C2 : Tìm một điểm chung của hai mặt phẳng và phương của giao tuyến Giao tuyến // hoặc vuông góc với một đường thẳng cố định cho trước Chú ý : Khi tìm phương của giao tuyến ta cân quan
Trang 1 MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
1/ C/m điểm thuộc mặt phẳng :
Phương pháp :
Để chứng minh điểm M mp ta chứng minh :
mp a thẳng Đường
a thẳng Đường
M
2/ Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng :
Phương pháp : Để tìm giao điểm của đường thẳng a và mp ta thực hiện các bước sau :
Bước 1 : Chọn mặt phẳng phụ chứa đường thẳng a
( Chú ý : Mặt phẳng và dể xác định giao tuyến )
Bước 2 : Tìm giao tuyến của và
Bước 3 : Gọi I = giao điểm của a và Chứng minh I
là giao điểm của đường thẳng a và mp
( Chứng minh : I vừa thuộc đường thẳng a vừa thuộc mp)
3/ Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng :
Phương pháp : Để tìm giao tuyến của hai mặt phẳng và ta dùng các cách sau :
C1 : Tìm hai điểm chung phân biệt của hai mặt phẳng
B
A
,
,
C2 : Tìm một điểm chung của hai mặt phẳng và phương của giao tuyến
( Giao tuyến // hoặc vuông góc với một đường thẳng cố định cho trước )
Chú ý : Khi tìm phương của giao tuyến ta cân quan tâm đến các định lý :
- Nếu a // (P) thì a // với giao tuyến d của mp(P) và mp(Q) đi qua a
- Hai mặt phẳng song song bị cắt bởi một mặt phẳng thứ ba thì các giao tuyến này //
- Hai mặt phẳng cắt nhau cùng // với một đường thẳng thì giao tuyến của hai mạt phẳng này // với đường thẳng đó
4/ Chứng minh 3 điểm thẳng hàng :
Phương pháp : Để chứng minh 3 điểm : A, B, C thẳng hàng
Ta chứng minh 3 điểm này cùng thuộc hai mặt phẳng phân biệt và
Þ A, B, C thuộc giao tuyến của và nên thẳng hàng
Thường CM như sau:( ) ( )
( ) ( )
AB
C AB C
5/ Chứng minh 3 đường thẳng đồng quy :
Phương pháp : Để chứng minh 3 đường thẳng : a, b, c đồng quy ta thực hiện các bước sau :
Bước 1 : Đặt I = giao điểm của a và b
Bước 2 : Tìm hai mặt phẳng và nào đó sao cho
c = giao tuyến của và
mp I
mp I
3 đường thẳng a, b, c cùng đi qua I nên đồng qui
Cách khác :
Dùng định lý : “Nếu ba mặt phẳng cắt nhau theo ba giao tuyến thì ba giao tuyến này // hoặc đồng quy’’ Như vậy nếu chúng ta loại trừ được khả năng // thì chúng sẽ đồng quy.
6/ Chứng minh giao tuyến hay (đường thẳng) cố định :
Phương pháp : Ta chứng minh đường thẳng hay giao tuyến là giao của hai mặt phẳng cố định
7/ Chứng minh hai đường thẳng chéo nhau :
Phương pháp : Để chứng minh hai đường thẳng chéo nhau ta chứng minh chúng không cùng nằm trong một
mặt phẳng (Thường dùng phương pháp chứng minh bằng phản chứng: Giả sử hai đường thẳng đó không chéo nhau Suy luận để suy ra điều vô lý Vậy hai đường thẳng đó phải // với nhau)
8/ Chứng minh hai đường thẳng //
a
M
A
B
M
a
A B C
b
I
Trang 2C1 : Dùng các quan hệ song song đã biết trong mặt phẳng.
C2 : Chứng minh chúng phân biệt và cùng // với một đường thẳng thứ ba
C3 : Dùng định lý giao tuyến:
C4 : Dùng định lý giao tuyến:
C5 : Dùng định lý giao tuyến:
C6 : Dùng định lý giao tuyến:
9/ Chứng minh đường thẳng // với mặt phẳng
C1 : CM đường thẳng không nằm trong mặt phẳng và // với một đường thẳng nằm trong mặt phẳng
C2 : Dùng hệ quả:
c
b
a
a, b phân biệt & a // c, a // c a // b
(P) // (Q), ( ) ( ) R P a R , ( ) ( ) Q b a // b
b a
Q P
(P) // a, (Q) // a, ( ) ( ) P Q a a // b
Q P
b a
a // b, (P) qua a, (Q) qua b,( ) ( ) P Q
// a, // b hoặc trùng với a hoặc b
( )
a P , b ( ) P , a // b , a //( ) P
b
a
P
a Q
P
(P) // (Q), a ( ) Q a //( ) P
b a
P Q
b a
P Q
b P
a
Q
a // (P), (Q) qua a, ( ) ( ) P Q b a // b
b a R
Q
P
Trang 3C3 : Dùng hệ quả:
10/ Chứng minh hai mặt phẳng song song.
C1 : Chứng minh mặt phẳng này chứa hai đường thẳng cắt nhau // với mặt phẳng kia
C2 : Chứng minh chúng phân biệt và cùng vuông góc với một đường thẳng
C3 : Dùng hệ quả: Hai mặt phẳng phân biệt và cùng // với một mặt phẳng thứ ba thì // với nhau
11/ Chứng minh hai đường thẳng vuông góc.
C1 : Dùng các quan hệ vuông góc đã biết trong mặt phẳng.
C2 : ab góc( ; ) 90 a b o
C3: Dùng hệ quả:
C4: Dùng hệ quả:
C5 : Dùng hệ quả:
H
b
a
P
( )
a P , ( ) P b a b , a //( ) P
P
b a Q
a b Q , a cắt b, a // (P) và b // (P) ( ) P //( ) Q
P
a
Q
( ) P , ( ) Q phân biệt, ( ) P a Q , ( ) a ( ) P //( ) Q
b// c, a b a c
a c
b
( ) ( )
a P
a b
b P
( ) P //( ) Q
a
b
P
a
P
b
( ) ( )
a song song P
a b
b P
Trang 4C6 : Sử dụng định lí ba đường vuông góc.
C7: Dùng hệ quả:
12/ Chứng minh đường thẳng vuông góc mặt phẳng.
C1 : Dùng định lý
C2 : Dùng hệ quả:
C3 : Dùng hệ quả:
C4 : Dùng hệ quả:
13/ Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc
C1 : Chứng minh góc giữa chúng là một vuông
B
AB
BC AC
c
a b
P
b, c cắt nhau , , b c ( ) P , a b a , c a ( ) P
P
a// b, b ( ) P a ( ) P
Q
P
b
a
( ) ( )
( ) ( ),
a P
a Q a b
P
() ( )
( )
x
O
Trang 5
C2 : Dùng hệ quả:
CÁCH XÁC ĐINH GÓC
1/ Góc của hai đường thẳng
1/ Góc của hai mặt phẳng
1/ Góc của đường thẳng và mặt phẳng
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó trên mặt phẳng
( ) ( ) , Ox ( ), Ox , Oy ( ), Oy
Khi đó:
góc (( );( )) góc ( ; Ox Oy ) xOy : 0 90o
( ) ( ) 90o
( )
a a
Chọn điểm O tuỳ ý
Dựng qua O : a’ // a; b’ // b
Góc (a,b) = góc (a’,b’) =AOB
Thường chọn điểm O a hoặc O b
b' a'
B
A
O
b
a
= ( ; ) a b
Chọn điểm O thuộc giao tuyến của và
Dựng qua O : OA ( )
OA
và OB ( )
OB
Góc ( , ) = Góc ( OA OB , ) = AOB
Chú ý:
* 0 90o
* Nếu 90o thi chọn góc ( ; ) 180 o
B O
A
Trang 6 KHOAÛNG CAÙCH
HèNH VEế MOÄT SOÁ HèNH CHOÙP ẹAậT BIEÄT
1/ Hỡnh choựp tam giaực ủeàu
B
O
A
a
Choùn ủieồm A thuoọc ủửụứng thaỳng a
Dửùng qua AB ( ) taùi B
Dửùng giao ủieồm O cuỷa a vaứ neỏu chửa coự
( OB laứ hỡnh chieỏu cuỷa a treõn maởt phaỳng ())
Khi ủoự: Goực( ;( )) a = Goực( OA OB , ) = AOB
Dựng MH : d(M, ) = MH
M
H
Dựng: MH ( ), H thuộc ( ) ta có: d(M,( )) = MH
M
H
Chọn điểm M trên 1 , dựng MH 2
( H thuộc 2 ) ta có d( 1 , 2 ) = MH
//
1 2
2
1
M
H
Chọn điểm M thuộc , dựng MH ( H thuộc ( )), ta có d( ,( )) = MH
// ( )
H M
Ta có: d(( ),()) = d( ,( )) = MH
(M thuộc , MH ( ), H thuộc )
( ) // (), chứa trong ( )
H
M
Dựng mặt phẳng ( ) chứa b & ( ) // a
Dựng MH ( ), M thuộc a, H thuộc ( )
Dựng a' trong mặt phẳng ( ), a' // a
đ ờng thẳng a' cắt đ ờng thẳng b tại B
Dựng qua B và // MH, cắt a tại A Khi đó: d(a,b) = d(a,( ))
= d(M,( )) = MH = AB
a và b chéo nhau
B
A
H
M
a' b
a
Khoaỷng caựch tửứ moọt ủieồm
ủeỏn moọt ủửụứng thaỳng Khoaỷng caựch tửứ moọt ủieồmủeỏn moọt maởt phaỳng
Khoaỷng caựch giửừa hai
ủửụứng thaỳng song song
Khoaỷng caựch giửừa maởt phaỳng vaứ ủửụứng thaỳng //
song song
Khoaỷng caựch giửừa hai
maởt phaỳng song song
Khoaỷng caựch giửừa hai ẹửụứng thaỳng cheựo nhau
Trang 7Hình chóp tam giác đều:
Đáy là tam giác đều
Các mặt bên là những tam giác cân
Đặc biệt: Hình tứ diện đều có:
Đáy là tam giác đều
Các mặt bên là những tam giác đều
Cách vẽ:
Vẽ đáy ABC Vẽ trung tuyến AI
Dựng trọng tâm H Vẽ SH (ABC)
Ta có:
SH là chiều cao của hình chóp
Góc giữa cạnh bên và mặt đáy là: SAH
Góc mặt bên và mặt đáy là: SIH
2/ Hình chóp tứ giác đều
Hình chóp tứ giác đều:
Đáy là hình vuông
Các mặt bên là những tam giác cân
Cách vẽ:
Vẽ đáy ABCD
Dựng giao điểm H của hai đường chéo AC & BD Vẽ SH (ABCD)
Ta có:
SH là chiều cao của hình chóp
Góc giữa cạnh bên và mặt đáy là: SAH
Góc mặt bên và mặt đáy là: SIH
2/ Hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy
h
I
C A
H S
B
D A
S
B
S
D A
S
SA (ABC)
Góc giữa cạnh bên SB và mặt đáy là: SBA
Góc giữa cạnh bên SC và mặt đáy là: SCA
SA (ABCD)
Góc giữa cạnh bên SB và mặt đáy là: SBA
Góc giữa cạnh bên SC và mặt đáy là: SCA
Góc giữa cạnh bên SD và mặt đáy là: SDA
