Tài liệu Giải tích I docx

Chẳng hạn khi m ≥ 0 và n là số tự nhiên chẵn khi đó miền xác định của hàm là R+, tuy nhiên nếu n là số tự nhiên lẻ, miền xác định của hàm là toàn bộ R... Do vậy hàm fx có thể không xác đ

MụC LụC

2.1 Hàm số sơ cấp 3

2.1.1 Hàm thực một biến số 3

2.1.2 Các hàm sơ cấp cơ bản và hàm sơ cấp 5

2.2 Giới hạn hàm số 9

2.2.1 Các khái niệm về giới hạn hàm số 9

2.2.2 Tính chất và các phép toán về giới hạn hàm số 15

2.2.3 Vô cùng bé và vô cùng lớn 20

2.3 Hàm liên tục 22

2.3.1 Khái niệm về hàm liên tục 22

2.3.2 Các tính chất của hàm liên tục 24

2.3.3 Các phép toán trên các hàm liên tục 27

2.3.4 Hàm số liên tục đều 28

1

Sách dùng cho sinh viên tr-ờng Đại học xây dựng

và sinh viên các tr-ờng Đại học, Cao đẳng kĩ thuật

2

Ch-ơng 2

Hàm số, giới hạn hàm số và hàm liên tục

2.1 Hàm số sơ cấp

2.1.1 Hàm thực một biến số

Định nghĩa 2.1.1 ánh xạ f : X → R, X ⊂ R, X 6= ∅ đ-ợc gọi là hàm số thực một biến số thực và gọi tắt là hàm một biến số X đ-ợc gọi là tập xác định của hàm số f, kí hiệu Df = X Tập ảnh f(X) ∈ R đ-ợc gọi là tập giá trị của hàm số

sign(x) đ-ợc gọi là hàm dấu

Hiển nhiên |x| = x sign(x).

3

3 Hàm E(x) = [x], ∀x ∈ R, trong đó [x] kí hiệu phần nguyên của x, là số nguyên lớn nhất không v-ợt quá x.

• Trong mặt phẳng dựng hai trục số thực x0

Ox, y0Oy vuông góc nhau tại O,

xOy là hệ trục tọa độ Đề các

Đồ thị của hàm số f : X → R trong hệ trục tọa độ Đề các là tập các điểm

M (x, f (x)) ∈ R2 với mọi x ∈ X Ta th-ờng minh họa đồ thị hàm f là một

đ-ờng cong vẽ trong hệ trục tọa độ Đề các

• Cho hai tập hợp X ⊂ R, Y ⊂ R và một song ánh f : X → Y Khi đó tồn tại

ánh xạ ng-ợc của f, ta th-ờng gọi là hàm ng-ợc của hàm số f và kí hiệu

f−1 : Y → X

M0(y, x) đối xứng nhau qua đ-ờng phân giác y = x, suy ra đồ thị hàm số f và

đồ thị hàm ng-ợc f−1 đối xứng nhau qua đ-ờng thẳng y = x.

Chú ý rằng ng-ời ta th-ờng quy -ớc

Nếu α ∈ N là số tự nhiên, miền xác định của hàm là toàn bộ R, chẳng hạn

f (x) = x3 xác định trên R

Nếu α ∈ Z \ N là số tự nhiên âm, miền xác định của hàm là tập R \ {0},

ví dụ hàm f(x) = x−2 = 1

x 2 xác định với mọi x 6= 0.

Nếu α ∈ R là số vô tỉ, miền xác định của hàm là tập R+

Ng-ời ta cũng quy -ớc, khi hàm lũy thừa đ-ợc viết d-ới dạng f(x) = √n

xm

(m, n là các số nguyên), miền xác định của hàm tùy thuộc vào tính chẵn,

lẻ của m, n Chẳng hạn khi m ≥ 0 và n là số tự nhiên chẵn khi đó miền

xác định của hàm là R+, tuy nhiên nếu n là số tự nhiên lẻ, miền xác định của hàm là toàn bộ R.

• Hàm số mũ f : R → R+

, f (x) = ax (a > 0, a 6= 1) Hàm số mũ là một

song ánh từ R lên R+, do vậy nó tồn tại hàm ng-ợc f−1

: R+ → R, kí hiệu

B©y giê chóng ta sÏ lÇ l-ît lµm quen víi c¸c hµm l-îng gi¸c ng-îc

• XÐt h¹n chÕ cña hµm sin x lªn ®o¹n [−π

2,π2]sin : [−π

2.1 Hµm sè s¬ cÊp 7Hµm arcsin tháa m·n c¸c hÖ thøc vÒ hµm ng-îc

• XÐt h¹n chÕ cña hµm cotg x lªn kho¶ng (0, π)

2.2 Giíi h¹n hµm sè 9

Hµm sin hyperbol sh x = ex− e−x

2Hµm tang hyperbol th x = sh x

2.2.1 C¸c kh¸i niÖm vÒ giíi h¹n hµm sè

§Þnh nghÜa 2.2.1 Cho hµm sè tõ tËp D ⊂ R vµo R:

nếu cho tr-ớc một lân cận U(L) tuỳ ý của L, tồn tại một lân cận U(x0) của x0

sao cho với mọi x ∈ U(x0) ∩ D và x 6= x0

nếu cho tr-ớc một số  > 0 tuỳ ý, tồn tại số δ = δ() > 0 (δ phụ thuộc vào

 ) sao cho với mọi x thoả mãn x ∈ D và 0 < |x − x0| < δ ta có

Chú ý rằng trong định nghĩa giới hạn, ta không quan tâm tới giá trị hàm số tại

x0, chỉ xét các giá trị hàm f(x) tại các điểm x 6= x0 Do vậy hàm f(x) có thể không xác định tại chính điểm x0 đó

x2− 1

x − 1 − 2

=|x − 1| với mọi x 6= 1.

Nếu chọn δ = ε và 0 < |x − 1| < δ, khi đó

x

2

− 1

x − 1 − 2

< |x|1 < K1 =  ⇔ sin x x ∈ U(0).

2.2 Giới hạn hàm số 13

3 lim

x→0sin x = 0 Thật vậy cho tr-ớc một lân cận bán kính  > 0 tuỳ ý

U(0) = (−, +) của 0, chọn số δ = , khi đó với mọi x ∈ Uδ(0), x 6= 0 hay

0 < |x| <  ta có

| sin x − 0| < |x| =  ⇔ sin x ∈ U(0).

4 Tuy nhiên không tồn tại giới hạn lim

x→+∞sin x.Thật vậy giả sửlim

x→+∞sin x = L, Khi đó (chọn  = 1

4 chẳng hạn) tồn tại một số K nào đó sao cho với mọi

Mặt khác ta biết rằng hàm sin tuần hoàn trên R do vậy trong khoảng

(K, +∞) biên độ dao động của nó phải bằng 2 (từ -1 đến +1) Vậy giớihạn lim

Chứng minh. Thật vậy giả thiết tiếp lim

x→x0f (x) = L0, với L 6= L0 Chọn  > 0 sao cho U(L) ∩ U(L0) = ∅ (chẳng hạn  = |L−L 0 |

2 ) Khi đó tồn tại δ = δ() > 0, sao cho với mọi x ∈ Uδ(x0), x 6= x0 hay x0 < |x| <  ta có

f (x) ∈ U(L) và f(x) ∈ U(L0) ⇔ f (x) ∈ ∅.

Điều đó vô lí với giả thiết phản chứng 

Định lí 2.2.3 (Nguyên lí chuyển đổi giới hạn giữa hàm và dãy)

Cho hàm số f : D → R, x0 là điểm tụ của D (x0 có thể là +∞ hoặc −∞).

Điều kiện cần và đủ để tồn tại giới hạn

phần chứng minh điều kiện đủ

Chứng minh Điều kiện cần Giả sử lim

Thật vậy với mỗi lân cận U(L) tuỳ ý của L, tồn tại một lân cận U(x0) của x0,

sao cho khi x ∈ U(x0) ∩ D và x 6= x0

n→∞f (xn) = L.

Tr-ớc hết ta chứng minh với bất kì một dãy xn → x0, (xn ∈ D, xn 6= x0), giới

hạn của dãy hàm t-ơng ứng {f(xn)}∞1 đều là một số L nh- nhau Chính xác hơn giả sử ta có 2 dãy x0

n → x0 và x00

n→ x0 Ta sẽ chứng minh 2 dãy {f(x0

n)}∞ 1

và {f(x00

n)}∞

1 có cùng giới hạn Lập một dãy mới

x01, x001, x02, x002, x03, x003,

2.2 Giới hạn hàm số 15

(ta kí hiệu dãy này là {xn}∞1 ) Dễ dàng nhận thấy dãy {xn}∞1 cũng có giới hạn

là x0 Theo giả thiết khi đó lim

x→∞f (xn) cũng tồn tại (giới hạn bằng L) Hai dãy {f (x0n)}∞

Với mọi n ∈ N∗, ta thu đ-ợc một dãy {xn}∞

1 , theo bất đẳng thức trên dãy hàm

t-ơng ứng {f(xn)}∞1 không có giới hạn hoặc tồn tại giới hạn 6= L Mặt khác do

0 < |xn− x0| < 1

n, dãy {xn}∞

1 hội tụ tới x0, suy ra dãy hàm t-ơng ứng {f(xn)}∞

1

hội tụ Mâu thuẫn với giả thiết phản chứng 

Nhận xét rằng sử dụng định lí này, nhiều tính chất về giới hạn hàm số có thểsuy ra ngay từ giới hạn dãy số Ngoài ra ng-ời ta còn sử dụng định lí 2.2.3 đểchứng minh sự không tồn tại giới hạn của một số hàm.

Chẳng hạn trong ví dụ thứ 4 của ví dụ 2.2.2, để chứng minh không tồn tạigiới hạn lim

x→+∞sin x, xét hai dãy số cùng tiến tới +∞

tiến tới 2 giới hạn khác nhau

2.2.2 Tính chất và các phép toán về giới hạn hàm số

Các tính chất sau là hiển nhiên, bạn đọc tự chứng minh:

• Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn

lim

x→x f (x) = L

thì f(x) bị chặn trong một lân cận nào đó của x0.

• Cho hai hàm f, g : D → R thỏa mãn f(x) ≤ g(x) với mọi x ∈ D Giả sử x0 là

điểm tụ của D và tồn tại các giới hạn

lim

x→x0f (x) = L1, lim

x→x0g(x) = L2 Khi đó L1≤ L2.

Đặc biệt nếu hàm f bị chặn trên D (∃M |f(x)| ≤ M ∀x ∈ D) và tồn tại giới

hạn lim

x→x0f (x) = L , khi đó |L| ≤ M.

Từ nguyên lí chuyển đổi giới hạn giữa hàm và dãy và định lí ?? về các phép

toán giữa các dãy có giới hạn, ta có định lí sau

Định lí 2.2.4 Giả sử tồn tại các giới hạn trong cùng một quá trình x → x0

α β với điều kiện α ± β; α ã β và α

β có nghĩa nh- các quy -ớc đã nhắc tới trong nhận xét sau định lí ??.

Cũng từ nguyên lí chuyển đổi giới hạn giữa hàm và dãy và định lí??, ?? ta có

hai định lí sau T-ơng tự nh- giới hạn dãy số, chúng cũng mang tên tiêu chuẩnkẹp và tiêu chuẩn hàm đơn điệu về giới hạn hàm số

2.2 Giới hạn hàm số 17

Định lí 2.2.5 (Tiêu chuẩn kẹp) Cho các hàm số f, g, h : D → R (D là tập con

của R), x0 là một điểm tụ của D Giả thiết rằng tồn tại một lân cận U(x0) của

x0 sao cho với mọi x 6= x0 trong lân cận đó

x→x0h(x), đồng thời

lim

x→x0h(x) = L.

Định lí 2.2.6 (Giới hạn hàm đơn điệu) Cho hàm đơn điệu tăng f : (a, b) → R,

x0 là một điểm bất kì thuộc khoảng (a, b) Khi đó tồn tại các giới hạn một phía

x→x0f (x) tồn tại và hữu hạn trong quá trình x → x0 khi và chỉ khi cho tr-ớc

 > 0 tuỳ ý, tồn tại δ = δ() > 0 sao cho với mọi x, y ∈ D và

Điều kiện đủ Giả sử điều kiện Cauchy trong định lí đ-ợc thoả mãn Xét một

dãy số bất kì trong D hội tụ tới x0 : xn → x0 (xn 6= x0) Khi đó tồn tại số tự

nhiên n0 sao cho với mọi n, m > n0

xn∈ Uδ(x0), xm ∈ Uδ(x0) ⇒ |f (xn) − f (xm)| < .

Nói cách khác dãy {f(xn)} là dãy Cauchy Theo định lí Cauchy??, dãy {f(xn)}

hội tụ L-u ý rằng {xn} là dãy tuỳ ý hội tụ tới x0, theo nguyên lí chuyển đổigiới hạn giữa hàm và dãy (định lí 2.2.3), giới hạn lim

Trong quá trình x → 0, cos x → 1 Sử dụng định lí 2.2.5 ta đ-ợc

2 sin

x − a

2

≤ |x − a| → 0.

3 Với x ∈ R bất kì, tìm giới hạn của dãy số

2.2 Giới hạn hàm số 19

Xét tr-ờng hợp x > 0, khi đó từ bất đẳng thức sin x < x suy ra an ≥ 0

và dãy {an} đơn điệu giảm Vậy tồn tại giới hạn lim

Tr-ớc hết ta xét tr-ờng hợp x → +∞ Kí hiệu nx = [x] là phần nguyên

của số thực x Ta có các bất đẳng thức sau với mọi x > 1

t→0(1 + t)1t = e.

Từ nguyên lí chuyển đổi giới hạn giữa hàm và dãy và định lí ?? ta có định lí sau

Định lí 2.2.8 Cho hai hàm α, β : D → R, trong đó α(x) là vô cùng bé (VCB)

trong quá trình x → x0, β(x) là hàm bị chặn trên D Khi đó tích α ã β cũng là VCB trong quá trình x → x0.

Định nghĩa 2.2.5 Hai VCB α, β trong cùng một quá trình x → x0 đ-ợc gọi là t-ơng đ-ơng, kí hiệu α ∼ β, nếu

lim

x→x0

α(x) β(x) = 1.

VCB α đ-ợc gọi là VCB cấp cao hơn VCB β trong quá trình x → x0, kí hiệu

α = o(β), nếu

lim

x→x0

α(x) β(x) = 0.

2.2 Giới hạn hàm số 21

Ng-ợc lại nếu A(x) là VCL trong quá trình x → x0, khi đó

1

A(x) là VCB trong quá trình đó.

2 Nếu α là VCB và β là VCB cấp cao hơn α trong quá trình x → x0 Khi đó

α + β là VCB t-ơng đ-ơng với VCB α trong quá trình x → x0

lim

x→x0

α(x) + β(x) α(x) = 1.

3 α, β là hai VCB (VCL) trong quá trình x → x0 Giả thiết rằng cũng trong quá trình đó α t-ơng đ-ơng với α và β t-ơng đ-ơng với β Khi đó

lim

x→x0

α(x) β(x) = limx→x0

α(x) β(x) . Chứng minh.

1 và 2 đ-ợc suy ngay từ định nghĩa về VCB và VCL Đẳng thức

lim

x→x0

α(x) β(x) = limx→x0

α(x) α(x) ã

α(x) β(x)ã

β(x) β(x) = limx→x0

α(x) β(x)

chứng minh phần 3 còn lại của định lí 

Nói cách khác trong quá trình x → 0 hai VCB ex− 1 và x t-ơng đ-ơng.

4 Chúng ta có các VCB sau t-ơng đ-ơng trong quá trình x → 0

x ∼ sin x ∼ arcsin x ∼ tg x ∼ arctg x ∼ ln(x + 1) ∼ ex

2.3.1 Khái niệm về hàm liên tục

Định nghĩa 2.3.1 Cho hàm f : D → R, trong đó D ⊂ R Ta nói hàm f liên tục

tại x0 ∈ D nếu cho tr-ớc một số  > 0 tuỳ ý, tồn tại số δ = δ() > 0 (δ phụ thuộc vào ) sao cho với mọi x ∈ D và |x − x0| < δ ta có

|f (x) − f (x0)| < .

Tr-ờng hợp f không liên tục tại x0, ta nói hàm gián đoạn tại đó Nếu f liên tục tại mọi điểm x ∈ D, ta nói hàm f liên tục trên tập D.

Định nghĩa trên t-ơng đ-ơng với định nghĩa sau

Định nghĩa 2.3.2 Cho hàm f : D → R, trong đó D ⊂ R Ta nói hàm f liên tục

tại x0 ∈ D nếu cho tr-ớc một lân cận bất kì V(f (x0)) của f(x0), tồn tại một lân cận Uδ(x0) sao cho với mọi x ∈ D ∩ Uδ(x0) ta có

f (x) ∈ V(f (x0)) hay f(D ∩ Uδ(x0)) ⊂ V(f (x0)).

2.3 Hàm liên tục 23

Khi x0 ∈ D là điểm cô lập của tập D hiển nhiên f liên tục tại x0 Tr-ờng

hợp x0 ∈ D là điểm tụ của D, định nghĩa trên cũng có nghĩa là giới hạn bằng giá trị thay thế của hàm tại x0

lim

x→x0f (x) = f (x0).

Định nghĩa 2.3.3 (Hàm liên tục trái, liên tục phải)

Hàm f liên tục trái tại x0 ∈ D nếu cho tr-ớc một lân cận bất kì V của f(x0), tồn tại một lân cận trái U = (x0− δ, x0] của x0 sao cho với mọi x ∈ D ∩ U ta có

x = a , liên tục trái tại đầu mút x = b của đoạn đó.

Nhờ khái niệm giới hạn phải, giới hạn trái ta có kết quả sau

Định lí 2.3.1 Nếu x0 ∈ D là điểm tụ của D, điều kiện cần và đủ để f liên tục tại

x0 là tồn tại giới hạn trái, giới hạn phải tại x0, các giới hạn đó bằng nhau và cùng bằng f(x0)

Định lí 2.3.2 Hàm đơn điệu trên khoảng (a, b) chỉ có thể có điểm gián đoạn loại

một.

Chứng minh

Giả thiết f là hàm đơn điệu trên khoảng (a, b) Suy ra tồn tại các giới hạn trái, giới hạn phải f(x0−), f (x0+) và các giới hạn đó hữu hạn Vậy các điểmgián đoạn của hàm đơn điệu chỉ có thể là gián đoạn loại một 

Nhận xét rằng cũng từ chứng minh của định lí trên suy ra hàm đơn điệu trên một khoảng có không quá đếm đ-ợc các điểm gián đoạn.

Ví dụ 2.3.1

1 Trong ch-ơng tr-ớc chúng ta đã chứng minh lim

x→x0sin x = sin x0, với mọi

x0 ∈R Vậy hàm sin x liên tục trên R

2 Hàm f(x) = [x] (phần nguyên của x) gián đoạn loại một tại tất cả các

điểm là các số nguyên và liên tục trên tập R \ Z

0 nếu x = 0 gián đoạn loại hai tại x = 0.

2.3.2 Các tính chất của hàm liên tục

Định lí 2.3.3 Cho f : [a, b] → R là hàm liên tục trên đoạn [a, b], (a, b ∈ R).

Khi đó hàm f đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên [a, b] Nói cách khác tồn tại

u, v ∈ [a, b] sao cho

max

x∈[a,b]f (x) = f (u) và min

x∈[a,b]f (x) = f (v).

2.3 Hàm liên tục 25

Chứng minh

Tr-ớc hết ta chứng minh hàm f bị chặn trên đoạn [a, b] Ta sẽ chứng minh khẳng định này bằng phản chứng Thật vậy giả sử ng-ợc lại, hàm f không bị chặn trên đoạn [a, b] Khi đó với mỗi n ∈ N∗ tồn tại xn∈ [a, b] sao cho |f(xn)| > n

(hay lim

n→∞|f (xn)| = +∞) Dãy {xn}∞1 ⊂ [a, b]là dãy bị chặn, theo định lí Bolzano

?? tồn tại một dãy con {xnk}∞

k=1 hội tụ tới x0 ∈ [a, b] (limk→∞xnk = x0) Mặt

khác f là hàm liên tục trên [a, b] nên cũng liên tục tại x0∈ [a, b] Vậy

lim

n→∞f (xn) = M

Cũng theo định lí Bolzano ??, dãy đó chứa một dãy con {xnk}∞

1 hội tụ tới

u ∈ [a, b] Khi đó do f liên tục tại u ∈ [a, b]

lim

k→∞f (xnk) = f (u) = M.

Hoàn toàn t-ơng tự, hàm đạt giá trị nhỏ nhất tại v ∈ [a, b], f(v) = m 

Nhận xét rằng, bằng cách lập luận t-ơng tự, ta có thể mở rộng định lí cho

tr-ờng hợp hàm f : D → R liên tục trên tập đóng và bị chặn D Khi đó hàm f

đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên D.

Định lí 2.3.4 Cho f : [a, b] → R là hàm liên tục trên đoạn [a, b], (a, b ∈ R) Giả

thiết giá trị hàm f tại các đầu mút x = a và x = b trái dấu nhau

Hiển nhiên H 6= ∅ (do a ∈ H) Gọi c = sup H, c ∈ [a, b], ta sẽ chứng minh

f (c) = 0 Thật vậy, do f liên tục trên [a, b] và f(x) < 0 với mọi x ∈ H suy ra

f (c) ≤ 0

Mặt khác ta thấy f(c) < 0 không thể xảy ra Giả sử ng-ợc lại f(c) < 0, khi

đó tồn tại một lân cận U(c) của c sao cho với mọi x ∈ U(c)

f (x) < c,

điều đó mâu thuẫn với định nghĩa c = sup H Vậy f(c) = 0, đ.p.c.m 

Một cách chứng minh khác định lí trên: chia đôi đoạn [a, b] thành 2 đoạn nhỏ

có độ dài bằng nhau, gọi [a1, b1] là một trong hai đoạn nhỏ đó sao cho giá trị

hàm f tại các đầu mút x = a1 và x = b1 trái dấu nhau

Sau đó tiếp tục chia đôi đoạn [a1, b1] thành 2 đoạn nhỏ có độ dài bằng nhau,

gọi [a2, b2] là một trong hai đoạn nhỏ đó sao cho giá trị hàm f tại các đầu mút

x = a2 và x = b2 trái dấu nhau

Cứ tiếp tục qúa trình chia đôi đó, ta đ-ợc một dãy các đoạn thẳng lồng nhau

và thắt lại {[an, bn]} Gọi c là điểm chung duy nhất của dãy các đoạn thẳng đó

Hiển nhiên f(c) = 0.

Cách chứng minh này chỉ ra một thuật toán đơn giản hữu hiệu để tìm điểm

c thỏa mãn yêu cầu f(c) = 0 của định lí.

Hệ quả 2.3.1 Cho hàm f : [a, b] → R liên tục trên đoạn [a, b] Kí hiệu

Giả sử hàm f đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất tại x1, x2 ∈ [a, b](không làm mất

tính tổng quát giả thiết x1 < x2)