HÌNH HỌC 12 CHƯƠNG HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN

a Chứng minh 4 điểm đĩ khơng đồng phẳng; b Tính độ dài đường cao của ABC kẻ từ A và bán kính đường trịn nội tiếp  đĩ; c Tính gĩc giữa hai đường thẳng AB và CD; d Tính thể tích tứ diện

… HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN …

 Trong không gian toạ độ Oxyz, các véctơ i

, j

, k không đồng phẳng Cho

u

, khi đó tồn tại duy nhất bộ ba số x, y, z sao cho u

= x.i

+ y j+ z.k thì bộ

3 số(x; y; z) được gọi là toạ độ của u

0 90 Góc giữa hai véctơ là  thì 0 0

= j

 – k

a) Tìm toạ độ của véctơ a

; c) Tính a

.b

và b.c

; d) Tính cos(a

,b) và cos(b

,c)

c) a

.b

= 6 + 0 + (–16) = –10; b

.c = 0 + 0 + (–4) = –4

d) cos(a

,b) = 10 229.5 29

 , cos(b

,c) = 4 2 2

5

5 2

4) TÍCH CĨ HƯỚNG HAI VÉCTƠ:

 Định nghĩa:

 Trong khơng gian toạ độ Oxyz, tích cĩ hướng của hai véctơ u1x y z1; 1; 1

, u2 x y z2; 2; 2

là một véctơ cĩ toạ độ được xác định như sau: [u1

; [ j,k] = i

, [k,i

] = j

 Tính chất:

 Véctơ [u1

,u2] vuơng gĩc với cả hai véctơ u1

và u2, tức là [u1

,u2].u1 = [u1,u2].u2 = 0

 Vd2 Trong khơng gian toạ độ Oxyz cho A(0; 1; 1), B(–1; 0; 2), C(–1; 1; 0), D(2; 1; –2)

a) Chứng minh 4 điểm đĩ khơng đồng phẳng;

b) Tính độ dài đường cao của ABC kẻ từ A và bán kính đường trịn nội tiếp  đĩ;

c) Tính gĩc giữa hai đường thẳng AB và CD;

d) Tính thể tích tứ diện ABCD và độ dài đường cao của tứ diện kẻ từ đỉnh D

Mặt cầu ( tâm I(a; b; c) bán kính R có phương trìnhS S x a  y b  zc R

 Đặt d = a2b2c2R2 với R2a2b2c2d 0 ( ) :S x2y2z22ax2by2czd 0 là phương trình mặt cầu dạng khai triển có tâm I(a; b; c) và bán kính R = a2b2c2d

 Vd3 Viết phương trình mặt cầu có đường kính AB với A(1; –2; 3), B(5; 4; 1)

Giải: I là trung điểm AB  I(3; 1; 2), R =

3 b

 + 3c

; b) Tính toạ độ e

= a – 4b –2c

– k); w

= 2i

– k + 3j

a) Tìm toạ độ của các véctơ đó; b) Tìm côsin của các góc ( v

.v, u.w

, v.w

59; cos(v

,k) = 559

và v trong mỗi trường hợp sau:

+ 17v).(3u – v) = 0  3k 2

 12k – 425 + (51–k).2.5.(–1

2) = 0  17k – 680 = 0  k = 40

6) Cho hình hộp ABCD.ABCD biết A(1; 0; 1), B(2; 1; 2), D(1; –1; 1), C(4; 5; –5) Tính toạ độ các đỉnh còn lại của hình hộp

7) Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu có phương trình sau:

3 2

I   

  và R =

196

c) I(4; –1; 0), R = 4 d) I(–1; 1

2;

52

), R = 7 6

6 8) Lập phương trình mặt cầu trong các trường hợp sau đây:

a) Đường kính AB với A(4; –3; 7), B(2; 1; 3); b) Đi qua A(5; –2; 1) và tâm C(3; –3; 1)

9) Trong mỗi trường hợp sau, hãy viết phương trình mặt cầu:

a) Đi qua ba điểm A(0; 8; 0), B(4; 6; 2), C(0; 12; 4) và có tâm nằm trên mặt phẳng Oyz

b) Có bán kính bằng 2, tiếp xúc mặt phẳng Oyz và có tâm nằm trên tia Ox

c) Có tâm I(1; 2; 3) và tiếp xúc mặt phẳng Oyz

10) Cho điểm M(a; b; c)

a) Tìm hình chiếu vuông góc của M trên các mặt phẳng toạ độ và trên các trục toạ độ

b) Tìm khoảng cách từ điểm M đến các mặt phẳng toạ độ và đến các trục toạ độ

c) Tìm toạ độ các điểm đối xứng với M qua các mặt phẳng toạ độ

Tương tự: hình chiếu vuông góc của M(a; b; c) lên mặt phẳng Oyz làM (0; b; c) 2

Tương tự: hình chiếu vuông góc của M(a; b; c) lên mặt phẳng Oxz làM3(a; 0; c)

b) Gọi M (x; 0; 0) là hình chiếu vuông góc của M(a; b; c) lên trục Ox x

 MM i  x 0

 

 (x – a).1 + (0 – b).0 + (0 –c).0 = 0  x = a  M (a; 0; 0) x

Tương tự: hình chiếu vuông góc của M(a; b; c) lên trục Oy làM y(0; b; 0)

Tương tự: hình chiếu vuông góc của M(a; b; c) lên trục Oy làM z(0; 0; c)

d(M(a; b; c), (Oxy)) = MM1= 0202c2 = |c|; d(M(a; b; c), (Oyz)) = MM2= |a|;

d(M(a; b; c), (Oxz)) = MM = |b|; 3 d(M(a; b; c);Ox) = MM = x b2c2 ;

d(M(a; b; c),Oy) = MM y= a2c2; d(M(a; b; c),Oz) = MM z= a2b2 ;

c) Gọi M  là đối xứng của M(a; b; c) qua mặt phẳng Oxy thì 1 M (a; b; 0) là trung điểm của 1 M  M  1

1

M  (a; b; –c) Tương tự: M 2 (–a; b; c) và M 3 (a; –b; c)

11) Cho hình bình hành ABCD với A(–3; –2; 0), B(3; –3; 1), C(5; 0; 2) Tìm toạ độ đỉnh D và tính góc giữa hai véctơ AC

x y z



12) Tìm toạ độ M thuộc trục Ox sao cho M cách đều hai điểm A(1; 2; 3) và B(–3; –3; 2)

 Hướng dẫn: M  Ox  M(x; 0; 0), MA = MB  2 2

MA MB  x = –1  M(–1; 0; 0) 13) Xét sự đồng phẳng của ba véctơ u

, v, w

trong các trường hợp sau:

= 10 + 0 – 10 = 0  u

, v, w

đồng phẳng b) Không đồng phẳng

14) Cho ba điểm A(1; 0; 0), B(0; 0; 1), C(2; 1; 1)

a) Chứng minh A, B, C không thẳng hàng; b) Tính chu vi và diện tích ABC;

c) Tính độ dài đường cao ABC kẻ từ đỉnh A; c) Tính các góc của ABC

2BC.AH  AH =

2S

305d) ABC vuông tại A  cosB = AB

BC =

2

5 ; cosC =

35

AC

BC 

15) Cho bốn điểm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), D(–2; 1; –2)

a) Chứng minh rằng A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện

b) Tính góc giữa đường thẳng chứa các cạnh đối của tứ diện đó

c) Tính thể tích tứ diện ABCD và độ dài đường cao của tứ diện kẻ từ đỉnh A

 Vd2 Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A(0; 1; 1), B(1; –2; 0), C(1; 0; 2)

= (–6; 2; –2) = –2(2; –1; 1) làm véctơ pháp tuyến  (P): 3x – y + z + 3 = 0

c) Các trường hợp riêng: Cho mặt phẳng (P): AxBy Cz D0

 D = 0  (P) đi qua gốc toạ độ O(0; 0; 0;)

 A = 0  (P) //  Ox; B = 0  () //  Oy; C = 0  () //  Oz (song song hoặc chứa)

 A = B = 0  (P) //  Oxy; B = C = 0  () //  Oyz; A = C = 0  () //  Oxz

 A  0, B  0 và C  0, đặt a = D

A

, b = D

B

, c = D

C

  trở thành x y z 1

ab c   thì  được gọi là phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn, tức là  qua A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c)

 Vd4 Trong không gian Oxyz cho M(30; 15; 6)

a) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua các hình chiếu của M lên các trục toạ độ

b) Tìm toạ độ hình chiếu H của O trên mặt phẳng (P)

 Vd5  1 : 2x – my + 10z +m + 1 = 0 và  2 : x – 2y + (3m + 1)z – 10 = 0 Tìm m để:

a)  1 //  2 ; b)  1   2 ; c)  1 cắt  2 ; d)  1  2

Giải:

a) Không tìm được m thoả (2; –m; 10) = k(1; –2; 3m + 1)   1 không //  2

b) Không tìm được m thoả (2; –m; 10; m + 1) = k(1; –2; 3m + 1; –10)   1 không trùng  2 c) Từ a) và b)   1 và  2 luôn cắt nhau m

d)  1   2  2.1 + m.2 + 10.(3m + 1) = 0  32m + 12 = 0  m = 3

8



 Vd6 Viết phương trình () đi qua M(1; –2; 3) và song song (): 2x – 3y + z + 5 = 0

Giải: () đi qua M và nhận véctơ pháp tuyến n

= (2; –3; 1) của mặt phẳng () làm véctơ pháp tuyến

là véctơ pháp tuyến của ()

 n

AB

và n

n  n = [AB

,n] = (–1; 13; 5)  (): –1(x – 3) + 13(y – 1) + 5(z + 1) = 0  x – 13y – 5z + 5 = 0

3) a) Lập phương trình của các mặt phẳng toạ độ Oxy, Oyz, Oxz

b) Lập phương trình các mặt phẳng đi qua M(2; 6; –3) và lần lượt song song với các mặt phẳng toạ độ

 Hướng dẫn:

a) Mặt phẳng Oxy qua O(0; 0; 0) và nhận k

= (0; 0; 1) là véctơ pháp tuyến  (Oxy): z = 0 Tương tự: (Oyz): x = 0, (Oxz): y = 0

b) () qua M(2; 6; –3) và () // (Oxy) nhận véctơ k

= (0; 0; 1) là véctơ pháp tuyến  ():z + 3 = 0 Tương tự: x – 2 = 0 và y – 6 = 0

a) Hãy viết phương trình của các mặt phẳng (ACD) và (BCD)

b) Hãy viết phương trình mặt phẳng () đi qua AB và song song với cạnh CD

7) Trong mỗi trường hợp sau, viết phương trình mặt phẳng:

a) Đi qua ba điểm M(2; 0; –1), N(1; –2; 3), P(0; 1; 2);

b) Đi qua hai điểm A(1; 1; –1), B(5; 2; 1) và song song trục Oz;

c) Đi qua điểm (3; 2; –1) và song song mặt phẳng có phương trình x – 5y + z = 0;

d) Đi qua hai điểm A(0; 1; –1), B(–1; 0; 2) và vuông góc mặt phẳng x – y + z + 1 = 0;

e) Đi qua điểm M(a; b; c) (với abc  0) và song song với một mặt phẳng toạ độ;

f) Đi qua G(1; 2; 3) và cắt các trục toạ độ tại các điểm A, B, C sao cho G là trọng tâm ABC

g) Đi qua điểm H(2; 1; 1) và cắt các trục toạ độ tại các điểm A, B, C sao cho H là trực tâm của ABC

= (4; 1; 2), k

= (0; 0; 1)  n

= [AB

,k] = (1; –4; 0)  (): x – 4y + 3 = 0

c) () // (): x – 5y + z = 0  véctơ pháp tuyến n

= (1; –5; 1)  (): x – 5y + z + 8 = 0 d) AB

 k

= (0; 0; 1)  (): z – c = 0

Tương tự: () // (Oyz)  (): x – a = 0; () // (Oxz)  (): y – b = 0

f) Gọi A  Ox, B  Oy, C  Oz  A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c), G(1; 2; 3) là trọng tâm ABC 

a3;b6;c  phương trình đoạn chắn: 9 1

3 6 9

x y z

    6x + 3y + 2z – 18 = 0 g) OH

= (2; 1; 1) Tứ diện OABC có H là trực tâm ABC và OA, OB, OC đôi một vuông góc

 OH  (ABC)  véctơ pháp tuyến n

Mặt cầu đã cho có tâm I(1; 2; 3) và bán kính R = 4

Vì (P) song song với mặt phẳng 4x + 3y – 12z + 1 = 0 nên có phương trình là: 4x + 3y – 12z + D = 0 (D

§3 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN.

1) PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ, CHÍNH TẮC CỦA ĐƯỜNG THẲNG:

 Trong không gian toạ độ Oxyz, đường thẳng  đi qua M0x y z0; 0; 0 và nhận véctơ uu u u1; 2; 3

làm véctơ chỉ phương

 Điều kiện cần và đủ để điểm M x y z ; ;  nằm trên  là M M0

cùng phương véctơ u

 M M0

= t u 

 Vd1 Trong không gian Oxyz cho A(–3; 2; –5), B(–5; 3; –1), C(0; 5; –2), D(5; –3; 1)

a) Viết phương trình tham số, chính tắc của đường thẳng AB, AC;

b) Chứng minh ABCD là một tứ diện; Viết phương trình tham số đường cao DH của tứ diện ABCD; c) Tìm toạ độ H và tính độ dài DH

Vì không thoả phương trình (ABC)  D  (ABC)  ABCD là một tứ diện

HD  (ABC)  DH nhận vtpt của (ABC) làm véctơ chỉ phương  DH:

5

3 21

 Đường thẳng d đi qua điểm 1 A (1 x y z ) có véctơ chỉ phương 1; 1; 1 u1

cùng phương

 a b c1: 1: 1a2:b2:c2(x2x1) : (y2y1) : (z2z1)  1 2

2 1 2

[ , ] 0[ , ] 0

= (m; 2; –3), A2(m; 0; 1 – m), u2

= (–2; m; 1), A A1 2

= (m – 1; –m; 0), [u1

4; 1) không cùng phương  hai đ thẳng cắt nhau

 Vd4 Cho đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng

(): x + y = 0 và (): 2x – y + z – 15 = 0 Xét vị trí tương đối của d với d:

1

2 23

3) BÀI TOÁN VỀ KHOẢNG CÁCH:

 Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d M0 có véctơ chỉ phương u

 



[ , ]

| |

u M M u

= u2  Thể tích V = |[M A1

 Góc giữa hai đường thẳng cos  cosu u 1, 2

1) Viết phương trình tham số của đường thẳng d trong mỗi trường hợp sau:

a) d đi qua điểm M(5; 4; 1) và có véctơ chỉ phương a

= (2; –3; 1);

b) d đi qua điểm A(2; –1; 3) và vuông góc mặt phẳng (): x + y – z + 5 = 0;

c) d đi qua điểm B(2; 0; –3) và song song với đường thẳng :

1 2

3 34

2) Viết phương trình tham số của đường thẳng là hình chiếu vuông góc của đường thẳng d:

 Hướng dẫn:

a) M0.(2; –3; 1)  d, M1là hình chiếu vuông góc của M0 trên mp(Oxy)  M1(2; –3; 0),

Gọi ()  d và ()  (Oxy)  vtpt của () là n

= [u,k] = (2; –1; 0)

Gọi d là là hình chiếu vuông góc của d trên mp(Oxy)  1 d = ()  (Oxy) 1

 vtcp của d là 1 u1



= [ n,k] = (–1; –2; 0)  d : 1

2

3 20

Gọi ()  d và ()  (Oxy)  vtpt của () là n

= [u,i

Vậy hai đường thẳng cắt nhau khi a = 0

4) Tính khoảng cách giữa đường thẳng :

b) Tìm toạ độ điểm A đối xứng với A qua đường thẳng 

 Hướng dẫn:

a) Gọi H(2 + t; 1 + 2t; t) là hình chiếu vuông góc của A lên , AH

= (1+ t; 1+ 2t; t) Do AH

 u  1.(1+ t) + 2.(1+ 2t) + 1.t = 0  t = –1

6) Cho điểm M(1; 4; 2) và mặt phẳng (): x + y + z – 1 = 0

a) Tìm toạ độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng ()

b) Tìm toạ độ điểm M đối xứng với M qua mặt phẳng ()

= 3  0  u

, 'u

, MM'  d và d chéo nhau

8) Viết phương trình tham số và chính tắc (nếu có) của các đường thẳng sau đây:

a) Các trục toạ độ Ox, Oy, Oz;

b) Đi qua điểm M0x y z0; 0; 0 với x y z 0 0 0 0 và song song với mỗi trục toạ độ;

c) Đường thẳng đi qua điểm M(2; 0; –1) và có véctơ chỉ phương u

= (–1; 3; 5);

d) Đường thẳng đi qua điểm N(–2; 1; 2) và có véctơ chỉ phương u

= (0; 0; –3);

e) Đường thẳng đi qua điểm N(3; 2; 1) và vuông góc với mặt phẳng 2x – 5y + 4 = 0

f) Đường thẳng đi qua hai điểm P(2; 3; –1) và Q(1; 2; 4)

0

0

x

y t z

00

x y

 :

0 0 0

23

e) Véctơ chỉ phương u

= (2; –5; 0)  : x 3 2 ;t y 2 5 ;t z1 f) PQ

Gọi M1là hình chiếu vuông góc của M lên (Oxy)  M1(1; –2; 0) và d1là hình chiếu vuông góc của d lên (Oxy)  vtcp của d1 là u1

0

2 33

x t y

a) Tìm một véctơ chỉ phương của d và một điểm nằm trên d

b) Viết phương trình mặt phẳng đi qua d và vuông góc với mặt phẳng (P)

c) Viết phương trình hình chiếu vuông góc của d trên mặt phẳng (P)

c) Hình chiếu vuông góc của d trên mặt phẳng (P) là d= (P)  (Q)

] = (3; –4; 2) d có véctơ chỉ phương u'

1 61

 Hướng dẫn:  là đường thẳng cắt d2, d3 và song song d1

a) Chứng tỏ rằng hai đường thẳng đó chéo nhau

b) Viết phương trình mặt phẳng đi qua gốc tọa độ O, song song với cả d và 1 d 2

c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng d1 và d2

d) Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng đó



= [u1



,n] = (9; –6; –3) = 3(3;–2; –1)  (): 3x – 2y – z – 6 = 0

 = ()  () Gọi M   toạ độ M là nghiệm hệ phương trình

x y z

  ; (): 2x + y + z – 8 = 0 a) Tìm góc giữa d và ()

b) Tìm tọa độ giao điểm của d và ()

c) Viết phương trình hình chiếu vuông góc của d lên ()

b) Thay d vào phương trình ()  t = 1

b) Viết phương trình đường thẳng đi qua A, nằm trong (P) và vuông góc với Δ

a) d:

1

11

= –4 ≠ 0 nên d và d chéo nhau

Khoảng cách hai đường thẳng là   1 2 1 2

1 2

[ , ], '

ÔN TẬP & KIỂM TRA CHƯƠNG.

1) Cho bốn điểm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), D(–2; 1; –1)

a) Chứng minh A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện

b) Tìm góc giữa hai đường thẳng AB và CD

c) Tính độ dài đường cao hình chóp A.BCD

a) Tìm tọa độ tâm I và tính bán kính r của mặt cầu (S)

b) Lập phương trình của mặt cầu (S)

c) Lập phương trình của mặt phẳng () tiếp xúc mặt cầu (S) tại điểm A

a) Viết phương trình mặt phẳng (BCD) Suy ra ABCD là một tứ diện

b) Tính chiều cao AH của tứ diện ABCD

c) Viết phương trình mặt phẳng () chứa AB và song song CD

5) Cho 4 điểm A(1; 6; 2), B(4; 0; 6), C(5; 0; 4), D(5; 1; 3)

a) Chứng minh 4 điểm đó không đồng phẳng

b) Tính thể tích tứ diện ABCD

c) Viết phương trình mặt phẳng (BCD)

d) Viết phương trình mặt cầu tâm A tiếp xúc mặt phẳng (BCD) Tìm tọa độ tiếp điểm

b) Tìm giao điểm của d và ()

c) Viết phương trình đường thẳng  đi qua A, vuông góc với giá của a

6(1 + 3t) – 2(–1 + 2t) – 3(3 – 5t) + 1 = 0  t = 0  M(1; –1; 3)

Vì giá của a

vuông góc () nên vuông góc với mọi đường thẳng có trong ()  đi qua A () và vuông góc với giá của a

nên   ()  cắt d thì  đi qua M, do vậy  có vtcp

Ta có: () tiếp xúc với (S)  d(I, ()) = r  20 6 65 5

9) Cho M(2; 1; 0) và mặt phẳng (): x + 3y – z – 27 = 0 Tìm tọa độ điểm M đối xứng với M qua ()

 Hướng dẫn:

Gọi d là đường thẳng đi qua M và vuông góc mặt phẳng ()  d: x 2 t y;  1 3 ;t z  t

d cắt () tại H(2 + t; 1 + 3t; –t) nên H()  (2 + t) + 3(1 + 3t) – (–t) – 27 = 0  t = 2

Vậy H(4; 7; –2) M(x; y; z) đối xứng M qua () nên H là trung điểm MM  M(6; 13; –4)

10) Cho hai điểm A(1; –1; –2) và B(3; 1; 1) và mặt phẳng (P): x – 2y + 3z – 5 = 0

a) Tìm tọa độ A đối xứng với A qua mp(P)

b) Tìm góc giữa đường thẳng AB và mp(P)

c) Viết phương trình mp(Q) đi qua A, B và vuông góc mp(P)

d) Tìm tọa độ giao điểm I của đường thẳng AB với mp(P) Viết phương trình đường thẳng  nằm trong (P), đi qua I và vuông góc với AB

 Hướng dẫn:

a) (P) có vtpt là n

= (1; –2; 3) Gọi H là hình chiếu của A lên (P)  AH: x 1 t y;   1 2 ;t z  2 3t

Vì H = AH  (P) nên thay phương trình đường thẳng vào phương trình mặt phẳng ta có t = 4

P P

11) Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) có phương trình (P): 2x – y + z + 2 = 0 và (Q): x + y + 2z – 1 = 0

a) Chứng minh rằng (P) và (Q) cắt nhau Tìm góc giữa hai mặt phẳng đó

b) Viết phương trình đường thẳng d đi qua A(1; 2; –3), song song cả (P) và (Q)

c) Viết phương trình mp(R) đi qua B(–1; 3; 4), vuông góc cả (P) và (Q)



và nQ nên d: x 1 t y;  2 t z;   3 t

c) Mặt phẳng (R) đi qua B(–1; 3; 4), vuông góc cả (P) và (Q) nên có véctơ pháp tuyến

u



= (–2; 1; –5) nên không song song Mặt khác khi thay phương trình đường thẳng d vào phương trình đường thẳng d chúng vô nghiệm do đó d và d không cắt nhau Vậy d và d chéo nhau

Gọi M(t; –4 + t; 3 – t) và M(1 – 2t; –3 + t; 4 – 5t) lần lượt là giao điểm của  với d và d Ta có MM'

a) Viết phương trình đường thẳng d là hình chiếu vuông góc của d trên mp(P)

b) Viết phương trình d1 là hình chiếu song song của d trên mp(P) theo phương Oz

c) Viết phương trình đường thẳng đi qua gốc tọa độ O, cắt d và song song với mp(P)

a) Viết phương trình mp(P) đi qua A và d1

b) Viết phương trình mp(Q) đi qua A và d 2

c) Viết phương trình đường thẳng d đi qua A, cắt d1 và d2

c) Đường thẳng d đi qua A, cắt cả d1 và d2 nên d nằm trên cả hai mặt phẳng (P) và (Q)

b) Tính khoảng cách giữa d và d

c) Viết phương trình đường vuông góc chung của d và d

d) Viết phương trình đường thẳng song song với Oz, cắt cả d và d

Gọi () d1 và qua d M(0; 1; 6)  n u u 1,  14 1;1; 1  

b) Viết phương trình mp(P) đi qua d và vuông góc với d; mp(Q) đi qua d và vuông góc d

c) Viết phương trình chính tắc của đường vuông góc chung của d và d

= 2i

+ 2j

–k a) Chứng minh AB  AC, AC  AD, AD  AB Tính thể tích khối tứ diện ABCD

b) Viết phương trình tham số của đường vuông góc chung  của hai đường thẳng AB và CD Tính góc giữa  và mặt phẳng (ABD)

c) Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A, B, C, D Viết phương trình tiếp diện (α) của mặt cầu (S) song song mặt phẳng (ABD)

a) Tìm toạ độ A giao của đường thẳng d và mặt phẳng (P)

b) Cho đường thẳng d1 có phương trình 2 2 3

Hệ vô nghiệm nên đường thẳng d và d1 chéo nhau

Mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng d  M(1; 1; –1) và song song đường thẳng d nên có véctơ pháp tuyến 1