Các bài tập quy nạp liên quan đến đại số tuyến tính, không gian, ma trận, hạng, định thức

ma trận và định thức của ma trận là phần kiến thức cơ bản nhất, gây được nhiều hứng thú nhất trong nội dung môn học này.. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu về các bài tập quy nạp liên qua

Đặc biệt em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới Thầy Nguyễn Văn Vạn,

người trực tiếp hướng dẫn em, luôn chỉ bảo, định hướng cho em để em có thể hoàn thành khóa luận này

Em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè và tập thể lớp K33 Cử nhân Toán trường ĐHSP Hà Nội 2 đã luôn bên em, động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập và thực hiện khóa luận này Mặc dù đã có rất nhiều cố gắng, song thời gian và kinh nghiệm bản thân còn nhiều hạn chế nên khóa luận của em không thể tránh khỏi những thiếu xót rất mong được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn sinh viên để khóa luận của em được hoàn thiện

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2011 Sinh viên

Đàm Thị Thảo

SVTH: §µm ThÞ Th¶o K33 CN To¸n 4

LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận tốt nghiệp này là kết quả của bản thân em trong quá trình học tập, nghiên cứu và đọc tài liệu Bên cạnh đó em cũng nhận được sự quan tâm, tạo điều kiện của các thầy cô giáo trong khoa Toán, đặc biệt là sự hướng dẫn

tận tình của thầy Nguyễn Văn Vạn

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2011

Sinh viên thực hiện

Đàm Thị Thảo

SVTH: §µm ThÞ Th¶o K33 CN To¸n 5

MỤC LỤC

Mở đầu………6

Chương 1: Một số kiến thức cơ bản………8

1.Quy nạp toán học ………8

2.Quy nạp……… ……….14

3 Quy nạp không hoàn toàn………15

Chương 2: Phương Pháp Tính Định Thức Bằng Quy Nạp ……….16

§1 Ma Trận ……… … 16

§2 Định thức ……… … 19

Kết luận……… …….39

Tài liệu tham khảo……… …….40

ma trận và định thức của ma trận là phần kiến thức cơ bản nhất, gây được nhiều hứng thú nhất trong nội dung môn học này Có nhiều vấn đề khó liên quan đến ma trận và định thức ma trận là một trong những những vấn đề như thế Với ham muốn tìm tòi và học hỏi nên em đã đi sâu vào tìm hiểu vấn đề

này Được sự hướng dẫn tận tình của thầy giáo, GVC Nguyễn Văn Vạn cùng với lòng yêu thích môn học này em đã nghiên cứu đề tài: “Các bài tập quy

nạp liên quan đến Đại số tuyến tính, không gian, ma trận, hạng, định thức”

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu về các bài tập quy nạp liên quan đến Đại số tuyến tính, không gian, ma trận, hạng, định thức

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Trình bày một số kiến thức cơ bản về quy nạp toán học

Trình bày một số kiến thức cơ bản về ma trận và định thức

Phương pháp tính định thức bằng quy nạp và và các bài tập áp dụng

Ứng dụng của định thức

4 Đối tƣợng nghiên cứu

Trong đề tài này em xây dựng xung quanh các vấn đề về cách tính định thức bằng phương pháp quy nạp

SVTH: §µm ThÞ Th¶o K33 CN To¸n 7

5 Phương pháp nghiên cứu

Tìm và tham khảo tài liệu, phân tích và tổng hợp bài tập minh họa, tham khảo ý kiến của giáo viên hướng dẫn

6 Cấu trúc luận văn

Chương 1: Một số kiến thức cơ bản

Chương 2: Phương pháp tính định thức bằng quy nạp

SVTH: §µm ThÞ Th¶o K33 CN To¸n 8

CHƯƠNG 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN

1) Quy nạp toán học

1.1) Nguyên lý quy nạp toán học

- Ta ký hiệu một khẳng định toán học phụ thuộc vào số n là p n Ở đây

tập S nào đó ) p n ” Trong đó S là tập con của tập các số tự nhiên là tính

sắp thứ tự.Ta thừa nhận tính chất sau như một tiên đề Trong mỗi tập hợp khác rỗng có những số tự nhiên có một phần tử min

- Cho mỗi số tự nhiên n ứng với khẳng định p n

Nguyên lý quy nạp cho ta một phương pháp kiểm tra khẳng định p n

Định lý 1: Cho n là một số nguyên dương và p n là một mệnh đề có o

nghĩa với mọi số tự nhiên n n nếu: 0

SVTH: §µm ThÞ Th¶o K33 CN To¸n 9

Chứng minh: Gỉa sử mệnh đề khẳng định trong định lý trên không đúng

p(m) không đúng (điều này thể hiện được nhờ tính chất thừa nhận như một tiên đề ở trên)

Theo định lý ở trên phương pháp này gồm hai bước:

chất đã biết thì suy ra p k 1 cũng có tính chất ấy

* Kết luận: p n có tính chất đã cho với n n o

* Ưu điểm của phương pháp này là: Chứng minh theo quy nạp toán học tránh cho ta phải kiểm tra vô hạn bước các khẳng định của mệnh đề

1.2) Giai đoạn quy nạp và giả thiết quy nạp

Để minh họa cho giai đoạn quy nạp và gỉa thiết quy nạp ta xét một số ví

3

3 3 13.4

4

4 4 14.5

5

5 5 15.6

6

6 6 16.7

Taphải biến đổi:

+ Giai đoạn quy nạp

Ta tính tổng S từ một vài số tự nhiên đầu tiên n

Vậy đúng 2 với mọi số tự nhiên n

Điều phải chứng minh

1.3) Bước quy nạp xây dựng trên p( k )

Điều phải chứng minh

1.4) Bước quy nạp xây dựng trên p( k + 1 )

Trong bước quy nạp xây dựng ở mục 1.3 của nguyên lý quy nạp toán học cần khẳng định p k 1 từ p k Nhưng nhiều khi việc biểu diễn từ

vậy tỏ ra thuận lợi hơn

Ví dụ: Chứng minh rằng số Z n 32n 1 40n 67chia hết cho 64 với mọi số tự nhiên

Giải:

Giả sử Z chia hết cho 64 Khi đó: n

SVTH: §µm ThÞ Th¶o K33 CN To¸n 14

Z n 1 32n 3 40n 27

9Z n 64 5n 9 chia hết cho 64Bài toán luôn đúng với mọi n

Từ các bước xây dựng nguyên lý quy nạp toán học ở trên ta suy ra được định nghĩa sau:

Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n = 1

Bước 2: Gỉa thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kỳ n = k 1

phương pháp quy nạp toán học hay còn gọi là quy nạp toán học

Kết luận: mọi phần tử của A có tính chất B

là tất cả.Vì tính ước đoán của kết luận được rút ra nên toán học không thừa nhận kết luận của phép suy luận này, cũng vì thế phép suy luận này có tên là phép suy luận không thừa nhận được

j j

mj

a a

a

Được gọi là cột thứ j của ma trận

Ta thường ký hiệu ma trận bởi các chữ A, B,…Ma trận (1) có thể được

ký hiệu đơn giản bởi A =

n

a

Ma trận đối xứng lệnh: cho A là một ma trận vuông ,mà A là một ma

0

Một ma trận vuông bao giờ cũng phân tích thành tổng của một ma trận đối xứng và ma trận đối xứng lệnh

3.5) Ma trận chia khối

phần ) bằng một hệ thống các đường ngang dọc Các phần được tạo ra là các

ma trận con gọi là những khối của ma trận A Ma trận A như vậy được gọi là

ma trận chia khối

3.6) Ma trận đường chéo

Nếu định thức có hai cột giống nhau thì bằng không

Như thế D là một tổng gồm những cặp số hạng đối nhau

Vậy D = 0 điều phải chứng minh

nhất mà dấu của nó bằng 1 nên

detE n 1.1 1

Điều phải chứng minh

3) Khái niệm định thức con và phần bù đại số

thì định thức M của ma trận vuông cấp k gồm các thành phần nằm ở k dòng k cột này được goi là định thức con cấp k của ma trận A

SVTH: §µm ThÞ Th¶o K33 CN To¸n 23

M của ma trận vuông cấp n – k nhận được sau khi xoá đi k

dòng và k cột đó được gọi là một định thức con bù của định thức con M

Trong đó Sn là tập tất cả các hoán vị của tập n số tự nhiên đầu tiên

1,2, , n Tuy nhiên việc tính định thức theo định nghĩa rất khó khăn vì số

hoán vị bằng n! là một số khổng lồ khi n tăng Trên thực tế nó chỉ được áp dụng để tính khi n = 2, hoặc khi ma trận A có dạng rất đặc biệt Sau đây là một vài phương pháp thong dụng:

4.1) Khai triển theo dòng hoặc cột

1

kí hiệu: A i1, , ; , ,i j k 1 j , còn định thức của nó được gọi là định thức con k

hay milnor Ma trận con nằm trên giao các dòng và cột còn được gọi là ma trận con bù của A i1, , ; , ,i j k 1 j và được kí hiệu là k )A i1, , ; , ,i j k 1 j k

Định thức )A i1, , ; , ,i j k 1 j k

+) Định lý ( khai triển Laplace)

cấp k lấy ra từ k dòng ( tương ứng cột ) đó với phần bù đại số của chúng tức là:

Ví dụ: Tính định thức của ma trận tam giác trên ( tương ứng dưới ) ta

chỉ việc thực hiện liên tiếp khai triển Laplace theo cột hoặc (dòng) thứ nhất:

n

nn nn

a gần một nhất, hoặc chọn i đầu tiên ( thoả mãn tính chất ):

- Lần lượt trừ từ dòng thứ j 2 đi tích của dòng thứ nhất ( của ma trận mới ) với a / i1 a 11

– k + 1 ở góc phải bên dưới cùng

+ Tối đa sau n – 1 bước ta sẽ được một ma trận tam giác trên Định thức của nó bằng tích các phần tử trên đường chéo

biến đổi xong dòng thứ hai, ta được:

SVTH: §µm ThÞ Th¶o K33 CN To¸n 27

nhất f1, , f độc lập tuyến tính với nhau sao cho mỗi n f là ước của A , thì ta i

có kết luận A và tích f1 f sai khác nhau một nhân tử hằng số n

ta thấy chỉ có một tích có bậc đúng bằng n: nó tương ứng với tích của các

D n pD n 1 qD n 2

+ Nếu q = 0 thì D n p n 1D 1

SVTH: §µm ThÞ Th¶o K33 CN To¸n 29

- n định thức có đúng một dòng j là (a1,….,an) còn các dòng khác có dạng ( 0 , …, x ,… , 0) ( xở vị trí thứ i )

SVTH: §µm ThÞ Th¶o K33 CN To¸n 31

Lấy cột thứ n – 1 nhân với ( -xn ) rồi cộng vào cột n Sau đó lấy cột thứ n – 2 nhân với ( -xn ) rồi cộng vào cột thứ ( n – 1) , , cuối cùng lấy cột thứ nhất nhân với ( -xn )rồi cộng vào cột thứ hai ta được:

Ta đi chứng minh bằng phương pháp quy nạp:

+ Với n = 3 ta có tam giác nên:

tô các miền trên

Giải:

Ta chứng minh bài toán bằng phương pháp quy nạp:

+ Với n = 1 bài toán hiển nhiên đúng

+ Gỉa sử bài toán đúng với n = k Nghĩa là chỉ với hai màu ta có thể tô màu tất cả các miền của mặt phẳng bị k đường tròn phan chia theo nguyên tắc: 2 miền chung biên giới (các cung tròn) được tô bởi 2 màu khác

+ Ta chứng minh bài toán đúng với n = k+1

SVTH: §µm ThÞ Th¶o K33 CN To¸n 34

Thật vậy xét đường tròn thứ k+1 Đường tròn này sẽ chia các phần của

k đường tròn trước thành hai miền (trong đường tròn và ngoài đường tròn thứ k+1 này) lúc này ta giữ nguyên màu ở ngoài đường tròn k+1 và đảo lại tất cả những màu ở trong đường tròn thứ k+1 này với cách làm như vậy ta sẽ chứng minh các màu tô thoả mãn nguyên tắc đầu bài

Thật vậy nếu 2 miền kề nhau có chung biên giới nằm ngoài đường tròn k+1 thì thoả mãn đầu bài hai miền thuộc miền của đường tròn k+1 cũng thoả mãn nếu hai miền có chung biên giới mới là cung của đường tròn thứ k+1

Bài tập 6:

Trong mặt phẳng cho n đường thẳng đôi một cắt nhau và không có 3 đường thẳng nào đồng quy Hãy tìm số miền của mặt phẳng bị n đường thẳng trên phân chia

Giải: Ta đi dự đoán công thức

SVTH: §µm ThÞ Th¶o K33 CN To¸n 35

Cách 2:

1 đường thẳng thứ n nữa thì số miền tăng thêm bằng số giao điểm của đường thẳng mới này với n-1 đường thẳng kia có n-1 giao điểm vì đôi 1 cắt nhau cộng thêm 1

22

12

để biểu diễn nghiệm của một hệ phương trình tuyến tính qua định lý Cramer

Chúng được dùng để tìm các véc tơ riêng của ma trận A qua các đa

Trong đó I – là ma trận đơn vị có cùng kích thước với I

- Người ta còn xem định thức như hàm xác định trên lên các bộ n véc tơ trong không gian R , toạ độ của n véc tơ này tạo thành n cột ( n dòng ) của n

một ma trận vuông Khi đó dấu của định thức của một cơ sở có thể đươc dùng

để định nghĩa khái niệm hướng của các cơ sở trong không gian Euclide

SVTH: §µm ThÞ Th¶o K33 CN To¸n 38

- Nếu định thức của một cơ sở là dương thì ta nói các véc tơ này tạo thành một cơ sở thuận chiều và nếu định thức của chúng là âm thì ta nói nó tạo thành cơ sở ngược chiều

- Các định thức còn được dùng để tính thể tích trong giải tích véc tơ giá trị tuyệt đối của các định thức của các véc tơ trên trường số thực thì bằng với thể tích của hình hộp tạo ra bởi các véc tơ đó Như là một hệ quả nếu một ánh

xạ tuyến tính: f R: n R n

Được đặc trưng bởi ma trận A và S là tập con đo được bất kỳ của

n

Một cách tổng quát hơn, nếu ánh xạ tuyến tính : f R: n R đặc trưng n

bởi một ma trận A m n. và S là tập con bất kỳ đo được nào đó của R thì thể n

SVTH: §µm ThÞ Th¶o K33 CN To¸n 39

KẾT LUẬN

Trên đây là toàn bộ nội dung khóa luận của em Trong khóa luận này em

đã trình bày những hiểu biết của mình về những kiến thức cơ bản liên quan đến ma trận và định thức của ma trận và cac bài tập liên quan đến tính định thức bằng phương pháp quy nạp

Qua việc thực hiện nghiên cứu đề tài này, em đã được mở rộng tầm hiểu biết về các phương pháp tính định thức bằng phương pháp quy nạp và làm quen với việc nghiên cứu khoa học

Mặc dù đã có nhiều cố gắng song do thời gian có hạn và đây cũng là vấn

đề mới đối với bản thân em nên trong quá trình viết cũng như trong quá trình

in ấn, khóa luận này không thể tránh khỏi những thiếu xót

Em kính mong các thầy cô giáo và các bạn sinh viên đóng góp ý kiến giúp em hoàn thành khóa luận này của mình

Em xin trân trọng cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Toán, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đặc biệt thầy Nguyễn Văn Vạn đã giúp đỡ và tạo điều kiện để em hoàn thành khóa luận này

SVTH: §µm ThÞ Th¶o K33 CN To¸n 40

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Lê Tuấn Hoa, Viện Toán học, Viện KH & CN Việt Nam

[2] Ngô Việt Trung, Giáo trình Đại số tuyến tính NXB ĐHQG Hà Nội, 2001

[3] Bùi Xuân Hải ( chủ biên ), Trịnh Thanh Đèo, Thái Minh Đường, Trần

Ngọc Hội, Đại số tuyến tính, Nhà xuất bản ĐHQG TP Hồ Chí Minh

[4] Nguyễn Hữu Việt Hưng, Đại số tuyến tính, NXB Đại học Quốc gia Hà

[7] Phan Hồng Trường, Giáo trình Đại số tuyến tính

[8] Serge Lang, Đại số phần 3, Nhà xuất bản ĐH và Trung học chuyên nghiệp

1978