Với x < 0, bất phỷơng trình tỷơng đỷơng với 21-x + 1 2x. Trên mặt phẳng tọa độ, xét đồ thị các hàm y1 = 21-x + 1, y 2 = 2x. Hàm y1 là nghịch biến, hàm y 2 là đồng biến, đồ thị của chúng cắt nhau tại điểm x = 1, y = 2. Từ đó suy ra nghiệm của bất phỷơng trình đã cho : x < 0 ; 1 x.
Trang 1www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng – Phiên bản 1.0
Câu I 1) 1
2(1 + a )(1 + b ) =
1
2(1 + a b + a + b )
2 2 2 2 2 2 =12[(1 - ab) + (a + b)2 2] ↔ |1 - ab| |a + b|,
từ đó suy ra kết quả cần chứng minh
2) Vế trái của bất phỷơng trình có nghĩa khi x ạ 0 Với x > 0 ị 2x > 1, bất phỷơng trình tỷơng đỷơng với
21-x- 2x + 1 Ê 0 Û 21-x+ 1 Ê 2x
Với x < 0, bất phỷơng trình tỷơng đỷơng với 21 −x
+ 1³ 2x
Trên mặt phẳng tọa độ, xét đồ thị các hàm y1= 21-x
+ 1,
y2 = 2x Hàm y1 là nghịch biến, hàm y2 là đồng biến, đồ thị của chúng cắt nhau tại điểm x = 1, y = 2 Từ đó suy ra nghiệm của bất phỷơng trình đã cho : x < 0 ; 1 Ê x
Câu II Giả sử h, l là độ dài các đỷờng cao và đỷờng phân giác trong xuất phát từ đỉnh A Ta có
h
l
AH
A
= =sin ^ =sin( + ),
2
vậy h
A
B A
2
2
2
2
1
2 1 2
sin ( )
[ cos( )]=
1
2 1 + cos(B - C) = cos
B - C 2 2
Mặt khác, ta biết rằng (xem lời giải đề số 94)
r
R = 4sin
A
2 sin
B
2 sin
C
2 = 2sin
A
2 cos
B - C
2 - cos
B + C 2
=
=2sinA2 cos B - C
2 - 2sin
A 2
Ta cần chứng minhh
l
2r R
2
cos B - C
2 4sin
A
2 cos
B - C
2 - 4sin
A 2
hay cos B - C
2 - 2sin
A
2
≥ . Bất đẳng thức này đúng Dấu = xảy ra khi
Trang 2www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng – Phiên bản 1.0
cos B - C
2 = 2sin
A
2 ị
Û 2cosB- C2 sinB + C
2 =4sin
A
2 cos
A 2
Û sinB + sinC = 2sinA
Û (theo định lí hàm số sin) 2a = b + c
Câu III 1) Đặt t = sinx + 2 - sin x2 thì |t|Ê 1 + 2, và
t2
= 2 + 2sinx 2 - sin x2 , phỷơng trình đã cho trở thành t2
+ 2t - 8 = 0
Nghiệm t = -4 bị loại Với t = 2, suy ra sinx = 1ị x =π
2 + 2kπ(kẻ Z).
2) Kẻ đỷờng chéo AC : ABC là tam giác cân đáy AC,
gọiαlà góc nhọn ở đáy Chỉ cần xéttrỷỳõng hợp ABCD
là tứ giác lồi vàACD^ =π/2 Gọi S là diện tích của tứ giác ABCD
Ta có : S = dt(ABC) + dt(ACD) =1
2a
2sin2α+ a2cosα= a2cosα(1 + sinα)
Cần xác địnhαsao cho y = cosα(1 + sinα)lớn nhất Ta có
y > 0 (vìαnhọn) và
y2 = cos2(1 + sinα)2 = (1 - sinα) (1 + sinα)3
=1
3(3 - 3sinα) (1 + sinα)
3 Ê1
3.
(3 - 3sin + 3 + 3sin )
27 16
4 4
(bất đẳng thức Côsi cho 4 số dỷơng) Vậy y Ê 3 3
4 , dấu đẳng thức chỉ xẩy ra khi
3 - 3sinα= 1 + sinαị sinα= 1
2ịα
π
= 6; khi đó ABCD là nửa lục giác đều cạnh a
Trang 3www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng – Phiên bản 1.0
Câu IVa
1 n 1
n
Câu Va Để ý rằng hệ
2
=
vô nghiệm : đường thẳng (d)
4x + 3y + 46 = 0 không cắt parabol (P)
2
y =64x
Ta hãy tìm điểm M (x , y )o o o trên (P) sao cho tại đó tiếp tuyến song song với (d) : ta có
o
y '
o
y
64
(Như vậy tiếp tuyến ấy có phương trình 4x + 3y + 36 = 0)
Giả sử M là một điểm tùy ý thuộc (P), N là một điểm tùy ý thuộc (d) Lấy N' ∈ (d) sao cho
o
M N '// MN, và gọi No là hình chiếu vuông góc của Mo lên (d) (Hình 12) Hiển nhiên
vậy M No o là đoạn ngắn nhất trong tất cả các đoạn MN Ta có
o o
2 2
5
Nhận xét thêm : đường thẳng M No o có phương trình
3x ư 4y ư 123 = 0,
điểm No có tọa độ
o
Câu IVb
1) ∆ACD = ∆BCD ⇒ AN = BN ⇒ ∆ANB cân ⇒ Trung tuyến NM cũng là chiều cao ⇒ MN ⊥
AB
ACB = ADB ⇒ DM = CM ⇒ CMD cân ⇒ Trung tuyến MN cũng là đường cao ⇒ MN ⊥ CD (2)
Từ (1) và (2) suy ra MN là đường vuông góc chung của AB và CD
2AB
Ta có : AB = AN 2 = 2 a2ưx2 ⇒
Trang 4www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng – Phiên bản 1.0
3) Vì CM ⊥ AB, DM ⊥ AB ⇒ CMD = αn là góc phẳng của nhị diện cạnh AB ⇒
n
NMC
2
α
Muốn nhị diện (AB) vuông thì
o
90
2
α
2
Giải ra đ−ợc x a 3
3
= Khi đó ta cũng có
AB = 2a 3
Vậy muốn nhị diện (AB) vuông thì
CD = 2x = AB = 2a 3
Xác định O : Mặt phẳng (ANB) là mặt phẳng trung trực của đoạn CD, mặt phẳng (CMD) là mặt phẳng trung trực của đoạn AB và MN là giao tuyến của 2 mặt phẳng đó Do đó điểm O cách đều
4 điểm A, B, C, D phải nằm trên MN Đặt OM = y Do OA = OB = OC = OD nên
Vì AB = CD nên y2=(MN−y)2 ⇒ MN = 2y Do đó O là trung điểm của MN
Tính OA : OA2 1(AB2 MN )2
4
2
2 1 4a a 5a OA
a 15
