Toan 9-HSG-Vong 1-0809

b/ Tính diện tích tam giác ABD.. Gọi G và P lần lợt là trọng tâm của các tam giác AIB và CID; H và K lần lợt là trực tâm các tam giác BIC và AID.. Chứng minh GP⊥HK... Dấu “=” xảy ra khi

Phòng GD&ĐT Tiên Lãng bài thi học sinh giỏi năm học 2008-2009

Môn Toán Lớp 9

phần trắc nghiệm khách quan (2 điểm)

( Thời gian làm bài 30 phút )

Họ và tên………… ………

Lớp

Trờng THCS

1/……… ………

2/……… …………

Điểm phần trắc nghiệm khách quan Giám khảo Số phách

2/……… …………

Em hãy khoanh tròn vào chữ cái in hoa đứng trớc câu trả lời đúng

Câu 1: Có tất cả bao nhiêu số nguyên dơng là nghiệm của phơng trình (x2-1)(4x2-1) = 0?

Câu 2: Nếu 2x+y = 2 thì giá trị nhỏ nhất của biểu thức 4x2+y2 bằng

Câu 3: Trong các biểu thức sau, biểu thức nào có giá trị lớn nhất?

2011 − 2005

Câu 4: Nếu x 1 5

x

+ = thì 2

2

1

x x

Câu 5: Phơng trình x2 − 30 + 10 −x2 = 2008 có bao nhiêu nghiệm?

Câu 6:Cho 0O<α <45O Tỉ số lợng giác nào sau đây có giá trị lớn nhất?

Câu 7: Nếu tam giác ABC đồng dạng với các tam giác MNP và DEF lần lợt theo các tỉ số 1

3 và

2

5 thì tam giác MNP đồng dạng với tam giác DEF theo tỉ số nào ?

A 2

6

Câu 8:Tam giác ABC có Â = 45O,àB = 15O, BC = 2 3 Tính AB

Câu 9: Diện tích toàn phần của một hình lăng trụ lục giác đều có độ dài cạnh đáy bằng 6cm,

chiều cao bằng 8cm là:

A 288 cm2 B 288 +54 3 cm2 C 288+108 3 cm2 D 432 3 cm2

Câu 10: Cho tam giác ABC có Â>90O, đờng cao AH Gọi I là hình chiếu của H trên AB Kết luận nào sau đây không đúng?

A AB2+HC2=AC2+HB2 B BH2 = BA.BI C HI2 = AI.BI D.AH2 = BH.HC

===========================

Phòng GD&ĐT Tiên Lãng Đề thi học sinh giỏi năm học 2008-2009

Môn Toán Lớp 9

phần tự luận (8 điểm)

( Thời gian làm bài 120 phút )

Phần tự luận ( 8 điểm) ( Thời gian làm bài 120 phút ) Bài 1: (2 điểm)

a/ Với giá trị nào của m thì phơng trình 3 3

x m m

− có nghiệm là x = 3.

b/ Giải phơng trình x3

2 + 3x2 -2 = 0

Bài 2: (2 điểm)

a/ Chứng minh rằng A = 6 2 5 13 48

3 1

+ là một số nguyên.

b/ Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác Chứng minh:

(a b c+ + ) 2 ≤ a2 +b2 + b2 +c2 + c2 +a2 < (a+b+c) 3

Bài 3: (2 điểm)

Cho tam giác ABC (Â= 90O), đờng cao AH, phân giác AD Biết AH =21cm; CH = 28cm

a/ Tính AC, AB

b/ Tính diện tích tam giác ABD

Bài 4: (2 điểm)

Tứ giác lồi ABCD có các đờng chéo cắt nhau tại I và ãBIC < 90O Gọi G và P lần lợt là trọng tâm của các tam giác AIB và CID; H và K lần lợt là trực tâm các tam giác BIC và AID Chứng minh GP⊥HK

==============Hết==============

Phòng GD&ĐT Tiên Lãng

hớng dẫn chấm

bài thi học sinh giỏi Môn Toán Lớp 9

năm học 2008-2009

I/ Phần trắc nghiệm khách quan ( 2điểm ) Mỗi câu đúng cho 0,2 điểm.

II/ phần tự luận (8 điểm)

Bài 1: (2 điểm) a/ ĐK: m≠1

Phơng trình có nghiệm x = 3 khi và chỉ khi 3 3 3

m m

−

0.25

m =3 thoả mãn điều kiện m≠1 Vậy với m =3 thì phơng trình 3 3

x m m

nghiệm là x = 3

0.25

b/ Đặt y = x 2 phơng trình trở thành y3 + 3y2 – 4= 0 0.25

⇔x1 = - 2; x2 = 2

2 Vậy phơng trình có nghiệm x1 = - 2; x2 = 2

Bài 2: (2 điểm) a/ A = 6 2 4 2 3

3 1

= 6 2( 3 1)

3 1

= 4 2 3

3 1

+

= 3 1

3 1

+

b/ Chứng minh đợc ( )2 ( 2 2)

2

a b+ ≤ a +b suy ra a+b ≤ 2 a( 2 +b2) 0.25 Tơng tự có b+c ≤ 2 b( 2 +c2) ; c+a≤ 2 c( 2 +a2)

suy ra (a b c+ + ) 2 ≤ a2 +b2 + b2 +c2 + c2 +a2 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi tam

giác ABC là tam giác đều

0.25

Do a, b ,c là ba cạnh của một tam giác nên (a-b)2 < c2 ⇒ (a2 +b2) < c2 + 2ab

tơng tự có (b2 +c2) < a2 + 2bc ; (c2 +a2) < b2 + 2ca

0.25

⇒ a2 +b2 + b2 + +c2 c2 +a2 < c2 + 2ab+ a2 + 2bc+ b2 + 2ca

Chứng minh đợc (x+y+z)2 ≤3(x2+y2+z2)

áp dung bất đẳng thức trên suy ra c2 + 2ab+ a2 + 2bc+ b2 + 2ca ≤(a+b+c) 3

⇒ a2 +b2 + b2 + +c2 c2 +a2 < (a+b+c) 3

Nếu HS sử dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki hay một bất đẳng thức phụ khác nhng không

chứng minh thì trừ 0.125đ

0.25

0.25 0.5 0.25 0.5

7

ABD

ABC

S

0.25

0.5

MH = MC.cotgα ; FM = MA.cotgα suy ra FH = AC.cotgα 0.5

Tơng tự chứng minh đợc FK = BD.cotgα nên FH AC

Suy ra FH EP

⇒HKFã = ãPGE Mà ãKQN =90… nên QKN QNKã + ã =90O⇒GNH NGPã +ã =90O

L

u ý:

- Học sinh làm theo cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.

- Nếu học sinh không vẽ hình thì chấm một nửa số điểm của phần làm bài hình, học sinh vẽ hình sai thì không chấm điểm bài hình.

- Bài làm không chặt chẽ, không đủ các cơ sở ở phần nào thì trừ một nửa số điểm ở phần đó.

Tuỳ theo bài làm của học sinh giám khảo có thể chia nhỏ mỗi ý của biểu điểm.

==========Hết==========

D

B

A

C

H

Bài 3: (2 điểm)

a/ Tính được AC = 35cm Tính được AB = 26,25cm b/Tính đượcSABC = 459,375cm2

3 4

ABD ACD

S = CD = AC =

Q

G

M

A B

Gọi E là trọng tâm tam giác AID;

M, F lần lượt là giao điểm của

BH với AC và AK;Q, N lần lượt

là giao điểm của EG với AK và

HK Đặt suy ra

C/m