Bài giảng điều khiển tự động - Chương 5

Tài liệu bài giảng Điều khiển tự động dành cho các sinh viên chuyên ngành kỹ thuật tham khảo với các nội dung như: Tổng quan về điều khiển tự động, mô tả toán học phần tử và hệ thống điều kh

Trang 1

Chương 5

5.1_ Các chỉ tiêu chất lượng

5.2_ Phân tích sai số xác lập

5.3_ Phân tích đáp ứng quá độ

5.4_ Các tiêu chuẩn tối ưu hoá

Đánh giá chất lượng

hệ thống điều khiển

Trang 2

GV NGUYỄN THẾ HÙNG 3 01/2009

5.1 Các chỉ tiêu chất lượng

v ts: Thời gian quá độ

v POT: Độ vọt lố (độ quá điều chỉnh)

v e(∞) : Sai số xác lập

n Thời gian quá độ t s (settling time): là thời gian cần thiết

để tín hiệu ra đạt và tiếp tục duy trìgiá trị xác lập y(∞) với

sai số cho phép, thông thường là ±2% hoặc ±5%

n Độ vọt lố POT hay σ % (Percent Overshoot): là sai lệch

giữa giá trị cực đại và giá trị xác lập của đáp ứng, tính theo

phần trăm:

max

y( )

− ∞

= σ =

∞

Thông thường, POT nhỏ thì tssẽ lớn và ngược lại

n Sai số xác lập e(∞) hay ess (steady-state error): là sai lệch

giữa tín hiệu vào và tín hiệu hồi tiếp ở trạng thái xác lập

Sai số xác lập đặc trưng cho độ chính xác của hệ thống

điều khiển

Trang 3

v Tổng quát:

e( ) lim e(t) lim s.E(s)

v Với hệ hồi tiếp âm đơn vị và tín hiệu vào r=1(t) thì :

k

s 0

e( ) 1 y( ) 1 lim G (s)

→

∞ = − ∞ = −

Ngoài ra, người ta còn xét đến các thông số phụ:

để đáp ứng tăng từ 10% đến 90% giá trị xác lập y(∞)

ứng đạt giá trị cực đại

G(s)

e

k

y( ) lim h(t) lim G (s)

5.2 Phân tích sai số xác lập

n Sai số xác lập phụ thuộc cấu trúc, thông số của hệ thống

và loại tín hiệu vào

G(s) H(s)

e E(s)=R(s) Y(s)H(s)−

R(s)G(s)H(s) R(s) R(s)

1 G(s)H(s) 1 G(s)H(s)

1 Tín hiệu vào bậc thang đơn vị

P

1 e( )

1 K

∞ = +

P

s 0

K lim [G(s)H(s)]

→

= _gọi là Hệ số sai số vị trí

Thế vào (*) ⇒

r=1(t) ⇒ R(s)=1/s

s.R(s) e( ) lim s.E(s) lim

1 G(s)H(s)

+ (*)

Trang 4

5.2 Phân tích sai số xác lập

2 Tín hiệu vào dốc r=t ; R(s)=1/s2

e( ) lim

[s sG(s)H(s)] K

→

+

v

s 0

K lim [sG(s)H(s)]

→

3 Tín hiệu vào parabol

⇒

s 0 2 2

a

e( ) lim

K [s s G(s)H(s)]

→

+

2

s 0

a

K lim [s G(s)H(s)]

→

; ( ) /

= 1 2 = 3

2

5.3 Phân tích đáp ứng quá độ

1 Độ vọt lố :

2

/ 1

 − πξ −ξ 

=

2 Thời gian quá độ theo chuẩn 2%:

n

s

4

t = ξω

3 Thời gian tăng trưởng :

r

n

1

t = 1,589ξ −0,1562ξ +0, 924ξ +1, 0141

ω

n Hệ bậc hai:

n Hệ bậc cao: Tìm y(t) và xác định POT, ts, trtừ đồ thị của y(t)

Hoặc xấp xỉ về hệ bậc hai có cặp cực nằm gần trục ảo nhất

(gọi là cặp cực trội – pair of dominant poles)

Trang 5

5.3 Phân tích đáp ứng quá độ

Đồ thị biểu diễn quan hệ giữa ξ và POT

Trang 6

Ví dụ 5.4 Khảo sát đáp ứng quá độ (tr.141)

a) Chọn KP= 12, KI=36, KD=1 Tìm đáp ứng quá độ và sai số

xác lập của hệ với tín hiệu vào r=1(t).

b) Giữ nguyên giá trị KP , KD và cho KI thay đổi Tìm điều kiện

của KI để hệ luôn ổn định.

Ví dụ 5.4 Khảo sát đáp ứng quá độ

Giải a)

Hàm truyền mạch chính (hệ hở):

2

h

G (s) G (s).G(s)

+ +

2

s (s 2)(s 6) s(s 2)

Hàm truyền của hệ thống:

PID

2 PID

k

G (s).G(s)

G (s)

R(s) 1 G (s).G(s) s 22s 120

+

Hàm truyền bộ PID:

Trang 7

Hàm quá độ:

k

2

G (s) 20(s 6) H(s)

s s(s 22s 120)

+

+ +

Mẫu số của H(s) có 3 nghiệms= 0 ; s= –10 ; s= –12

Do đó có thể phân tích:

3

20(s 6) H(s)

s(s 10)(s 12) s s 10 s 12

+

1

20(s 6)

(s 10)(s 12)

+

2

20(s 6) 80

s(s 12) 20

3

20(s 6) 120

s(s 10) 24

+

Ảnh Laplace :

r(t) 1(t)

h(t)=y(t) =

Đáp ứng quá độ:

H(s)

s s 10 s 12

h(t)=L [H(s)] 1 4e− = + − −5e− Sai số xác lập: e( )∞ = ∞ − ∞ = − ∞r( ) h( ) 1 h( )

t

h( ) lim h(t) 1

→∞

s 0 k

h( ) lim G (s) 1

→

Hoặc:

e( ) 1 1 0

⇒ ∞ = − =

b) Chọn KP =12, KD =1.Tìm điều kiện của KI để hệ luôn ổn định:

2

k

G (s).G(s) 20(s 12s K )

G (s)

1 G (s).G(s) s 28s 252s 20K

+ +

Trang 8

Phương trình đặc tính:

20KI

0

20KI 28

252 1

Điều kiện để hệ ổn định:

I

(28)(252) 20K 0 20K 0

− >



 >



I

0 K 352,8

⇔ < <

Bảng Routh:

I

s + 28s + 252s + 20K = 0

I (28)(252) 20K

28

−

a) Chọn KP= 12, KI=32, KD=1 Tìm đáp ứng quá độ và sai

số xác lập của hệ

b) Chọn KP= 12, KD=1 và cho KI thay đổi tuỳ ý Tìm khoảng

giá trị của KI để hệ luôn ổn định

Cho hệ thống điều khiển có sơ đồ khối:

2

6

s +13s+40

PID

e

G(s)

Trang 9

Nhận xét (cách giải)

t

e( ) r( ) y( ) 1 lim y(t)

→∞

∞ = ∞ − ∞ = −

1

y(t)=L [Y(s)]−

k k

G (s) Y(s) R(s).G (s)

s

PID PID

k

G (s).G(s) Y(s)

G (s)

R(s) 1 G (s).G(s)

+

I

K

G (s) K K s

s

G(s) :Hàm truyền của đối tượng, đã cho

Giải a)

Hàm truyền mạch chính (hệ hở):

2

h

G (s) G (s).G(s)

+ +

s (s 5)(s 8) s(s 5)

PID PID

k

G (s).G(s) Y(s)

G (s)

R(s) 1 G (s).G(s)

+

2

6(s 4)

s 11s 24

+ + +

Trang 10

Ảnh Laplace của đáp ứng quá độ:

k

G (s) 6(s 4) Y(s) R(s).G (s)

s s(s 11s 24)

+

+ +

Mẫu số của Y(s) có 3 nghiệm đơn:

3

6(s 4) Y(s)

s(s 3)(s 8) s s 3 s 8

+

1

6(s 4)

A lim sY(s) lim

(s 3)(s 8)

+

+ +

2

s 3

A lim (s 3)Y(s)

→−

s 8

6(s 4) 3 lim

s(s 3) 5

→− + = −

+

s 3

6(s 4) 2 lim

s(s 8) 5

→− + = −+

3

s 8

A lim (s 8)Y(s)

→−

1 s= 0 ; s= –3 ; s= –8

Y(s)

s 5(s 3) 5(s 8)

1

y(t)=L [Y(s)]− =

Sai số xác lập: e( )∞ = ∞ − ∞ = − ∞r( ) y( ) 1 y( )

t

y( ) lim y(t) 1

→∞

s 0 k

y( ) lim G (s) 1

→

Hoặc:

e( ) 1 1 0

⇒ ∞ = − =

b) Chọn KP =12, KD =1 Tìm điều kiện của KI để hệ luôn ổn định:

PID

1 G+ (s).G(s)=0 Phương trình đặc tính của hệ :

Trang 11

6KI

0

6KI 19

112

I

(19)(112) 6K 0 6K 0

− >



 >



I

1064

0 K

3

⇔ < <

Bảng Routh:

I

s +19s +112s+6K =0

I (19)(112) 6K

19

−

2

⇔ +  + + =

s(s 13s 40) 6(K s K s K ) 0

Thay KD=1; KP=12 ⇒

s (13 6K )s (40 6K )s 6K 0

xác lập của hệ.

b) Chọn KP= 20, KD=1, 0<KI≤ 400 Chứng minh hệ luôn ổn định

và có sai số xác lập bằng 0.

2 15

s + +8s 15

Trang 12

Giải a) Tìm đáp ứng quá độ và sai số xác lập

Hàm truyền mạch chính (mạch hở):

2

h

G (s) G (s).G(s)

+ +

15(s 15) s(s 3)

+

= +

PID

2 PID

k

G (s).G(s)

G (s)

R(s) 1 G (s).G(s) s 18s 225

+

k

G (s) 15s 225 Y(s) R(s).G (s)

s s(s 18s 225)

+

Từ(*)và(**) ta được :

1

225A 225

9A 18C 12C 15

=







(s 9)

Y(s)

s s 18s 225 s (s 9) 12 (s 9)

(12

1

12

2

1

2

A 1

C 1 / 2

=





⇒  = −

 =



2

(A C )s 18A 9C 12C s 225A

C (s 9) 12C

A

Y(s)

+ +

Mẫu số của Y(s) có 3 nghiệm s1= 0 ; s2,3= -9 ±12j

Trang 13

1

y(t)=L [Y(s)]− =

arccos (1/ 5) arcsin (2 / 5)

Với :

Sai số xác lập:

t

e( ) 1 y( ) 1 lim y(t) 1 1 0

→∞

∞ = − ∞ = − = − =

9t

5

1 e sin(12t ) 2

−

9t

5 2 1

1 e sin12t cos12t

b) Chọn KP= 20, KD=1, 0<KI≤400 Chứng minh hệ ổn định và

có sai số xác lập bằng 0

1 e cos12t e sin12t

2

k

G (s)

1 G (s).G(s) s 8s 15s 15(K s K s K )

15KI

0

15KI 23

315

I

(23)(315) 15K 0 15K 0

− >



 >



I

0 K 483

⇔ < <

Bảng Routh:

I (23)(315) 15K

15

−

Thay KD=1; KP=20 ⇒

Theo đề bài: 0<KI ≤400

Nên hệ thống luôn ổn định

Theo định lý giá trị cuối:

2

I

k

15(s 20s K )

G (s)

s 23s 315s 15K

+ +

=

Phương trình đặc tính: 3 2

I

s +23s +315s 15K+ =0

y( ) lim y(t) lim G (s) 15K / 15K 1

∞ = = = = ⇒ ∞ = − ∞ =e( ) 1 y( ) 0

Trang 14

xác lập của hệ.

b) Chọn KP= 2, KI=0, KD=0 Tìm đáp ứng quá độ và sai số xác

lập của hệ.

2

25

s + +6s 8

Giải a) Tìm đáp ứng và sai số xác lập vớiKP =33; KI =58; KD =2

Hàm truyền mạch chính (mạch hở):

2

h

G (s) G (s).G(s)

+ +

2(s 2)(s 14,5) 25 50s 725

s (s 2)(s 4) s(s 4)

PID

2 PID

k

G (s).G(s)

G (s)

R(s) 1 G (s).G(s) s 54s 725

+

Trang 15

k

G (s) 50s 725 Y(s) R(s).G (s)

s s(s 54s 725)

+

+ +

Mẫu số của Y(s) có 3 nghiệm s1= 0 ; s2= -25 ; s3=-29

3

50s 725 Y(s)

s(s 25)(s 29) s s 25 s 29

+

1

50s 725

(s 25)(s 29)

+

2

50s 725

A lim (s 25)Y(s) lim

s(s 29)

+

3

50s 725

A lim (s 29)Y(s) lim

s(s 25)

+

21 4 25 4

−

Y(s)

s 4(s 25) 4(s 29)

25 29

Sai số xác lập: e( )∞ = − ∞ = − =1 y( ) 1 1 0

b) Tìm đáp ứng và sai số xác lập với KP =2, KI = KD =0

P

2 P

k

G (s)

1 K G(s) s 6s 58

k

Y(s) R(s).G (s)

s s(s 6s 58)

+ +

1

y(t)=L [Y(s)]− =

(*)

Trang 16

Y(s)

s 4(s 25) 4(s 29)

25 29

Sai số xác lập: e( )∞ = − ∞ = − =1 y( ) 1 1 0

b) Tìm đáp ứng và sai số xác lập với KP =2, KI = KD =0

P

2 P

k

G (s)

1 K G(s) s 6s 58

k

Y(s) R(s).G (s)

s s(s 6s 58)

+ +

1

y(t)=L [Y(s)]− =

(*)

2

(A C )s 6A 3C 7C s 58A

C (s 3) 7C

A

Y(s)

+ +

Từ(*)và(**) ta được :

1

58A 50

=







Y(s)

29 s s 6s 58 29 s (s

3)

7)

7

1

2

A 25 / 29

C 25 / 29

C (3 / 7)(25 / 29)

=





⇒  = −

 = −

(**)

Trang 17

y(t) L [Y(s)] 1 e cos 7t e sin 7t

3t

25 25 58

e sin(7t )

29 203

−

arccos arcsin 66,8

Với :

Sai số xác lập: e( ) 1 y( ) 1 25 4

29 29

∞ = − ∞ = − =

5.4 Các tiêu chuẩn tối ưu hoá đáp ứng quá độ

Các tiêu chuẩn này tìm điều kiện để đáp ứng của hệ đạt được sự

dung hoà tốt nhất giữa thời gian quá độ và độ vọt lố Hệ thống đạt

chất lượng tốt nhất nếu các tích phân dưới đây là cực tiểu.

1) Tiêu chuẩn IAE (tích phân trị tuyệt đối của sai số):

1 0

S =∫∞e(t) dt→min

2) Tiêu chuẩn ISA (tích phân của bình phương sai số):

3) Tiêu chuẩn ITAE (tích phân của tích thời gian và trị tuyệt

đối sai số):

2

2 0

S =∫∞e (t) dt →min

3 0

S =∫∞t e(t) dt →min

Hệ bậc hai có S1→min khi ξ =0,707

Hệ bậc hai có S2→min khi ξ =0,5

Hệ bậc hai có S3→min khi ξ =0,707 Tiêu chuẩn ITAE được sử dụng nhiều nhất

Trang 18

5.4 Các tiêu chuẩn tối ưu hoá đáp ứng quá độ

Để đáp ứng của hệ kín bậc n là tối ưu theo chuẩn ITAE và hệ kín

có e( ∞ )=0 thì hàm truyền của hệ kín phải có tử số là ω nnvà đa

thức ở mẫu số phải có dạng như bảng sau.

Tiêu đề	Chương 5 Đánh Giá Chất Lượng Hệ Thống Điều Khiển
Tác giả	Nguyễn Thế Hùng
Trường học	Trường Đại Học
Chuyên ngành	Điều Khiển Tự Động
Thể loại	Bài Giảng
Năm xuất bản	2009
Thành phố	Hà Nội

Định dạng
Số trang	18
Dung lượng	253,07 KB