BT HINH HOC KHONG GIAN va LOI GIAI

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Hệ tọa độ vuông góc - Hệ tọa độ vuông góc O©xyz trong không gian tạo bởi ba truc Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc nhau tại gốc O... Tính diện tích tam gi

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

Hệ tọa độ vuông góc

- Hệ tọa độ vuông góc O©xyz trong không gian tạo bởi ba truc Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc nhau tại gốc O

- Ta gọi ¡, J, k lần lượt là cac vecto don vi cla Ox, Oy, Oz

_~_~_ —

- Ta có: Ê = ƒ =kẾ =1, ïj=jk=Kï=0

Tọa độ của điểm

Trong không gian với hệ tọa độ vuông géc Oxyz, cho diém M thi ta co: OM=xi+ yj+zk

Ta goi (x,y,z) la toa dé cla M va ghi la Mix,y,z)

42

Nhận xét: I, J, K lần lượt là hình chiêu của M(x,y,z} lên các trục Ox, Oy, Ozthì ta có:

OS, Ou yeoK Se

4Z

i

x

Cho hình lập phương ABCDA BC LY cạnh là a Xét hệ trục tọa độ vuông góc Axyz (nhu trong hình vẽ), thì ta có:

A(/0,0,0), B(a,0,0), C(a,a,0), D(0,a,0), A'(0,0,a), B(a,0,a), C(a,a,a),D(0,a,a)

+

y+2z+2=0

y-4z+10=0

a/ Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa (d) và song song với (d)}

b/ Tìm khoảng cách giữa (đ) và (đ)

a Ta ca:

(d): = an =5 nên (d) đi qua điểm A(-23, -10, 0) và có vectơ chỉ phương a(84.1)

(d1: = = i F2 nên (d') đi qua điểm A'(3,-2,0) và có vectơ chỉ phương a{(2,-2.1)

a =(6,-6,-24) = (1-1-4)

Mat phang (P} song song véi gia cac vecto aa nên nhận ntl =1,-4) làm pháp vectơ; (P) lại qua điểm A(-23, -10, 0 nên có phương trình là:

x+23-(y+ 10)- 4z = 0

Vậy (P): x-y-4z+13=0 —

|

l

t

l

b [a có de(F).d//P)

nên: dịd, đ) = did’, (P}) = d{A’, (P})

vai A(3,-2,0)ed' prensa

eee Tae AG v2 `

Vậy d(d,d)= 3/2

BÀI TẬP 2:

N = X= /+3t

4} Tìm giao điểm của dị và d;

b}) Việt phương trình mặt phăng (œ) tạo bởi dị và da

LỜI GẢI:

Thế phương trình của (d;) vào phương trình của (d:} thì a = _ -

a ISER M20 ss 2t=-4

Suy ra: dy cat de tai diém Mi1,-2,5}

.X=1_y+2_ 7-5

egy

(dạ): x= 7+3t,yV=2+2t,z= 1- 2tcó vectơ chỉ phương là: a;(3,2,—2) Mặt phẳng (œ) chứa 2 đường thăng trên nên có pháp vectơ là: n=[a,,a

(œ) lại qua điễm M{(1.-2,5}) nên (œ) có phương trình là: -2(x —1)+1B(y + 2)

`

Vậy mặt phắng cân tìm có phương trình là: -2x + 18 y + 13z- 31 =0

có vectơ chỉ phương a, (2,-3.4)

và (d') là giao tuyến của: bac

Cho (đd) là giao tuyến của x-8z+23=0

y+2z+2=0

y-4z+10=0

a/ Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa (d) và song song với (d)}

b/ Tìm khoảng cách giữa (đ) và (đ)

Loi Giai:

a Ta co:

(a), 2729 = ¥#10 7 nen (a) di qua diém A(-23, -10, 0) va co vecto chi phuang a(8,4,1)

n.X-3_V+2_Z

8 4 1

(d):—— <> a a nén (d'} di qua diém A‘(3,-2 0) va cé vecto chi phuong a(2,-2.1)

|a.2| =(6,-6-24) =6(1,-1,-4)

Mặt phẳng (P) song song với giá các vectơ a.a nên nhận n(1 =1,-4) làm pháp vectơ;

(P) lại qua điễm A(-23, -10, 0) nên có phương trình là:

x+23-(y+ 10) - 4z = 0

Vậy (P): x-y-4z+13= ————a—mr——

nén: d(d, d'}) = d(đ, (P)) = d(A', (P)) I

+2+13|_ 18

A(3.-2,0) ed) = Feces = a= 32

Vậy d(d,d) = 3/2 (d)

Bai Tap 4:

Trong không gian với hệ tọa độ vuông goc Oxyz cho A{-1, -2, 4), Bi-4 , -2, 0),C(3, -2, 1}

và D(1, 1, 1) Tính diện tích tam giác ABC; Thế tích tứ diện ABCD và đường cao DH của

tứ diện

Loi Giai:

AB(-3,0,-4), AC(4,0,-3)

= | AB AC |= (0.-25,0)

AD(2,3.-3)

| AB AC] AD = 3(-25) = -75

Diện tích tam giác ABC là: |S= = = (AB AC||=S -<Y Ð (dvdt)

Thể tích tứ diện ABCD là: V=— 2[^B.AC AC] AD| = = 22: = “ tản

Ta lại có: V= SP

Vậy DH=53

BÀI TẬP 5:

Cho mặt phẳng (P) có phương trình: 2x + 4y 3z+ 1= 0

Việt phương trình mặt phăng (Q) song song và cách mặt phẳng (P) một đoạn bằng 2

LỜI GIẢI:

Mat phang (Q) song song với (P) nên có phương trình dạng: 2x + 4y — 3z +d= 0

Chọn Mi (- d/2,0,0) thuộc (Q ig

d((Q)(P})= d{M,(P))=

œL-9/2)° 1Ì ~2 ©2J-d+ 1|=2-/2

©>d-1=+2-/29 ©d=1+2./29

Vậy có hai mặt phẳng (Q) cần tìm với phương trình là:

2x+4y-3z +1+ 2.29 =0 (Q,)}

2x+4y-3z+1-24/29 =0 (Q,)

BÀI TẬP 6:

Cho hai mặt phẳng:

(œ}: 3x— 2y+ 2z+1=0

Việt phương trình mặt phăng (P) đi qua điềm A(1,23,3) và vuông góc với hai mặt phăng da cho ở trên

LỜI GIẢI:

(B}): 5x— 4y +3z — 1 =0 có pháp vectơ la: na(5,-4.3)

Gọi pháp vectơ của (P) là n

(P).L( œ} nên n.Ln„

(P} 1 ( 6} nên nin,

Suy ra cach chon n=[n, A, ]=(2,1,-2)

Miặt phẳng (P) di qua A(1,2,3) va cé vecto phap tuyén nén (P} co phureng trinh:

2(xX—1}+(y-2)- 2(Z-3)} =0 ©2x+y-2z+2 =0 Vậy: 2x+Ww—2z+2=0

BÀI TẬP 7:

Cho mặt phẳng (Q) có phương trình: 3x + 2y - 4z + 1 =0

Việt phương trình mặt phăng (P) đi qua điệm A(1 3,1) và song song với (Q)

LOI GIAI:

Mat phang (P} song song với (Q}: 3x+ 2y— 4z + 1= 0 nên (P) có phương trình dạng:

3x+2y-4z+d=0 (P) đi qua A ( 1,3,1) nên: 3+ 2—4+d=0 c©d=-†1

Vậy (P): 3x+2y—4z - 1=0 ‹

BAI 8:

Miặt phẳng (P} song song với mp(0xy}: z = 0 nên (P} có phương trình dạng: z + d =0

(P) qua A(34,2) nên 2+d =0«<d=-2

Vậy (P) có phương trình: z— 2 =0

Mlặt phăng (Q) song song với mp(Oxz}: y = 0 nên (Q) có phương trình dạng: ÿy +d =0

(Q) đi qua À{3,4,2) nên d =- 4

Vậy (Q) có phương trình: y— 4 = 0

Mlặt phăng (E} song song với (0yz}: x= 0 nên (R } có phương trình dạng: x + d = Ö

(R) đi qua A(3 4,2) nên d= - 3

Vậy (R) có phương trình là: x—3 = 0

LOI GIAL

Mat phang (P)} song song với mp(0xy}: z = 0 nên (P) có phương trình dạng: z + d =0

(P) qua A(34,2) nên 2+d =0«<d=-2

Vậy (P) có phương trình: z— 2 =0

Mat phang (Q) song song với mp(Oxz}: y = 0 nên (Q) có phương trình dạng: y +d=0

(Q) đi qua A(3,4,2) nên d =- 4

Vậy (Q) có phương trình: y— 4 = 0

Mat phang {(E} song song với (02): x= 0 nên (R } có phương trình dạng: x + d = Ö

(RE) đi qua A(3 4,2) nên d= - 3

Vậy (R) có phương trình là: x—53= Ö

BÀI TẬP 9:

Cho (P): 2x—z=0

(Q}x+y—-Z+5=0

(R} /x—y+ 4z =0

Việt phương trình mặt phẳng (œ) qua A= (P) ¬ (Q) và vuông góc với (R)

LỜI GIẢI:

(Fe)

(Q) x+y- Z+9= Pe

Tra

Ta chon: A(x =Z= 0, ự=- 5) và BÍx=4,z=8,y=- 1) nên À qua À(0-5,0), B(4,-1,8) và

AB(4,4,8)

R}: /X— y+4z = 0 có pháp vectơ Ne (7,-1,4)

(œ ) có vectơ pháp tuyến là: nạ =[n„.AB] = 4(-6,-10,8) = -4(3,5,-4)

(œ ) lại qua A(0 -5,0) nên có phương trình là: 3x + 5y+5)})—4z =0

Vậy: 3x + 5yT— 4z + 25 =0

CHÚC CÁC BẠN THÀNH CÔNG!