phân tích hệ phi tuyến bậc 2

Phân tích trong mặt phẳng phaThông tin thu được từ quỹ đạo pha • Điểm cân bằng là điểm mà tại đó đồ thị xt không có chiều mũi tên chỉ chiều tăng của t • Điểm cân bằng là ổn định tiệm cận

Trang 1

Phân tích hệ thống phi tuyến bậc hai

Trang 3

Phân tích trong mặt phẳng pha

Mô tả hệ phi tuyến dừng bậc 2

Gọi x(t) = (x1(t), x2(t)) là nghiệm của hệ với điều kiện đầu x0 = (x10,x20)

• Đường biểu diễn sự biến thiên của x(t) xuất phát từ x0 với mọi t ≥ 0

trong mặt phẳng x1-x2 được gọi là quỹ đạo (trajectory, orbit)

• Mặt phẳng x1-x2 được gọi là mặt phẳng pha (phase plane) hay mặt

phẳng trạng thái (state plane)

• Tập hợp tất cả các quỹ đạo (từ các điều kiện đầu khác nhau) được gọi

là quỹ đạo pha (phase portrait)

Trang 4

Trường vector (vector field) f(x) = (f1(x), f2(x)) là tiếp tuyến với quỹ đạo tại x

vì dễ thấy

Trang 5

Phương pháp xây dựng quỹ đạo pha

Trang 6

Thông tin thu được từ quỹ đạo pha

• Điểm cân bằng là điểm mà tại đó đồ thị x(t) không có chiều mũi tên chỉ

chiều tăng của t

• Điểm cân bằng là ổn định tiệm cận khi mọi quỹ đạo thuộc lân cận đều

có hướng tiến về nó

• Hệ có dao động nếu có ít nhất 1 quỹ đạo tạo thành vòng khép kín và

dao động đó là ỗn định nếu các quỹ đạo lân cận đều hướng về vòng

tròn khép kín đó

• Hệ xuất hiện hiện tượng hỗn loạn nếu có một quỹ đạo bị chặn nhưng

không kết thúc tại bất cứ điểm cân bằng hay vòng tròn khép kín nào

Trang 7

Một số ví dụ về quỹ đạo pha (sử dụng pplane)

Trang 8

Phân tích định tính hệ thống tuyến tuyến

Xét hệ thống tuyến tính bậc 2: x =  Ax

Nghiệm của x(t) có dạng:

Trong đó: Jr là ma trận Jordan của A, M là ma trận không suy biến thỏa mãn

M-1AM=Jr Tùy thuộc vào trị riêng (λ1, λ2) của A, Jr có những dạng sau

(

)()

()

exp(

)

t z J t

z

t Mz t

x x

M t J t

Trang 9

Trường hợp 1: các trị riêng là thực, phân biệt, khác không: λ1 ≠ λ2 ≠ 0

• Điểm cân bằng x = 0 gọi là nút không ổn định (unstable node)

λ 2 < 0 < λ 1

• Vector riêng v2 ổn định, v1 không ổn định

• Điểm cân bằng x = 0 gọi là điểm yên ngựa

(saddle)

Trang 10

(unstable focus)

• Điểm cân bằng x = 0 gọi là điểm trọng tâm

(centre)

Trang 11

Trường hợp 3: các trị riêng là thực và bằng nhau : λ1 = λ2 = λ ≠ 0

Trang 12

Phân tích định tính hệ thống phi tuyến xung quanh điểm cân bằng

• Hành vi (behavior) định tính của hệ thống phi tuyến xung quanh điểm

cân bằng có thể được suy ra hành vi định tính của hệ thống tuyến tính tại điểm cân bằng => điểm cân bằng có thể thuộc: nút ổn định, nút không

ổn định, điểm yên ngựa, điểm xoắn ốc ổn định, điểm xoắn ốc không ổn định, điểm trọng tâm

• Việc xác định loại điểm cân bằng có thể thực hiện thông qua việc tuyến tính hóa?

• Hệ thống phi tuyến có thể tồn tại nhiều điểm cân bằng -> có thể tồn tại nhiều loại điểm cân bằng

Trang 13

• Gọi (p1, p2) là điểm cân bằng của hệ thống phi tuyến bậc 2

• Khai triển Taylor f1 và f2 xung quanh điểm cân bằng (p1, p2) , ta có

Trang 14

Nếu chỉ quan tâm hành vi của hệ thống trong một lân cận nhỏ xung quanh điểm cân bằng, ta có thể bỏ qua các thành phần bậc cao, khi đó, ta có

= >

Trang 15

• Khảo sát tính chất điểm cân bằng của hệ thống phi tuyến bằng phương pháp tuyến tính hóa xung quan điểm cân bằng

Trang 16

Trang 17

Ví dụ 2.1 Xét mạch tunnel-diode (ví dụ 1.5)

Điểm cân bằng

=> Hệ thống có 3 điểm cân bằng: Q1(0,063; 0,758); Q2(0,285; 0,61);

Q3(0,884; 0,21)

Trang 18

Ví dụ 2.1 Xét mạch tunnel-diode (ví dụ 1.5)

Quỹ đạo pha của hệ

• Các quỹ đạo hoặc

Trang 19

Trang 20

Ví dụ 2.2 Đánh giá điểm cân bằng của hệ con lắc cho bởi

2 1

2

2 1

sin

10 x x x

x x

Trang 21

Bài tập

1 Tìm điểm cân bằng và xác định loại điểm cân bằng của các hệ thống sau

Sử dụng pplane8 vẽ quỹ đạo pha và kiểm chứng kết quả

Định dạng
Số trang	21
Dung lượng	0,96 MB