Đáp Án,Đề ĐHToán B,D,A(2đợt-hay!)

Hình chiếu vuông góc của điểm B’ lên mặt phẳng ABC trùng với trọng tâm của tam giác ABC.. Xác định toạ độ tâm K và tính bán kính của đường tròn C1; biết đường tròn C1 tiếp xúc với các đư

ÐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2009

Môn thi : TOÁN

PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)

Câu I (2 điểm)Cho hàm số y = 2x4 – 4x2 (1)

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1)

2 Với các giá trị nào của m, phương trình x x2 2 2 m có đúng 6 nghiệm thực phân biệt?

Câu II (2 điểm)

1 Giải phương trình sin x cos x sin 2x  3 cos3x 2(cos 4x sin x)  3

  











Câu III (1 điểm)Tính tích phân

3

2 1

3 ln x

(x 1)









Câu IV (1 điểm)

Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có BB’ = a, góc giữa đường thẳng BB’ và mặt phẳng (ABC) bằng 600; tam giác ABC vuông tại C và BAC = 600 Hình chiếu vuông góc của điểm B’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC Tính thể tích khối tứ diện A’ABC theo a

Câu V (1 điểm)

Cho các số thực x, y thay đổi và thoả mãn (x + y)3 + 4xy ≥ 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :A = 3(x4 + y4 + x2y2) – 2(x2 + y2) + 1

PHẦN RIÊNG (3 điểm)

A Theo chương trình chuẩn

Câu VI.a (2 điểm)

1 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) : (x 2)2 y2 4

5

– y = 0, 2 : x – 7y = 0 Xác định toạ độ tâm K và tính bán kính của đường tròn (C1); biết đường tròn (C1) tiếp xúc với các đường thẳng 1, 2 và tâm K thuộc đường tròn (C)

2 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có các đỉnh A(1;2;1), B(-2;1;3), C(2;-1;1)

và D(0;3;1) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B sao cho khoảng cách từ C đến (P) bằng khoảng cách từ D đến (P)

Câu VII.a (1 điểm)

Tìm số phức z thoả mãn : z (2 i)   10 và z.z 25

B Theo chương trình Nâng cao

Câu VI.b (2 điểm)

1 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh A(-1;4) và các đỉnh B, C thuộc đường thẳng  : x – y – 4 = 0 Xác định toạ độ các điểm B và C , biết diện tích tam giác ABC bằng 18

2 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x – 2y + 2z – 5 = 0 và hai điểm A(-3;0;1), B(1;-1;3) Trong các đường thẳng đi qua A và song song với (P), hãy viết phương trình đường thẳng

mà khoảng cách từ B đến đường thẳng đó là nhỏ nhất

Câu VII.b (1 điểm)

Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng y = - x + m cắt đồ thị hàm số

2

y x



biệt A, B sao cho AB = 4

Hết

BÀI GIẢI GỢI Ý

Câu I.

2

x

y

(C)

1 y = 2x4 – 4x2 TXĐ : D = R

y’ = 8x3 – 8x; y’ = 0  x = 0  x = 1; xlim 

x  1 0 1 +

y'  0 + 0  0 +

y + 0 +

2 CĐ 2

CT CT

y đồng biến trên (-1; 0); (1; +)

y nghịch biến trên (-; -1); (0; 1)

y đạt cực đại bằng 0 tại x = 0

y đạt cực tiểu bằng -2 tại x = 1

Giao điểm của đồ thị với trục tung là (0; 0)

Giao điểm của đồ thị với trục hoành là (0; 0); ( 2 ;0)

2 x2x2 – 2 = m  2x2x2 – 2 = 2m (*)

(*) là phương trình hoành độ giao điểm của (C’) :

y = 2x2x2 – 2 và (d): y = 2m

Ta có (C’)  (C); nếu x  - 2 hay x  2

(C’) đđối xứng với (C) qua trục hoành nếu - 2 < x < 2

Theo đồ thị ta thấy ycbt  0 < 2m < 2  0 < m < 1

Câu II.

3 cos3x 2(cos 4x si n x) 

sin sin 3x cos cos3x cos 4x

cos4x cos 3x

6

2





  

y = 0 hệ vô nghiệm

y  0 hệ 

2

2









 Đặt a = x1y; b = xy  2 2

2

2

1

y

Ta có hệ là a b 72

2

x

y

0

(C’)

 a 4

b 3 hay a 5

b 12 Vậy

1

y x 3 y













hay

1

y x 12 y













y 3





 



hay x 3

y 1

Câu III :

3 3

3

1

ln x

(x 1)













x

2

dx

(x 1)



x 1







2

Vậy : I 3(1 ln 3) ln 2

4

Câu IV.

BH=

2

a

BN

2

a

B H 

gọi CA= x, BA=2x, BC x 3

2

2

CA

2

2 9 52

a x

a

3

x

Câu V :

3

2







2



x y

2

 

Ta cĩ :

2 2 2

2 2 (x y )

x y

4





B

M N H

 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

A 3 x y x y  2(x y ) 1 3 (x   y )  x y  2(x y ) 1

2 2 2

4 9

4

Đặt t = x2 + y2 , đk t ≥ 1

2

2

f (t) f ( )

Vậy : min

Câu VIa.



1

2

5(x y) x 7y

1

2









 Phương trình hoành độ giao điểm của d1 và (C) : (x – 2)2 + (– 2x)2 = 4

5 25x2 – 20x + 16 = 0 (vô nghiệm)

Phương trình hoành độ giao điểm của d2 và (C) : (x – 2)2 +

2



2

5 Vậy K 8 4;

5 5

R = d (K, 1) = 2 2

5

2 TH1 : (P) // CD Ta có : AB ( 3; 1; 2),CD ( 2;4;0)      

(P) :4(x 1) 2(y 2) 7(z 1) 0

4x 2y 7z 15 0

TH2 : (P) qua I (1;1;1) là trung điểm CD

Ta có AB ( 3; 1;2), AI (0; 1;0)

(P) có PVT n (2;0;3)



Câu VIb.

1

1 4 4 9 AH

9

2

Pt AH : 1(x + 1) + 1(y – 4) = 0



B(m;m – 4)

2 2

2

2



  





2 AB (4; 1;2);    nP(1; 2;2)

Pt mặt phẳng (Q) qua A và // (P) : 1(x + 3) – 2(y – 0) + 2(z – 1) = 0

 x – 2y + 2z + 1 = 0 Gọi  là đường thẳng bất kỳ qua A

Gọi H là hình chiếu của B xuống mặt phẳng (Q) Ta có :

d(B, )  BH; d (B, ) đạt min   qua A và H

Pt tham số

x 1 t

z 3 2t

 





 



  

 Tọa độ H = BH  (Q) thỏa hệ phương trình :

x 2y 2z 1 0







10 t 9

9 9 9

 qua A (-3; 0;1) và có 1 VTCP a AH 126;11; 2

9



Câu VII.a. Đặt z = x + yi với x, y  R thì z – 2 – i = x – 2 + (y – 1)i

z – (2 + i)= 10 và z.z 25

 (x 2)2 22 (y 1)2 10



 y 10 2x2

x 8x 15 0   x 3

y 4 hay x 5

y 0 Vậy z = 3 + 4i hay z = 5

Câu VII.b.

Pt hoành độ giao điểm của đồ thị và đường thẳng là :

2

x m

x



 2x2 – mx – 1 = 0 (*) (vì x = 0 không là nghiệm của (*))

Vì a.c < 0 nên pt luôn có 2 nghiệm phân biệt  0

Do đó đồ thị và đường thẳng luôn có 2 giao điểm phân biệt A, B

AB = 4  (xB – xA)2 + [(-xB + m) – (-xA + m)]2 = 16  2(xB – xA)2 = 16

 (xB – xA)2 = 8 

2

8 4



m 24  m = 2 6

Hết.

ÐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2009

Môn thi : TOÁN PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH

Câu I (2,0 điểm)

Cho hàm số y = x4 – (3m + 2)x2 + 3m có đồ thị là (Cm), m là tham số

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m = 0

2 Tìm m để đường thẳng y = -1 cắt đồ thị (Cm) tại 4 điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ hơn 2

Câu II (2,0 điểm)

1 Giải phương trình 3 cos5x 2sin 3x cos 2x sin x 0  

2

x(x y 1) 3 0

5

x





(x, y  R)

Câu III (1,0 điểm). Tính tích phân

3

x 1

dx I







Câu IV (1,0 điểm) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, AA’ =

2a, A’C = 3a Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A’C’, I là giao điểm của AM và A’C Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (IBC)

Câu V (1,0 điểm).Cho các số thực không âm x, y thay đổi và thỏa mãn x + y = 1 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị

nhỏ nhất của biểu thức S = (4x2 + 3y)(4y2 + 3x) + 25xy

PHẦN RIÊNG (3,0 điểm)

Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B)

A Theo chương trình Chuẩn

Câu VI.a (2,0 điểm)

1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có M (2; 0) là trung điểm của cạnh AB Đường trung tuyến và đường cao qua đỉnh A lần lượt có phương trình là 7x – 2y – 3 = 0 và 6x – y – 4 = 0 Viết phương trình đường thẳng AC

2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A (2; 1; 0), B(1;2;2), C(1;1;0) và mặt phẳng (P): x + y + z – 20 = 0 Xác định tọa độ điểm D thuộc đường thẳng AB sao cho đường thẳng CD song song với mặt phẳng (P)

Câu VII.a (1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều

kiện z – (3 – 4i)= 2

B Theo chương trình Nâng cao

Câu VI.b (2,0 điểm)

1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) : (x – 1)2 + y2 = 1 Gọi I là tâm của (C) Xác định tọa độ điểm M thuộc (C) sao cho IMO = 300

 và mặt phẳng (P): x + 2y – 3z + 4 = 0 Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (P) sao cho d cắt và vuông góc với đường thẳng 

Câu VII.b (1,0 điểm)

Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng y = -2x + m cắt đồ thị hàm số

2

y

x

 

phân biệt A, B sao cho trung điểm của đoạn thẳng AB thuộc trục tung

BÀI GIẢI GỢI Ý

Câu I 1 m = 0, y = x4 – 2x2 TXĐ : D = R

y’ = 4x3 – 4x; y’ = 0  x = 0  x = 1; xlim 

x  1 0 1 +

y'  0 + 0  0 +

y + 0 +

1 CĐ 1

CT CT

y đồng biến trên (-1; 0); (1; +)

y nghịch biến trên (-; -1); (0; 1)

y đạt cực đại bằng 0 tại x = 0

y đạt cực tiểu bằng -1 tại x = 1

Giao điểm của đồ thị với trục tung là (0; 0)

Giao điểm của đồ thị với trục hoành là (0; 0); ( 2 ;0)

2 Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và đường thẳng y = -1 là

x4 – (3m + 2)x2 + 3m = -1

 x4 – (3m + 2)x2 + 3m + 1 = 0  x = 1 hay x2 = 3m + 1 (*)

Đường thẳng y = -1 cắt (Cm) tại 4 điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 2 khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác 1 và < 2

3m 1 1





 

1

m 1 3

m 0









Câu II 1) Phương trình tương đương :

3 cos5x (sin 5x sin x) sin x 0     3 cos5x sin 5x 2sin x 

3



3



3



3



2) Hệ phương trình tương đương :

2

2

x(x y 1) 3

x(x y) x 3 5

x











ĐK : x ≠ 0 Đặt t=x(x + y) Hệ trở thành:

Vậy

3

2

x 2





Câu III :

3 x

y

Câu IV.

AC  a  a  a  AC a

BC  a  a  a  BC a

H là hình chiếu của I xuống mặt ABC

Ta có IH AC

/

IH

3

2

IABC ABC

Tam giác A’BC vuông tại B

5

Vậy d(A,IBC)

3

2

3

IABC IBC

Câu V. S = (4x2 + 3y)(4y2 + 3x) + 25xy = 16x2y2 + 12(x3 + y3) + 34xy

= 16x2y2 + 12[(x + y)3 – 3xy(x + y)] + 34xy = 16x2y2 + 12(1 – 3xy) + 34xy

= 16x2y2 – 2xy + 12

Đặt t = x.y, vì x, y  0 và x + y = 1 nên 0  t  ¼

Khi đĩ S = 16t2 – 2t + 12

S’ = 32t – 2 ; S’ = 0  t = 1

16 S(0) = 12; S(¼) = 25

2 ; S ( 1

16) = 191

16 Vì S liên tục [0; ¼ ] nên :

2 khi x = y = 1

2

Min S = 191

16 khi

x 4

y 4









 



hay

x 4

y 4









 



PHẦN RIÊNG

Câu VI.a.

1) Gọi đường cao AH : 6x – y – 4 = 0 và đường trung tuyến AD : 7x – 2y – 3 = 0

A = AH  AD  A (1;2)

M là trung điểm AB  B (3; -2)

BC qua B và vuơng gĩc với AH  BC : 1(x – 3) + 6(y + 2) = 0  x + 6y + 9 = 0

2

D là trung điểm BC  C (- 3; - 1)

AC qua A (1; 2) cĩ VTCP AC ( 4; 3)   

nên AC: 3(x –1)– 4(y – 2) = 0  3x – 4y + 5 = 0

2) AB qua A cĩ VTCP AB ( 1;1; 2) 



nên cĩ phương trình :

x 2 t

z 2t

 







 





D  AB  D (2 – t; 1 + t; 2t)

/

A

A

C

I

M

B

H

C/

CD (1 t; t ; 2t) 

Vì C  (P) nên : CD //(P) CDn( P)

1

2

2 2



Câu VI.b 1 (x – 1)2 + y2 = 1 Tâm I (1; 0); R = 1

Ta cĩ IMO = 300, OIM cân tại I  MOI = 300

 OM cĩ hệ số gĩc k = tg300 = 1

3



3

 x= 0 (loại) hay x 3

2



Cách khác:

Ta có thể giải bằng hình học phẳng

OI=1, IOM IMO300, do đối xứng ta sẽ có

2 điểm đáp án đối xứng với Ox

H là hình chiếu của M xuống OX

Tam giác OM H1 là nửa tam giác đều

M   M   

2 Gọi A =   (P)  A(-3;1;1)

a (1;1; 1)



; n( P) (1;2; 3)



d đđi qua A và cĩ VTCP ad a , n ( P)  ( 1;2;1)

nên pt d là :



Câu VII.a Gọi z = x + yi Ta cĩ z – (3 – 4i) = x – 3 + (y + 4)i

Vậy z – (3 – 4i) = 2  (x 3) 2(y 4) 2   (x – 3)2 2 + (y + 4))2 = 4)

Do đđĩ tập hợp biểu diễn các số phức z trong mp Oxy là đường trịn tâm I (3; -4) và bán kính R = 2

Câu VII.b pt hồnh độ giao điểm là :

2

2x m x

 

 x2 + x – 1 = x(– 2x + m) (vì x = 0 khơng là nghiệm của (1))

 3x2 + (1 – m)x – 1 = 0

phương trình này cĩ a.c < 0 với mọi m nên cĩ 2 nghiệm phân biệt với mọi m

Ycbt  S = x1 + x2 = b

a

SĐT:0977467739-Khơng ai muốn mình là người thừa của xã hội Hãy học,học ,nữa đi>Thân ái!.

Hết.

PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm):

1

M

2

M

H

Câu I (2,0 điểm)

2x 3







1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).

2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (1), biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại gốc toạ độ O.

Câu II (2,0 điểm)

1 2sin x cos x

3

1 2sin x 1 sinx





2 Giải phương trình 2 3x 2 3 6 5x 8 03      x R 

Câu III (1,0 điểm)

0



Câu IV (1,0 điểm)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D; AB = AD = 2a, CD = a; góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 60 0 Gọi I là trung điểm của cạnh AD Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD), tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.

Câu V (1,0 điểm)

Chứng minh rằng với mọi số thực dương x, y, z thoả mãn x(x + y + z) = 3yz, ta có:

x y 3x z 33 x y x z y z        5 y z  3.

PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B)

A Theo chương trình Chuẩn

Câu VI.a (2,0 điểm)

1 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm I(6; 2) là giao điểm của hai đường chéo AC và BD Điểm M(1; 5) thuộc đường thẳng AB và trung điểm E của cạnh CD thuộc đường thẳng :x y 5 0

2 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng  P : 2x 2y z 4 0    và mặt cầu

 S : x2y2z2 2x 4y 6z 11 0    Chứng minh rằng mặt phẳng (P) cặt mặt cầu (S) theo một đường tròn Xác định toạ độ tâm và tính bán kính của đường tròn đó.

Câu VII.a (1,0 điểm)

Gọi z 1 và z 2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2 + 2z + 10 = 0 tính giá trị của biểu thức A = |z 1 | 3 + |z 2 | 3.

B Theo chương trình Nâng cao

Câu VI.b (2,0 điểm)

1 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn  C : x2y24x 4y 6 0   và đường thẳng : x my 2m 3 0

hai điểm phân biệt A và B sao cho diện tích tam giác IAB lớn nhất.

2 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng  P : x 2y 2z 1 0    và hai đường thẳng

 Xác định toạ độ điểm M thuộc đường thẳng 1 sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng 2 và khoăng cách từ M đến mặt phẳng (P) bằng nhau.

Câu VII.b (1,0 điểm)

2 2

2 2

x xy y

x, y R









.

-Hết -ĐÁP ÁN ĐỀ THI MÔN TOÁN KHỐI A NĂM 2009 Câu I.

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

2



+ y’ =

0, x

2 2x 3





+ Tiệm cận

Vì

x

lim

 





2

     

2 Bảng biến thiên:

Vẽ đồ thị: đồ thị cắt Oy tại 0;2

3

  và cắt Ox tại (-2; 0)

2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (1), biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại gốc toạ độ O.

Ta có y ' 1 2

(2x 3)





 nên phương trình tiếp tuyến tại x x 0 (với x0 3

2

y - f(x ) = f’(0 x )(x -0 x )0

2

x y



Do đó tiếp tuyến cắt Ox tại A(2x208x06;0)

và cắt Oy tại B(0;

2

2 0

Tam giác OAB cân tại O OA OB (với OA > 0)

2

0



0 2

0







 Với x0 2 ta có tiếp tuyến y = x 2

Câu II.

1 2sin x cos x

3

1 2sin x 1 sinx





Giải :

ĐKXĐ:

5

2

2









Phương trình cosx - 2sinxcosx = 3 (1 – sinx + 2sinx – 2sin2x)

 cosx – sin2x = 3 + 3 sinx - 2 3 sin2x

  3sinx + cosx = sin2x + 3 (1 – 2sin2x)

= sin2x + 3 cos2x



5

5









2



Kết hợp với đkxđ ta có họ nghiệm của pt là:

2 Giải phương trình :2 3x 2 3 6 5x 8 03      x R 

5

Đặt

3 3

2

2u 3v 8

(v 0)

 

8 2u v

3









 



2

0





 



Vậy phương trình có tập nghiệm là S={-2}

Câu III.Tính tích phân 2 3  2

0





1

2







=

3 2

0







Vậy I = I1 – I2 = 8

15 4





Câu IV.Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D; AB = AD = 2a, CD = a; góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 60 0 Gọi I là trung điểm của cạnh AD Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD), tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.

Giải:

Vì (SBI)và (SCI)vuông góc với (ABCD) nên SI (ABCD)

Ta có IB a 5; BC a 5; IC a 2;  

5

SI = IH tan 60

5

ABCD AECD EBC

3 2

ABCD

Câu V.Chứng minh rằng với mọi số thực dương x, y, z thoả mãn x(x + y + z) = 3yz, ta có:

x y 3x z 33 x y x z y z        5 y z  3 Giải:

Từ giả thiết ta có:

x2 + xy + xz = 3yz  (x + y)(x + z) = 4yz

Đặt a = x + y và b = x + z

Ta có: (a – b)2 = (y – z)2 và ab = 4yz

Mặt khác

a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b)2

 2(a2b ) a b2   2ab

= 2 (a b)  22ab a b 2ab

2 (y z)  2yz  y z 4yz