TÀI LIỆU GIẢI TÍCH 2

Đổi biến trong hệ toạ độ cực Công thức liên hệ giữa toạ độ Descartes x y và toạ độ cực ; r;ϕ của cùng một điểm M là : r r Các phép đổi biến mở rộng của tích phân bội hai trong toạ độ c

CHƯƠNG I : TÍCH PHÂN BỘI

I TÍCH PHÂN BỘI HAI

2 Đổi biến trong hệ toạ độ cực

Công thức liên hệ giữa toạ độ Descartes (x y và toạ độ cực ; ) (r;ϕ) của cùng một điểm M là :

r r

Các phép đổi biến mở rộng của tích phân bội hai trong toạ độ cực :

a) Kết hợp với phép tịnh tiến và phép đổi biến sang toạ độ cực :

3 Một số ứng dụng của tích phân bội hai

e) Momen quán tính của bảng phẳng :

- Momen quán tính đối với trục Ox : 2 ( )

;

x D

- Momen quán tính đối với trục Oy : 2 ( )

;

y D

f) Momen tĩnh và toạ độ trọng tâm của bảng phẳng :

- Momen tĩnh của bảng phẳng D đối với trục Ox : x ( ; )

D x

II TÍCH PHÂN BỘI BA

Công thức tích phân bội ba trong hệ toạ độ cầu :

a) Phép co giãn :

x X

Z c

b) Khối lượng, toạ độ trọng tâm :

Cho vật thể V có khối lượng riêng tại M x y z( ; ; )∈V là ρ(x y z; ; )

- Khối lượng của V : ( ; ; )

CHƯƠNG II : TÍCH PHÂN ĐƯỜNG

I TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI 1

1 Cách tính tích phân đường loại 1

a) Trường hợp 1 : Cung
AB có phương trình tham số ( )

f x y ds= f x t y t z t  x + y + z dt

e) Phương trình tham số của đường tròn, elip :

* x2 + y2 = R2 có phương trình tham số cos

2 Ứng dụng của tích phân đường loại 1

a) Cho dây phẳng L đi từ A đến B, có khối lượng riêng tại M x y( ; )∈L là ρ(x y; ) Khi

2 Cách tính tích phân đường loại 2

b) Từ công thức Green, cho P x y( ; ) = − và y Q = (x y; ) = x Khi đó ta có công thức tính diện tích S của miền D là : 1

∫ , trong đó cung
AB nằm trong D, chỉ phụ thuộc vào 2 điểm

A, B mà không phụ thuộc vào dạng cung
AB (tích phân không phụ thuộc đường đi), nghĩa

* Cách 1 : Chọn 1 đường đi nào đó (nằm trong miền D và trơn từng khúc) nối A và B Thông

thường người ta chọn đường gấp khúc

* Cách 2 : Tìm hàm u x y( ; ) sao cho du = P x y dx( ; ) +Q x y dy( ; ) theo công thức sau :

CHƯƠNG III : TÍCH PHÂN MẶT

Chú ý : Nếu những đường thẳng song song với trục Oz cắt mặt S tại quá một điểm, ta phải

chia mặt S thành những phần nhỏ sao cho những đường thẳng song song với trục Oz cắt mặt

S tại không quá một điểm Khi đó tích phân bằng tổng các tích phân trên các mặt nhỏ

m1

m

(3.6)

II TÍCH PHÂN MẶT LOẠI 2

a) Vector pháp tuyến của mặt cong :

Cho mặt cong định hướng S trơn, có phương trình F x; y; z( ) = 0

Vector pháp tuyến của S tại M ∈ S là : ( )  ( ) ( ) ( )

* Chú ý : Chiều lấy tích phân trên L là chiều dương

3 Công thức Gauss – Ostrogradsky (Công thức liên hệ giữa tích phân mặt loại 2 và tích

III LÝ THUYẾT TRƯỜNG

1 Trường vô hướng

a) Trường vô hướng : Nếu tại ∀M x; y; z( )∈V ⊂ ℝ3 xác định một đại lượng vô hướng

u x; y; z thì ta nói có một trường vô hướng u x; y; z( ) trong miền V

b) Mặt mức : Cho trường vô hướng : u x; y; z , x; y; z( ) ( )∈V ⊂ ℝ3

- Tập S={ (x; y; z)∈V : u x; y; z( ) = C được gọi là mặt mức, với C cho trước }

- Nếu V ∈ ℝ2 thì phương trình : u x; y( ) =C được gọi là đường mức (đường đẳng trị)

b) Divergence (Độ phân kì hay phân tán)

Độ phân kì của trường vector ( ) (= )

b) Tính chất : Hoàn lưu của trường F x; y; z theo mọi chu tuyến L kín, trơn từng khúc ( )

trong V đều bằng không, nghĩa là : ∫  =

5 Trường điều hoà

a) Trường điều hoà : Trường vector ( ) ∈

b) Tính chất : Hàm thế vị u M( ) = u x; y; z của trường điều hoà ( ) F M là hàm điều hoà, ( )

nghĩa là hàm u(x; y; z) thoả phương trình Laplace :

CHƯƠNG IV : PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

( ) ( )

( ) ( )

y

c dx

+

=+

Đặt z y y xz y/ z xz/

x

= ⇒ = ⇒ = + Sau đó thay vào (1)

ta được phương trình tách biến : z xz/ a bz xz/ a bz z xdz a bz z

+ Giải phương trình (4) tương tự như giải phương trình (1)

Nếu coi x là hàm Nếu coi y là hàm

3 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1

- Với α = 1, thì (1) là phương trình tách biến

- Với α = 0, thì (1) là phương trình tuyến tính cấp 1

b) Phương pháp giải :

- Chia 2 vế của (2) cho yα, ta được : y y/ −α +p x y( ) 1−α =q x( ) (2)

- Đặt z y= 1−α ⇒z/ =(1− α)y y/ −α Thay vào (2), ta được: z/ +(1− α) ( ) (p x = 1− α) ( )q x (3)

- Phương trình (3) là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 theo hàm z z x= ( ), biến x

5 Phương trình vi phân toàn phần và thừa số tích phân

a) Phương trình vi phân toàn phần :

* Dạng : P x; y( )+Q x; y( )=0 (1), thoả điều kiện P Q, (x; y) D 2

* Phương pháp giải :

- Kiểm tra xem phương trình (1) có thoả điều kiện (3) không

- Tồn tại thừa số tích phân : Hàm a x hoặc ( ) a y ( )

i/ Trường hợp 1 : a a x= ( ) (Hàm a chỉ phụ thuộc vào x) thì ( )

P Q

dx Q

a xa

o

u x; y = ∫P * x; y dx+ ∫Q * x ; y dy Tìm u x; y ( ) (4.5)

- Nghiệm tổng quát của (1) có dạng : u x; y( )=C ,C∈ ℝ

6 Phương trình vi phân cấp 1 khuyết

a) Phương trình vi phân khuyết y : x f y= ( )/ ( )I

c) Phương trình vi phân khuyết x dạng tổng quát : F y, y( /)=0 ( )III

- Tham số hoá phương trình ( )III : Đặt

y a cos tdy

d) Phương trình vi phân khuyết y dạng tổng quát : F x, y( /)=0 ( )IV

- Tham số hoá phương trình ( )III : Đặt

x a cos tdy

/ /

- Các nghiệm của phương trình ( )I là : ( )

1 Phương trình vi phân giảm cấp (Phương trình vi phân khuyết)

a) Phương trình vi phân khuyết y : F x; y ; y( / / /)=0 ( )I

- Đặt z y/ dy z/ y/ /

dx

- Thay vào ( )I ta được phương trình vi phân cấp 1 : F x;z;z( /)=0

b) Phương trình vi phân khuyết x : F y; y ; y( / / /)=0 ( )II

2 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2

a) Các dạng của phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 :

* Dạng tuyến tính thuần nhất : a x y( ) / / +b x y( ) / +c x y 0( ) = ( )1

* Dạng tuyến tính không thuần nhất : a x y( ) // +b x y( ) / +c x y f x( ) = ( ) ( )2

b) Các định lí về nghiệm tổng quát :

* Định lí 1 : (Về nghiệm tổng quát của phương trình (1))

Nếu y x và 1( ) y x là hai nghiệm riêng độc lập tuyến tính của (1) thì nghiệm tổng 2( )

quát của nó là : y C y= 1 1+C y , C ,C2 2 ∀ 1 2∈ ℝ

* Định lí 2 : (Về nghiệm tổng quát của phương trình (2))

Nếu y x , 1( ) y x là hai nghiệm riêng độc lập tuyến tính của phương trình thuần nhất 2( )

tương ứng của (2) và y là một nghiệm riêng của (2) thì nghiệm tổng quát của nó là : r

b x dx

a x 2

4 Giải phương trình tuyến tính cấp 2 không thuần nhất bằng phương pháp biến thiên hằng số

Xét phương trình vi phân cấp 2 tuyến tính không thuần nhất :

( ) / / ( ) / ( ) ( ) ( )

a x y +b x y +c x y = f x 1Phương trình ( )1 có phương trình thuần nhất tương ứng là :

( ) / / ( ) / ( ) ( )

a x y + b x y +c x y = 0 2Phương pháp giải :

- Bước 1 : Tìm 2 nghiệm riêng của phương trình (2), suy ra nghiệm tổng quát của phương trình (2) : y = C y1 1 +C y , C , C2 2 ∀ 1 2 ∈ ℝ

- Bước 2 : Ta coi C1 = C1( )x ; C2 = C2( )x Xét hệ : ( )

( ) ( )

/

1 /

2 nghiệm phân biệt k và 1 k 2

a) Trường hợp 1 : k1 ≠ k2 (Hai nghiệm phân biệt)

- Phương trình (1) có 2 nghiệm độc lập tuyến tính k x 1

- Phương trình (1) có 2 nghiệm độc lập tuyến tính y1 = ekx và y2 = xekx

- Nghiệm tổng quát của phương trình (1) là : ( ) k x

y = C +xC e , C , C ∈ ℝ

c) Trường hợp 3 : k1,2 = α ± β (Nghiệm phức) i

- Phương trình (1) có 2 nghiệm độc lập tuyến tính

x 1

x 2

* Bước 1 : Giải phương trình (2) (Xem lại mục 5)

Tìm được nghiệm tổng quát của (2) là : y = C y1 1 +C y , C , C2 2 ∀ 1 2 ∈ ℝ

* Bước 2 : Tìm nghiệm tổng quát cho phương trình ( )1

a) Cách 1 : Áp dụng phương pháp biến thiên hằng số (Xem lại mục 4)

b) Cách 2 : Áp dụng phương pháp hệ số bất định để tìm một nghiệm riêng yr cho phương trình ( )1

Sau khi tìm được nghiệm riêng yr, ta tính y và /r y rồi thế vào phương trình (1) tìm các r/ /

ẩn số trong nghiệm riêng

Lưu ý : Các công thức tính đạo hàm : ( )

( )

u.v u v u.vu.v u v 2.u v u.v

Nghiệm tổng quát của (1) có dạng : y = y + yr =C y1 1 +C y2 2 + y , C , Cr 1 2 ∈ ℝ

7 Phương trình vi phân Euler – Cauchy

= − Thay vào (1), ta được phương trình vi phân tuyến

Ta xét 3 trường hợp (Xem lại mục 5) như phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 hệ số hằng

thuần nhất, ta có các nghiệm của phương trình (2) là y ; y ; ; y1 2 m

Suy ra nghiệm tổng quát của (2) là: y =C y1 1 +C y2 2 + +C ym m , C , C , , C∀ 1 2 m ∈ ℝ

b) Dạng không thuần nhất : y( )n +a y1 (n 1− ) +a y2 (n 2− ) + + a yn = f x( ) ( )3

i/ Bước 1 : Giải phương trình thuần nhất tương ứng tìm nghiệm tổng quát y

- Phương trình (3) có phương trình thuần nhất là phương trình (1)

- Giải phương trình ( )1 , suy ra nghiệm tổng quát của phương trình ( )3 là :

y = C y +C y + +C y , C , C , , C∀ ∈ ℝ

ii/ Bước 2 : Tìm nghiệm tổng quát của phương trình (3)

* Cách 1 : Áp dụng phương pháp biến thiên hằng số

i i

/

n 2 /

i i

n 1 /

y = Q x eα+ Nếu α là một nghiệm bội ℓ của (2) thì yr của (3) có dạng ( ) x

iii/ Bước 3 : Kết luận

i 1

=

III HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP 1

* Phương pháp giải : Áp dụng phương pháp khử

Đưa hệ đã cho về một phương trình vi phân cấp cao đối với một hàm phải tìm, giải phương trình vi phân này cho hàm đó, từ đó tìm các hàm còn lại

Ví dụ : Giải hệ phương trình vi phân sau : ( )

y = Ax +Bx +C

/ r / / r

Thế vào phương trình ( )3 , ta được :

Suy ra : Nghiệm tổng quát của phương trình ( )3 là :

CHƯƠNG V : CHUỖI SỐ VÀ CHUỖI HÀM

1 Các khái niệm về chuỗi số

a) Sự hội tụ của chuỗi số :

Ta gọi Sn = u1 +u2 + +un là tổng riêng thứ n của chuỗi

∑ hội tụ khi và chỉ khi dãy tổng riêng { }Sn bị chặn trên

b) Định lí so sánh 1 : Cho 2 chuỗi số dương n

∞ α

=

∑ hội tụ khi α > 1 và phân kì khi α ≤ 1

ii/ Khi áp dụng định lí so sánh 2, ta thường áp dụng thuyết vô cùng lớn, vô cùng bé để tính giới hạn

Áp dụng định lí so sánh 2 trong trường hợp k = 1

iii/ Các vô cùng bé tương đương khi n

nl i m 1 a e

3 Ba tiêu chuẩn hội tụ của chuỗi số dương

a) Tiêu chuẩn D'A Lembert :

Cho chuỗi số dương n

- Nếu D < 1 thì chuỗi hội tụ

- Nếu D > 1 thì chuỗi phân kì

- Nếu D = 1 ta chưa có kết luận chuỗi hội tụ hay phân kì Trong trường hợp này, chúng ta áp dụng các định lí so sánh hoặc một lý thuyết khác để khảo sát tính hội tụ của nó

b) Tiêu chuẩn Cauchy :

Cho chuỗi số dương n

- Nếu C < 1 thì chuỗi hội tụ

- Nếu C > 1 thì chuỗi phân kì

- Nếu C = 1 thì ta chưa có kết luận chuỗi hội tụ hay phân kì

c) Tiêu chuẩn Maclaurin - Cauchy (tiêu chuẩn tích phân) :

Cho chuỗi số dương n

4 Sự hội tụ của chuỗi Riemann

∞ α

∑

n =1

1 n

 Nếu α = 0 thì

1

1n

−α α

→∞ = →∞ = +∞ Suy ra chuỗi phân kì

Suy ra tích phân suy rộng I hội tụ khi α > 1 và phân kì khi α < 1

Theo tiêu chuẩn tích phân thì chuỗi Riemann

n 1

1n

∞ α

=

∑ hội tụ khi α > 1 và phân kì khi α ≤ 1

5 Chuỗi có dấu thay đổi

a) Chuỗi đan dấu : ( )n n ( n )

→∞ = thì chuỗi đan dấu hội tụ

b) Định lí hội tụ tuyệt đối :

Nếu chuỗi số dương n

c) Hội tụ tuyệt đối, bán hội tụ :

1 Sự hội tụ của chuỗi hàm

a) Tiêu chuẩn Weierstrass (tính hội tụ đều của chuỗi hàm) :

Nếu un ( )x ≤a , n, xn ∀ ∈D và chuỗi số dương n

tụ đều trên D tới hàm S x( ) thì hàm S x( ) liên tục trên D

Hệ quả : (Dùng để chứng minh một chuỗi không hội tụ đều)

Nếu mọi hàm số un ( )x , n =1; 2; liên tục trên D nhưng tổng S x là hàm không ( )

liên tục trên D thì chuỗi hàm n ( )

Nếu mọi hàm số un ( )x , n =1; 2; có đạo hàm liên tục trên khoảng (a; b) và chuỗi

∑ hội tụ tại xo ≠ 0 thì nó hội tụ tại mọi x thoả x < xo

* Nếu chuỗi luỹ thừa n

∑ phân kì tại x1 thì nó phân kì tại mọi x thoả x > x1

b) Các bước tìm miền hội tụ của chuỗi luỹ thừa :

- Bước 1 : Tìm bán kính hội tụ

n n

Xét xem chuỗi ( )1 và chuỗi ( )2 hội tụ hay phân kì

Suy ra miền hội tụ của chuỗi luỹ thừa : R < x < R

c) Các tính chất của chuỗi luỹ thừa :

Nếu chuỗi luỹ thừa n

ii/ f x( ) khả tích trên mọi đoạn a; b ⊂ − ( R; R) và

III CHUỖI FOURER

(Đọc thêm tài liệu)