a) Kẻ đường kính BE Ta có AE // CD ⇒ AC = DE Áp dụng ĐL

Pitago cho ∆v.BED: BD2 + DE2 = BD2 + AC2 = BE2 = 4R2

¤n tËp: Thi vµo líp 10 THPT

Gi¸o viªn: Hµ V¨n BØnh

90

L K

E D

C

O

P

Trang 17

Suy ra: PA2 + PB2 + PC2 + PD2 = AC2 + BD2 = 4R2 = Const

c) Thuận: Gọi K là trung điểm của OP ta có:

IK là trung tuyến của ∆OPI nên: 2 2 2 1 2

Suy ra: IP = IB Hay: IP = 1

2BC ⇒∆PCB vuông tại P Vậy: A’B’ ⊥ C’D’

Bài 127: Cho ba điểm A, B, C theo thứ tự nằm trên một đường thẳng d sao cho

AB = 2, BC = 4 Một đường tròn di động (O) có tâm O và đi qua B, C Gọi AT, AT’ làhai tiếp tuyến kẻ từ A đến (O), với T, T’ là hai tiếp điểm

a) Thuận: Ta chứng minh T’A2 = AT2 = AB.AC = (2 3) 2

Suy ra: T và T’ thuộc đường tròn (A; 2 3)

Đảo: Lấy một điểm T1 bất kì thuộc (A; 2 3) Qua T1 vẽ một đường

thẳng vuông góc với AT1 cắt trung trực của BC tại O’ Ta cần chứng

minh AT1 là tiếp tuyến của (O’ ; O’B): Kẻ tiếp tuyến AT2 Ta có:

AT22 = AB.AC = AT12⇒ O’T1 = O’T2⇒ OT1 là bán kính (O’) Suy ra:

AT1 là tiếp tuyến của (O’)

b) Ta có: AT2 = AM.AP Mà AT2 = OA2 − OT2 hay: AT2 = OA2 − OC2⇒ AM.AP

Ta có: OI // BC ⇒ OI là đường trung bình của ∆BMC ⇒ OB = OM ⇒ M ∈ (O1 ;

O1B)

* Quĩ tích P:

Thuận: Ta có: APB 90 · = 0 ⇒ P thuộc đường tròn đường kính AB

Trang 18

Đảo: Lấy một điểm P’ bất kì trên đường tròn đường kính AB Qua C vẽ một đườngthẳng vuông góc với d giao với AP tại M Gọi O2 là giao của đường trung trực BC với

BM, vẽ (O2 ; O2B) ta cần chứng minh: P và M thuộc (O2 ; O2B): OI là đường trungbình của ∆BMC nên OM = OB ⇒ M thuộc đường tròn Ta có: ·BPM = 900 nên P thuộcđường tròn đường kính BM hay: OP = OB

Bài 128: Cho hai đường tròn (O, R) và O ',R

a) Chứng minh ΔOAM ΔO’AN

b) Chứng minh độ dài đoạn NQ không phụ thuộc vào vị trí điểm M

c) Tứ giác ABQP là hình gì? tại sao?

d) Xác định vị trí điểm M để diện tích tứ giác ABQN đạt giá trị lớn nhất Tínhgiá trị đó theo R

HD: a) chứng minh được ΔOAM ΔO’AN

MAB 90 = ⇔ M là điểm đối xứng của điểm B qua điểm O

Khi đó, ΔAMB vuông tại A: AM2 = MB2 – AB2 = 4R2 – R2 = 3R2⇒ AM = R 3

92

H

Q P

N

B

O' A O

D

A

B

C

Trang 19

b) Gọi H là trung điểm của BI Ta có: DBC CAD· · 1Aµ

a) Chứng minh P, H, Q thẳng hàng và tứ giác BPCQ nội tiếp

b) Gọi M là trung điểm của cạnh BC Chứng minh: AM ⊥ PQ

HD: a) PAQ 90· = 0, PQ là đường kính (A, HA) ⇒ Ba điểm P, H, Q thẳng hàng

∆AHQ cân tại H: Aµ1 = Qµ mà C Aµ = µ1 (Cùng phụ với ·CAH)

Nên: C Qµ = µ ⇒ BPCQ nội tiếp

b) ∆MAB cân ⇒Bµ2 =BAM· = Q Hµ +µ1, P$1 = +C Hµ µ 2.

a) Chứng minh AE AB = AF AC

b) Chứng minh EF là tiếp tuyến chung của 2 đường tròn đường kính HB và HCc) Gọi I và K lần lượt là hai điểm đối xứng với H qua AB và AC Chứng minh

AH2 = AE AB, AH2 = AF AC Suy ra: AE AB = AF AC

b) Tứ giác AFEH là hình chữ nhật vì có ba góc vuông

Gọi D là giao điểm của AE và EF, ta có: DA = DH = DE = DF

1

3 2

2

1

E M P

H

A

Trang 20

Tương tự: EF là tiếp tuyến (O2) ⇒ EF là tiếp tuyến chung

c) Theo tính chất đối xứng ta có: Aµ1 = A , Aµ 2 µ3 = Aµ 4

1 2

IAH HAK 2(A + = + A ) 2.BAC 180 = = ⇒ Ba điểm I, A, K thẳng hàng

d) SB // AH ⇒SBA A· = µ 2(So le) = Aµ1 ⇒∆MBA cân tại A ⇒ MA = MB

Mặt khác: MBA S 90 · + =$ 0 mà Aµ1 = Aµ5 và MBA A· = µ1 ⇒S A$= µ 5⇒∆MAB cân tại A ⇒ MA

= MS

Suy ra: MA = MS Giả sử MC cắt AH tại D’ Theo ĐL Ta lét: AD ' CD ' HD '

MS = MB nên: AD’ = D’H ⇒ D’H = D’A mặt khác: DH = DA ⇒ D ≡ D’

Vậy: AH, EF, MC đồng qui tại tại D

Bài 132: Cho ∆ABC vuông ở A (AC > AB) đường cao AH Đường tròn (H; HA)cắt các đường thẳng AB, AC lần lượt tại P và Q (P, Q khác A)

a) Chứng minh: P, H, Q thẳng hàng Tứ giác BPCQ nội tiếp

b) Gọi M là trung điểm của cạnh BC Chứng minh: AM ⊥ PQ

HD: a) PQ là đường kính đường tròn tâm A bán kính HA

⇒ Ba điểm P, H, Q thẳng hàng

Ta có: HQA HAQ· =· (∆AHQ cân)

Lại có: ACB HAQ ( 90· = · = 0 − CAH)·

⇒ACB AQB· = · ⇒ BPCQ nội tiếp

b) APQ AHP· = · (∆AHP cân), CAM ACM· = · mà ACM AQP· = ·

Suy ra: APQ CAM APQ AQP 90· +· = · +· = 0⇒AEH 90 · = 0 Vậy: AM ⊥ PQ

Bài 133: Cho A là một điểm bất kì trên nửa đường tròn đường kính BC (A ≠ B,C) Hạ AH ⊥ BC tại H Gọi I, K lần lượt là tâm của đường tròn nội tiếp ∆AHB và

∆AHC Đường thẳng IK cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại M, N Chứng minh:

a) ∆AIH ∆CKH và ∆HIK ∆ABC

b) ∆MAN là tam giác cân

c) Xác định vị trí của điểm A để chu vi của đường tròn ngoại tiếp ∆MHN đạtgiá trị lớn nhất

HK = AH CH = = AC ⇒HKHI = ABAC Lại có:

IHK BAC 90 = = Suy ra: ∆HIK ∆ABC (c.g.c)

b) ∆HIK ∆ABC ⇒C HKI µ = · ⇒ · NCH NKH 180 + · = 0

⇒ NCHK nội tiếp Do đó: ANM KHC 45 · = · = 0

Vậy: ∆AMN vuông cân tại A

c) ∆AKH = ∆AKN (g.c.g) ⇒ AN = AH = AM ⇒ A là tâm đường tròn ngoại tiếp

Trang 21

1 Chứng minh:BEDC nội tiếp

2 Chứng minh:DEA ACB· = ·

3 Chứng minh: DE song song với tiếp tuyến tai A

của đường tròn ngoại tiếp tam giác

4 Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Chứng minh: OA là phân giác của góc·MAN Chứng tỏ: AM2=AE AB

Bài 2: Cho(O) đường kính AC trên đoạn OC lấy điểm B và vẽ đường tròn tâm O’,

đường kính BC Gọi M là trung điểm của đoạn AB Từ M vẽ dây cung DE vuông gócvới AB;DC cắt đường tròn tâm O’ tại I

1 Tứ giác ADBE là hình gì?

2 C/m DMBI nội tiếp

3 C/m B;I;E thẳng hàng và MI=MD

4 C/m MC DB=MI DC

5 C/m MI là tiếp tuyến của (O’)

Bài 3: Cho ∆ABC có µA=1v Trên AC lấy điểm M sao cho AM < MC Vẽ đường tròn tâm O đường kính CM cắt BC tại E;đường thẳng BM cắt (O) tại D;AD kéo dài cắt (O) tại S

1 C/m BADC nội tiếp

2 BC cắt (O) ở E Cmr:MD là phân giác của ·AED

3 C/m CA là phân giác của góc BCS

95

x

y

N M

D E

E

O

A M

Trang 22

H×nh 4

K

S D

A' D

O A

Bài 4: Cho ∆ABC có µA= 1v Trên cạnh AC lấy điểm M sao cho AM > MC Dựngđường tròn tâm O đường kính MC; đường tròn này cắt BC tại E Đường thẳng BM cắt (O) tại D và đường thẳng AD cắt (O) tại S

1 C/m ADCB nội tiếp

2 C/m ME là phân giác của góc AED

3 C/m: ·ASM =·ACD

4 Chứng tỏ ME là phân giác của góc AED

5 C/m ba đường thẳng BA;EM;CD đồng quy

Bài 5: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn và AB < AC nội tiếp trong đường tròn

tâm O Kẻ đường cao AD và đường kính AA’ Gọi E:F theo thứ tự là chân đường vuông góc kẻ từ B và C xuống đường kính AA’

1 C/m AEDB nội tiếp

kẻ từ M đến BC và AC P là trung điểm AB;Q là trung điểm FE

1 C/m MFEC nội tiếp

2 C/m BM EF=BA EM

96

H×nh 6

Q P

E

F O B

A

C M

Trang 23

H×nh 8

I F

E

D

O A

3 C/M ∆AMP : ∆FMQ

4 C/m ·PQM = 90o

Bài 7: Cho (O) đường kính BC,điểm A nằm trên cung BC Trên tia AC lấy điểm

D sao cho AB=AD Dựng hình vuông ABED;AE cắt (O) tại điểm thứ hai F;Tiếp tuyến tại B cắt đường thẳng DE tại G

1 C/m BGDC nội tiếp Xác định tâm I của đường tròn này

2 C/m ∆BFC vuông cân và F là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆BCD

3 C/m GEFB nội tiếp

4 Chứng tỏ:C;F;G thẳng hàng và G cùng nằm trên đường tròn ngoại tiếp

∆BCD Có nhận xét gì về I và F

Bài 8: Cho ∆ABC có 3 góc nhọn nội tiếp trong (O) Tiếp tuyến tại B và C của đườngtròn cắt nhau tại D Từ D kẻ đường thẳng song song với AB,đường này cắt đường tròn ở E và F,cắt AC ở I(E nằm trên cung nhỏ BC)

1 C/m: BDCO nội tiếp

2 C/m: DC2 = DE DF

3 C/m: DOIC nội tiếp

4 Chứng tỏ I là trung điểm FE

Bài 9: Cho (O),dây cung AB Từ điểm M bất kỳ trên cung AB(M≠A và

M≠B),kẻ dây cung MN vuông góc với AB tại H Gọi MQ là đường cao của tam giác MAN

Trang 24

H×nh 9 b H×nh 9 a

C B

E

1 C/m 4 điểm A;M;H;Q cùng nằm trên một đường tròn

2 C/m:NQ NA=NH NM

3 C/m MN là phân giác của góc BMQ

4 Hạ đoạn thẳng MP vuông góc với BN;xác định vị trí của M trên cung AB

để MQ AN + MP BN có giác trị lớn nhấ

Bài 10: Cho (O;R) và (I;r) tiếp xúc ngoài tại A (R> r) Dựng tiếp tuyến chung

ngoài BC (B nằm trên đường tròn tâm O và C nằm trên trên đường tròn tâm (I) Tiếp tuyến BC cắt tiếp tuyến tại A của hai đường tròn ở E

1 Chứng minh tam giác ABC vuông ở A

2 O E cắt AB ở N ; IE cắt AC tại F Chứng minh N;E;F;A cùng nằm trên một đường tròn

3 Chứng tỏ : BC2= 4 Rr

4 Tính tích tích tứ giác BCIO theo R;r

Bài 11: Trên hai cạnh góc vuông xOy lấy hai điểm A và B sao cho OA=OB

Một đường thẳng qua A cắt OB tại M (M nằm trên đoạn OB) Từ B hạ đường vuông góc với AM tại H,cắt AO kéo dài tại I

1 C/m OMHI nội tiếp

2.Tính góc OMI

98

Trang 25

H×nh 13

P

I H

H× nh 11

E

K I

H M A

D

O A

C

M

3.Từ O vẽ đường vuông góc với BI tại K C/m OK=KH

4.Tìm tập hợp các điểm K khi M thay đổi trên OB

Bài 12: Cho (O) đường kính AB và dây CD vuông góc với AB tại F Trên cung

BC lấy điểm M Nối A với M cắt CD tại E

1 C/m: MA là phân giác của góc CMD

2 C/m: EFBM nội tiếp

3 Chứng tỏ: AC2 = AE AM

4 Gọi giao điểm CB với AM là N;MD với AB là I C/m NI//CD

5 Chứng minh N là tâm đường tròn nội tiếp ∆CIM

Bài 13: Cho (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn Vẽ các tiếp tuyến AB;AC và

cát tuyến ADE Gọi H là trung điểm DE

1 C/m A;B;H;O;C cùng nằm trên 1 đường tròn

2 C/m HA là phân giác của góc BHC

3 Gọi I là giao điểm của BC và DE C/m AB2=AI AH

4 BH cắt (O) ở P C/m AE//CP

99

Trang 26

O B

C A

D

Bài 14: Cho (O) đường kính AB = 2R; xy là tiếp tuyến với (O) tại B CD là 1

đường kính bất kỳ Gọi giao điểm của AC; AD với xy theo thứ tự là M;N

Bài 15: Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O Gọi D là 1 điểm

trên cung nhỏ BC Kẻ DE;DF;DG lần lượt vuông góc với các cạnh AB;BC;AC Gọi

H là hình chiêu của D lên tiếp tuyến Ax của (O)

1 C/m AHED nội tiếp

2 Gọi giao điểm của AB với HD và với (O) là P và Q; ED cắt (O) tại M C/m: HA DP=PA DE

3 C/m: QM = AB

4 C/m: DE DG = DF DH

5 C/m: E;F;G thẳng hàng

100

Trang 27

H×nh 17

F E

I H

Bài 16: Cho tam giác ABC có µA=1v; AB < AC Gọi I là trung điểm BC;qua I kẻ

IK⊥BC (K nằm trên AC) Trên tia đối của tia AC lấy điểm M sao cho MA = AK

1 Chứng minh:ABIK nội tiếp được trong đường tròn tâm O

2 C/m: BMC 2 ACB· = ·

3 Chứng tỏ: BC2= 2 AC KC

4 AI kéo dài cắt đường thẳng BM tại N Chứng minh AC = BN

5 C/m: NMIC nội tiếp

Bài 17: Cho (O) đường kính AB cố định, điểm C di động trên nửa đường tròn

Tia phân giác của ·ACB cắt (O) tai M Gọi H; K là hình chiêu của M lên AC và CB

1 C/m: MOBK nội tiếp

Trang 28

K N

M I

O

M

Bài 18: Cho hình chữ nhật ABCD cĩ chiều dài AB = 2a, chiều rộng BC = a Kẻ tia

phân giác của gĩc ACD, từ A hạ AH vuơng gĩc với đường phân giác nĩi trên

1 Chứng minh: AHDC nội tiếp trong đường trịn tâm O mà ta phải định rõ tâm và bán kính theo a

2 HB cắt AD tại I và cắt AC tại M;HC cắt DB tại N Chứng tỏ HB = HC

Và AB AC = BH BI

3 Chứng tỏ MN song song với tiếp tuyến tại H của (O)

4 Từ D kẻ đường thẳng song song với BH;đường này cắt HC ở K và cắt (O)

ở J Chứng minh HOKD nội tiếp

Bài 19 : Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB,bán kính OC ⊥ AB Gọi M là 1 điểm trên cung BC Kẻ đường cao CH của tam giác ACM

1 Chứng minh AOHC nội tiếp

2 Chứng tỏ ∆CHM vuơng cân và OH là phân giác của gĩc COM

3 Gọi giao điểm của OH với BC là I MI cắt (O) tại D

Cmr: CDBM là hình thang cân

4 BM cắt OH tại N Chứng minh ∆BNI và ∆AMC đồng dạng,từ đĩ suy ra:

BN MC=IN MA

102

Trang 29

H×nh 21 E

D

N I M

2 C/m :OMAN nội tiếp

3 BO kéo dài cắt AC tại D và cắt (O) ở E

C/m BC2+DC2=3R2

4 Đường thẳng CE và AB cắt nhau ở F

Tiếp tuyến tại A của (O) cắt FC tại I;AO

kéo dài cắt BC tại J C/m BI đi qua trung

điểm của AJ

Bài 21: Cho ∆ABC (µA=1v) nội tiếp trong đường tròn tâm (O) Gọi M là trung điểm cạnh AC Đường tròn tâm I đường kính MC cắt cạnh BC ở N và cắt (O) tại D

1 C/m ABNM nội tiếp và CN AB=AC MN

2 Chứng tỏ B,M,D thẳng hàng và OM là tiếp tuyến của (I)

3 Tia IO cắt đường thẳng AB tại E C/m BMOE là hình bình hành

4 C/m NM là phân giác của góc AND

103

H×nh 20

J K

I F

E D

N O

A

M

Trang 30

H×nh 22

F

E M

Bài 22: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a Gọi I là điểm bất kỳ trên đường

chéo AC Qua I kẻ các đường thẳng song song với AB;BC,các đường này cắt

4 Chứng tỏ MPQN nội tiếp Tính diện tích theo a

5 C/m MFIE nội tiếp

Bài 23: Cho hình vuông ABCD, N là trung điểm DC; BN cắt AC tại F,Vẽ đường tròn tâm O đường kính BN (O) cắt AC tại E BE kéo dài cắt AD ở M; MN cắt (O) tại

I

1 C/m MDNE nội tiếp

2 Chứng tỏ ∆BEN vuông cân

3 C/m MF đi qua trực tâm H của ∆BMN

4 C/m BI=BC và ∆IE F vuông

5 C/m: BM là đường trung trực của QH (H là giao điểm của BE và AB) và MQBN là thang cân

104

Trang 31

H×nh 24

I D N

K

H B

3 Từ C kẻ tia Cx ⊥với AC và Cx cắt AH kéo

dài ở D Vẽ HI;HN lần lượt vuông góc với

DB và DC Cmr : HKM HCN· = ·

4 C/m M;N;I;K cùng nằm trên một đường tròn

Bài 25 : Cho ∆ABC (µA=1v),đường cao AH Đường tròn tâm H, bán kính HA cắt đường thẳng AB tại D và cắt AC tại E;Trung tuyến AM của ∆ABC cắt DE tại I

1 Chứng minh D;H;E thẳng hàng

2 C/m BDCE nội tiếp Xác định tâm O của đường tròn này

3 C/m: AM⊥DE

4 C/m AHOM là hình bình hành

Bài 26: Cho ∆ABC có 2 góc nhọn,đường cao AH Gọi K là điểm đối xứng của

H qua AB;I là điểm đối xứng của H qua AC E;F là giao điểm của KI với AB và AC

1 Chứng minh AICH nội tiếp

2 C/m AI = AK

3 C/m các điểm: A;E;H;C;I cùng nằm trên một đường tròn

4 C/m CE;BF là các đường cao của ∆ABC

105

Trang 32

H×nh 28

N M

F E

Bài 28: Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong(O) Gọi I là điểm chính giữa cung AB

(Cung AB không chứa điểm C;D) ID và IC cắt AB ở M;N

106

Trang 33

H×nh 29

J G

M

A

Bài 29: Cho hình vuông ABCD, trên cạnh BC lấy điểm E Dựng tia Ax vuông góc

với AE, Ax cắt cạnh CD kéo dài tại F Kẻ trung tuyến AI của ∆AEF, AI kéo dài cắt

CD tại K Qua E dựng đường thẳng song song với AB, cắt AI tại G

1 C/m AECF nội tiếp

2.C/m: AF2=KF CF

3.C/m:EGFK là hình thoi

4.Cmr:khi E di động trên BC thì EK=BE+DK và chu vi ∆CKE có giá trị không đổi

5.Gọi giao điểm của EF với AD là J C/m:GJ ⊥ JK

Bài 30: Cho ∆ABC Gọi H là trực tâm của tam giác Dựng hình bình hành BHCD Gọi I là giao điểm của HD và BC

1 C/m:ABDC nội tiếp trong đường

tròn tâm O;nêu cách dựng tâm O

2 So sánh ·BAH và·OAC

107

Trang 34

H×nh 31 H D

M

N

J K

I

B A

H×nh 32

P

Q E M

F

O B

4 Gọi giao điểm của AI và OH là G

C/m G là trọng tâm của ∆ABC

Bài 31: Cho (O) và sđ»AB= 90o C là một điểm tuỳ ý trên cung lớn AB Các đường cao AI;BK;CJ của ∆ABC cắt nhau ở H BK cắt (O) ở N; AH cắt (O) tại M BM và

Bài 32: Cho hình vuông ABCD Gọi N là một điểm bất kỳ trên CD sao cho CN <

ND;Vẽ đường tròn tâm O đường kính BN (O) cắt AC tại F;BF cắt AD tại M;BN cắt

AC tại E

1 C/m BFN vuông cân

2 C/m:MEBA nội tiếp

3 Gọi giao điểm của ME và NF là Q

4 MN cắt (O) ở P C/m B;Q;P thẳng hàng

5 Chứng tỏ ME//PC và BP=BC

6 C/m ∆FPE là tam giác vuông

108

Trang 35

N E B

O A

C

F

Bài 33: Trên đường tròn tâm O lần lượt lấy bốn điểm A;B;C;D sao cho AB=DB;

AB và CD cắt nhau ở E BC cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn(O) ở Q;DB cắt AC tại

K

1 Cm: CB là phân giác của góc ACE

2 C/m: AQEC nội tiếp

3 C/m: KA KC=KB KD

4 C/m: QE//AD

Bài 34: Cho (O) và tiếp tuyến Ax Trên Ax lấy hai điểm B và C sao cho AB=BC Kẻ

cát tuyến BEF với đường tròn CE và CF cắt (O) lần lượt ở M và N Dựng hình bình hành AECD

1 C/m:D nằm trên đường thẳng BF

2.C/m ADCF nội tiếp

3.C/m: CF CN=CE CM

4.C/m:MN//AC

5.Gọi giao điểm của AF với MN là I

Cmr:DF đi qua trung điểm của NI

Bài 35: Cho (O;R) và đường kính AB;CD vuông góc với nhau Gọi M là một điểm

109

Trang 36

H×nh 35

J

I P

O' O

M

E K

4 C/m: BMHO; HO’NC nội tiếp

5 C/m ∆AMN vuông cân

Bài 37: Cho nửa đường tròn O,đường kính AB=2R,gọi I là trung điểm AO Qua I

dựng đường thẳng vuông góc với AB,đường này cắt nửa đường tròn ở K Trên IK lấy điểm C,AC cắt (O) tại M;MB cắt đường thẳng IK tại D Gọi giao điểm của IK với tiếp tuyến tại M là N

1 C/m:AIMD nội tiếp

2 C?m CM CA=CI CD

3 C/m ND=NC

4 Cb cắt AD tại E C/m E nằm trên

đường tròn (O) và C là tâm đường

tròn nội tiếp ∆EIM

5 Giả sử C là trung điểm IK Tính CD

theo R

110

Trang 37

H×nh 38 F

Bài 38: Cho ∆ABC Gọi P là một điểm nằm trong tam giác sao choPBA PAC· = ·

Gọi H và K lần lượt là chân các đường vuông góc hạ từ P xuống AB;AC

1 C/m AHPK nội tiếp

2.C/m HB KP=HP KC

3.Gọi D;E;F lần lượt là trung điểm của PB;PC;BC Cmr:HD=EF; DF=EK

4.C/m:đường trung trực của HK đi qua F

Bài 39: Cho hình bình hành ABCD (µA > 90o) Từ C kẻ CE;CF;CG lần lượt vuông góc với AD;DB;AB

1 C/m DEFC nội tiếp

2 C/m:CF2 = EF GF

3 Gọi O là giao điểm AC và DB Kẻ OI⊥CD Cmr: OI đi qua trung điểm của AG

4 Chứng tỏ EOFG nội tiếp

Bài 40: Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau ở A và B Các đường thẳng AO

cắt (O); (O') lần lượt ở C và E;đường thẳng AO’ cắt (O) và (O’) lần lượt ở D và F

111

Trang 38

H×nh 41 K

I

H C

B O

H×nh 42

I K

E F

N D

4.C/m A là tâm đường tròn nội tiếp ∆BDE

Bài 41: Cho (O;R) Một cát tuyến xy cắt (O) ở E và F Trên xy lấy điểm A nằm

ngoài đoạn EF,vẽ 2 tiếp tuyến AB và AC với (O) Gọi H là trung điểm EF

1 Chứng tỏ 5 điểm:A;B;C;O;H cùng nằm trên một đường tròn

2 Đường thẳng BC cắt OA ở I và cắt đường thẳng OH ở K C/m: OI OA=OH OK=R2

3 Khi A di động trên xy thì I di động trên đường nào?

4 C/m KE và KF là hai tiếp tyueán của (O)

Bài 42: Cho ∆ABC (AB<AC) có hai đường phân giác CM,BN cắt nhau ở D Qua

A kẻ AE và AF lần lượt vuông góc với BN và CM Các đường thẳng AE và AF cắt

112

Trang 39

H×nh 43

I N

E M D

O' O

4.Chứng tỏ ADIC nội tiếp

Bài 43: Cho ∆ABC(A=1v);AB=15;AC=20(cùng đơn vị đo độ dài) Dựng đường trịn tâm O đường kính AB và (O’) đường kính AC Hai đường trịn (O) và (O’) cắt nhau tại điểm thứ hai D

3 Tính các cạnh và các đường chéo của ABCD

4 Gọi M;N là trung điểm các cạnh DC và AB Trên DA kéo dài về phía A lấy điểm P;PN cắt DB tại Q C/m MN là phân giác của gĩc PMQ

113

Trang 40

H×nh 45

N

O

M F

EF⊥BC Gọi O là trung điểm EB

1 C/m AEBC và EDFB nội tiếp,xác định tâm và bán kính của các đường tròn ngoại tiếp các tứ giác trên theo a

2 Kéo dài FE về phía F,cắt (D) tại M EC cắt (O) ở N C/m EBMC là thang cân Tính tích tích

3 c/m EC là phân giác của góc DAC

4 C/m FD là đường trung trực của

1 C/m BD là phân giác của góc

ABC và OD//AB

2 C/m ADEF nội tiếp

3 Gọi I là giao điểm BD và AC

Chứng tỏ CI=CE và IA IC = ID

IB

4 C/m góc AFD AED· = ·

Bài 47: Cho nửa đường tròn (O); Đường kính AD Trên nửa đường tròn lấy hai điểm

B và C sao cho cung AB < AC; AC cắt BD ở E Kẻ EF⊥AD tại F

1 C/m: ABEF nội tiếp

114

Định dạng
Số trang	100
Dung lượng	4,84 MB