mũ-logarit

Cách giải tổng quát : Biến đổi phương trình để đưa các hàm số cĩ mặt trong phương trình về cùng một cơ số.. Phân tích câu a  Cĩ thể biến đổi các biểu thức vế trái để cùng cĩ chung nhân

Phần I: LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LƠGARIT I.Lũy thừa:

1 Định nghĩa:

• n = 123 ( ∈¡ , ∈¥*)

n thừa số

a a a a a n • a1= ∀ ∈a a ¡ , a0 = ∀ ≠1 a 0

{ }

1 ( , 1, / 0 )

n n

a

m

n m n

• = > ∈

0; ,

m n

n

a a

−

• 2k x xác định khi x³ 0 (k  ¥ ) · 2k+ 1x xác định x  ¡ (k  ¥ )

2 Các tính chất : Tất cả các loại lũy thừa đều cĩ tính chất tương tự sau đây(Chỉ khác điều kiện): Cho a>0;b>0 và m n, ∈¡ Ta cĩ:

a a a +

• = • (a m n) =( )a n m =a m n.

m

m n n

a a a

−

( ) .

a b a b

n

 

 

II.Hàm số lũy thừa:

Đạo hàm của hàm số lũy thừa: ( )/ 1

xα =α xα− x> α∈¡ ; ( )/ 1 /

uα =αuα− u u> α∈¡

III Lơgarit: loga b=α dn⇔ aα =b a( >0;a≠1;b>0)

Các tính chất : Với a>0; a≠1; b>0;b1>0;b2>0; c>0;c≠1 Ta cĩ các tính chất:

• log 1 0a = log 1

a a

log

b

• = • a logaα =α

• log ( ) loga b b1 2 = a b1+loga b2 1

2

log ( ) loga b a b loga b b

loga b .loga b

• = log n 1log

n

Đặc biệt : loga N2 =2.loga N

• logc b=logc a.loga b log log

log

c a

c

b b

a

1

log

a

b

a

log k 1loga ( 0)

Cơng thức đặc biệt: alogb c =clogb a

IV Hàm số mũ: Cĩ dạng : y a= x ( a > 0 , a≠1 )

 Tập xác định : D=¡  Tập giá trị : T =¡ + (tøc lµ: a x > ∀ ∈0 x R)

 Tính đơn điệu:

+ a > 1 : y a= x đồng biến trên ¡

+ 0 < a < 1 : y a= x nghịch biến trên ¡

 Đồ thị hàm số mũ y a= x:

a > 1 0 < a < 1

 Đạo hàm hàm số mũ:

• ( )e x '=e x • ( )e u '=u e' u

( )/

ln

• = (a > 0, a ≠ 1) • ( )a u '=u a' lnu a

V Hàm số lôgarít: Dạng y=loga x ( a > 0 , a ≠1)

 Tập xác định : D (0;= +∞)  Tập giá trị: T=¡

 Tính đơn điệu:

+ a > 1 : y=loga x đồng biến trên (0;+∞) (Tức là: x1 <x2 ⇔loga x1<loga x2) + 0 < a < 1 : y=loga x nghịch biến trên (0;+∞) (Tức là: x1 <x2 ⇔loga x1>loga x2)  Đồ thị của hàm số lôgarít:

 Đạo hàm hàm số lôgarit:

(log )' 1

ln

a x

x a

• = (log )' '

ln

a

u u

u a

( lnx)' 1

x

• = (lnu)' u'

u

MỘT SỐ DẠNG TOÁN CƠ BẢN (Xem thêm).

Dạng 1: Rút gọn biểu thức, tính giá trị biểu thức:

Hướng giải: Sử dụng các công thức đã biết, rút gọn các biểu thức.

Phân tích: Tìm mối liên hệ giữa giả thiết và kết luận  Biểu diễn log 15 và 25 log 15 qua 3 log 5 3

log 15 log 3.5 log 3 log 5 log 3 1

1 log 15 log 3.5 log 3 log 5 1 log 5 log 3

1

a

a

Vậy: 25 ( 5 )

a

ç

= + = ççè - + ÷÷ø= -

Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức

1 -1

1

4

−

Phân tích:  Nên rút gọn các biểu thức nhỏ.(Cũng có thể giải theo hướng qui đồng hai phân thức trong ngoặc phía sau)

Giải:

2 2

2 2

1 1 1 1

1 1 1 1

x a x a

C

x a x a

Dạng 2: So sánh hai số dưới dạng lũy thừa, lôgarit:

Hướng giải:

Sử dụng tính chất của hàm số mũ (lôgarit) có cơ số a:a>1: hàm số đồng biến, 0< <a 1 hàm số nghịch biến trên tập xác định

Nếu cùng cơ số: Ta so sánh trực tiếp dựa vào cơ số lớn hơn 1 hay nhỏ hơn 1

Nếu khác cơ số, ta so sánh thông qua một số thứ ba

Ví dụ: a So sánh các cặp số

0,2 3

π

 

 ÷

  và

0,3 4

π

 

 ÷

  b So sánh các cặp số: log 2 và 0,1 log 50,1

3

π > nên hàm số

3

x

y  π

=  ÷  là hàm số đồng biến Do đó:

    hay

0,2 1 3

π

  >

 ÷

Ta cũng có: 0 1

4

π

< < nên hàm số

4

x

y  π

=  ÷  là hàm số nghịch biến Do đó:

  < 

0,3

1

4

π

  <

 ÷

 

Từ đó ta rút ra:

0,2 0,3

  > 

0 0,1 1

log 2 log 5

2 5

< < ⇒ >



< 

Dạng 3: Đạo hàm hàm số mũ, lôgarit:

Hướng giải: Sử dụng các công thức đạo hàm đã nêu ở trên.

ln 1

x y x

−

= +

Giải:

a ' ( )'(cos 2) cos( 2 ') 1 (cos 2) sin cos 1 sin

ln 1 (ln 1)

ln 1 ' ln 1 ln 1 ln 1 '

y

−

+

BÀI TẬP: Tính đạo hàm của các hàm số:

1) y = x.ex 2) y = x7.ex 3) y = (x – 3)ex 4) y = ex.sin3x

5) y = (2x2 -3x – 4)ex 6) y = sin(ex) 7) y = cos( e x2+2 1x ) 8) y = 44x – 1

9) y = x.lnx 10) y = x2lnx -

2 2

x

11) ln( x+ 1+x2 ) 12) y = log3(x2- 1) 13) y = ln2(2x – 1) 14) y = x.sinx.lnx 15) y = lnx.lgx – lna.loga(x2 + 2x + 3)

Phần 2: PHƯƠNG TRÌNH MŨ, PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT

Chú ý: Trước khi giải một phương trình, bất phương trình; cần chú ý đặt điều kiện cho phương trình, bất

phương trình (nếu có)

Phương trình mũ:

Cách giải tổng quát : Biến đổi phương trình để đưa các hàm số cĩ mặt trong phương trình về cùng một

cơ số

Một số phương pháp thường sử dụng:

Trường hợp 1: m≤0: Phương trình vơ nghiệm

Trường hợp 2: m>0: Nên suy nghĩ theo hai hướng ( Cĩ thể luơn thực hiện theo hướng thứ hai):

 Nếu m = an thì ta cĩ: af x( )= ⇔ m a f x( ) =a n ⇔ f x( ) =n

 Nếu m a≠ n thì ta cĩ: f x( ) ( ) log

a

a = ⇔m f x = m

Ví dụ: Giải phương trình:

5x+ +6.5x−3.5x− =52 b 1

3 2x x+ =72 Nhận xét: Trong hai phương trình, khơng cĩ phương trình nào cần đặt điều kiện

Phân tích câu a)  Cĩ thể biến đổi các biểu thức vế trái để cùng cĩ chung nhân tử 5x  Đặt nhân tử chung, rút gọn Đưa về dạng cơ bản

a.

Vậy phương trình cĩ nghiệm duy nhất x = 1

b. Phân tích: cĩ thể biến đổi vế trái:3 2x x+ 1 để đưa các lũy thừa về cùng số mũ x  đưa về dạng cơ bản

3 2x x+ =72⇔3 2 2 72x x = ⇔2.6x =72⇔6x=36⇔6x =6 ⇔ =x 2

II Đưa về cùng cơ số:

Hướng giải:

- Biến đổi các hàm số cĩ mặt trong phương trình về cùng cơ số, sau đĩ rút gọn, đưa về dạng cơ bản hoặc về dạng: a f x( ) =a g x( ) ⇔ f x( )=g x( ) (Với 0 a 1).(Thường gặp)< ≠

- Nếu cơ số a thay đổi thì:  − [ − ]=

>

⇔

=

0 ) ( ) ( ) 1 (

0 )

( ) (

x g x f a

a a

a f x g x

(Ít gặp)

2 4

3 5 1

9 3

x

x x

− +

+ −

 ÷

 

Nhận xét: Hai vế của phương trình cĩ thể biến đổi để đưa về cùng cơ số 3

( ) ( ) 2

2 4

2

1

3

1

2 4 6 0

3

x

x

x

− +

 ÷

 

=



Vậy phương trình cĩ hai nghiệm: x = 1; x = -3

BÀI TẬP: Giải các phương trình sau:

a) 2x− 4 = 34 b) 2 6 5

2

2x− −x =16 2 c) 32x−3 =9x2+ −3x 5 d) 2x2 − +x 8 =41 3 − x e) 52x + 1 – 3 52x -1 = 110 f)

32 128

4

g) 2x+ 2x -1 + 2x – 2 = 3x – 3x – 1 + 3x - 2 h) (1,25)1 – x = (0, 64)2(1 + x)

III Đặt ẩn số phụ:

Hướng giải: Thường biến đổi để phương trình chỉ cịn một hàm số mũ duy nhất (nhưng khơng thể biến

đổi gọn hơn để đưa về các dạng cơ bản đã biết ở trên) và đặt nĩ làm ẩn phụ để đưa việc giải phương

trình đã cho về giải phương trình đại số (Chú ý chỉ lấy nghiệm dương đối với ẩn số phụ)

Một số dạng thường gặp:

Loại 1: Phương trình cĩ dạng kf(x) (k-1)f(x) f(x)

k k-1 1 0

b a + b a + + b a + b = 0

Khi đó ta đặt: t = af(x) điều kiện: t > 0 Ta được một phương trình đại số ẩn t, giải pt đại số này ta biết được nghiệm của phương trình ẩn t

Nếu có nghiệm t thì cần xét xem có thỏa điều kiện t > 0 hay không Nếu thỏa điều kiện thì giải phương trình t a= f x( )để tìm nghiệm của phương trình đã cho

Ví dụ: 4x+ 1−6.2x+ 1+ = ⇔8 0 (2 )x+ 1 2 −6.2x+ 1+ =8 0

Đặt t =2x+1 Điều kiện t > 0 Ta có 2 6 8 0 2

4

t

t t

t

=



− + = ⇔  =

 Với t = 2 ta có 2x+1=2⇔ =x 0

 Với t = 4 ta có 2x+ 1= 4⇔ =x 1

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x=0 và x=1

BÀI TẬP: Giải phương trình

1) 4x + 2x+1 – 8 = 0 2) 4x+1 – 6 2x+1 + 8 = 0 3) 34x+8 – 4 32x+5 + 27

4) 16x−17.4x+ =16 0 6) 49x+7x+ 1− =8 0 8) (7 4 3+ ) (x+ +2 3)x=6 9) 4cos2x +4cos 2x = 3

Loại 2: Phương trình đưa được về dạng: f(x) 2

1 f(x) 3

α

α a + + α = 0

a

Hướng giải: Đặt t a= f x( )

5 5

x

x

Đặt t=5 ;x t>0 Ta được phương trình:

125

t

t

t t

=



 Với t =125 ta có 5x =125⇔ =x 3

 Với t = 5 ta có 5x = ⇔ =5 x 1

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x = 1 và x = 3

Ta có ( 7− 48 ) ( 7x + 48 )x=1 Đặt t ( 7 48 ) ;(x t 0) ( 7 48 )x 1

t

(1) Trở thành: 1 14 2 14 1 0 7 48

7 48

t

 = −

= +



 Vớt t = −7 48 ta có: ( 7 48 )x 7 48 2

x

 Vớt t = +7 48 ta có: ( 7+ 48 )x = +7 48⇔ =x 2

Lưu ý: Một số những cặp số là nghịch đảo của nhau Ví dụ: 2±1; 2± 3; 3± 8,

BÀI TẬP: Giải phương trình

1) (2 + 3) (x + 2 − 3)x = 2 2)  7 − 48 x+  7 + 48 x = 14

Loại 3: Phương trình có dạng: α a 1 2f(x) + α (ab) + α b 2 f(x) 3 2f(x) = 0

Hướng giải: Chia cả hai vế cho b2 ( )f x ta được phương trình α1 2f(x)

b

a











 +

2

α f ( x)

b

a











3

Ta đặt: t =

)

( x

f

b

a











 điều kiện: t > 0, giải phương trình ẩn t, sau đó tìm nghiệm x.

Chú ý: Cũng có thể chia hai vế phương trình cho: ( )ab f x( ) hoặc: a2 ( )f x

3 1 2

2

x

  =

 ÷ 

= −

 ÷

 

 Voâ nghieäm BÀI TẬP CHUNG: Giải các phương trình:

a) 92x +4 - 4.32x + 5 + 27 = 0 b) 52x + 4 – 110.5x + 1 – 75 = 0

c)

1

    d)

3

5 x−5− x =20

e) (4− 15) (x+ +4 15)x =2 f) ( 5 2 6+ ) (x+ 5 2 6− )x =10

IV.Phương pháp lôgarit hóa hai vế (thường sử dụng trong trường hợp hai vế không cùng cơ

số)

Hướng giải: Biến đổi phương trình về dạng:

)

1 0

, 1 , 0 (

log )

( log

)

( )

(

)

( =b ⇔ f x a=g x b <a b≠ <c≠

Lưu ý: Ta thường lôgarit hóa hai vế với cơ số a hoặc b

Ví dụ: Giải phương trình: 2x− 3 =5x2 − + 5x 6

Nhận xét: Ta không thể biến đổi phương trình để đưa về cùng cơ số, hoặc chỉ còn một hàm số mũ duy nhất, vì vậy cách giải ở đây là lấy lôgarit hóa hai vế

Lấy lôgarit theo cơ số 2 hai vế của phương trình ta được:

2

2

3 log 2 log 5 3 ( 2)( 3) log 5 ( 3) 1 ( 2) log 5 0

1 ( 2) log 5

2 log 2 2 log 2

x

BÀI TẬP: Giải các phương trình

a) 2x - 2 = 3 b) 3x + 1 = 5x – 2 c) 3x – 3 = 5x2 − + 7x12

d) 2x− 2 =5x2 − + 5x 6 e) 5 8x x x−1 500

= f) 52x + 1 - 7x + 1 = 52x + 7x

V Đoán nhận một nghiệm và chứng minh nghiệm đó duy nhất bằng cách sử dụng tính đơn điệu của hàm số mũ.

* Ta thường sử dụng các tính chất sau:

• Tính chất 1 : Nếu hàm số f tăng ( hoặc giảm ) trong khỏang (a;b) thì phương trình f(x) = C

có không quá một nghiệm trong khoảng (a;b) ( do đó nếu tồn tại x0 ∈(a;b) sao cho f(x0) = C thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = C)

• Tính chất 2 : Nếu hàm f tăng trong khoảng (a;b) và hàm g là hàm một hàm giảm trong khoảng (a;b) thì phương trình f(x) = g(x) có nhiều nhất một nghiệm trong khoảng (a;b) ( do đó nếu tồn tại x0 ∈ (a;b) sao cho f(x0) = g(x0) thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = g(x))

Dễ nhận thấy x = 5 là nghiệm của phương trình đã cho

Ta có: Hàm số mũ:

6

( ) 7

7

x x

f x

−

= =  ÷  là hàm số giảm trên ¡ do cơ số: 0 1 1

7

< < Hàm số bậc nhất: g x( )= +x 2 là hàm số tăng trên ¡ do hệ số a = 1 > 0

Vậy: x = 5 là nghiệm duy nhất của phương trình

BÀI TẬP: Giải các phương trình:

a) 3x + 4 x = 5x b) 3x – 12x = 4x c) 1 + 3x/2 = 2x

Phương trình Lơgarit:

1 Phương trình lơgarit cơ bản:

Phương trình lơgarit cơ bản cĩ dạng: loga x m= , trong đĩ m là số đã cho.

• Phương trình cĩ điều kiện xác định là x > 0 ( a>0, a≠1)

• Với mọi m∈¡ , phương trình loga x m= cĩ nghiệm duy nhất x a= m

2 log (3x + =x) 2 Điều kiện: 2

3x + >x 0 (Đối với phương trình, ta cĩ thể đặt điều kiện mà khơng cần giải điều kiện đĩ Sau khi giải phương trình tìm được kết quả, ta thử nghiệm)

1

3

x

x

=





 = −



So với điều kiện, ta thấy phương trình cĩ hai nghiệm: 1; 4

3

x= x= −

2 Phương pháp đưa về cùng cơ số: Biến đổi phương trình để đưa về dạng cơ bản đã nêu hoặc

là dạng: loga M =loga N ⇔M =N

Ví dụ 1: Giải phương trình log (2 x− +5) log (2 x+ =2) 3 (1)

Điều kiện: x>5

2

3

6 (

x

x

= −





(không thỏa đk) thỏa đk)

Vậy phương trình cĩ nghiệm x=6

Điều kiện: x>0

2

2

1 log 4log log 13 log 4 log log 13 2log 2log log 13

3 13

Vậy phương trình cĩ nghiệm duy nhất: x=8

BÀI TẬP: Giải các phương trình sau :

1) log (x x+ =6) 3 2) log2(9x – 2+7) – 2 = log2( 3x – 2 + 1)

3) 12log ( 1) log ( 4) log2(3 )

2 1

2

2 x− + x+ = −x 4) log4(x + 2) – log4(x -2) = 2 log46

5) lg(x + 1) – lg( 1 – x) = lg(2x + 3) 6) log4x + log2x + 2log16x = 5

7) log4(x +3) – log4(x2 – 1) = 0

3 Phương pháp đặt ẩn phụ:

Hướng giải: Biến đổi để trong phương trình chỉ cịn một hàm lơgarit duy nhất, sau đĩ ta đặt nĩ làm ẩn

phụ (Chú ý điều kiện), chuyển phương trình đã cho thành phương trình đại số

5 lgx+1 lgx=

Phân tích: Ta nhận thấy trong phương trình chỉ cĩ một hàm số lơgarit duy nhất, đĩ là lg x Vì vậy ta giải

pt bằng cách đặt t =lg x

Đặt t=lgx đk t≠5và t≠ −1.Ta được phương trình:

1

5 t+1 t =

− + (5 ) (111 ) 1 11 5 4 2

t

t t

− +

5 6 0

3

t

t

 =



⇔ − + = ⇔

=



thỏa điều kiện thỏa điều kiện

 Với t = 2 ta cĩ lgx= ⇔ =2 x 100

 Với t = 3 ta cĩ lgx= ⇔ =3 x 1000

Vậy phương trình đã cho cĩ hai nghiệm x = 100; x = 1000

log (x−1) +log (x−1) =7

Điều kiện: x>1

log (x−1) +log (x−1) =7 2( ) ( )

4log x 1 3log x 1 7 0

Đặt t=log2(x−1), ta được phương trinh: 2

1

4

t

t t

t

=





 =

  Với t =1 ta cĩ log2(x− = ⇔ − = ⇔ =1) 1 x 1 2 x 3

 Với 7

4

t=−

2

7

4

−

BÀI TẬP: Giải các phương trình sau :

4

3

x+ x = 2) log log2 1 5 0

3

2

3 x+ x+ − =

4 lnx+2 lnx=

− + 4) log2x + 10 log2x+ =6 9

2 log x+3log x+log x=2

4 Phương pháp biến đổi phương trình về dạng tích:

Giải: Điều kiện: x>0

log 2.log 2 log log log log log 2.log 2 0

log (1 log ) 2(1 log ) 0 (1 log )(log 2) 0

7

4

(Thỏa điều kiện)

(Thỏa điều kiện)

x

x

=



⇔  =



Vậy phương trình đã cho cĩ hai nghiệm: x = 7 và x = 4

5 Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số:

* Ta thường sử dụng các tính chất sau:

• Tính chất 1 : Nếu hàm số f tăng ( hoặc giảm ) trong khoảng (a;b) thì phương trình f(x) = C

cĩ khơng quá một nghiệm trong khoảng (a;b) ( Do đĩ nếu tồn tại x0 ∈ (a;b) sao cho f(x0) = C thì đĩ là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = C)

• Tính chất 2 : Nếu hàm f tăng trong khoảng (a;b) và hàm g là hàm một hàm giảm trong khoảng (a;b) thì phương trình f(x) = g(x) cĩ nhiều nhất một nghiệm trong khoảng (a;b) ( Do đĩ nếu tồn tại x0 ∈ (a;b) sao cho f(x0) = g(x0) thì đĩ là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = g(x))

3 log (x− −1) log (2x− =3) 2 Phân tích: Trước tiên ta cần đặt điều kiện cho phương trình Do hai hàm số lơgarit khơng cùng cơ số nhưng cĩ thể biến đổi cho vế trái là tổng của hai hàm số đồng biến( cơ số lớn hơn 1)  Áp dụng tính chất 1

Giải: Điều kiện:

1

3

2

x x

x

>



− >

 − >  >

3 log (x− −1) log (2x− = ⇔3) 2 log (x− +1) log (2x− =3) 2

Dễ thấy phương trình có một nghiệm x=3.

Do các cơ số 2 và 3 đều lớn hơn 1 nên các hàm số y=log (2 x−1);y=log (23 x−3)đều đồng biến trên khoảng 3;

2

 +∞

  Do đó hàm số: y=log (2 x− +1) log (23 x−3)đồng biến trên khoảng 3;

2

 +∞

 .

Mặt khác y=2 là hàm hằng Do đó phương trình đã cho có duy nhất một nghiệm x = 3

Phần 3: BẤT PHƯƠNGTRÌNH MŨ, LÔGARIT Bất phương trình mũ:

Xét bất phương trình dạng: a x >b (a>0;a≠1)

 Nếu b≤0: Bất phương trình có tập nghiệm T =¡

 Nếu b>0:

a > 1 0 < a < 1

x log

a

a > ⇔ >b x b x log

a

a > ⇔ <b x b

Một số bất phương trình cơ bản:

a > 1 0 < a < 1

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

f x g x

f x g x

• ≥ ⇔ ≥

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

f x g x

f x g x

Tổng quát ta có:

1.Phương pháp đưa về cùng cơ số:

Hướng giải: Ta biến đổi các hàm số mũ trong bpt về cùng một cơ số, sau đó đưa về các dạng cơ bản ở trên (Nếu có thể thì nên đưa về cơ số a >1)

Giải bất phương trình: a) 6x2− +6x 8 >1

3 5

1

2

x

b

+

 ÷

 

Giải:

4

x

+ > ⇔  > Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: S = −∞( ;2) (4;∪ +∞)

b) Điều kiện: x≠ −3

3 5

2

3 5 (2 1)(3 ) 2 10 8

x

x

+

 

Kết hợp với điều kiện, bất phương trình có tập nghiệm là: T = −∞ − ∪ − −( ; 4] ( 3; 1]

BÀI TẬP : Giải các bất phương trình sau :

1) 2 2 1 1

3

x x

x − x ≥ − − 2) 2

1 2

1 2 2

x

x x

−

− ≥

2 Phương pháp đặt ẩn phụ:

Hướng giải: Biến đổi bất phương trình sao cho trong bpt chỉ còn một hàm số mũ duy nhất (nhưng không thể biến đổi đưa về các dạng cơ bản đã biết) Ta giải bằng cách đặt nó làm ẩn phụ

Ví dụ: Giải bất phương trình: 16x 4x+12 8 0

2 2

16x 4x+ 8 0 4 x 4 4x 8 0 4x 2.4x 8 0

+ − ≤ ⇔ + − ≤ ⇔ + − ≤ Đặt t=4 (x t>0) Ta được bất phương trình: t2+ − ≤ ⇔ − ≤ ≤2t 8 0 4 t 2 So với điều kiện, ta có: 0< ≤t 2 hay: 2x≤ ⇔ ≤2 x 1 Vậy bất phương trình có tập nghiệm: T = −∞( ;1 ]

BÀI TẬP:

1.Giải các bất phương trình sau:

1)22x−3.(2 ) 32 0x+ 2 + < 2) 8+21 +x −4x +21 +x >5

3) 3

2x+2 −x ≤9 4) 15.2x+1+1≥ 2x −1+2x+1

5)

1

( ) 3.( ) 12

+ > 6) 2.14x +3.49x−4x≥0

2 Giải các bất phương trình:

a) 16x – 4 ≥ 8 b)

2 5 1

9 3

x+

  <

 ÷

6 2

9x ≤3x+

d) 4x2 − +x 6 >1 e)

2

4 15 4

3 4 1

2

x x

x

− +

−

 ÷

2x + 2 > 3 5x

3 Giải các bất phương trình:

a) 22x + 6 + 2x + 7 > 17 b) 52x – 3 – 2.5x -2 ≤ 3 c) 1 1 1 2

4x− 2x− 3

> + d) 5.4x+2.25x ≤ 7.10x e) 2 16x – 24x – 42x – 2 ≤ 15 f) 4x +1 -16x ≥ 2log48

g) 9.4-1/x + 5.6-1/x < 4.9-1/x

Bất phương trình lôgarit:

1 Dạng cơ bản: loga x b> ( a > 0 , a≠0 )

Điều kiện : x > 0

a > 1 0 < a < 1

log b

a x b> ⇔ >x a log b

a x b> ⇔ <x a

2 Phương pháp đưa về cùng cơ số:

Hướng giải: Ta biến đổi các hàm số lôgarit trong bpt về cùng một cơ số, sau đó đưa về các dạng cơ bản

ở trên (Nếu có thể thì nên đưa về cơ số a >1)

Ví dụ: Giải các bất phương trình sau:

2

log (2x +5x− >3) 2 b.log (3 x+ +1) log (113 − <x) 3

Giải:

a.Điều kiện: 2

3

2

x

x

< −



 + − > ⇔

 >



2

7

1

x

x

 < −



>

 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: ; 7 (1; )

2

S= −∞ − ∪ +∞

b.Điều kiện: 1 0 1 11

x

x x

+ >

 ⇔ − < <

 − >



2

log ( 1) log (11 ) 3 log ( 1)(11 ) 3 ( 1)(11 ) 3 10 11 27

2

10 16 0

8

x

x

<



⇔ − + > ⇔  >

Kết hợp với điều kiện ta có tập nghiệm của bất phương trình là: S = −( 1;2) (∪ 8;11 )

3 Phương pháp đặt ẩn số phụ: