Cac bai toan hinh hoc on thi vao lop 10

bài tập toán 9.Đây là một số dạng toán cơ bản giúp các em có thể học tốt Toán lớp 9 hơn. Chúc các em thành công Đây là một số dạng toán cơ bản giúp các em có thể học tốt Toán lớp 9 hơn. Chúc các em thành công Đây là một số dạng toán cơ bản giúp các em có thể học tốt Toán lớp 9 hơn. Chúc các em thành công

CHUYÊN ĐỀ: CÁC DẠNG TOÁN RÚT GỌN BIỂU THỨC ĐẠI SỐ ÔN THI VÀO 10

A LÝ THUYẾT VÀ DẠNG TOÁN

Trong quá trình giải các bài toán về căn thức bậc hai ta cần chú ý các điều sau đây:

1 Điều kiện để biểu thức A có nghĩa là A0

2 Ta luôn có  2

A  A với điều kiện A0 (định nghĩa căn bậc 2)

3 Ta có hằng đẳng thức 2 0

0

A khi A

A khi A





2

0

A  A  A

4 Ta có AB  A B khi A0,B0

A B khi A B

AB A B

A B khi A B





Tương tự cho quy tắc khai căn của một thương

Ví dụ Xét biểu thức P x1x3 

Điều kiện có nghĩa x 1 hoặc x3

P



 



5 Ta có 2 2







Do đó, để 2 2

A B  A B ta cần phải có điều kiện AB0 (điều kiện cùng dấu của hai vế)

Tức là

2 2 0

AB

  





Chú ý Có một trường hợp thường gặp

2

0 0

A

A B

 



  

 



(điều kiện cùng dấu của hai vế)

Tuy nhiên, từ điều kiện 2

AB ta suy ra A0

Do đó A B B 02





  





Ví dụ Rút gọn biểu thức A 3 5  3 5.

Cách 1: Để viết biểu thức dưới dấu căn bậc hai thành bình phương của một tổng hay một

hiệu ta nhân hai vế của biểu thức A với 2 Khi đó ta có:

2

 

Từ đó suy ra 2 2

2

A   

Cách 2: Ta có

2 2

2

2

2 2

A

A

A

A

A

  

Mặt khác 3 5  3 5  A 3 5 3 5 0

Từ đó suy ra A  2

6 Các kiến thức sau đây cũng thường được sử dụng khi giải toán:

Cho số thực a dương Khi đó

x a    a x a

x a







 x    a a x a







Sau yêu cầu rút gọn các biểu thức đại số P thường có các dạng câu hỏi kèm theo:

Dạng 1 Tính giá trị của P với giá trị cho trước của biến

Dạng 2 Tìm giá trị của biến số để Pa P, Q.

Dạng 3 Tìm giá trị của biến số để Pb (hay Pb)

Dạng 4 Chứng minh với biến số thỏa mãn điều kiện xác định thì Pa hay Pb hay

a P b

Dạng 5 Tìm giá trị nguyên của biến số để P có giá trị nguyên

Dạng 6 Tìm giá trị của biến (thỏa mãn điều kiện xác định) để P có giá trị nguyên

Dạng 7 Tìm giá trị lớn nhất (hoặc nhỏ nhất) của P

Dạng 8 So sánh P và P

Dạng 9 So sánh P và P

Dạng 10 So sánh P và 2

P

B VÍ DỤ MẪU

    

1 Rút gọn biểu thức A

2 Tìm giá trị của biểu thức A khi 2 1

2 1



3 Tìm các giá trị của a để biểu thức A có giá trị bằng 2

4 Tìm các giá trị của a để biểu thức A25

5 Tìm các giá trị của a để 1

4

A

6 Tìm các giá trị của a để biểu thức

2

A P a



 nguyên

7 Tìm các giá trị của a để A D 0 với D6a2 5a1

8 So sánh A và A

9 So sánh 2

A và A

LỜI GIẢI:

1 Điều kiện:

1

0 0

a

a a

a a

  

   

 



Ta có 1 1 1     2

a a

a a

Do đó   2 2  2

A  a  a  a

2 Rõ ràng với 2 1

2 1

 thì 0 a 1.

2 1

A

3 Theo câu a) ta có  2

1

A a với điều kiện 0 a 1

Mặt khác 0 a 1 Do đó a 1 2

4 Theo câu a) ta có  2

1

A a với điều kiện 0 a 1

Khi đó biểu thức:

So sánh với điều kiện 0 a 1, ta được 0 a 6 và a1

5 Theo câu a) ta có  2

1

A a với điều kiện 0 a 1 Khi đó

 2

1

4

1 1

4 1 1

4

1

5

4

3

4

A

a

a

a a

a

a



  

    

 



 

 



  

So sánh với điều kiện, ta có 3 5

4 a 4 và a1

6 Ta có  2 2

a

Do đó biểu thức P nhận giá trị nguyên khi:

1

2

a

a





 





 a2 là ước của 1 2 1 3

Mặt khác, 0 a 1, do đó biểu thức P nhận giá trị nguyên khi a3

7 Ta có:

2

1

2 5

a a

a a a

a

a









  



So sánh với điều kiện 0 a 1, ta được a1

8 Để so sánh A và A ta xét hiệu  2  

Mặt khác, vì a 1 0 với mọi a1

Do đó dấu âm hay dương của H phụ thuộc vào dấu của P  a 1 1.

Mà 0 a 1, nên P  0 a 2

Tóm lại A A a 2 và A A  0 a 2,a1

9 Tương tự câu k) ta xét hiệu 2   4  2 2 2 

H  A  A a  a  a a  a

Mặt khác, vì  2

a  với mọi a1

Do đó dấu âm hay dương của H phụ thuộc vào dấu của 2  

Pa  aa a

0

a P

a







Tóm lại 2

2

A   A a và A2    A 0 a 2,a1

2

74 3 3 2 3.22  2 3

Do đó:

2

2 2

3 1

A

a

a a

a a

a

a

   

 

  



  

 



Vậy 3 1  a 3 3 1  

l) Biết

  2   2

3 2

N

Khi đó biểu thức  

2

2

1

1

a

 không phụ thuộc vào a.

C BÀI TẬP LUYỆN TẬP

1 Cho biểu thức 3 4

A

a) Rút gọn biểu thức A

b) Tính giá trị của A với x206 2

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của A

Hướng dẫn & Đáp số:

a) Điều kiện để biểu thức có nghĩa: 1

4

x x





 



Trục căn ở mẫu, ta có :

A

x

A

c) Vì 2 x 1 0 nên A 3 2 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ x1

Suy ra: Giá trị nhỏ nhất của A là Amin  3 2 khi x1

2 Cho biểu thức

2 2

1

1

B

a) Rút gọn biểu thức B

b) Tìm giá trị của x để B 6

c) Tìm giá trị lớn nhất của B

d) So sánh B và B

Hướng dẫn & Đáp số:

a) Điều kiện có nghĩa: 0

1 0

x

x x







2

Do đó điều kiện để biểu thức B có nghĩa là : x0

Ta có:

1 1

1

B

x

x x

b) Ta có

6

6

6 0

B

x x

x x

 

3

x

  hoặc x  2

9

x

  (thoả mãn điều kiện x0 

c) Ta có

2

x

    

     

Vậy giá trị lớn nhất của B là max 1 1

B   x d) So sánh B và B

Ta luôn có B B, trong đó B B khi B0 và B B khi B0

B x  x    x  (Vì x 0)   0 x 1

Vậy B B   0 x 1, còn B   B x 1

3 Cho biểu thức 2 3 : 2 2 4

4

C

x



a) Rút gọn biểu thức C

b) Tính giá trị của C biết rằng x 3 104 3

c*) Tìm giá trị lớn nhất của C

d) Tìm giá trị của x để C có giá trị là số tự nhiên

Hướng dẫn & Đáp số

a) Đáp số: 3

4

x C

x





Hướng dẫn: Ta có

x C

Điều kiện có nghĩa: 0

4

x x





 

 Do đó:

4

C

x

b) Đáp số: 5 3 14

242

C 

3 2 13 4 3

4 13 4 3 2 13 4 3

C



c) Đáp số: max 1 36

48

C   x

x C



Đặt t 1

x

2

    

Ta được

      2

2 2

Dấu bằng xảy ra khi 1 36

6

t  x

Cách 2: Ta có 4Cx x  3 4Cx x  3 0

Đặt t x với điều kiện 0 t 2 Khi đó ta có:

 Nếu C0, ta có t  3 x 9

 Nếu C0, ta có điều kiện để phương trình 4Ct2   t 3 0 có nghiệm là

1

48

      Dấu bằng xảy ra khi 1 6 36

8

C

Vậy giá trị lớn nhất của max 1 36

48

48

d) Đáp số: C0 khi x9

Hướng dẫn: Vì C là số tự nhiên nên C0 Mặt khác 1

48

C và C nên C0

Ta có C  0 x 9 (thỏa mãn điều kiện)

1

x x



a) Rút gọn biểu thức D Đáp số: D x 2 x1

b) Tìm x để D0 Đáp số: 1 x 2

c) Tìm x để D3 Đáp số: x 5 2 3

d) * So sánh D và D2 Đáp số: 2 2

D D x D D  x x

5 Cho biểu thức 2 9 3 2 1

P

3

x P x







b) So sánh P và P Đáp số: P P

c) Tìm các giá trị nguyên của x để P có giá trị nguyên Đáp số: x1;16; 25; 49 

d) Tìm các giá trị của xđể Q 1

P

 có giá trị nguyên Đáp số: x1

6 Cho biểu thức

E



a) Rút gọn biểu thức E Đáp số:

2

2 1

2

1

khi x x

E

khi x x

 

 

 



b) Tìm x nguyên để E có giá trị nguyên Đáp số: x 2;5

c) Tính giá trị của E với 8 3 3

2

13

E 

3

x

 

G

a) Rút gọn biểu thức G Đáp số: G  xy

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của G biết x y6 Đáp số: Gmin     9 x y 9

c) Tính giá trị của G biết

10 3 10

x y

y x

x y







  



Đáp số: G 3

8 Cho

y

a) Rút gọn biểu thức H 1 x y 1 Đáp số: 2 1

x khi x E

x khi x



 

 



b) Tìm giá trị lớn nhất của H Đáp số: Hmax   1 x 1

c) So sánh giá trị của H và H Đáp số: H  H

d) Tìm H biết x là nghiệm của 2 3 1 0

4

x  x  Đáp số: 1 2

2

H  

Hướng dẫn- đáp số

1

2

3 a)

1

   điền kiện x1

b) D  0 x 2 x    1 0 x 1 2 x  1 1 0

Kết hợp với điều kiện 0 1

2

x D

x







Cách khác: D  0 x 2 x1 vì 2 vế đều dương bình phương 2 vế ta có

1

x

x







 2

x

      x 5 2 3

1

D

D







D x   với  x 1 nên có các trường hợp



2

D D

5

x

  thì D2 D

2

x D

x

 



2

D D

4 a)      

P



3

x



0 4 9

x x x





 



 



b) So sánh P và P

+ Điều kiện P có nghĩa 1 0 9

3

x

x x





+ P P  P P     1 0 0 P 1

Vì P0hoặc P1 không xảy ra

3

x

x





x P

 

  nên P nguyên  x  3 và x   3 3

3

x 

x 1 tm) 4 (loại) 16 ( tm ) 25 (tm) 49 ( tm)

Vậy x1,16, 25, 49thì P có giá trị nguyên

1

x





1

Q

Q



 (Vì Q0)    3 Q 1

Cách khác

x Q

Q











ên

Q

Q

Q nguy

  



    





1

9

   

   

   

5 a)

E



2

1 1

x x



+ Nếu x    1 1 0 x 2 thì 2 1 2

x E



+ Nếu x     1 1 0 1 x 2 thì 2

1

E x





Vậy

2 ( 2) 1

2 ( 1 2) 1

x x

E

x x



 

 



1

x

   



5 ( )

1 2

x





2

x  

 2

3 3 1

x



4 3 3 1 2 3 3 1

1





1

x



Vậy để E3thì 1 x 2và 2 3 2 1 ( 1 0) 1 5



6 a) GG1G2  xy điều kiện 0, 0

1

xy



 



b) Áp dụng bất đẳng thức côsi cho x, y

2

6

9

 

Vậy giá trị nhỏ nhất của Glà -9  x y   3 x y 9

Cáchkhác

x  y   y   x  G x  x  x x x    

c)

10 (1) 3

x y

y x

x y







  



3

3

t x







 



Kết hợp với phương trình (2) giải được x y,    9,1 hoặc  1, 9   G 9  3

7  1 1  1 1

2

a) 1 2 1 1 1 2 ( 1)

x x



 



b) Với 0   x 1 0 H1

Với x  1 x  1 H  2 x1

Vậy giá trị lớn nhất của H là 1  x 1

c) H có nghĩa H   0 0 x 4

Mặt khác H  1 0 H 1 H  H dấu bằng xảy ra

0 0

4 1

1

x H

x H

x









d) 2

3

3 4

2

x

x x

x





2 1



2 1