Đề thi giải tích a1

Câu 3: Cho ? là một hàm số thực khả vi trên một khoảng mở ?; ?.. Câu 3: Phủ định mệnh đề sau: Với mọi số thực dương ?, có một số nguyên dương ? sao cho Câu 6: Cho ? là một tập con khác t

Câu 1: Cho 𝐴 và 𝐵 là các tập con khác trống của (−∞; 0) Giả sử với mọi 𝑥 trong 𝐴 có một 𝑦 trong 𝐵 sao cho 𝑥 ≤ 𝑦 Hỏi sup 𝐴 ≤ sup 𝐵 đúng hay sai?

Câu 2: Cho {𝑥𝑛} và {𝑦𝑛} là hai dãy cùng hội tụ về 𝑎 trong ℝ Đặt 𝑐2𝑘 = 𝑥2𝑘 và 𝑐2𝑘+1 = 𝑦2𝑘+1với mọi số nguyên dương 𝑘 Hỏi {𝑐𝑛} có là một dãy hội tụ trong ℝ hay không?

Câu 3: Đặt 𝐴 = {𝑥 ∈ ℝ ∶ 𝑥2 < 5} Hỏi 𝐴 có bị chặn trên trong ℝ hay không, và nếu đặt 𝑏 =sup 𝐴, thì 𝑏 có bằng √5 hay không?

Câu 4: Cho 𝑎 là một số thực và {𝑥𝑛} là một dãy trong ℝ Giả sử lim⁡inf

𝑛→∞ 𝑦𝑛 là một số thực 𝑏 Đặt 𝑐𝑛 = 𝑎 + 𝑥𝑛 Tính lim⁡inf

𝑛→∞ 𝑐𝑛

Câu 5: Cho 𝑓 là một hàm số thực khả vi trên ℝ sao cho 𝑓′(0) > 0 Hỏi có một số thực dương

𝑎 sao cho 𝑓|[−𝑎;𝑎] là một hàm số đơn điệu tăng hay không?

Câu 6: Cho 𝑓 và 𝑔 là hai hàm số thực liên tục trên ℝ Giả sử 𝑓(0) = 𝑔(0) và

∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡

𝑥 0

= ∫ 𝑔(𝑡)𝑑(𝑡)

𝑥 0

, ∀𝑥 ∈ (1; ∞) Hỏi 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) với mọi 𝑥 trong (1; ∞) đúng hay sai?

Câu 1: Cho 𝐴; 𝐵; 𝐶 và 𝐷 là các tập con của một tập 𝑋 Giả sử 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐶 ∩ 𝐷 = ∅ Hỏi

Câu 4: Cho 𝐴 và 𝐵 là hai tập hợp khác trống Giả sử 𝐴 có 𝑚 và 𝐵 có 𝑛 phần tử và 𝑚 < 𝑛 Hỏi

có một toàn ánh 𝑓 từ 𝐴 vào 𝐵 hay không?

Câu 5: Cho 𝐴 và 𝐵 là hai tập con bị chặn trong ℝ sao cho 𝐴 ∩ 𝐵 khác trống Hỏi inf 𝐴 ≤

sup 𝐵 đúng hay sai?

Câu 6: Phủ định mệnh đề: Với mọi số thực 𝑀 có một số nguyên 𝑁 sao cho 𝑥𝑛 ≥ 𝑀 với mọi

Câu 9: Cho 𝐴1;⁡𝐴2;⁡⋯ ;⁡𝐴𝑛 là 𝑛 tập hợp bị chặn trong ℝ Hỏi tập đẳng thức sau đúng hay sai

inf 𝐴1∪ 𝐴2∪ ⋯ ∪ 𝐴𝑛 = inf{inf 𝐴1;⁡inf 𝐴2;⁡⋯ ;⁡inf 𝐴𝑛}

Câu 10: Cho 𝐴 là một tập hợp con bị chặn trong ℝ Giả sử 𝐴 chứa khoảng mở (inf 𝐴 ; sup 𝐴) Hỏi 𝐴 có là một khoảng hay không?

Câu 1: Cho dãy số thực {𝑥𝑛} sao cho lim⁡inf

𝑛→∞ 𝑥𝑛 là một số thực 𝑎 Đặt 𝐴 = {𝑥𝑛 ∶ 𝑛 ∈ ℕ} Hỏi

𝑎 = inf 𝐴 đúng hay sai?

Câu 2: Cho 𝑓 là một hàm số thực liên tục trên một khoảng mở (𝑎; 𝑏) Hỏi tập 𝑓((𝑎; 𝑏)) là một khoảng mở đúng hay sai?

Câu 3: Cho 𝑓 là một hàm số thực khả vi trên một khoảng mở (𝑎; 𝑏) Giả sử có 𝑥; 𝑦 và 𝑧 trong (𝑎; 𝑏) sao cho 𝑥 < 𝑦 < 𝑧 và 𝑓(𝑦) < min{𝑓(𝑥); 𝑓(𝑧)} Hỏi có 𝑐 trong (𝑎; 𝑏) sao cho 𝑓′(𝑐) = 0 đúng hay sai?

Câu 4: Cho 𝑓 là một hàm số thực liên tục trên một khoảng mở (𝑎; 𝑏) Giả sử

∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡

𝑑 𝑐

≤ 0, ∀𝑐; 𝑑 ∈ (𝑎; 𝑏), 𝑐 < 𝑑 Hỏi 𝑓(𝑥) ≤ 0 với mọi 𝑥 trong (𝑎; 𝑏) đúng hay sai?

Câu 5: Cho 𝑓 là một hàm số thực khả vi trên một khoảng mở (𝑎; 𝑏) Đặt

𝑔(𝑥) = max{0; ⁡𝑓(𝑥)} , ∀𝑥 ∈ (𝑎; 𝑏) Hỏi 𝑔 khả vi trên (𝑎; ⁡𝑏) đúng hay sai?

Câu 6: Phủ định mệnh đề sau: Có một số thực dương 𝑀 sao cho với mọi số thực dương 𝛼 có 𝑥

và 𝑦 trong [0; ⁡1] để cho |𝑥 − 𝑦| ≤ 𝛼 và |𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑦)| ≥ 𝑀

Câu 7: Cho {𝑎𝑛} là một dãy số thực dương sao cho ∑∞𝑛=1𝑎𝑛 hội tụ trong ℝ Hỏi

∑∞𝑛=1(−1)3𝑛𝑎𝑛 có hội tụ trong ℝ hay không?

Câu 8: Hỏi dãy {(1 + 1

𝑛2)

1 𝑛2

} có hội tụ hay không

Câu 9: Cho 𝑓 là một hàm số thực khả vi trên một khoảng mở (𝑎; 𝑏) Giả sử tập {𝑓′(𝑥) ∶ 𝑥 ∈(𝑎; 𝑏} bị chặn trong ℝ Hỏi lim

𝑥→𝑎𝑓(𝑥) có và bằng một số thực hay không?

Câu 1: Cho 𝐴 là tập hợp khác trống và 𝑓 là một ánh xạ từ 𝐴 vào 𝐴 Đặt 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑓(𝑥)) với mọi 𝑥 trong 𝐴 Hỏi 𝑔 có là một ánh xạ hay không? Hỏi 𝑔(𝐴) ⊂ 𝑓(𝐴) đúng hay sai?

Câu 2: Cho 𝐴 và 𝐵 là hai tập hợp khác trống Giả sử 𝐴 và 𝐵 cùng có 𝑛 phần tử Hỏi có một song ánh từ 𝐴 và 𝐵 hay không?

Câu 3: Phủ định mệnh đề sau: Với mọi số thực dương 𝜀, có một số nguyên dương 𝑁 sao cho

Câu 6: Cho 𝐵 là một tập con khác trống và bị chặn dưới trong ℝ Hỏi có một dãy {𝑦𝑚} trong

𝐵 sao cho lim

𝑚→∞𝑦𝑚 = inf 𝐵 hay không?

Câu 7: Cho 𝑓(𝑥) = 𝑥 + cos 𝑥 + sin 6𝑥2 với mọi số thực 𝑥 Hỏi phương trình 𝑓(𝑥) = 2009

có nghiệm hay không

Câu 1: Cho {𝑥𝑛} là một dãy số thực sao cho dãy {𝑥𝑛2009} hội tụ Hỏi dãy {𝑥𝑛} có hội tụ hay không?

Câu 2: Hỏi bất đẳng thức sau đúng hay sai?

1

2 < ∫ cos(𝑥

9) 𝑑𝑥

1 0

Câu 3: Phủ định mệnh đề sau: Với mọi số thực dương 𝜀, có một số nguyên dương 𝑁 sao cho

Câu 1: Cho 𝑎1; ⋯ ; 𝑎𝑛 là 𝑛 số thực Hỏi có hay không một số nguyên 𝑖 trong {1; ⋯ ; 𝑛} sao cho:

Câu 4: Cho một số thực 𝑎, và cho {𝑥𝑛} là một dãy số thực hội tụ Đặt 𝑦𝑛 = 𝑎 + 𝑥𝑛 Hỏi {𝑦𝑛}

có hội tụ hay không?

Câu 5: Cho 𝐴 là một tập con khác rỗng trong ℝ Giả sử 𝐵 bị chặn trên nếu 𝐵 là một tập con khác rỗng và hữu hạn chứa trong 𝐴 Hỏi 𝐴 có bị chặn trên hay không?

Câu 6: Cho 𝐵 là một tập con khác rỗng và bị chặn trên trong ℝ Đặt 𝐴 ≔ {𝑥𝑦⁡|⁡𝑥; 𝑦 ∈ 𝐵} Hỏi

𝐴 có bị chặn trên hay không?

Câu 7: Cho {𝑥𝑛} là một dãy số thực Đặt 𝑦𝑛 = 𝑥𝑛2 với mọi số nguyên dương 𝑛 Hỏi hai mệnh

đề sau đây có tương đương hay không?

(i) {𝑥𝑛} hội tụ

(ii) {𝑦𝑛} hội tụ

Câu 1: Cho 𝑛 là một số nguyên ≥ 5 và 𝑓(𝑥) = √𝑥 với mọi 𝑥 trong (0; ⁡∞) Hỏi công thức sau đây đúng hay sai:

Câu 6: Cho 𝑓 là một hàm số thực khả vi trên một khoảng mở (𝑐; ⁡𝑑) Cho [𝑎; ⁡𝑏] là một

khoảng đóng chứa trong (𝑐; ⁡𝑑), và 𝑡 trong [𝑎; ⁡𝑏] sao cho 𝑓(𝑡) = max 𝑓([𝑎; ⁡𝑏]) Hỏi 𝑓′(𝑡) có bằng 0 hay không?

Câu 7: Cho {𝑥𝑛} là một dãy số thực dương Giả sử chuỗi số ∑∞𝑛=1𝑥𝑛2010 hội tụ Hỏi chuỗi

∑∞𝑛=1𝑥𝑛2011 có hội tụ hay không?

Câu 8: Cho 𝑓 là một hàm số thực liên tục trên một khoảng đóng [𝑎; ⁡𝑏] Đặt

𝑔(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡

𝑥 𝑎

, ∀𝑥 ∈ (𝑎; 𝑏) Giả sử 𝐺 nghịch biến trên khoảng (𝑎; ⁡𝑏) Hỏi "𝑓(𝑠) ≤ 0 với mọi 𝑠 trong (𝑎; ⁡𝑏)” đúng hay sai?

Câu 1: Cho 𝐴1;⁡⋯ ;⁡𝐴𝑛;⁡𝐵1;⁡⋯ ;⁡𝐵𝑛 là 2𝑛 tập con của một tập hợp 𝑋 Giả sử 𝐴𝑖 ⊂ 𝐵𝑖 với mọi

𝑖 = 1;⁡⋯ ; ⁡𝑛 Hỏi kết luận sau đây đúng hay sai?

Câu 2: Cho 𝐴 ≔ {𝑦 ∈ (0; ∞)⁡|⁡𝑦3 < 5} Hỏi 𝐴 có bị chặn trên hay không? (lưu ý, ta chưa

Câu 3: Cho {𝑥1;𝑛};⁡{𝑥2;𝑛};⁡⋯ ;⁡{𝑥𝑘;𝑛} là 𝑘 dãy số thực hội tụ lần lượt về 𝑎1;⁡𝑎2;⁡⋯ ;⁡𝑎𝑘 Hỏi kết luận sau đây đúng hay sai?

lim

𝑛→∞(𝑥1;⁡𝑛𝑥2;⁡𝑛⋯ 𝑥𝑘;⁡𝑛) = 𝑎1𝑎2⋯ 𝑎𝑘

Câu 4: Cho một dãy số thực {𝑥𝑛}, và hai số thực 𝑎 và 𝑏 Giả sử {𝑥𝑛} hội tụ về 𝑎 và 𝑏 Hỏi 𝑎

có bằng 𝑏 hay không?

Câu 5: Cho một dãy số thực {𝑥𝑛}, {𝑥𝑛𝑘} là một dãy con của {𝑥𝑛}, và {𝑥𝑛

𝑘𝑙} là một dãy con của {𝑥𝑛𝑘} Hỏi {𝑥𝑛

𝑘𝑙} có là một dãy con của {𝑥𝑛} hay không?

Câu 6: Đặt 𝐴 ≔ {𝑦 ∈ (0; ∞)⁡|⁡𝑦2 < 5} và 𝐵 ≔ {𝑧 ∈ (0; ∞)⁡|⁡𝑧2 > 5} Hỏi “sup(𝐴) ≤

inf(𝐵)” đúng hay sai?

Câu 1: Cho 𝐴 là một tập con khác trống trong ℝ, 𝑓 và 𝑔 là hai hàm số liên tục đều trên 𝐴 Giả

sử 𝑓(𝐴) và 𝑔(𝐴) bị chặn trong ℝ Hỏi 𝑓 ⋅ 𝑔 có liên tục đều trên 𝐴 hay không?

Câu 2: Cho 𝑓 là một hàm số thực khả vi trên một khoảng mở (𝑎; 𝑏) Giả sử 𝑓′(𝑠) ≠ 0 với mọi

𝑠 trong (𝑎; 𝑏) Hỏi 𝑓 có đơn ánh trên (𝑎; 𝑏) hay không?

Câu 3: Cho 𝑓 là một hàm số thực khả vi trên một khoảng mở (𝑎; 𝑏), và 𝑐 trong (𝑎; 𝑏) Già sử

𝑓′(𝑐) = 0 Hỏi 𝑓(𝑐) có là cực tiểu hoặc cực đãi của 𝑓((𝑎; 𝑏)) hay không?

Câu 4: Đặt 𝑥𝑛− (𝑛3+ 1)𝑛−1 Hỏi {𝑥𝑛} có hội tụ hay không?

Câu 5: Với mọi số nguyên 𝑛, cho một hàm số 𝑓𝑛 liên tục trên [0; ⁡1] Giả sử

𝑓𝑚(𝑥) ≤ 𝑓𝑚=1(𝑥) ≤ 2012, ∀𝑥 ∈ [0; ⁡1], 𝑚 ∈ ℕ

Câu 6: Cho 𝐴 là một tập con khác trống trong ℝ, 𝑎 trong 𝐴∗ ∩ 𝐴, và 𝑓 là một hàm số thực trên

𝐴 Cho {𝑥𝑛} là một dãy trong 𝐴 sao cho 𝑥𝑛 hội tụ về 𝑎 và 𝑎 < 𝑥𝑛 với mọi số nguyên 𝑛 Giả sử giới hạn bên phải tại 𝑎 của 𝑓 là 𝑓(𝑎) Hỏi kết luận nào trong hai kết luận sau đúng:

(i) {𝑓(𝑥𝑛)} có giới hạn là 𝑓(𝑎)

(ii) 𝑓 liên tục tại 𝑎

Câu 7: Cho {𝑥𝑛𝑘} là một dãy con của một dãy số thực {𝑥𝑛} Giả sử {𝑥𝑛𝑘} hội tụ về 𝑎, và 𝑏 =lim⁡inf

n→∞ 𝑥𝑛 là một số thực Hỏi kết luận sau đúng hay sai: 𝑏 ≤ 𝑎

Câu 1: Cho 𝑓 là một song ánh từ tập hợp 𝐴 vào tập hợp 𝐵 Cho 𝑔 là một ánh xạ ngược của 𝑓 Hỏi 𝑔 có là một ánh xạ toàn ánh hay không?

Câu 2: Cho 𝑓 là một ánh xạ từ tập hợp 𝐴 vào tập hợp 𝐵 Hỏi các mệnh đề sau đây có tương đương với nhau hay không?

(a) Giả sử 𝑓(𝐷) ∩ 𝑓(𝐸) = ∅ với mọi tập con 𝐷 và 𝐸 trong 𝐴 và 𝐷 ∩ 𝐸 = ∅

(b) 𝑓 là một đơn ánh

Câu 3: Cho 𝐴 là một tập con khác rỗng trong ℝ, và 𝑓 là một ánh xạ từ 𝐴 vào 𝐴 Giả sử có một

số thực dương 𝐶 sao cho:

|𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑦)| ≤ 𝐶|𝑥 − 𝑦|, ∀𝑥; 𝑦 ∈ 𝐴 Đặt:

Câu 5: Cho 𝐴 là một tập khác rỗng và bị chặn trên trong ℝ Cho 𝛼 là một chặn trên của 𝐴 Giả

sử có một dãy số {𝑥𝑛} hội tụ về 𝛼 và 𝑥𝑛 ∈ 𝐴 với mọi số nguyên 𝑛 Hỏi 𝛼 có là sup(𝐴) hay không?

Câu 6: Phủ định mệnh đề sau:

“∀𝜀 > 0, ∃𝑁 ∈ ℕ⁡sao cho⁡|𝑓𝑛(𝑥) − 𝑓(𝑥)| < 𝜀, ∀𝑥 ∈ 𝐴, ∀𝑛 ≥ 𝑁”

Câu 7: Cho hai dãy số thực {𝑥𝑛} và {𝑦𝑛} lần lượt hội tụ về 𝑎 và 𝑏 Giả sử 𝑥𝑛 < 𝑦𝑛 với mọi số nguyên dương 𝑛 Hỏi 𝑎 < 𝑏 đúng hay sai?

Câu 1: Cho 𝑓 là một hàm số thực khả vi trên khoảng mở (1; ⁡6) Giả sử 𝑓(2) < 𝑓(5) Hỏi có một 𝑐 trong khoảng (1; ⁡6) sao cho 𝑓′(𝑐) ≠ 0 hay không?

Câu 2: Cho 𝑓 là một hàm số thực khả vi trên một khoảng mở (𝑎; 𝑏), và 𝑐 trong (𝑎; 𝑏) Giả sử

𝑓′(𝑐) ≠ 0 Hỏi có một khoảng (𝛼; 𝛽) sao cho 𝑐 ∈ (𝛼; ⁡𝛽) ⊂ (𝑎; 𝑏) và 𝑓(𝑐) ≠ 𝑓(𝑥) với mọi 𝑥 trong (𝛼; 𝛽)\{𝑐} hay không?

Câu 3: Cho {𝑥𝑛} là một dãy số thực Giả sử 𝑥𝑛 ở trong khoảng [2012; ⁡2013] với mọi số nguyên dương 𝑛 Hỏi lim⁡sup

(ii) 𝑓(𝑧) = 1 với mọi 𝑧 trong 𝐵

Hỏi 𝑓(𝑥) có bằng 1 với mọi 𝑥 trong 𝐴 hay không?

Câu 5: Cho 𝑓 và 𝑔 là hai hàm số thực liên tục đều trên ℝ Đặt 𝑢 là hàm hợp nối 𝑔 ∘ 𝑓 của 𝑓 và

𝑔 Hỏi 𝑢 có liên tục đều trên ℝ hay không?

Câu 6: Cho 𝐴 là một tập con khác trống trong ℝ, 𝑏 là một điểm trong ℝ Hỏi hai điều sau đây

có tương đương hay không?

(i) Có một dãy số thực {𝑥𝑛} trong 𝐴\{𝑏} sao cho {𝑥𝑛} hội tụ về 𝑏

(ii) 𝑏 là một điểm tụ của 𝐴

Câu 1: Cho {𝑥𝑛} là một dãy Cauchy trong ℝ, và {𝑥𝑛𝑘} là một dãy con của {𝑥𝑛} Hỏi {𝑥𝑛𝑘} có

là một dãy Cauchy trong ℝ hay không?

Câu 2: Cho 𝐴 là một tập con khác rỗng trong ℝ, và 𝑓 là một ánh xạ từ 𝐴 vào 𝐴 Giả sử 𝑓 là một toàn ánh Đặt:

𝑓𝑛 ≔ 𝑓 ∘ ⁡ ⋯ ∘ ⁡𝑓⏟

(𝑛⁡lần)

, ∀𝑛 ∈ ℕ

Hỏi 𝑓𝑛 có toàn ánh với mọi 𝑛 trong ℕ hay không?

Câu 3: Cho {𝑥𝑛𝑘} và {𝑥𝑚𝑘} là hai dãy con của dãy số thực {𝑥𝑛} Đặt⁡𝑙𝑘 ≔ 𝑛𝑘 ⋅ 𝑚𝑘 với mọi số nguyên dương 𝑘 Hỏi {𝑥𝑙𝑘} có là một dãy con của dãy số thực {𝑥𝑛} hay không?

Câu 4: Cho 𝐴 và 𝐵 là hai tập khác rỗng và bị chặn trên trong ℝ Giả sử sup(𝐴) ≤ sup(𝐵) Hỏi kết luận sau đây đúng hay sai:

Hỏi 𝐸 có bị chặn trên trong ℝ hay không?

Câu 7: Cho 𝑎 là một số thực Giả sử 𝑎 > 𝑐 với mọi số thực dương 𝑐 Hỏi 𝑎 ≥ 0 đúng hay sai?

Câu 1: Cho 𝑓 là một hàm số thực liên tục trên khoảng đóng [1; ⁡3] Hỏi 𝑓([1; ⁡3]) có bị chặn dưới hay không?

Câu 2: Cho 𝑓 là một hàm số thực liên tục trên một khoảng đóng [0; ⁡1] và {𝑥𝑛} là một dãy số thực trong [0; ⁡1] Hỏi có một dãy con {𝑥𝑛𝑘} của {𝑥𝑛} sao cho dãy {𝑓(𝑥𝑛𝐾)} hội tụ hay không?

Câu 3: Cho 𝑓 là một hàm số thực liên tục trên ℝ Giả sử 𝑓(𝑥) = 0 với mọi số vô tỉ 𝑥 Hỏi 𝑓(𝑡) có bằng 0 với mọi số thực 𝑡 hay không?

Câu 4: Cho 𝑓 là một hàm số thực liên tục trên một khoảng đóng [𝑎; ⁡𝑐] và khả vi trên khoảng

mở (𝑎; ⁡𝑐), và 𝑐 trong (𝑎; 𝑏) Giả sử 𝑓(𝑎) = 2013 và 𝑓′(𝑥) = 0 với mọi 𝑥 trong (𝑎; 𝑐) Hỏi 𝑓(𝑡) = 2013 với mọi 𝑡 trong (𝑎; 𝑐) hay không?

Câu 5: Cho 𝑓 và 𝑔 là hai hàm số thực liên tục trên khoảng đóng [0; ⁡1] Giả sử

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

1 0

≤ ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥

1 0

Hỏi 𝑓(𝑡) ≤ 𝑔(𝑡) với mọi 𝑡 trong [0; 1] đúng hay sai?

Câu 6: Cho 𝑓 là một hàm số thực liên tục trên khoảng đóng [𝑎; ⁡𝑏] Giả sử 𝑓(𝑡) ∈ [0; ⁡1] với mọi 𝑡 trong [0; ⁡1] Hỏi

∫ 𝑓3(𝑥)𝑑𝑥

1 0

≤ ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

1 0

đúng hay sai?

Câu 1: Cho 𝑃𝑘 là các mệnh đề Toán học, 𝑘 ∈ ℕ Giả sử 𝑃𝑘 đúng thì 𝑃𝑘+1 đúng với mọi 𝑘 trong ℕ Hỏi 𝑃𝑘 có đúng với mọi 𝑘 trong ℕ hay không?

Câu 2: Cho 𝐴𝑘 và 𝐵𝑖 là các tập con bị chặn trong ℝ, 𝑘 = 1;⁡⋯ ; ⁡𝐾 và 𝑖 ∈ ℕ Hỏi:

có bị chặn trong ℝ hay không?

Câu 3: Hỏi √6 có là một số hữu tỷ hay không?

Câu 4: Cho 𝐴 là một tập khác rỗng trong ℝ và {𝑥𝑛} là một dãy trong 𝐴 Cho 𝑓 là một ánh xạ

từ 𝐴 vào ℝ Hỏi {𝑓(𝑥𝑛)} có là một dãy số thực hay không?

Câu 5: Cho 𝑓 là một hàm số thực liên tục trên [0; ⁡1] và cho 𝑔 là một hàm số thực liên tục trên [1; ⁡2] sao cho 𝑓(1) = 𝑔(1) Đặt:

ℎ(𝑥) = {𝑓(𝑥), nếu⁡0 ≤ 𝑥 ≤ 1

𝑔(𝑥), nếu⁡1 ≤ 𝑥 ≤ 2Hỏi ℎ có liên tục tại 1 hay không?

Câu 6: Cho {𝑥𝑛} là một dãy số thực và 𝑎 là một số thực Giả sử {𝑥𝑛} không hội tụ về 𝑎 Hỏi

có hay không một số 𝜀 dương và một dãy con {𝑥𝑛𝑘} của {𝑥𝑛} sao cho:

|𝑥𝑛𝑘 − 𝑎| ≥ 𝜀, ∀𝑘 ∈ ℕ

Câu 1: Cho 𝑓 là một hàm số thực khả vi trên khoảng mở 𝐴 = (1; ⁡3) Hỏi các khẳng định dưới đây đúng hay sai

(a) Nếu 𝑓′(𝐴) bị chặn thì 𝑓 liên tục đều trên (1; ⁡3)

(b) Nếu 𝑓 liên tục đều trên (1; ⁡3) thì 𝑓′(𝐴) bị chặn

Câu 2: Cho 𝑓 là một hàm số thực liên tục đều trên ℝ Hỏi có hay không một số thực 𝑀 sao cho

≠ 2 đúng hay sai?

Câu 1: Cho 𝑎1; ⋯ ; 𝑎𝑛 và 𝑏1; ⋯ ; 𝑏𝑛 là 2𝑛 số thực Giả sử 𝑎1+ ⋯ + 𝑎𝑛 < 𝑏1+ ⋯ + 𝑏𝑛 Hỏi hay không một 𝑗 trong {1;⁡⋯ ; ⁡𝑛} sao cho 𝑎𝑗 < 𝑏𝑗?

Câu 2: Cho {𝑎𝑛} và {𝑏𝑛} là các dãy lần lượt hội tụ về 𝑎 và 𝑏 trong ℝ Giả sử 𝑎𝑛 < 𝑏𝑛 với mọi

số nguyên 𝑛 Hỏi các kết luận sau đây đúng hay sai

Câu 4: Có hay không một hàm số thực đơn điệu tăng trên ℝ nhưng không liên tục?

Câu 5: Cho 𝑓 là một hàm số thực liên tục trên ℝ và {𝑥𝑛} là một dãy Cauchy trong ℝ Hỏi {𝑓(𝑥𝑛)} có là một dãy Cauchy trong ℝ?

Câu 6: Cho {𝑎𝑛} là một dãy số thực âm sao cho ∑∞𝑛=1𝑎𝑛 hội tụ Hỏi các kết luận sau đúng hay sai

Câu 1: Cho 𝑓 là một hàm số thực liên tục trên ℝ và {𝑥𝑛} là một dãy số thực Giả sử {𝑓(𝑥𝑛)} là một dãy hội tụ trong ℝ Hỏi {𝑥𝑛} có là một dãy hội tụ trong ℝ hay không?

Câu 2: Cho 𝑓 là một hàm số thực trên khoàng (−1; 1) Giả sử 𝑓 có giới hạn tại 0 Hỏi

≤ 𝑓(𝑛 + 1), ∀𝑛 ∈ ℕ

Câu 1: Với mọi số nguyên 𝑛, cho 𝐴𝑛 và 𝐵𝑛 là các tập khác trống sao cho 𝐴𝑛 ⊂ 𝐵𝑛 Hỏi

⋃∞𝑛=1⁡𝐴𝑛 ⊂ ⋃∞𝑛=1⁡𝐵𝑛 đúng hay sai?

Câu 2: Cho {𝑥𝑛} là một dãy hội tụ về 2 trong ℝ Hỏi có hay không một số nguyên 𝑁 sao cho

1 < 𝑥𝑛 với mọi 𝑛 ≥ 𝑁?

Câu 3: Cho 𝑘 ∈ {1;⁡⋯ ; ⁡𝑁} và {𝑥𝑘;⁡𝑛}

𝑛 là các dãy hội tụ về 𝑎𝑘 trong ℝ Đặt 𝑦𝑛 = 𝑥1;⁡𝑛 + ⋯ +

𝑥𝑁;⁡𝑛 và 𝑏 = 𝑎1+ ⋯ + 𝑎𝑁 Hỏi {𝑦𝑛} có hội tụ về 𝑏 hay không?

Câu 4: Cho 𝑎 là một số thực và {𝑥𝑛} là một dãy số thực Giả sử mọi dãy con {𝑥𝑛𝑚} của {𝑥𝑛} đều có một dãy con {𝑥𝑛

𝑚𝑘} hội tụ về 𝑎 Hỏi {𝑥𝑛} có hội tụ về 𝑎?

Câu 5: Với mọi số nguyên 𝑛, cho 𝑓𝑛 là một hàm số thực trên [0; ⁡1] Phủ định mệnh đề sau:

“Với mọi số thực dương 𝜀, có một thực dương 𝛿(𝜀) sao cho |𝑓𝑚(𝑥) − 𝑓𝑚(𝑦)| ≤ 𝜀 với mọi số nguyên dương 𝑚, với mọi 𝑥; ⁡𝑦 trong [0; ⁡1], |𝑥 − 𝑦| < 𝛿(𝜀)”

Câu 1: Cho {𝑥𝑛} là một dãy số thực hội tục về 𝑎 trong ℝ Giả sử 𝑎 ∉ 𝐵 = {𝑥𝑛 ∶ 𝑛 ∈ 𝑁} Hỏi 𝑎

có là một điểm tụ của 𝐵?

Câu 2: Cho 𝑓 là một hàm số thực khả vi trên (0; ⁡3) Hỏi 𝑓 có liên tục đều trên [1; ⁡2]?

Câu 3: Cho 𝑓 và 𝑔 là hai hàm số thực trên ℝ Giả sử 𝑓𝑔 khả vi trên ℝ Hỏi 𝑓 và 𝑔 khả vi hay không trên ℝ?

Câu 4: Cho 𝑓 là một song ánh từ (𝑎; ⁡𝑏) vào (𝑐; ⁡𝑑) và đơn điệu giảm trên (𝑎; ⁡𝑏) Đặt 𝑔 là ánh

xạ ngược của 𝑓 Hỏi 𝑔 có đơn điệu giảm trên (𝑐; ⁡𝑑)?

Câu 5: Cho 𝑓 và 𝑔 là hai hàm số thực liên tục trên [0; ⁡1] sao cho

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

1 0

≤ ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥

1 0

Hỏi kết luận sau đúng hay sai: 𝑓(𝑡) ≤ 𝑔(𝑡) với mọi 𝑡 ∈ [0; ⁡1]?

Câu 1: Cho 𝐴 là một tập con khác trống Đặt 𝑃 là mệnh đề “Với mọi số dương 𝜀, có một tập hữu hạn phần tử 𝐵 chứa trong 𝐴 sao cho 𝐴 chứa trong ⋃𝑥∈𝐵(𝑥 − 𝜀; ⁡𝑥 + 𝜀)” Viết 𝑃 ra dạng cơ bản và phủ định 𝑃

Câu 2: Có hay không một dãy số thực {𝑥𝑛} có các tính chất sau:

(i) {𝑥𝑛} là một dãy không hội tụ

(ii) có một dãy con {𝑥𝑛𝑘} của {𝑥𝑛} sao cho {𝑥𝑛𝑘} hội tụ

Câu 3: Cho 𝑐 ∈ (0; ⁡1) và 𝑥𝑛 = 𝑐𝑛𝑛 với mọi số nguyên 𝑛 Hỏi {𝑥𝑛} có hội tụ về một số thực hay không?

Câu 4: Cho 𝑎 < 𝑏; ⁡𝑐 < 𝑑; ⁡𝑒 ∈ (𝑎; ⁡𝑏) và 𝑓 là một hàm số liên tục từ (𝑎; ⁡𝑏) vào (𝑐; ⁡𝑑) Hỏi

có hay không một số dương 𝜂 sao cho 𝑓([𝑒; ⁡𝑒 + 𝜂]) chứa trong (𝑐; ⁡𝑑)?

Câu 5: Cho 𝑎 < 𝑏; ⁡𝑐 < 𝑑, 𝑓 là một ánh xạ từ (𝑎; ⁡𝑏) vào (𝑐; ⁡𝑑) và 𝑔 là một ánh xạ từ (𝑐; ⁡𝑑) vào ℝ Giả sử (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑎 𝑏) bị chặn Hỏi 𝑔(𝑐; ⁡𝑑) có bị chặn hay không?

Câu 1: Cho 𝑎 < 𝑏, 𝑓 là một ánh xạ khả vi từ (𝑎; ⁡𝑏) vào ℝ, 𝑐 < 𝑑 sao cho 𝑎 < 𝑐 < 𝑑 < 𝑏 Hỏi 𝑓((𝑐; ⁡𝑑)) có bị chặn trên?

Câu 2: Cho 𝑓 là một hàm số thực khả vi trên (−1; ⁡1) Hỏi lim

𝑠→0𝑓(𝑠) = 𝑓(0) đúng hay sai?

Câu 3: Cho {𝑎𝑛} là một dãy số thực dương sao cho ∑∞𝑛=1𝑎𝑛 hội tụ Hỏi ∑∞𝑛=1𝑎𝑛2017 hội tụ hay không?

Câu 4: Cho 𝑓 và 𝑔 là hai hàm số thực khả vi trên (−1; ⁡1) Gải sử 𝑓(0) = 𝑔(0) và 𝑓′(𝑡) ≤

𝑔′(𝑡) với mọi 𝑡 ∈ (−1; ⁡1) Hỏi 𝑓(𝑠) ≤ 𝑔(𝑠) với mọi 𝑠 ∈ (0; ⁡1) đúng hay sai?

Câu 5: Cho 𝑓 là một hàm số thực liên tục trên [0; ⁡1] sao cho 𝑓(𝑠) ≤ 1 với mọi 𝑠 ∈ [0; ⁡1] Hỏi kết luận sau đúng hay sai:

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

1 0

≤ 1