phân tích hệ thống gián đoạn

Phép biến đổi Z Mô tả toán học HT gián đoạn Tính ổn định của HT gián đoạn Phân tích đáp ứng thời gian Phân tích sơ đồ khối của HT lấy mẫu tín hiệu... Vì mô hình có liên quan đến đối tượ

PHÂN TÍCH HỆ THỐNG GIÁN ĐOẠN

CHƯƠNG 2

Phép biến đổi Z

Mô tả toán học HT gián đoạn

Tính ổn định của HT gián đoạn

Phân tích đáp ứng thời gian

Phân tích sơ đồ khối của HT lấy mẫu

tín hiệu

Mô hình toán học

Giả thiết 𝑞𝑖 không đổi suốt chu kì trích mẫu T, ta có 𝑞𝑖 𝑡 = 𝑞𝑖 𝑘 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 với

𝑘𝑇 < 𝑡 < 𝑘 + 1 𝑇 Vậy ta có thể giải PT tương tự trên bất kì chu kỳ lấy mẫu để có

được:

Trong đó các biến tại thời điểm kT được kí hiệu thành biến k

Vì mô hình có liên quan đến đối tượng tương tự bất biến tuyến tính theo thời gian,

phương trình là bất biến tuyến tính

Những PT sai lệch (difference equations) thường xuất hiện trong các vấn đề mà biến độc lậpThường là thời gian, được giả thiết có dãy gián đoạn của những giá trị dương Phương trìnhSai lệch phi tuyến:

PT dành riêng cho tuyến tính và được viết dưới dạng:

Hệ phi tuyến bất biến theo thời gian (nonlinear time invariant)

Tín hiệu đã được lấy mẫu

Tín hiệu hiện tại của x*(t)

Ta xét x*(t) như một chuỗi xung

𝛿(𝑡) bắt đầu tại t=0, với chu kì T, có

biên độ r(kT) Quy định: k chỉ thời điểm rời rạc

PHỔ VÀ ẢNH CỦA TÍN HIỆU GIÁN ĐOẠN

Biến đổi Fourier 𝐹 𝑓 𝑡 = න

0

∞

𝑓 𝑡 𝑒−𝑗𝜔𝑡𝑑𝑡

Đặc điểm quan trọng của phổ tín hiệu gián đoạn là tính tuần hoàn với tần

số lặp lại 𝜔 = 2𝜋

𝑇 (tần số lượng tử hóa) Vì vậy chỉ cần khảo sát phổ tín hiệu gián đoạn trong giải tần số − 𝜔0

2 ≤ 𝜔0

2 , ngoài dải ấy các đặc tính tần

số sẽ lặp lại một cách có tính chu kỳ Ảnh của X*(s) cũng mang tính

chất tuần hoàn trong mặt phẳng s.

Z-TRANSFORM

Z- Transform

2 Xung đơn vị (unit impulse)

𝑍 𝑢(𝑘) = 𝑈 𝑧 = ෍

𝑘=0

∞

𝛿 𝑘𝑇 𝑧−𝑘 = 1

3 Hàm mũ (unit exponential)

𝑧(𝑒𝑗𝜔𝑇 − 𝑒−𝑗𝜔𝑇)

𝑧2 − 2 𝑒𝑗𝜔𝑇 + 𝑒−𝑗𝜔𝑇 + 1 = 𝑧𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑇)

𝑧2 − 2𝑧𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑇 + 1

Tính chất của phép

biến đổi z

Con

1 𝑓 𝑡 = 𝑒−𝑎𝑡, 𝑡 ≥ 0

2 𝑓 𝑘 = 2−𝑘, 𝑘 > 0

3 𝑓 𝑘 = 𝑒−𝑎𝑇𝑘 cos 𝜔𝑇𝑘 , 𝑘 > 0

Biến đổi ngược z

Phương pháp 1: Long division

Ví dụ

Kết quả

Type equation here.

𝑧−1 𝑧2 − 3𝑧 + 2 =

3𝑧−2 𝑧2 − 3𝑧 + 2 =

Phương pháp 2: Khai triển thành phần

Có 3 dạng hàm F(z) ở miền z:

Dùng Z-transform để giải bài toán vi phân

Mô tả toán học của hệ

thống gián đoạn Discrete-time system modelization

Phương pháp sai phân

Các hệ số hằng 𝑎𝑖, 𝑏𝑖 được xác định bởi các thông số của HT và HT có nghĩa khi 𝑚 ≤ 𝑛

Biến đổi Z của Hàm truyền

Mô tả hàm truyền gián đoạn

HT có 4 phần chính

Hàm truyền của khâu lưu giữ ZOH

Đáp ứng xung và tính chập (convolution)

𝑌 𝑠 = 𝐻2 𝑠 𝑋 𝑠 = 𝐻2 𝑠 𝐻1 𝑠 U(s)

Hàm truyền đạt của một hệ thống số cơ bản

Như vậy, ta có 2 trường hợp:

• Nếu các khối trong một hệ thống không bị chia ra bởi bộ trích mẫu

Y(z)=H(z)U(z)=(H1H2…)zU(z)

• Nếu các khối trong hệ thống bị chia bởi bộ trích mẫu

Y(z)=H(z)U(z)=H1(z)H2(z)…U(z)

Hệ thống với truyền động có trễ

Hàm truyền đạt của hệ thống có khâu trễ

Hàm truyền đạt của Hệ kín

Ví dụ: Biến đổi Z của hệ thống sau

Nhiễu tương tự trong hệ thống số

Ví dụ

Mô tả bằng phương

trình trạng thái

Nghiệm của PTTT

PTTT gián đoạn

Thành lập PTTT gián đoạn từ PT sai phân

Phương trình sai phân:

00

⋮0

Vế phải của PT sai phân có chứa sai phân của tín hiệu vào

00

⋮01

𝑩𝑑𝑟(𝑘)

Thành lập PTTT từ PTTT liên tục

1 Thành lập PTTT liên tục

2 Tính ma trận quá độ của hệ liên tục: 𝜑 𝑠 = (𝑠𝐼 − 𝐴)−1

3 Rời rạc hóa PTTT ở bước 1

4 Hệ PTTT của hệ rời rạc cần tìm với tín hiệu vào r(kT)

𝑇 = 1

Thành lập hệ PTTT từ hệ liên tục

Rời rạc hóa các PTTT của hệ liên tục

𝒔 + 𝒂 𝟏

𝟎 𝒔 =

𝟏 𝒔

𝟏 𝒔(𝒔 + 𝒂)

𝟎 𝟏

𝒔 + 𝒂

𝜑 𝑡 = 𝑳−1 𝜑 𝑨 = 𝑳−1

𝟏 𝒔

𝟏 𝒔(𝒔 + 𝒂)

Hệ PTTT với đầu vào r(kT)

ቊ𝒙 𝑘 + 1 𝑇 = [𝑨𝑑−𝑩𝑑𝑪𝑑]𝒙 𝑘𝑇 + 𝑩𝑑𝑟 (𝑘𝑇)

𝑦 𝑘𝑇 = 𝑪𝑑𝒙 𝑘𝑇

𝝋 𝑻 =

= න

𝟎

𝑻

𝝋 𝑻 𝑩𝒅𝝉

Nghiệm của PTTT gián đoạn

Biến đổi z của hàm truyền từ PTTT

Ổn định hệ thống

gián đoạn

Khái niệm về ổn định BIBO

Tiêu chuẩn

Routh-Hurwitz

Tiêu chuẩn ổn định Jury

Bài tập:

Phân tích tính đáp

ứng thời gian

Có thể xác định tính đáp ứng của hệ thống rời rạc bằng một trong 2 cách sau đây

Vị trí các cực ảnh hưởng đến đáp ứng thời

gian theo PTTT

ቊ ሶ𝒙(𝑡) = 𝑨𝒙 𝑡 + 𝑩𝑢(𝑡)

𝑦 𝑡 = 𝑪𝒙 𝑡Giả sử tất cả các biến trạng thái đều đo được, ta dung luật điều khiển tuyến tính dạng:

Đa thức đặc trưng hệ kín det(sI-A+Bk)

Ví dụ:

ẢNH HƯỞNG CỦA VỊ TRÍ CÁC CỰC HỆ KÍN

Nhìn chung thêm một cực âm vào phương trình đặc trưng hệ kín làm giảm vọt lố

và thời gian xác lập khi cực đó càng gần trục ảo

Nhìn chung thêm một cực âm vào hàm truyền hệ hở làm tăng vọt lố và thời gianxác lập khi cực đó càng gần trục ảo

Nhìn chung thêm một zero âm vào phương trình đặc trưng hệ kín làm tăng vọt lố

và giảm thời gian xác lập khi zero đó càng gần trục ảo

Nhìn chung thêm một zero âm vào hàm truyền hệ hở làm giảm vọt lố và giảmthời gian xác lập khi zero đó càng gần trục ảo

Bài tập:

Bài tập 2:

Bài tập 3

MATLAB

Chuyển đổi hàm truyền analog sang hàm truyền số

Khâu giữ bậc 0

HT có trễ