1) y' = mxm-1(4 - x)2 - 2(4 - x)xm = = xm-1(4 - x)[4m- (m + 2)x] . a) Xét tr-ờng hợp m = 2. Khi đó ph-ơng trình y' = 0 có ba nghiệm x1 = 0 , 2 x 4m m 2 = + và x3 = 4 . Nếu m - 1 chẵn (tức m = 3, 5, 7, ...) thì y' sẽ cùng dấu với (4 - x) [4m - (m + 2)x] và do đó : ymin (4) = 0 và
Trang 1Câu I
1) y' mx = m 1ư (4 x) ư 2ư 2(4 x)x ư m=
m 1
x ư (4 x)[4m (m 2)x]
a) Xét trường hợp m ≥ 2 Khi đó phương trình y' = 0 có ba nghiệm x1= 0, 2 4m
x
m 2
= + và
3
x = 4
Nếu m ư 1 chẵn (tức m = 3, 5, 7, ) thì y' sẽ cùng dấu với
(4 ư x) [4m ư (m + 2)x] và do đó : ymin(4) 0 = và
m m 4 max 2 m 4 m 2
(m 2)
+ +
Nếu m - 1 lẻ (tức m = 2, 4, 6, ) thì dấu của y' là dấu của
x(4 ư x)[4m ư (m + 2) x]
Lập bảng xét dấu sẽ có kết quả
min
y (0) 0 = ; ymax(x ) M2 = , ymin(4) 0 =
b) Đề nghị bạn đọc tự làm cho trường hợp m = 1
2
(y x(4 x) ) = ư
2) Khảo sát, vẽ đồ thị hàm số
2
y x(4 x) = ư
dành cho bạn đọc
Câu II
1) x2ư 2(cosB cosC)x 2(1 cosA) 0 + + ư ≥ (1)
2
' (cosB cosC) 2(1 cosA)
2 C B 2 B C 2 A
2 A 2 B C
ư
Vậy (1) đúng với mọi x
cosx sin x
sin x cosx 3
+
Đặt t cosx sin x( = + ư 2 t ≤ ≤ 2) (2)
thì t2= + 1 2sin x cosx và ta được + =
ư
2
t
3
t 1
Đặt điều kiện t ≠ ±1 sẽ tới
3 2
3t ư 10t + + 3t 10 0 =
tức là : 1 + a + b + c + ab + ac + bc ≥ 0 (2)
Cộng (1) và (2) ta có : abc + 2 (1 + a + b + c + ac + bc + ac) ≥ 0
hay (t 2)(3t ư 2ư ư = 4t 5) 0
Phương trình này có ba nghiệm
1
t = ; 2 t2 2 19
3
ư
t
3 +
=
Trang 22 19 cos x
− =
Đặt 2 19
cos
3 2
−
α = thì đ−ợc hai họ nghiệm :
1
4
π
= + α + π ; x2 2m
4
π
= − α + π
Câu III
1) Đặt điều kiện x - a ≠ 0 ; x + a ≠ 0 thì (1) đ−ợc biến đổi về dạng :
2
x[a 1)x a − + + + a 2b] 0 = (2) Với ∀a, b (2) đều có nghiệm x1= 0
Giải (a 1)x a − + 2+ + a 2b 0 =
Nếu a ≠ 1 có nghiệm
2
2 a a 2b x
1 a
+ +
=
−
Nếu a = 1 ta có : 0x = − 2(1 + b) (3)
Với b ≠ − 1 thì (3) vô nghiệm ; với b = -1 thì (3) nghiệm đúng với ∀x Kiểm tra x2 có thỏa mãn điều kiện x2≠ ± a ?
2
2
2 a a 2b
1 a
+ +
−
≠ a a − 2⇔ 2(a2+ b) 0 ≠ ⇔ ≠ − b a2
2
2 a a 2b
1 a
+ +
Kết luận :
với b ≠ −1 , (1) có nghiệm duy nhất x1= 0 với b = − 1, (1) có nghiệm là ∀x ≠ ± 1
Nếu a ≠ 1 ; 0 thì :
với b ≠ − a2, b ≠ - a, (1) có hai nghiệm
=
1
x 0,
+ +
=
−
2
2 a a 2b
x
1 a
với b = − a2 hoặc b = - a thì (1) có một nghiệm x1= 0
Nếu a = 0 thì (1) có một nghiệm x2 = 2b nếu b ≠ 0 ; (1) sẽ vô nghiệm nếu b = 0
2) Vì a2+ b2+ c2= 1 nên - 1 ≤ a, b, c ≤ 1
Do đó 1 + a ≥ 0 , 1 + b ≥ 0, 1 + c ≥ 0 ⇒ (1 + a) (1 + b) (1 + c) ≥ 0 ⇒
⇒ 1 + a + b + c + ab + ac + bc + abc ≥ 0 (1)
Mặt khác :
2
2
+ + +
Nếu a = 1 thì :
Trang 3Câu IVa 1) Với x>0 ta có
F(x) = x - ln(1 + x) ị F’(x) = 1 - 1
1 + x =
x
1 + x; với x < 0 ta có
F(x) = - x - ln(1 - x)ị F’(x) = - 1 + 1
1 - x =
x
1 - x.
Từ đó suy ra với xạ 0
F’(x) = x
1 + | x|.
Ta chỉ còn phải chứng minh rằng F’(0) = 0 Quả vậy
F’(0) = lim 1
x (F( x) - F(0))
x 0
x x - ln(1 + x) =
x 0
= lim 1 - ln(1 + x)
x 0
∆
∆
∆
→
0,
vì lim ln(1 + x)
x = 1
x 0
∆
∆
∆
2) I =
1
e
∫ xln2xdx
Đổt u x
dv xdx
=
=
ln2
x
x dx
=
=
2 1 2
2
ln
,
suy ra I =1
2 x ln x - xlnxdx =
e
2 - J
2 2 1 e 1
∫
1
e
xlnxdx
Để tính J, đặt
x v
=
=
=
=
ln
1 2
Trang 4suy ra J =1
2
1
1
2
e
ln
−
VËy
I =1
4(e
2
- 1)
C©u Ivb
1) V× K lµ trung®iÓm cña SC, nªn theo h×nhbªn, trong tam gi¸c SAC, SO
vµ AK lµ hai ®ûêng trungtuyÕn c¾t nhau t¹i trängt©m H, vËy
SH
SO =
2
3.
Theo h×nh bªn , ta cã dt(SNH) =SN
SD.
SH
SO dt(SDO) =
=SN
SD .
2
3 .
1
2dt(SDB),dt(SHM) =
SH
SO .
SM
SB dt(SOB)
=2
3 .
SM
SB .
1
2dt (SDB).
§ång thêidt(SNH) + dt(SHM) = dt(SNM) =SN
SD .
SM
SB dt(SDB).
Tõ c¸c hÖ thøc trªn, suy ra1
3 .
SN
SD +
1
3 .
SM
SB =
SN
SD .
SM SD
Û SB
SM +
SD
SN = 3.
2) §ÆtSM
SB = x,
SN
SD= y, theo hÖ thøc trªn ta cã
1
x +
1
y = 3 §ång thêi, do ý nghÜa h×nh häc, ph¶i cã 0 < x £ 1,
0 < y£ 1 V×
1
y = 3
-1
x y =
x 3x - 1
nªn 0< x
3x - 1 ≤ 1
0 <x£ 1 Þ
1
2≤ ≤x 1
Trang 5Ta có theo hình bên
V1 = VSAMN + VSMNK,
VSAMN=SM
SB .
SN
SD .V =
1
2 xyV
VSMNK=SM
SB .
SN
SD .
SK
SC V =
1
4 xyV
SBDC
suy ra V
V =
3
4 xy =
3x 4(3x - 1)
1
2
1
2 ≤ x ≤ 1
Hàm số f(x) = 3x
4(3x - 1)
2
có đạo hàm f’(x) =3x(3x - 2)
4(3x - 1)2 , do vậy trên đoạn
1
2 ; 1
có bảng biến thiên
f 3
8
3 8 1
3
Vậy với1
2 ≤ x ≤ 1thì1
3
V V
3 8
1