1) Gọi BB1 là đ-ờng cao có ph-ơng trình : 9x - 3y - 4 = 0 CC1 là đ-ờng cao có ph-ơng trình : x + y - 2 = 0 Lập ph-ơng trình đ-ờng thẳng AC : đó là đ-ờng thẳng qua A và vuông góc với BB1 ; vì hệ số góc của đ-ờng thẳng BB1 là k = 3 ? hệ số góc của đ-ờng thẳng AC là k = 1 3 - ? Ph-ơng trình cạnh AC là y - 2 = 1 (x 2) 3 - - tức là 3y + x - 8 = 0. Lập ph-ơng trình đ-ờng thẳng AB : đó là đ-ờng thẳng qua A và vuông góc với CC1 ; hệ số góc của đ-ờng thẳng CC1 là -1 ? hệ số góc của đ-ờng thẳng AB là 1
Trang 1Câu I 1) Ta có y’ = x - 2x - m + 1
(x - 1)
2
2 (x ạ 1)
Ta phải tìm m sao cho y’³ 0 trong cả 2 khoảng (- Ơ ; 1) và (1; +Ơ) Û x2 - 2x - m + 1 ³ 0
Û∆‘ = m Ê 0 vì hệ số của x2
bằng1
2) Phỷơng trình tiệm cận xiên là y = x + m + 1 Gọi P và Q là giao điểm của đỷờng tiệm cận xiên với trục hoành và trục tung
Ta có:
yp= 0 Û xp= - m - 1;
xQ= 0 Û yQ= m + 1
2|OP| |OQ| = 8
OPQ
Û (m + 1)2= 16 Û m1= 3 hoặc m2= -5
3) Để đỷờng thẳng y = m cắt đồ thị hàm số tại 2 điểm phân biệt A và B thì phỷơng trình:
x + mx - 1
x - 1
2
= m phải có 2 nghiệm phân biệt ạ 1
Û x2 = 1 - m có 2 nghiệm phân biệt ạ 1 Û 0 ạ m < 1 (1)
Khi đóx1,2= ± 1 - m
OA⊥OB Û tích hệ số góc của 2 đ ờng thẳng OA và OB bằng -1
Û m
x .
m
x
= -1 Û m
m - 1
2
= -1 Û m1,2= -1 5
2
± .
Cả 2 nghiệm đều thỏa mãn(1)
4) Bạn hãy tự giải nhé!
Câu II 1) Đặt A = y 1
x +
1
1
y(x + z)
x +
1 z
(x + z)
Ta phải chứng minhA Ê 0
Trang 2
Ta có A = (x + z) y
xz +
1
y
-1
x
-1 z
= (x + z) y + xz - yz - xy
xyz
2
= (x + z)(x - y)(z - y)
xyz Ê 0 vì 0 < x Ê y Ê z.
2) Biến đổi vế phải bất đẳng thức cần chứng minh và áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số³ 0
ta có:
3a3+ 7b3= 3a3+ 3b3+ 4b3³ 3 3a 3b 4b3 3 3 3 =3ab 3 3 42 2 ≥ 9ab2
Câu III Gọi S là diện tích tam giác, ta có
S = 1
2(a + b + c)r =
1
2ch ị
r
h =
c
a + b + c .
Vì a + b > c nên r
h <
c
c + c = 0,5.
Ta luôn có a2+ b2³ 2ab ị 2c2³ 2a2+ 2b2↔³ a2+ b2+2ab = (a + b)2ị c 2
↔ a + b ịr
h³
c
c 2 + c =
1
2 + 1 = 2 - 1 > 0,4.
Trang 3www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng – Phiên bản 1.0
Câu IVa
1) Ta có
⇒ 3x + 1 = Bx + A + B
⇒ B 3
=
= ư
2) Tìm nguyên hàm của
3
3x 1 y
(x 1)
+
=
dx
2 (x 1) ư dx 3 (x 1) ư dx
= (x 1) + ư2ư 3(x 1) + ư1+ C
Vậy nguyên hàm của
3
3x 1
y
(x 1)
+
=
x 1 (x 1)
+ +
Câu Va
1) Gọi BB1 là đường cao có phương trình : 9x ư 3y ư 4 = 0
1
CC là đường cao có phương trình : x + y ư 2 = 0
Lập phương trình đường thẳng AC : đó là đường thẳng qua A và vuông góc với BB1 ; vì hệ số góc của đường thẳng BB1 là k = 3 ⇒ hệ số góc của đường thẳng AC là k = 1
3
ư ⇒ Phương trình cạnh AC là
y ư 2 = 1(x 2)
3
ư ư tức là 3y + x ư 8 = 0
Lập phương trình đường thẳng AB : đó là đường thẳng qua A và vuông góc với CC1 ; hệ số góc của đường thẳng CC1 là ư1 ⇒ hệ số góc của đường thẳng AB là 1 ⇒ Phương trình cạnh
AB là y ư 2 = x ư 2 ⇒y = x
Lập phương trình cạnh BC :
Giải hệ x 3y 8 0
+ ư =
ta được tọa độ điểm C (ư1, 3) ;
Giải hệ y x 0
ư =
ư ư =
2 2
3 3
⇒ Phương trình cạnh BC là
Trang 42 2
=
⇒ 7x + 5y ư 8 = 0
2) Giả sử hệ số góc của đường thẳng cần tìm là k1, hệ số góc của đường thẳng AC là
1
3
= ư = ,
Vì góc giữa các đường thẳng này là π/4 nên
1
1
1 2
1 k
k
1 3
+
ư
1
1 k
k 1 3
+
=
1 1
1 k
k 1 3
+
= ư
Giải ra ta được : k1 = 1
2 và k1 = ư 2
Vậy một trong những đường thẳng cần tìm có dạng
y ư 2 = 1(x 2)
2 ư ⇔ 2y ư x ư 2 = 0 ,
còn đường thẳng kia là
y ư 2 = ư 2(x ư 2) ⇔ 2x + y ư 6 = 0
Câu IVb
1) Từ AM = AN = AP suy ra SM = SN = SP, vậy SMP và SNP
là hai tam giác cân có cùng cạnh bên Diện tích của
chúng bằng nhau, vậyMP = NP Từ kết quả này suy ra
các tam giác AMP và ANP bằng nhau,
do đó AP là phân giác góc A, mà ABC là tam giác cân,
vậy AP cũng là đường cao và trung tuyến của tam giác đó,
thành thử P là trung điểm
của BC
2) ABP là tam giác vuông, vậy
AM = AP = AB cos a cos
,
dt(AMPN) = 2 dt(AMP) AM.AP sin a cos2 2 sin
thành thử
SAMPN
1
3) (SAP) là mặt phẳng đối xứng của hình chóp S.AMPN, vậy nếu I là một điểm thuộc (SAP) thì khoảng cách từ I đến (SAM) và (SAN) là bằng nhau, khoảng cách từ I đến (SMP) và (SNP)
là bằng nhau
Trang 5www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng – Phiên bản 1.0
Xét giao tuyến của các mặt phẳng phân giác các góc nhị diện (A, SM, P) và (S, AM, P) Hiển nhiên không song song với (SAP), do đó cắt (SAP) tại I Điểm I cách đều các mặt phẳng (SAM), (SPM) và (AMP), vậy cách đều tất cả các mặt của hình chóp S.AMPN, tức là I
là tâm hình cầu nội tiếp hình chóp ấy
Bán kính r hình cầu này có thể tính đ−ợc theo công thức
1
3
trong đó V, S lần l−ợt là thể tích và diện tích toàn phần hình chóp S.AMPN Ta có
dt(SAM) = 1
2AM SA =
1
ha cos
α
Để tính diện tích tam giác cân SMP, gọi H là trung điểm của MP Vì MP là đáy của tam giác cân AMP, nên
Vậy dt (SMP) = MH SH =
và ta đ−ợc
S = 2dt(SAM) + 2dt(SMP) + 2dt(AMP) 2a sin cos h2 a cos2 2 cos2
+ ah cos a cos2 2 sin