Đề thi thử hsg LỚP 12 (2008-2009) kèm đáp án.doc

đ̃nh.i Gọi I là giao điểm của At với MN... Tìm vị trí của E, F sao cho diện tích tam giác CEF lớn nhất.. CEF đạt giá trị lớn nhất.. Tính xác suất để mạch không có điện do bóng hỏng nếu:

Kỳ THI THử CHọN HọC SINH GIỏI CấP TỉNH

NĂM HọC 2008 2009 MÔN TOáN LớP 12

Thời gian làm bài 180 phút

(không kể thời gian giao đ̉h) h)

Bài 1: (3.0 điểm)

1 Giải phơng trình: 2 cos x 2 3 sin x cosx 1 3(sin x2     3 cosx) (1)

2 Tam giác nhọn ABC thỏa hệ thức:

3 3 1 2 2 3 3 1 2 2 3 3 1 2 2 1

tg B.tg C tg B.tg C tg C.tg A tg C.tg A    tg A.tg B tg A.tg B 6 Chứng minh tam giác ABC đ̉u.ề ề u.

Bài 2: (3.0 điểm)

Cho tam giác ABC Trên cạnh AB lấy điểm M di động, trên cạnh AC lấy điểm N

di động sao cho 1 1 1

AM  AN l (không đổi).Chứng minh rằng đờng thẳng MN đi qua một điểm cố đ̃nh.i nh.i

Bài 3: (3.0 điểm)

1.Giải phơng trình nghiệm nguyên dơng sau: x6 z315x z2 3x y z2 2  (y2 5)3

2 Chứng minh rằng: 20072009+20092007 chia h Ơt cho 8 t cho 8.

Bài 4: (3.0 điểm): Cho dãy số (Un) xác đ̃nh.i nh bởix:

1

1

n n

n

U U

U

+

= ỡùù

ùợ

trong đ -1 <a < 0 ă -1 <a < 0

1 Chứng minh rằng: - 1 < Un < 0 với "n ẻ Ơ và (Un) là một dãy số giảm.

2 Tìm Lim Un

Bài 5: (2.0 điểm): Chứng minh bất đẳng thức sau:

9

Bài 6: (3.0 điểm)

Cho hình vuông ABCD cạnh a Trên hai cạnh AB và AD lần lợt lấy hai điểm di

động E, F sao cho: AE + EF + FA = 2a.

1 Chứng tỏ rằng đờng thẳng EF luôn ti Ơt cho 8 p xúc với một đ ờng tròn cố đ̃nh.i nh.u

2 Tìm tr của m, F sao cho diện t ch tam giác ṽ trƯ của m, F sao cho diện tƯch tam giác Ư của m, F sao cho diện tƯch tam giác Ư của m, F sao cho diện tƯch tam giác CEF lớn nhất.

Bài 7: (3.0 điểm)

1 Cho các số 1,2,3,4,5,6,7 Tìm các số tự nhiên gồm 5 chữ số lấy t 7 chữ số ơ 7 chữ số trên sao cho không tận cùng là chữ số 4

2.C hai b ng điện với xác suất hỏng là 0, 1 và 0,2 (việc chúng hỏng là độc ă -1 <a < 0 ă -1 <a < 0 lập với nhau) T nh xác suất để mạch không c điện do b ng hỏng n Ư của m, F sao cho diện tƯch tam giác ă -1 <a < 0 ă -1 <a < 0 Ơt cho 8 u:

a Chúng đợc mắc song song.

b Chúng đợc mắc nối ti Ơt cho 8 p.

-H t-Ơt cho 8

ĐáP áN Và THANG ĐIểM

1.5 Bài 1.1 Giải phơng trình: 2 cos x 2 3 sin x cosx 1 3(sin x2     3 cosx) (1)

0.5

(1)  2 cos2x  3 sin 2x 3(sin x  3 cosx)

 2 2 1cos2x 3sin 2x 6 1sin x 3cosx

 2 2cos 2x 6cos x

      

 1 cos 2x 3cos x

      

 2 cos x2 3cos x

 cos x 0v cos x 3 (loaùi)

0.5

x   k  x  k , k  Z

Vậy phơng trình c 1 họ nghiệm là: ă -1 <a < 0 2

3

x  k, k  Z

1.5

Bài 1.2 Tam giác nhọn ABC thỏa hệ thức:

tg B.tg C tg B.tg C tg C.tg A tg C.tg A   tg A.tg B tg A.tg B 6 Chứng minh tam giác ABC đ̉u.ề ều

0.5

Trong mọi tam giác nhọn ta luôn c : tgă -1 <a < 0 A + tgB + tgC = tgA.tgB.tgC

1 tgB.tgC tgC.tgA tgA.tgB

    (1)

tgB.tgC tgC.tgA tgA.tgB

   thì t ơ 7 chữ số (1) ta că -1 <a < 0: x + y + z = 1 (2)

Mặt khác:

1

1

tg B.tg C tg B.tg C 1 1 x y z

tgB.tgC

0.5

Tơng tự:

3

tg C.tg A tg C.tg A z x và

3

tg A.tg B tg A.tg B x y Giả thiƠt cho 8.t bài toán trở thành

P

y z z x x y 6

   Theo bất đẳng thức Cauchy:

0.5

Cộng vƠt cho 8 theo vƠt cho 8 các bất đẳng thức trên ta đợc:

do(2)

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1

x y z

3

  

Khi đ tgă -1 <a < 0 A = tgB = tgC hay ABC u đ̉u.ề ề (đpcm)

3.0

Bài 2:

Cho tam giác ABC Trên cạnh AB lấy điểm M di động, trên cạnh AC lấy

điểm N di động sao cho 1 1 1

AM  AN l (không đổi).Chứng minh rằng đờng thẳng MN đi qua một điểm cố đ̃nh.i nh.i

0.5 Kẻ đờng phân giác trong của g c ă -1 <a < 0 BAC là At Do A,B, C cố nh đ̃nh.i ố => At cố nh đ̃nh.i

Gọi I là giao điểm của At với MN

Ta c : Să -1 <a < 0 AMN = SAMI + SANI

2 cos

2

A

2

A

  (không đổi)

=> I cố nh và đ̃nh.i ố  MN

0.5 Vậy đờng thẳng MN qua 1 điểm cố đ̃nh.inh u

3.0 Bài 3:

1.5 Bài 3.1. Giải phơng trình nghiệm nguyên dơng sau: x6z315x z2 3x y z2 2  (y25)3 0.5

0.5 áp Dụng BDT Cauchy cho 3 số; ta đc

Dấu xảy ra

0.5

T phơ 7 chữ số ơng trình:

( phơng trình ớc số; dễ dàng tìm đc rồi tìm ra )

Đ áp số : nghiệm phơng trình là

1.5 Bài 3.2 Chứng minh rằng: 20072009+20092007 chia h Ơt cho 8 t cho 8.

0.5 Ta c : ă -1 <a < 0 20072009+ 20092007 = (20072009+ + 1) (20092007- 1)

0.5 = (2007 + 1).M + (2009 1) - N (M, N là các đa thức)

0.5 = 2008(M +N) 8 M vì 2008 chia h t cho 8 (đccm)Ơt cho 8

3.0 Bài 4:

1.5 Bài 4.1 Chứng minh rằng: - 1 < Un < 0 (2) với "n ẻ Ơ và (Un) là một dãy số giảm 0.5 CM bằng quy nạp:- với n = 1 thì U1 = a theo giả thiƠt cho 8.t - 1 < a < 0 nên (2) đúng với n = 1

- Giả sử (2) đúng với n = k: - 1 < Un < 0 ta CM (2) đúng với n = k + 1

0.5

T (2) ta c : 0 < ơ 7 chữ số ă -1 <a < 0 Un + 1 < 1 (*)

Do đ ă -1 <a < 0 0 2 1 1

1

n n

U U

+

1

1

n n

U U

+

+

tức là: - 1 < Un+1 < 0

Vì - 1 < Un < 0 nên Un + 1 và U > n2 0 với "n

0.5 T (1) suy ra: ơ 7 chữ số 1 2 1

1

n

n

U

U

+

Vậy Un là dãy giảm

1.5 Bài 4.2 Tìm lim Un

1 1;

1

n n

a

+ ta c : 0 < q < 1, Vă -1 <a < 0 n > 0

và V n+1 ÊqV. n "n

0.5 Ta c : ă -1 <a < 0 V2 ÊV q1 = (a+ 1).q

2

1

n

0.5 Vì Lim (a + 1) qn - 1 = (a + 1) Lim qn - 1 nên Lim Vn = 0

Hay Lim Un = - 1

Câu hỏi thêm của bài này: CMR : 0 1 1 21 ( 1)

1

a

+

+

T đẳng thức (1) suy ra: ơ 7 chữ số 1 21

1

n

U

+

Vì Un là dãy giảm; -1 < Un < 0 với mọi n và U1 = a nên:

1 Un a 0

- < Ê < với "nt đ suy ra: ơ 7 chữ số ă -1 <a < 0 2 2

U ³ a Û U ³ a

Do đ : ă -1 <a < 0 21 21

n

n

U + Ê a + " và t (3) ta c : ơ 7 chữ số ă -1 <a < 0

1

a

+

Theo chứng minh trên ta c : ă -1 <a < 0 1 21

1

a

+

+

2.0

Bài 5: Chứng minh bất đẳng thức sau

9

0.5 Ta c : ă -1 <a < 0 2 2 2 22 2 22 2 22 2

VT

-0.5

Nên

3

VT

Do b2+c2 ³ 2 ;bc c2 +a2 ³ 2 ;ac a2+b2 ³ 2ab

0.5

3 9

2 2 2

VT

Dấu đẳng thức xảy ra khi: a = b = c

3.0 Bài 6: Cho hình vuông ABCD cạnh a Trên hai cạnh AB và AD lần lợt lấy hai

điểm di động E, F sao cho: AE + EF + FA = 2a.

1.5 6.1 Chứng tỏ rằng đờng thẳng EF luôn tiƠt cho 8.p xúc với một đờng tròn cố đ̃nh.inh.u

0.5

A E B K

H

F

D C

0.5 Trờn tia đối của BA lấy K sao cho BK = DF Vẽ CH  EF , H  EF

 CF = CK

Vì EF = 2a – ( EA + FA ) = ( AB + AD ) – ( EA + FA ) = AB – EA + AD – FA

= EB + FD = EB + BK

0.5 Do đó  CEF =  CEK ( c.c.c)Suy ra các đường cao CH và CB bằng nhau

CH không đổi, C cố định, CH  EF  EF luôn tiếp xúc với đ tròn cố định ( C , a ) 1.5 6.2 Tìm vị trí của E, F sao cho diện tích tam giác CEF lớn nhất.

0.5  HCF =  DCF ( H = D = 900 ; CF chung ; CH = CD = a )  SHCF = SDCF

Chứng minh tương tự ta có: SHCE = 1/2SBCE do đó SHCF + SHCE = SDCF + SBCE 0.5  SCEF = SCDFEB  SCEF = 1/2 ( a2 – SAEF )

SAEF  0  SCEF  1/2 a2 Dấu “=“ xảy ra “ SAEF = 0 0.5 Vậy E  B , F  A hoặc E  A , F  D thì S E  B , F  A hoặc E  A , F  D

CEF đạt giá trị lớn nhất

1.5 7.1 Cho các số 1,2,3,4,5,6,7 Tìm các số tự nhiên gồm 5 chữ số lấy từ 7 chữ số trên sao cho không tận cùng là chữ số 4 1.5 Kết quả: 14406

1.5

7.2.Có hai bóng điện với xác suất hỏng là 0,1 và 0,2 (việc chúng hỏng là độc lập với nhau) Tính xác suất để mạch không có điện do bóng hỏng nếu:

a Chúng được mắc song song.

b Chúng được mắc nối tiếp.

1.5 Kết quả: a. P=0,02

b. P=0,28

Chú ý: Nếu học sinh có lời giải đúng và hợp lôgic thì vẫn chấm điểm tối đa làm

tròn điểm bài thi theo quy định.