Hệ thông bài tập Cấp số cộng Cấp số nhân VCD

Mục lục1.1 Dạng toán chứng minh tính chất của một cấp số cộng.. 21.3 Dạng toán tìm điều kiện của tham số để bộ số lập thành một cấp số cộng.. 8 2.1 Dạng toán chứng minh tính chất của một

Mục lục

1.1 Dạng toán chứng minh tính chất của một cấp số cộng 11.2 Dạng toán chứng minh ba số lập thành một cấp số cộng 21.3 Dạng toán tìm điều kiện của tham số để bộ số lập thành một

cấp số cộng 31.4 Bài toán tìm điều kiện của tham số sao cho phương trình bậc

ba lập thành CSC 31.5 Bài toán tìm điều kiện của tham số để phương trình trùng

phương ax4+ bx2+ c = 0(a 6= 0) (*) có bốn nghiệm phân

biệt lập thành CSC 51.6 Dạng toán tìm các phần tử của một cấp số cộng 61.7 Dạng toán tính tổng CSC 8

2.1 Dạng toán chứng minh tính chất của một cấp số nhân 132.2 Dạng toán chứng minh bộ số lập thành một cấp số nhân 132.3 Dạng toán tìm điều kiện của tham số để bộ số lập thành một

cấp số nhân 142.4 Dạng toán tìm các phần tử của một cấp số nhân 162.5 Dạng toán tính tổng cấp số nhân 17

1 Cấp số cộng

1.1 Dạng toán chứng minh tính chất của một cấp số cộng.

Phương pháp: Với bài toán: Cho ba số a, b, c lập thành cấp số cộng, chứng

minh tính chất K, ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Từ giả thuyết a, b, c lập thành một cấp số nhân ta được: a + c = 2b

hoặc biểu thức tương đương a − b = b − c = 1

2(a − c).

Bước 2: Chứng minh tính chất K.

Ví dụ 1: Cho ba số a, b, c lập thành một CSC Chứng minh rằng: a2+2bc = c2+ 2ab

Giải

Từ giả thuyết a, b, c lập thành một cấp số cộng Ta được a + c = 2b

Khi đó: a2+ 2bc = a2+ (a + c)c = a2+ ac + c2= a(a + c) + c2= 2ab + c2.Vậy: a2+ 2bc = c2+ 2ab

Ví dụ 4: Cho ba số dương a, b, c lập thành một CSC Chứng minh rằng ba

1.3 Dạng toán tìm điều kiện của tham số để bộ số lập thành

3a thay vào phương trình (*), ta được:

2

+ c



− b3a

+ d = 0 ⇔ 2b3− 9abc + 27a2d = 0

Đó chính là điều kiện cần để phương trình (*) có 3 nghiệm lập thành cấp sốcộng

Điều kiện đủ: Từ 2b3− 9abc + 27a2d = 0, suy ra phương trình (*) cónghiệm x2 = − b

việc chỉ ra nghiệm cụ thể của phương trình, điều này rất quan trọng bởi tacòn phải khẳng định phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt.

Ví dụ 6: Xác định tham số m để phương trình x3− 3x2− 9x + m = 0(1) có

ba nghiệm phân biệt lập thành CSC

Điều kiện cần: Giả sử phương trình có ba nghiệm phân biệt thành cấp số

cộng, khi đó: x1+ x3= 2x2

Ta có: x1+ x2+ x3= 3 ⇔ 3x2= 3 ⇔ x2= 1

Với x2= −1 thay vào (1) ta được: 11 − m = 0 ⇔ m = 11

Đó chính là điều kiện cần để (1) có 3 nghiệm lập thành CSC

Điều kiện đủ: Với m = 11, ta được: x3− 3x2− 9x + 11 = 0

Vậy: với m = 11, phương trình: x3− 3x2− 9x + m = 0 có ba nghiệm phân biệtlập thành cấp số cộng

Bài toán trên có thể được giải bằng phương pháp hằng số bất định, như sau:+ Phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt lập thành CSC khi và chỉ khiphương trình (1) có 3 nghiệm x0− d, x0, x0+ d với d 6= 0

1.5 Bài toán tìm điều kiện của tham số để phương trình

trùng phương ax4+bx2+c = 0(a 6= 0) (*) có bốn nghiệm

phân biệt lập thành CSC.

Phương pháp giải:

Đặt t = x2, điều kiện t ≥ 0

Khi đó, phương trình (*) được biến đổi về dạng: at2+ bt + c = 0(1)

Phương trình (*) có bốn nghiệm phân biệt ⇔ (1) có hai nghiệm phân biệtdương 0 < t1< t2

⇒ (− b

10a)

2= c

9a(5)Kết hợp (5) và (2) ta được điều kiện của tham số

Ví dụ 7: Với giá trị nào của a, ta có thể tìm được các giá trị của x để các

a Tìm số hạng đầu tiên và công sai của CSC

b Tính tổng của 20 số hạng đầu tiên của CSC

c Tính tổng S0 = u5+ u6+ + u24

d = 215

u1= −12Vậy: tồn tại CSC (un) có u1= 0 và d = 3 hoặc u1= −12 và d = 21

5 thỏa mãnyêu cầu bài toán

1.7 Dạng toán tính tổng CSC.

Phương pháp: Tổng n số hạng đầu tiên của CSC có số hạng đầu tiên là u1vàcông sai d được xác định bởi công thức: Sn= u1+ u2+ + un= n

2(u1+ un) =n

2[2u1+ (n − 1)d].

Ví dụ 10: Tính tổng S = 105 + 110 + 115 + + 995.

GiảiXét cấp số cộng (un) có u1= 105 và công sai d = 5, ta có:

Ví dụ 12: Q muốn mua vài món quà tặng mẹ và chị nhân ngày 8/3 Bạn

ấy quyết định bỏ ống heo 500 đồng, bắt đầu từ ngày 1 tháng 1 của năm đó.Tiếp theo cứ ngày sau cao hơn ngày trước 500 đồng Hỏi đến đúng ngày lễ8/3 Việt có đủ tiền mua quà cho mẹ và chị không? Biết rằng món quà Q dựđịnh mua giá khoảng 800.000 đồng

Ví dụ 13: Khi ký hợp đồng dài hạn (10 năm) với các kỹ sư được tuyểndụng.

Công ty liên doanh A đề xuất hai phương án trả lương để người lao độngchọn, cụ thể là:

Phương án 1: người lao động sẽ nhận 36 triệu đồng cho năm làm việc đầu

tiên và kể từ năm thứ hai, mức lương sẽ được tăng thêm 3 triệu đồng mỗi năm

Phương án 2: người lao động sẽ nhận được nhận 7 triệu đồng cho quí đầu

tiên và kể từ quí làm việc thứ hai mức lương sẽ tăng thêm 500.000 đồng mỗiquí

Nếu bạn là người lao động bạn sẽ chọn phương án nào?

Giải

Vấn đề đặt ra: Chon 1 trong hai phương án để nhận lương Ta thấy việc

người lao động chọn một trong hai phương án nhận lương phải căn cứ vào sốtiền mà họ đuợc nhận trong 10 năm

Phương án giải quyết: Ta nhận thấy cả hai phương án số tiền nhận được

sau 1năm (1 quí) đều tuân theo một quy luật nhất định:

Phương án 1: đó là cấp số cộng với số hạng đầu u1=36 triệu và công sai

Ví dụ 14: Nước ta hiện nay có 84 triệu người đứng thứ 13 trên thế giới,

bình quân dân số tăng 1 triệu người (bằng dân số 1 tỉnh) với tốc độ tăng dânnhư thế Liệu đến năm 2020 dân số nước ta là bao nhiêu?

Giải

Vấn đề đặt ra:

Dự đoán số dân của nước ta trong năm 2020 Do vậy điều chúng ta quan tâm

là dân số hiện tại và tốc độ tăng dân.(tỉ lệ tăng dân số)

Phương án giải quyết:

Theo giả thuyết bài toán cho thì tốc độ tăng dân luôn ổn định đều qua cácnăm Tuy nhiên trên thực tế không như vậy

Trong trường hợp này nếu thực hiện tốt chương trình kế hoạch hóa gia đìnhthì tốc độ này vẫn có thể được duy trì và ổn định và xem như là hằng số khôngđổi d = 1 triệu

Do vậy số dân hằng năm lập thành cấp số cộng với công sai d = 1 triệu,

u1= 84

Nên dân số năm 2020 tức là u13 = 84 + (13 − 1) = 96 triệu

Ví dụ 15: Sinh nhật của Q vào ngày 14 tháng 5 Bạn ấy muốn mua một

chiếc máy tính hiệu casio fx580vnx giá 600.000 đồng để làm quà sinh nhậtcho chính mình Bạn ấy quyết định bỏ ống heo 100 đồng vào ngày 14 tháng

1 của năm đó, sau đó cứ liên tục ngày sau cao hơn ngày trước 100 đồng Hỏiđến sinh nhật của mình,Q có đủ tiền mua quà không?

Giải

Từ ngày 14 tháng 1 đến ngày 14 tháng 5 số ngày có ít nhất là: 31 + 28 + 31 +

30 = 120 (ngày) Số tiền bỏ ống của An mỗi ngày tăng theo cấp số cộng vớicông sai bằng 100 đồng Do đó tổng số tiền có được của An đến ngày 14tháng 5 là:

120

2 (2.100 + (120 − 1)100) =

120.121.100

2 = 726000 (đồng).

Vậy: Q có đủ tiền mua máy tính Casio.

Ví dụ 16: Một công ty trách nhiệm hữu hạn thực hiện việc trả lương cho

các kĩ sư theo phương thức sau: Mức lương của quý làm việc đầu tiên chocông ty là 4,5 triệu đồng/quý và kể từ quý làm việc thứ hai, mức lương sẽđược tăng thêm 0,3 triệu đồng mỗi quý Hãy tính tổng số tiền lương một kĩ

sư được nhận sau 3 năm làm việc cho công ty

GiảiVới mỗi số nguyên dương n, kí hiệu un (triệu đồng) là mức lương của người

kĩ sư ở quý làm việc thứ n cho công ty Theo giả thiết bài toán ta có: u1 =

4, 5; un+1= un+ 0.3 với mọi n ≥ 1

Do đó, dãy số (un) là một cấp số cộng với công sai d = 0, 3

Vì mỗi năm có 4 quý nên 3 năm có 12 quý Như thế theo yêu cầu của bài toán

ta phải tính tổng 12 số hạng đầu tiên của cấp số cộng (un)

Ta có: u12 = 4, 5 + (12 − 1).0, 3 = 7, 8.

Vậy: S12 = 12.(4, 5 + 7, 8)

2 = 73, 8 (triệu đồng).

Ví dụ 17: Cho một dãy số có các số hạng đầu tiên là 1,8,22,43, Hiệu của

2 số hạng liên tiếp của dãy số đó lập thành một cấp số cộng: 7,14,21, 7n

Số 35351 là số hạng thứ mấy của cấp số đã cho?

Ta có: S100= 100(2u1+ 99d)

= 1

u1 − 150

u1+ 49d =

245246

2 Cấp số nhân

2.1 Dạng toán chứng minh tính chất của một cấp số nhân.

Phương pháp: Với bài toán: Cho ba số a, b, c lập thành cấp số nhân, chứng

minh tính chất K, ta thực hiện theo các bước:

Bước 1: Từ giả thuyết a, b, c lập thành một cấp số nhân, ta được: ac = b2

Giải

2.3 Dạng toán tìm điều kiện của tham số để bộ số lập thành

2 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Bài toán: Tìm điều kiện của tham số sao cho phương trình bậc ba: ax3+

bx2+ cx + d = 0(∗), với a 6= 0 có 3 nghiệm x1, x2, x3 lập thành cấp số nhân

Điều kiện cần: Giả sử phương trình có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp

3

+ b



−cb

2

+ c



−cb

+ d = 0 ⇔

ac3= b3d

Đây chính là điều kiện cần để phương trình (*) có 3 nghiệm lập thành cấp sốnhân

Điều kiện đủ: Từ ac3= b3d suy ra phương trình (*) có nghiệm x2= −c

b.Khi đó: x2(x1+ x2+ x3) =−c

b



−ba

Với bài toán chỉ chứa một tham số, trong điều kiện đủ ta có thể khẳng định

bằng việc chỉ ra nghiệm cụ thể của phương trình Hãy nhớ điều này rất quan

trọng bởi khi đó ta còn phải khẳng định phương trình đã cho có 3 nghiệm

phân biệt

Ví dụ 25: Xác định m để phương trình x3+ 2x2+ (m + 1) x + 2 (m + 1) = 0

(1) có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số nhân

Điều kiện cần: Giả sử phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt lập thành

2 thay vào (1) ta được:



−m+ 12

3

+2



−m+ 12

2.4 Dạng toán tìm các phần tử của một cấp số nhân

Phương pháp: Thông thường bài toán được chuyển về xác định u1 và côngbội q

Ví dụ 26: Tìm số hạng đầu u1và công bội q của các cấp số nhân (un) biết:(

Ví dụ 27: Cho cấp số nhân (un) thỏa mãn u4− u2= 72 và u5− u3 = 144

a Tìm số hạng đầu tiên và công bội của cấp số nhân

b Tính tổng số của 10 số hạng đầu tiên của cấp số nhân

Ví dụ 28: Cho ba số a, b, c lập thành một cấp số nhân Chứng minh rằng:

Áp dụng: với ba số a, b, c lập thành một cấp số nhân, biết rằng a + b + c = 21

+ Cấp số nhân (un) có (u1) = 1 và công bội q = 10.

Suy ra (sn) là tổng n số hạng đầu của cấp số nhân (un), tức là: sn= 10

n− 1

10 − 1 =1

9 =

1

81 10n+1− 10 − 9n

Ví dụ 31: Đầu mùa thu hoạch xoài, một bác nông dân đã bán cho người

thứ nhất, nửa số xoài thu hoạch được và nửa quả, bán cho người thứ hai nửa

số còn lại và nửa quả, bán cho người thứ ba nửa số xoài còn lại và nửa quảv.v Đến lượt người thứ bảy bác cũng bán nửa số xoài còn lại và nửa quả thìkhông còn quả nào nữa

Hỏi bác nông dân đã thu họach được bao nhiêu quả xoài đầu mùa?

GiảiGọi x là số quả Xoài thu hoạch được đầu mùa của người nông dân

1 − 1

27

12

= 127128

Do đó phương trình (*) 4 ↔ (x + 1)127

128 = x ⇔ x = 127.

Vậy bác nông dân đã thu hoạch được 127 quả Xoài đầu mùa

Ví dụ 32: Qua điều tra chăn nuôi bò ở huyện X cho thấy ở đây trong nhiều

năm qua, tỉ lệ tăng đàn hàng năm là 2%

Tính xem, sau một kế hoạch 3 năm, với số lượng đàn bò thống kê được ởhuyện này vào ngày 1/1/2006 là 18.000 con, thì với tỉ lệ tăng đàn trên đây,đàn bò sẽ đạt tới bao nhiêu con?

Giải

Phân tích bài toán:

Thông thường bài toán trên được giải như sau:

Sau một năm đàn bò ở huyên này tăng được: 18000 × 2% = 360 (con) Nêntổng số đàn bò sau năm thứ nhất (cuối năm 2006) là: 18.000 + 360 = 18.360(con)

Sau 2 năm đàn bò lại tăng thêm: 18.360 × 2% = 367 (con)

Nên tổng số bò sau năm thứ 2 (cuối năm 2007) là: 18.360 + 367 = 18.727(con)

Sau 3 năm đàn bò lại tăng thêm: 18.727 × 2% = 375 (con)

Như vậy tổng đàn bò cuối năm thứ 3 (cuối 2008) là: 18.727 + 375 = 19.102(con)

Bài toán đã được giải quyết xong Tuy nhiên ta nhận thấy nếu yêu cầu tính sốđàn bò sau nhiều năm hơn thì cách tính đi từng bước như trên sẽ rất vất vả,chậm và có thể nhầm lẫn Bằng kiến thức về cấp số nhân ta sẽ tìm ra cáchtính tổng quát hơn

Gọi S0 là tổng số đàn gia súc theo thống kê ban đầu; q là tỉ lệ tăng hàngnăm; n là số năm phát triển (n ∈ N∗) và Si(i = 1 n) là tổng số đàn gia súcsau i năm.

Số gia súc sau 1 năm phát triển là: S1= S0+ S0q= S0(1 + q)

Số gia súc sau 2 năm phát triển là: S2= S1+ S1q= S0(1 + q) + S0(1 + q)q =

Ví dụ 33: Kết quả kiểm kê vào cuối năm 2006, cho biết tổng đàn bò ở

vùng Y là 580 con và trong mấy năm qua tỉ lệ tăng đàn đạt 12% mỗi năm.Hãy tính xem vào đầu năm 2004 (cách đó 3 năm về trước) đàn bò ở đây cóbao nhiêu con?

GiảiThông thường bài toán trên được giải như sau: Coi số bò mẹ đầu năm 2006

là 100%, với tỉ lệ tăng đàn 12%, số 580 bò mẹ cuối năm 2006 so với đầu nămlà: 100% + 12% = 112%

Nghĩa là 112% số bò ứng với 580 con Vậy số bò đầu năm 2006 là:

580 × 100

580 × 100(1 + 0, 12) × 100 =

580(1 + 0, 12)2 (con).Tiếp tục lập luận như trên ta có số bò mẹ đầu năm 2004 (trước đó 3 năm) là:

580 × 100

(1 + 0, 12)2× 112=

580 × 100(1 + 0, 12)(1 + 0, 12) × 100=

580(1 + 0, 12)3= 413 (con).Nếu gặp phải yêu cầu tính số bò của đàn vào đầu năm nào đó cách xa thờiđiểm hiện tại thì rõ ràng cách tính "lùi" này sẽ gặp khó khăn

Ta nhận thấy, số bò của mỗi năm trước thời điểm thống kê lập thành một cấp

Sn= S(1 + q)n

Ví dụ 34: Một dự án đầu tư đòi hỏi chi phí hiện tại là 100 triệu đồng và

sau 3 năm sẽ đem lại 150 triệu đồng Với lãi suất 8% một năm, hãy đánh giáxem có nên thực hiện dự án hay không?

Ví dụ 35: Bạn định mua một chiếc xe máy theo phương thức trả góp Theo

phương thức này sau một tháng kể từ khi nhận xe bạn phải trả đều đặn mỗitháng một lượng tiền nhất định nào đó, liên tiếp trong 24 tháng Giả sử giá xemáy thời điểm bạn mua là 16 triệu đồng và giả sử lãi suất ngân hàng là 1%một tháng Với mức phải trả hàng tháng là bao nhiêu thì việc mua trả góp làchấp nhận được?

GiảiGọi khoản tiền phải trả hàng tháng là a đồng Nếu gửi vào ngân hàng thì giátrị hiện tại của toàn bộ khoản tiền trả góp tại thời điểm nhận hàng là:

a

1 + 0, 01+

a(1 + 0, 01)2+ a

đương với mua trả ngay (bằng cách vay ngân hàng) nếu:

24, 21a = 16.000.000 (đồng) ⇔ a = 660.883, 9 (đồng)

Chắc hẳn, bạn sẽ bằng lòng mua trả góp nếu số tiền phải trả hàng tháng ít hơn660.883,9 (đồng), nếu không thì thà vay ngân hàng để trả ngay 16.000.000(đồng)

Ví dụ 36: Người ta dự định xây dựng 1 tòa tháp 11 tầng tại một ngôi chùa

nọ, theo cấu trúc diện tích của mặt sàn tầng trên bằng nửa diện tích mặt sàntầng dưới, biết diện tích mặt đáy tháp là 12,28m2 Hãy giúp nhà chùa ướclượng số gạch hoa cần dùng để lát nền nhà Để cho đồng bộ các nhà chùa yêucầu nền nhà phải lót gạch hoa cỡ 30x30cm

Giải

Vấn đề đặt ra:

Tính số lượng gạch hoa cần dùng để lát nền nhà Mà số lượng gạch ấy lạiphụ thuộc vào tổng diện tích mặt sàn của 11 tầng tháp Do vậy vấn đề ở đây

là phải tính được tổng diện tích sàn nhà của 11 tầng tháp

Phương án giải quyết:

Nếu gọi S1 là diện tích của mặt đáy tháp thì S1 = 12, 28m2

Si là diện tích mặt nền của tầng thứ i i = 1, 2, , 11

Ta thấy Si lập thành một cấp số nhân với công bội q = 1

2.Tổng diện tích mặt trên của 11 tầng tháp là tổng của 11 số hạng đầu tiên củacấp số nhân trên

T11 = S1(1 − q

11)

1 − q = 12, 28.

1 − 12

11

1 −12

Ví dụ 37: Một lọ thủy tinh có dung tích là 1000 (ml) chứa đầy một dung

dịch chất độc nồng độ 10% đã được chuyển sang bình chứa khác, nhưngdung dịch chất độc sau khi đổ sang bình chứa khác thì vẫn còn dính lại lọ cũ

là 0,1% Để chất độc còn trong lọ 0,001 µ gam (microgam) thì người ta dùng1000ml nước cất để rửa lọ bao nhiêu lần?

GiảiTrong 1000ml dung dịch gồm nước và chất độc, nồng độ của chất độc là10%

⇒ Lượng chất độc trong bình khi chưa chuyển sang bình khác là 100g ta phảichia cho dung tích của bình nữa nghĩa là 100g ÷ 1000 = 1

10 gam.

Lượng chất độc mà đề yêu cầu là ≤ 0, 001µ (gam) = 10−9 (gam)

Mỗi lần rửa với 1000ml nước cất thì vẫn còn dính ỏ lọ 0, 1% lần, hay 1

103 lần.Lần 0: 1

Vậy: khi rửa với 1000ml nước cất thì cần rửa 3 lần.

Nhận xét: Đây là 1 dãy CSN với công sai q = 1

103