Tài liệu luyện thi THPT Quốc Gia môn Toán phần Mũ Logarit được phân chia thành từng dạng rất tiện cho học sinh luyện tập những phần kiến thức còn bỏ sót hoặc chưa hiểu. Những câu hỏi thường được trích dẫn từ các đề thi thử hoặc các đề thi đại học các năm, chắc chắn sẽ giúp các e thật nhiều trong việc luyện thi môn Toán.
Trang 1Chuyên đề 3:
PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH
MŨ & LÔGARIT Loại 1: Phương trình mũ & lôgarit
1 Phương trình mũ:
a) Dạng cơ bản: Với 0 < a 6= 1 thì af (x) = b ⇐⇒
b > 0
f (x) = logax b) Một số phương pháp giải phương trình mũ:
• Phương pháp đưa về cùng cơ số: Với 0 < a 6= 1 thì af (x) = ag(x) ⇐⇒ f (x) = g(x)
• Phương pháp đặt ẩn số phụ: Đặt t = af (x), t > 0 để đưa phương trình đã cho về phương trình mới ẩn t
• Phương pháp lôgarit hóa: Thường được sử dụng giải các phương trình af (x) = bg(x) Khi đó ta lấy lôgarit cơ số c (0 < c 6= 1) hai vế của phương trình Để đơn giản ta thường chọn c = a hoặc c = b
• Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số mũ: Thông thường ta tiến hành theo 2 bước
– Đoán một nghiệm của phương trình (thường là nghiệm đơn giản) – Chứng minh nghiệm này là duy nhất bằng cách sử dụng tính đơn điệu của hàm số mũ.i
2 Phương trình lôgarit: Điều kiện tồn tại logaf (x) là
0 < a 6= 1
f (x) > 0
a) Dạng cơ bản: logaf (x) = b ⇐⇒
0 < a 6= 1
f (x) = ab b) Một số phương pháp giải phương trình lôgarit:
• Phương pháp đưa về cùng cơ số:
Với 0 < a 6= 1 thì logaf (x) = logag(x) ⇐⇒
f (x) > 0 hoặc g(x) > 0
f (x) = g(x)
• Phương pháp đặt ẩn phụ: Đặt t = logaf (x) để đưa phương trình đã cho về phương trình với ẩn mới là t
• Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số lôgarit: (Tương tự như phần phương trình mũ)
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau
a) 2x+1.5x = 2.102x+5
b) log3(2x + 1) − log1 (3 − x) = 0
c) 4 +√
15x+ 4 −√
15x = 62
Trang 2d) 3.49x+ 2.14x− 4x = 0
e) 3x.8x+2x = 6
f) 2x2−4 = 3x−2
g) 3x = 3 − log5x
h) log3(x + 1) = 4
x + 2
Loại 2: Bất phương trình mũ & lôgarit1
1 Bất phương trình mũ:
a) Dạng cơ bản: af (x) > b ⇐⇒
a > 1
f (x) > logab
∪
0 < a < 1
f (x) < logab
b) Đưa về cùng cơ số: af (x) > ag(x)⇐⇒
a > 1
f (x) > g(x)
∪
0 < a < 1
f (x) < g(x)
2 Bất phương trình lôgarit:
a) Dạng cơ bản: logaf (x) > b ⇐⇒
a > 1
f (x) > ab ∪
0 < a < 1
f (x) < ab
b) Đưa về cùng cơ số: logaf (x) > logg(x) ⇐⇒
a > 1
f (x) > g(x) > 0
∪
0 < a < 1
0 < f (x) < g(x)
Ví dụ 2: Giải các bất phương trình sau
a) log5(4x+ 144) − 4 log52 < 1 + log5(2x−2+ 1)
b) √
5 − 2
x−1
x+1 ≤ √5 + 2x−1
c) 2
log22x +
4 log2x2 > 3 d) √
10 + 1log3 x
− √10 − 1log3 x
≥ 2x 3 e) log3(3x+1− 2) > 2x
f) 32 log2x− 2x1+log2x− 8x2 ≤ 0
Loại 3: Hệ phương trình mũ & lôgarit
Để giải hệ phương trình mũ & lôgarit với hai ẩn x, y ta có thể dùng các phương pháp sau: a) Đưa về hệ phương trình đại số theo x, y
b) Dùng phương pháp thế
1 Ở đây chúng ta chỉ xét một dạng đại diện, những dạng khác giải tương tự.
Trang 3c) Đặt ẩn phụ để đưa về hệ phương trình đại số theo hai ẩn số phụ.
Ví dụ 3: Giải các hệ phương trình sau
a)
5 log2x − 3 log4y = −8
10 log2x − log4y = −10
b)
√
x − 1 +√
2 − y = 1
3 log9(9x2) − log3y3 = 3
c)
lg2x = lg2y + lg2(xy)
lg2(x − y) + lg x lg y = 0
d) (ĐHBK HN 1991)
√
x + 1 − 1 3y = 3
√
4 − x x log3x + y = 1
e) (ĐHBK HN 1992)
4log3 (xy)= 2 + (xy)log3 2
x2+ y2 − 3x − 3y = 12
CÁC BÀI TOÁN THI Bài tập 1: Giải các phương trình sau
a) (D_2003) 2x 2 −x− 22+x−x 2
= 3 b) (D_2006) 2x2+x− 4.2x2−x− 22x+ 4 = 0
c) (A_2006) 3.8x+ 4.12x− 18x− 2.27x = 0
d) (D_2007) log2(4x+ 15.2x+ 27) + 2 log2 1
4.2x− 3 = 0 e) (B_2007) √
2 − 1x
+ √
2 + 1x
− 2√2 = 0 f) (CĐ 2008) log22(x + 1) − 6 log2√
x + 1 + 2 = 0 g) (A_2008) log2x−1(2x2+ x − 1) + logx+1(2x − 1)2 = 4
h) (D_2010) 42x+√x+2+ 2x 3
= 42+√x+2+ 2x 3 +4x−4
i) (D_2011) log2(8 − x2) + log1
2
√
1 + x +√
1 − x − 2 = 0
j) (D_2013) 2 log2x + log1
2 (1 −√
x) = 1
2log2
√
2 x − 2√
x + 2 Bài tập 2 (A_2002): Cho phương trình log23x +plog23x + 1 − 2m − 1 = 0 a) Giải phương trình khi m = 2
b) Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn h1; 3
√
3i
Trang 4Bài tập 3: Giải các phương trình sau
a) (DB2 2002) 1
2log
√
2(x + 3) +1
4log4(x − 1)
8
= log2(4x) b) (DB5 2002) 16 log27x3−3 log3xx2 = 0
c) (DB2 D_2003) log5(5x− 4) = 1 − x
1 4x− 2x+1+ 2 (2x− 1) sin (2x+ y − 1) + 2 = 0
2 log3(3x− 1) log3(3x+1− 3) = 6
d) (DB2 D_2006) 2 (log2x + 1) log4x + log2 14 = 0
e) (DB1 B_2006) log√
2
√
x + 1 − log1
2 (3 − x) − log8(x − 1)3 = 0 f) (DB2 B_2006) 9x 2 +x−1− 10.3x 2 +x−2+ 1 = 0
g) (DB2 A_2006) log2x + 2 log2x4 = log√
2x8 h) (DB2 D_2007) log2 2
x− 1
|x| = 1 + x − 2
x
i) (DB1 B_2007) log3(x − 1)2+ log√
3(2x − 1) = 2 j) (DB2 B_2007) (2 − log3x) log9x3 − 4
1 − log3x = 1 k) (DB2 A_2007) log4(x − 1) + 1
log(2x+1)4 =
1
2 + log2
√
x + 2
l) (DB2 D_2008) √
5 + 1x+ 2 √
5 − 1x = 3.2x
m) (DB1 B_2008) 2 log2(2x + 2) + log1 (9x − 1) = 1
n) (DB2 B_2008) 3 + 1
log3x = logx
9x − 6 x
o) (DB2 2009) 4x−
√
x 2 −5− 12.2x−1−√x 2 −5+ 8 = 0 p) (DB3 2009) logx+3 3 −√
x2− 2x + 1 = 1
2 q) DB5 2009 log3(x − 1)2+ log√
2(2x − 1) = 2
r) (DB6 2009) log27(x2− 5x + 6)3 = 1
2log
√ 3
x − 1 2
+ log9(x − 3)2 s) (DB6 2010) log5(5x− 1) log25(5x+1 − 5) = 1
Bài tập 4: Giải các phương trình sau
a) logx
2 x2− 14 log16xx3 + 40 log4x√
x = 0 b) x1−lg x = 0, 01
c) lg (20 − x) = lg3x
Trang 5d) logx 3xlog5x+ 4 = 2 log5x
e) lg (x2− x − 6) + x = lg (x + 2) + 4
f) log55x1 + 125= log56 +
1 + 1 2x
g) log3(4.3x− 1) = 2x + log34x 2 +1
h) log
2
√
2+√3(x2− 2x − 2) = log2+√
3(x2 − 2x − 3) i) log2
cos2xy + 1
cos2xy
y2− 2y + 2, cos xy 6= 0
j) log3|πx| + log|πx|3 = 2
sin2(x + y) − 2 sin (x + y) + 2 k) 2log5 (x+3) = x
Bài tập 5: Giải các bất phương trình sau
a) (B_2002) logx(log3(9x− 72)) ≤ 1
b) (B_2006) log5(4x+ 144) − 4 log52 < 1 + log5(2x−2+ 1) c) (A_2007) 2 log3(4x − 3) + log1
3 (2x + 3) ≤ 2
d) (D_2008) log1
2
x2− 3x + 2
e) (B_2008) log0,7
log6 x
2+ x
x + 4
< 0 f) (CĐ 2011) 4x− 3.2x+√x 2 −2x−3− 41+√x 2 −2x−3 > 0
g) (CĐ 2012) log2(2x) log3(3x) > 1
Bài tập 6: Giải các bất phương trình sau
a) (DB1 2002) log1
2 (4x+ 4) ≥ log1
2 (22x+1− 3.2x) b) (DB2 A_2003) √
15.2x+1+ 1 ≥ |2x− 1| + 2x+1
c) (DB2 B_2003) log1 x + 2 log1 (x − 1) + log26 ≤ 0
d) (DB1 A_2004) logπ
4 log2 x +√
2x2 − x < 0
e) (DB2 D_2005) 9x2−2x− 2 1
3
2x−x2
≤ 3 f) (DB1 A_2006) logx+1(−2x) > 2
g) (DB1 D_2007) log1
2
√ 2x2− 3x + 1 + 1
2log2(x − 1)
2 ≥ 1 2 h) (DB1 A_2007) (logx8 + log4x2) log2√
2x ≥ 0
Trang 6i) (DB1 D_2008) 22x −4x−2− 16.22x−x −1− 2 ≤ 0
j) (DB2 B_2008) 32x+1− 22x+1− 5.6x ≤ 0
k) (DB1 A_2008) log1
3
log2 2x + 3
x + 1
≥ 0 l) (DB3 2010) log2(2x+ 1) + log3(4x+ 2) ≤ 2
m) (DB4 2010) √
x2− 4x + 3 log5 x
5 +
1 x
√
−2x2+ 8x − 6 + 1
≤ 0 n) (BD5 2010) log4(2x2+ 3x + 1) > log2(2x + 1)
Bài tập 7: Giải các hệ phương trình sau
a) (D_2002)
23x= 5y2− 4y
4x+ 2x+1
2x+ 2 = y
b) (A_2004)
log1 (y − x) − log4 1
y = 1
x2+ y2 = 25
c) (B_2005)
√
x − 1 +√
2 − y = 1
3 log9(9x2) − log3y3 = 3
d) (A_2009)
log2(x2+ y2) = 1 + log2(xy)
3x 2 −xy+y 2
= 81
e) (D_2010)
x2− 4x + y + 2 = 0
2 log2(x − 2) − log√
2y = 0
f) (B_2010)
log2(3y − 1) = x
4x+ 2x = 3y2
g) (B_2013)
x2+ 2y = 4x − 1
2 log3(x − 1) − log√
3(y + 1) = 0
h) (DB3 2002)
x − 4 |y| + 3 = 0 plog4x −plog2y = 0
i) (DB6 2002)
logx(x3+ 2x2− 3x − 5y) = 3 logy(y3+ 2y2− 3y − 5x) = 3
j) (DB1 A_2003)
logy√
xy = logxy
2x+ 2y = 3
Trang 7k) (DB1 D_2004)
x2+ y = y2+ x
2x+y− 2x−1 = x − y
l) (DB2 D_2006)
ln (1 + x) − ln (1 + y) = x − y
x2− 12xy + 20y2 = 0
m) (DB2 B_2007)
x + √3 2xy
x2− 2x + 9 = x
2+ y
3
py2− 2y + 9 = y
2+ x
n) (DB1 A_2007)
x +√
x2− 2x + 2 = 3y−1+ 1
y +py2− 2y + 2 = 3x−1+ 1
o) (DB1 2009)
4x−2y− 7.2x−2y = 8 log2(log3x) − log2(log3y) = 1
p) (DB6 2010)
x + log3y = 3 (2y2− y + 12) 3x = 81y
Bài tập 8: Cho hệ phương trình
2|x|+ |x| = y + x2+ a
x2+ y2 = 1 a) Giải hệ phương trình trên khi a = 0
b) Tìm a để hệ phương trình trên có nghiệm duy nhất
Bài tập 9: Tìm a để hệ phương trình
(x2+ 1)a+ (b2+ 1)y = 2
a + bxy + x2y = 1
có nghiệm với mọi b
Bài tập 10: Giải hệ phương trình
log2(x + y) + 2 log3(x − y) = 5
2x− 5.2x+y−12 + 2y+1 = 0
Bài tập 11: Giải hệ bất phương trình
log22x − log2x < 0
x3
3 − 3x2+ 5x + 9 > 0