HINH HOC KHONG GIAN HAYCO LOI GIAI CHI TIET

Nếu đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng α thì góc giữa a và hình chiếu a’ của nó trên mặt phẳng α gọi là góc giữa đường thẳng a và mặt  Định nghĩa 8: Khoảng cách giữa đường thẳn

VẤN ĐỀ 1 CÁC BÀI TOÁN CƠ BẢN CỦA QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN

A KIẾN THỨC CƠ BẢN

I CÁC ĐỊNH NGHĨA

 Định nghĩa 1: Hai đường thẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 900.

0( , ) 90

 Định nghĩa 4: Góc giữa hai đường thẳng a và b là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi

qua một điểm và lần lượt song song (hoặc trùng) với a và b.

 Định nghĩa 5: Nếu đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (α) thì ta nói rằng góc giữa đườngthẳng a và mặt phẳng (α) bằng 900 Nếu đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (α) thì góc giữa a và hình chiếu a’ của nó trên mặt phẳng (α) gọi là góc giữa đường thẳng a và mặt

 Định nghĩa 8: Khoảng cách giữa đường thẳng a đến mặt phẳng (α) song song với a là khoảng

cách từ một điểm nào đó của a đến mặt phẳng (α).

 Định nghĩa 9: Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kỳcủa mặt phẳng này đến mặt phẳng kia

 Định nghĩa 10: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chungcủa hai đường thẳng đó

( )( )

''

b) Gọi E là hình chiếu vuông góc của A trên SC Chứng minh rằng: AE(SBC)

c) Gọi mp(P) đi qua AE và vuông góc với (SAB), cắt SB tại D Chứng minh rằng: SB( ).P

d) Đường thẳng DE cắt BC tại F Chứng minh rằng: AF(SAB)

2) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy M và N lần lượt là hình

chiếu của A lên SB, SD

a) CMR: AM (SBC AN); (SCD);

b) CMR: BD(SAC)

c) CMR: MN / /BD;MN (SAC)

d) Gọi K là giao của SC với (AMN), CMR: tứ giác AMKN có hai đường chéo vuông góc

3) Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông, tam giác SAB là tam giác đều, (SAB) ( ABCD).Gọi I, F lần lượt là trung điểm của AB và AD Chứng minh rằng: FC(SID)

4) Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, SA(ABCD), AD=2a,

AB=BC=a Chứng minh rằng tam giác SCD vuông.

5) Cho hình chóp đều S.ABCD đáy ABCD là hình vuông, E là điểm đối xứng của D qua trung điểm SA.

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AE và BC CMR: MN BD

6) Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông, tam giác SAD đều, (SAD) ( ABCD) Gọi M, N,

P lần lượt là trung điểm của SB, BC và CD Chứng minh rằng: AM BP

7) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB=a, AD a  2, SA  ( ABCD ) Gọi M

là trung điểm của AD, I là giao điểm của AC và BM Chứng minh rằng: ( SAC ) (  SMB )

8) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB= a, BC = a 3 Mặt bên SBC vuông tại B, SCD

là tam giác vuông tại D, SD= a 5

a) CM: SA(ABCD)b) Đường thẳng đi qua A và  AC, cắt các đt CB, CD lần lượt tại I, J Gọi H là h/c của A lên SC Xđ các giao điểm K, L của SB, SD với mp (HIJ) CMR: AK(SBC), AL (SCD)

9) Cho tứ diện ABCD có SA(ABC) Gọi H, K là trực tâm của 2 tam giác ABC và SBC CMR:

a) AH, SK, BC đồng quy

b) SC(BHK); (SAC) (BHK)

c) KH(SBC); (SBC) (BHK)

Dạng 2 Bài toán xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng

10)Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, (SAB) ( ABCD), H là trung điểm của

AB, SH=HC, SA=AB Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD

11) Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy,

6

SA a Tính sin của góc giữa:

a) SC và (SAB)b) AC và (SBC)

12)Cho hình chóp đều S.ABC cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2 3

3

a

Tính góc giữa SA và mp(ABC)

13)Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 2a,

b) Giả sử tam giác ABC vuông tại B xác định góc giữa hai mp (ABC) và (SBC)

15)Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD cạnh a góc BAD = 600 và SA = SB = SD =

c) Tính tan của góc giữa hai mp(SBD) và (ABCD)

16)Cho hình chóp S.ABCD có (SAB) và (ABCD) nằm trong hai mp vuông góc, ABCD là hình vuông

cạnh a, tam giác SAB cân tại S Gọi M,N là trung điểm của AB và DC

a) Chứng minh DC(SMN)

b) Tính góc giữa đường thẳng SN với mp(ABCD)

c) Tính góc giữa 2mp(SMC) và (ABCD)

17)Cho hình chop S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O, cạnh a, SO vuông góc với đáy Gọi M, N lần

lượt là trung điểm của SA và CD Cho biết MN tạo với (ABCD) góc 600

20) Cho lăng trụ ABCD.A’B’C’D’, ABCD là hình chữ nhật, AB a AD a  ,  3 Hình chiếu vuông góccủa A’ trên (ABCD) trùng với giao điểm của AC và BD Tính d B A BD( ',( ' ))

21) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, � ABC  300,  SBC là tam giác đềucạnh a, ( SBC ) (  ABC ) Tính d C SAB ( ,( ))

22) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB=AD=a, CD=2a,

24) Cho tứ diện ABCD có AB=a, tất cả các cạnh còn lại bằng 3a Tính d AB CD ( , )

25) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Gọi M, N lần lượt là trung điểm của

AB và AD, H là giao điểm của CN và DM, SH (ABCD SH), a 3 Tính d DM SC ( , )

26) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, đáy ABC là tam giác đều cạnh a, 2

' 2

a

AA  Tính( , ')

d AB CB

27) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên bằng a 2 Tính( , )

d AD SB

28) Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAD là tam giác đều, (SAD)

vuông góc với mặt phẳng đáy Tính d SA BD ( , )

29) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tai B, AB=BC=2a, hai mặt phẳng (SAB) và

(SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M là trung điểm của AB, mặt phẳng qua SM vàsong song với BC cắt AC tại N, góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 600 Tính d AB SN ( , )

30) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB=a, AA’=2a Gọi M là

trung điểm của A’C’, I là giao điểm của AM và A’C Tính d A IBC ( ,( ))

31) Cho hình chóp SABC, SA  3 , a SA  ( ABC AB ),  2 , a ABC �  1200 Tính d A SBC ( ,( ))

32) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang , � ABC BAD  �  900, BA=BC=a, AD=2a,

AA  a Gọi M là trung điểm của BC Tính d AM B C ( , ' )

34) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, E là điểm đối xứng với D

qua trung điểm của SA Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AE và BC Chứng minh rằng: MN BD

Tính d MN AC( , )

Phần 1 KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN GHI NHỚ

A MỘT SỐ KIẾN THỨC TRỌNG TÂM CẦN GHI NHỚ LÀM CƠ SỞ ĐỂ TÍNH TOÁN

1 Hệ thức lượng trong tam giác

a) Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH Khi đó ta có:

 AB2AC2 BC2  AB2 BC BH AC , 2 BC CH  1 2 12 12

AH  AB  AC

b) Cho tam giác ABC có các cạnh là a, b, c

 Định lý cosin: a =b 2 2c 2� 2bccosA; b2c2a22ca.cos ;B c2a2b22ab.cosC

C

c B

b A

a

2sinsin

1

1sin2

 ABC đều cạnh a: 2 3

4

a

S

b) Hình vuông: S = a 2 (a: cạnh hình vuông)

c) Hình chữ nhật: S = a.b (a, b: hai kích thước)

 (a, b: hai đáy, h: chiều cao)

g) Tứ giác có 2 đường chéo vuông góc: 1

2

S AC BD

3 Thể tích khối chóp

13

 �a� y

V S (trong đó h S �a� y là diện tích đáy, h là chiều cao)

B KIẾN THỨC TRỌNG TÂM HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 11 CẦN NHỚ ĐỂ HỌC HÌNH KHÔNG GIAN LỚP 12.

§1 ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG

I Định nghĩa

Đường thẳng và mặt phẳng gọi là song song

với nhau nếu chúng không có điểm nào

a

(P)

II.Các định lý

ĐL1:Nếu đường thẳng d không nằm trên

mp(P) và song song với đường thẳng a nằm

trên mp(P) thì đường thẳng d song song với

mp(P)

d (P) d/ /a d/ /(P)

ĐL2: Nếu đường thẳng a song song với

mp(P) thì mọi mp(Q) chứa a mà cắt mp(P)

thì cắt theo giao tuyến song song với a

a/ /(P)

a (Q) d/ /a (P) (Q) d

(P)

ĐL3: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau cùng

song song với một đường thẳng thì giao

tuyến của chúng song song với đường thẳng

đó

(P) (Q) d (P)/ /a d/ /a (Q)/ /a

Q P

§2 HAI MẶT PHẲNG SONG SONG

I Định nghĩa:

Hai mặt phẳng được gọi là song song với

nhau nếu chúng không có điểm nào chung (P)/ /(Q)�(P) (Q)� �

Q P

II Các định lý:

ĐL1: Nếu mp(P) chứa hai đường thẳng a, b

cắt nhau và cùng song song với mặt phẳng

(Q) thì (P) và (Q) song song với nhau

a,b (P)

a b I (P)/ /(Q) a/ /(Q),b/ /(Q)

Q P

ĐL2: Nếu một đường thẳng nằm một trong

hai mặt phẳng song song thì song song với

ĐL3: Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) song

song thì mọi mặt phẳng (R) đã cắt (P) thì

phải cắt (Q) và các giao tuyến của chúng

song song

(P)/ /(Q) (R) (P) a a/ /b (R) (Q) b

Q P

§3 ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG

I.Định nghĩa:

Một đường thẳng được gọi là vuông góc

với một mặt phẳng nếu nó vuông góc với

mọi đường thẳng nằm trên mặt phẳng đó

d

P

ĐL2: (Ba đường vuông góc) Cho đường

thẳng a không vuông góc với mp(P) và

đường thẳng b nằm trong (P) Khi đó, điều

kiện cần và đủ để b vuông góc với a là b

vuông góc với hình chiếu a’ của a trên (P)

§4 HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC I.Định nghĩa: Hai mặt phẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 900

ĐL2:Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông

góc với nhau thì bất cứ đường thẳng a nào

nằm trong (P), vuông góc với giao tuyến

của (P) và (Q) đều vuông góc với mặt

phẳng (Q)

(P) (Q) (P) (Q) d a (Q)

ĐL3: Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông

góc với nhau và A là một điểm trong (P) thì

đường thẳng a đi qua điểm A và vuông góc

ĐL4: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng

vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao

tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng

thứ ba

(P) (Q) a(P) (R) a (R)(Q) (R)

§5 KHOẢNG CÁCH

1 Khoảng cách từ 1 điểm tới 1 đường thẳng, đến 1 mặt

phẳng:

Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng a (hoặc đến mặt

phẳng (P)) là khoảng cách giữa hai điểm M và H, trong đó H là

hình chiếu của điểm M trên đường thẳng a ( hoặc trên mp(P))

d(O; a) = OH; d(O; (P)) = OH

O

H O

P

2 Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song:

Khoảng cách giữa đường thẳng a và mp(P) song song với a là

khoảng cách từ một điểm nào đó của a đến mp(P)

d(a;(P)) = OH

a

H O

P

3 Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song:

là khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên mặt phẳng này đến mặt

phẳng kia d((P);(Q)) = OH H

O

Q P

4 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: là độ dài

đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó

A

b a

§6 GÓC

1 Góc giữa hai đường thẳng a và b

là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua một điểm và lần

lượt cùng phương với a và b

b' b

a' a

2 Góc giữa đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P)

là góc giữa a và hình chiếu a’ của nó trên mp(P)

Đặc biệt: Nếu a vuông góc với mặt phẳng (P) thì ta nói rằng góc

Hoặc là góc giữa 2 đường thẳng nằm trong 2 mặt phẳng cùng

vuông góc với giao tuyến tại 1 điểm

b a

Q P

4 Diện tích hình chiếu: Gọi S là diện tích của đa giác (H) trong

mp(P) và S’ là diện tích hình chiếu (H’) của (H) trên mp(P’) thì

S' Scos 

B A

S

Phần 2 CÁC DẠNG BÀI TẬP CỤ THỂ

Dạng 1 KHỐI CHÓP CÓ CẠNH BÊN VUÔNG GÓC VỚI ĐÁY (Với khối chóp loại này đường cao

chính là độ dài cạnh bên vuông góc với đáy)

1. Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với AC = a biết SA vuông góc vớiđáy ABC và SB hợp với đáy một góc 60o Tính thể tích khối chóp

2. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh a và SA vuông góc đáy ABCD và mặtbên (SCD) hợp với đáy một góc 60o.Tính thể tích hình chóp SABCD và khoảng cách từ A đến mặtphẳng (SCD).

3. Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với BA=BC=a biết SA vuông góc vớiđáy ABC và SB hợp với (SAB) một góc 30o Tính thể tích hình chóp

4. Cho hình chóp SABC có SB = SC = BC = CA = a Hai mặt (ABC) và (ASC) cùng vuông góc với(SBC) Tính thể tích hình chóp

5. Cho khối chóp SABC có đáy ABC là tam giác cân tại A với BC=2a, � BAC 120  o, biếtSA (ABC) vàmặt (SBC) hợp với đáy một góc 45o Tính thể tích khối chóp SABC

6. Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B biết AB = BC = a , AD = 2a ,

SA (ABCD) và (SCD) hợp với đáy một góc 60o Tính thể thích khối chóp SABCD

7. Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và góc nhọn A bằng 60o và SA (ABCD).Biết rằng khoảng cách từ A đến cạnh SC = a.Tính thể tích khối chóp SABCD

8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, các mặt bên (SAB) và (SAD) vuông góc vớiđáy, SA = AB = a, góc SDA 30 �  0 Tính thể tích khối chóp S.ABCD

9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông với đáy, góc giữa SC và (SAB) bằng

450 Gọi G là trọng tâm tam giác SAB.Tính thể tích khối chóp G.ABCD

10.Cho hình chóp S.ABCD có đáy ACBD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳmg (ABCD),góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ACBD) bằng 450 Tính theo a thể tích của khối chóp

S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB, AC (THPT QG 2015)

11. Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác cân tại B, �ABC1200, AB a , SB vuông góc vớimặt phẳng ABC , góc giữa hai mặt phẳng SAC và ABC bằng 450 Gọi M là trung điểm của

AC và N là trung điểm của SM Tính theo a thể tich khối chóp S ABC. và khoảng cách từ C đếnmặt phẳng ABN (dự bị THPT QG 2015)

12.Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy Gọi M,N lần lượt làtrung điểm của BC và CD, góc giữa (SMN) và (ABCD) bằng 300 Tính thể tích khối chóp S.ABCD

13. Hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân (BA = BC), cạnh bên SA vuông góc với mặt

phẳng đáy và có độ dài là a 3, cạnh bên SB tạo với đáy một góc 600 Tính thể tích khối chóp và diệntích toàn phần của hình chóp

14.Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB=a, AD=2a, SA (ABCD) và SA=a.

Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBM) với M làtrung điểm của CD

15.Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB = a AD = 2a Cạnh SA vuông góc vớiđáy, góc giữa SB và mặt đáy là 450.

a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD

b) Gọi H, K lần lượt là trung điểm của SB và SC Tính thể tích khối chóp S.AHKD

16.Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với BA = BC = a biết SA vuông gócvới đáy và SC hợp với (SAB) một góc 300 Tính thể tích khối chóp S.ABC

17.Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, AB BC a  ,CD 2a, SAvuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA a Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từđiểm D đến mặt phẳng (SBC)

18.Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B biết AB = AC = a, AD = 2a,

SA vuông góc với đáy và (SCD) hợp với đáy một góc 600 Tính thể tích khối chóp S.ABCD

19.Cho hình chóp S.ACB có đáy ABC là tam giác vuông cân (BA BC ), cạnh SA vuông góc với mặtphẳng đáy và có độ dài bằng a 3, cạnh bên SB tạo với mặt đáy một góc 600 Tính thể tích khối chópS.ABC và diện tích toàn phần của hình chóp

20.Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳngđáy Đường SD tạo với mặt phẳng (SAB) một góc 300 Tính thể tích của khối chóp S ABCD. theo a

21.Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, BAC� = 300, SA = AC = a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABC).Tính V S.ABC và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).

22.Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB = a, BC = 2a Hai mặt bên (SAB) và (SAD) vuông góc với đáy, cạnh SC hợp với đáy một góc 600 Tính thể tích khối chóp S.ABCD.

23.Cho khối chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt đáy (ABC), tam giác ABC vuông cân tại B, SA= a, SB

hợp với đáy một góc 300 Tính thể tích của khối chóp S.ABC.

24.Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a SA(ABCD) và SA = a Gọi M, N lầnlượt là trung điểm AD, SC Tính thể tích tứ diện BDMN và khoảng cách từ D đến mp(BMN)

25.Hình không gian Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B SA (ABC) ,SA=AB=a; BC=a 3 Gọi I là trung điểm SB, G là trọng tâm tam giác ABC Tính theo a thể tích khối

tứ diện GSIC

26.Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA (ABCD), SB = a 3, gọi M là trung điểm

AD Tính theo a thể tích khối chóp SABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SM và AB

27.Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB a Cạnh bên SA vuông góc với mặtphẳng đáy, SC tạo với mặt phẳng đáy một góc 450 và SC2a 2 Tính thể tích khối chóp S ABCD

và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng SCD theo a