ĐỀ CƯƠNG ôn tập TOÁN 9 học kì 2

Vẽ đường tròn tâm O đường kính MC cắt BC tại E, BM cắt đường tròn O tại điểm D.. Chứng minh rằng: a Tứ giác AKNH là tứ giác nội tiếp... 3điểmGọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A xuống B

HỌ TÊN ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN 9 HỌC KÌ 2

x y y

  C

10;

 có kết luận gì về số nghiệm của hệ phương trình đã cho cho:

C Vô số nghiệm D Cả 3 đáp án trên đều sai

 có kết luận gì về số nghiệm của hệ phương trình đã cho cho:

C Vô số nghiệm D Cả 3 đáp án trên đều sai

5)Với giá trị nào của a, b thì hệ phương trình 

by x

y ax

6) Nhận cặp số ( -2; 3 ) là nghiệm:

A a = 4; b = 0 B a = 0; b = 4 C a = 2; b = 2 D a = - 2; b =- 2

7)Hệ phương trình

2x 3y 54x my 2

íï + =

ïî C.

24

14) Phương trình 3x - 2y =1 kết hợp với phương trình nào dưới đây để được một hệ phương trìnnh

là phương trình bậc hai ẩn x khi:

42) Với giá trị nào của m thì phương trình x2 mx 4 0 có nghiệm kép:

24

y x

y x

3 2

2 2

1 2

x x

b, Tìm hệ số a của phương trình đường thẳng (d) y = ax + 4, biết đường thẳng (d) cắt đồ thị (P)tại điểm A có hoành độ là -2

2) Trong hệ trục toạ độ Oxy cho Parabol (P): y =

BÀI 5: Cho phương trình bậc hai ẩn x: x2 + mx + 2m – 4 = 0 (1)

a) Giải phương trình (1) với m = 2

b) Biết phương trình (1) có một nghiệm x1 = 3 Hãy tính nghiệm còn lại x2 và m

b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm phân biệt của phương trình (1) Tìm giá trị nguyên dương của m để biểuthức

BÀI 6: Cho phương trình: x2 + 2(m – 1)x + m2 – 3 = 0 (1) (m là tham số)

a) Giải phương trình (1) với m = 2

b) Tìm giá trị của m để phương trình (1) có nghiệm

c) Tìm giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1; x2 thỏa mãn

x1 + x2 = 52

BÀI 7: Cho phương trình bậc hai: x2 – 2x + m + 3 = 0 (1), (x là ẩn số, m là tham số)

a) Tìm m để phương trình có nghiệm

b) Tìm m để phương trình có nghiệm là 1 tìm nghiệm còn lại

c) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: x1x2 – 2(x1 + x2) = -4

BA 8: Cho phương trình x2 – 2x + m = 0

a) Giải phương trình với m = -15

b) Tìm m để phương trình có nghiệm kép Tìm nghiệm kép đó

c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1; x2 thỏa mãn x12 + x 22 = 8

BÀI 9: Cho phương trình bậc hai 2x2 + 5x + m = 0 (với m là tham số)

a) Giải phương trình với m = 3

b) Tìm m để phương trình có nghiệm kép Tìm nghiệm kép đó

c) Tìm các giá trị nguyên của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng âm

BÀI 10 Cho phương trình: x2-2x + m = 0 (1)

Với giá trị nào của m thì phương trình (1)

a) Có 2 nghiệm phân biệt?

b) Có hai nghiệm x1; x2 thoả mãn : x1+x2= 6

2 Hai xe cùng khởi hành một lúc từ thành phố A đến thành phố B cách nhau 120 km Xe thứ nhất

chạy nhanh hơn xe thứ hai 5 km/h nên đến B sớm hơn 20 phút Tính vận tốc của mỗi xe?

BÀI 11: Cho phương trình bậc hai, ẩn số là x : x2 – 3x + k – 1 = 0

a Giải phương trình khi k = 3

b Với giá trị nào của k thì phương trình có nghiệm

c Tìm giá trị của k sao cho phương trình đã cho có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn điều kiện

x1 – x2 = 15

BÀI 12: Cho phương trình: x2 + 3x – m = 0 (ẩn x, tham số m)

a) Xác định các hệ số a, b, c

b) Tìm m phương trình có nghiệm

c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1 + 3x2 = 11

BÀI 13: Cho phương trình: x2 + (m+1)x + m = 0 (*), m là tham số, x là ẩn

a) Chứng minh phương trình (*) luôn có nghiệm với mọi m?

b) Tìm m để phương trình (*) có một nghiêm x = 4 Tìm nghiệm thứ 2 ?

c) Tìm m để phương trình (*) có 2 nghiêm x1; x2 thỏa mãn : x1 + x2 đạt giá trị nhỏ nhất BÀI 14: Cho phương trình: x2 - 2(m + 1)x + 4m = 0 (*) ( m là tham số, x là ẩn)

a) Chứng minh phương trình (*) luôn có nghiệm với mọi m?

b) Tìm m để phương trình (*) có một nghiêm x = 3 Tìm nghiệm thứ 2 ?

c) Tìm m để phương trình (*) có 2 nghiêm phân biệt x1; x2 thỏa mãn : x1 + x2 =4

BÀI 15: Cho phương trình x2  2mx m  2 0  1

( m là tham số )a) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm x x với mọi m.1, 2

b)Tìm m để phương trình (*) có một nghiêm x = 1 Tìm nghiệm thứ 2 ?

c) Tìm m sao cho biểu thức M x12x22 6x x1 2 đạt giá trị nhỏ nhất

BÀI NÂNG CAO:

2) Cho các số thực dương x; y Chứng minh rằng:

Dấu bằng xẩy ra khi

(0,5đ) Vì a, b, c là dộ dài 3 cạnh của một tam giác nên ta có:b+c- a >0; c+a- b >0; a+b- c > 0

Đặt b+c-a = x; c+a-b = y; a+b- c= z  ; ;

y z x z x y

a  b  c 

0,25đ

yy

1 2018

 2 

2018 ( x 1) 2018

0,25

GTNN của A =

12018



 x = 1  x = 1 (TMĐK)

Vậy GTNN của A =

12018



 x = 1

0,25

⟺ xy ( x2 + y2 ) ≤ 2

Mà 0xy1 nên x y x2 2 2y2 2

(đpcm)

0,25 0,25

111111

2 2

bc ab c

b a c

b a

o 60

B

C

A D

3) Trong hình 1 Biết AC là đường kính của (O) và góc BDC = 600 Số đo góc x bằng:

A 400 B 450 C 350 D 300

H3

o 60 n

C D

B A

4) Trong hình vẽ AB là đường kính của (O), DB là tiếp tuyến của (O) tại B Biết cung bằng:

H4

o 30

C

B

A D

6) Trong hình vẽ Biết AC là đường kính của (O) Góc ACB = 300

11) Cho hình vẽ Biết AB là đường kính của đường tròn (O),

∠ CAB = 400; ∠ BAD = 200 Khi đó số đo góc AQC là:

B

A

60

x 40

A

o 30

C

A D

B

Q

O

D A

20

O

B

A E C

80

16) Cho hình chữ nhật có chiều dài là 5 cm và chiều rộng là 3 cm.

Quay hình chữ nhật đó một vòng quanh chiều dài của nó ta được

một hình trụ Diện tích xung quanh của hình trụ đó là:

A 30 (cm2) B 10 (cm2) C 15 (cm2) D 6 (cm2)

17) Cho tam giác ABC vuông tại A; AC = 3 cm; AB = 4 cm Quay

tam giác đó một vòng quanh cạnh AB của nó ta được một hình nón

Diện tích xung quanh của hình nón đó là:

C B

A E

F

D

C B

C B

23

K I

a Chứng minh bốn điểm A, E, M, O thuộc cùng một đường tròn

b Gọi I là trung điểm của PQ Chứng minh O, I, E thẳng hàng

c Gọi K là giao điểm của EB và MP Chứng minh K là trung điểm của MP

ĐÁP ÁN

Vẽ hình đúng cho câu a)

0,5đ

a Chứng minh rằng tứ giác AEMO nội tiếp (0.75đ)

Có: EMO 900(EM là tiếp tuyến của (O)) => M thuộc đường tròn đường kính OE

EAO  => A thuộc đường tròn đường kính OE

Do đó: A; E; O; M cùng thuộc đường tròn đường kính OE

0,25đ0,25đ0,25đ

c Chứng minh K là trung điểm của MP (0.75đ)

Do đó: KI // OB (định lí Talet đảo) hay IK // AP

Trong AMP có: IK // AP (cmt) và I là trung điểm AM (cmt)

Suy ra: K là trung điểm AM

BMO BAO  (Góc nội tiếp cùng chắn BO )

Mà BMO AMO  (Tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)

MA = MB (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau); OA = OB

 OM là đường trung trực của AB  OM  AB tại H

MAO vuông tại A có đường cao AH nên MA2 = MH.MO

MCH MOD mà MCH + HCD = 1800 nên MOD + HCD = 1800

Tứ giác CHOD nội tiếp

3) Cho tam giác ABC vuông tại A, trên cạnh AC lấy điểm M Vẽ đường tròn tâm O đường kính

MC cắt BC tại E, BM cắt đường tròn (O) tại điểm D Chứng minh:

a) Các tứ giác ABEM và ABCD nội tiếp

b) DB là phân giác của góc EDA

c) Ba đường thẳng BA, EM, CD đồng quy

MEC  (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

 MEB  900 (Kề bù với MEC )

b)

(0,5 điểm)

Xét đường tròn (O) có: C1 D 1 (Góc nội tiếp cùng chắn cung ME)

Mà tứ giác ABCD nội tiếp (cmt)  C1D 2 (Góc nội tiếp cùng chắn

4) Cho đường tròn tâm O, đường kính AB Trên tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A lấy điểm M (Mkhác A) Từ M vẽ tiếp tuyến thứ hai MC với (O) (C là tiếp điểm) Kẻ CH vuông góc với AB (

H ∈ AB), MB cắt (O) tại điểm thứ hai là K và cắt CH tại N Chứng minh rằng:

a) Tứ giác AKNH là tứ giác nội tiếp

b) (1,0 điểm)

Có MA và MC là hai tiếp tuyến cắt nhau tại M của đường tròn (O) (gt)

 MA = MC (T/c 2 tiếp tuyến cắt nhau)

 M thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AC (T/c đường trung trực của

đoạn thẳng) (1)

Có OA = OC (Bán kính của đường tròn (O))

 O thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AC (T/c đường trung trực của

Xét (O) có :^CBK =^ KAC (2 góc nội tiếp cùng chắn cung KC) (4)

c) (0,5 điểm)

H O

a) Chứng minh 5 điểm M, P, O, I, Q cùng thuộc 1 đường tròn.

b) PQ cắt AB tại E Chứng minh MP2 = ME MI

c) Qua A kẻ đường thẳng song song với MP cắt PQ, PB lần lượt tại H, K

M

O P

Q

B

0,5

a (1 điểm)

Xét (O) có AB là dây không đi qua O và I là trung điểm của AB(gt)

 OI tại I  (q.hệ vuông góc giữa đ.kính và dây)

Ta có: ( Vì MP là tiếp tuyến tại P của (O) )

 I, P, Q thuộc đường tròn đ.kính MO (quỹ tích cung chứa góc)

M, P, I, O, Q cùng thuộc đường tròn đường kính MO

0,250,25

C) Vì AH // MP(gt) ^AHQ  =  ^MPQ (2 góc đồng vị)

Ta có: MPIQ nội tiếp đường tròn(c/m trên)

^MIQ  =  ^MPQ (2 góc nội tiêp cùng chắn cung MQ)

^MIQ  =  ^AHQhay ^AIQ  =  ^AHQ

Xét tứ giác AHIQ có ^AIQ  =  ^AHQ

mà I và H thuộc cùng 1 nửa mặt phẳng bờ AQ nên tứ giác AHIQ nội tiếp (quỹ tích cung chứa góc)

^AQH  =  ^AIH ( 2 góc nội tiếp cùng chắn cung AH) 0,25Xét (O) có ^AQH  =  ^ABP ( 2 góc nội tiếp cùng chắn cung AP)

^AIH  =  ^ABP mà là 2 góc đồng vị HI // BPXét ΔABK có: HIABK có: HI // BK ( c/m trên)

I là trung điểm của AB(gt)

 HI là đường trung bình của ΔABK có: HIABK

 BK = 2HI ( tính chất đường trung bình của tam giác) 0,25

6) Cho đường tròn tâm O đường kính BC Lấy điểm A tùy ý trên đường tròn (A B, A C) Dựng hình bình hành ABCD Từ A kẻ AI vuông góc với đường thẳng BD tại I, Từ C kẻ CK vuông góc với BD tại K

a) Chứng minh 4 điểm A; D; C; I cùng nằm trên một đường tròn

b) Chứng minh BA.AK = CK AD

c) Khi BC cố định tìm vị trí của điểm A trên đường tròn sao cho CK BD lớn nhất

ĐÁP ÁN (3 điểm)

K

O C

D

I B

A

H

Hình vẽđúng chocâu a, 0,5

Chứng minh: (Góc nội tiếp cùng chắn )

(3điểm)

Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A xuống BC

0,25Chứng minh được khi A thay đổi trên đường tròn tâm O đường kính

BC thì (Dấu ''='' xảy ra khi H trùng với O) A là điểm chính giữa

Từ đó suy ra CK BD lớn nhất khi A là điểm chính giữa

7) Cho tam giác ABC; H là chân đường cao kẻ từ A Đường tròn đường kính HB cắt AB tại điểmthứ hai là D Đường tròn đường kính HC cắt AC tại điểm thứ hai là E

a/ Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp một đường tròn

b/ Gọi F là giao điểm của AH và DE Chứng minh FA.FH = FD.FE

b) Gọi F là giao điểm của AH và DE Chứng minh FA.FH = FD.FE

Chứng minh được

(kề bù) Vậy tứ giác DECB nt (cùng chắn cung EC của đt (DECB)) Mà

D thuộc (O) FD là tiếp tuyến đường tròn (O)

0,25

0,25

8) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AD Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại

E Kẻ EF vuông góc với AD tại F

F E

D

C B

A

Vẽ hình làm câu a

0,5 đ

b Vì tứ giác DCEF là tứ giác nội tiếp ( cm phần a )

=> CDE = CFE  ( góc nội tiếp cùng chắn CE ) ( đpcm )

0,25 đ0,5 đ

c Vì tứ giác DCEF là tứ giác nội tiếp ( cm phần a )

9) Cho tam giác ABC có AB < AC nội tiếp đường tròn (O), tia phân giác góc A cắt cạnh BC tại D

và cắt đường tròn tại E

a) Chứng minh OE vuông góc với BC

b) Gọi S là giao điểm của BC với tiếp tuyến của đtròn tại A Cm tam giác SAD cân

=> OE là đường trung trực của BC => OE vuông góc BC

0,250,250,250,25b

Có AD là phân giác góc BAC nên Suy ra => tam giác SAD cân tại S

0,250,250,25

c Cm tam giác SAB đồng dạng với tam giác SCA

=> SA2 =SB.SC

Mà SA = SD => SB.SC = SD2

0,250,250,25

10) Cho điểm M nằm ngoài (O) Kẻ hai tiếp tuyến MA và MB với đường tròn (A và B là tiếp điểm).Đường thẳng MO cắt (O) tại hai điểm N và Q (N nằm giữa M và Q) Gọi H là giao điểm của AB và

MO, K là giao điểm của BN và AM; I là hình chiếu của A trên BM

a) Chứng minh rằng các tứ giác AOBM nội tiếp

Xác định tâm của đường tròn đi qua 4 đỉnh A,0,B,M

b) Chứng minh rằng MA2 = MN MQ

c) Khi K là trung điểm của AM, chứng minh ba điểm A, N, I thẳng hàng

ĐÁP ÁN Câu 3

MA và MB là hai tiếp tuyến của (O) => OAM = OBM = 900

=> OAM + OBM = 1800

=> Tứ giác AOBM nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800)

Vì các tam giác AMO và BMO là các tam giác vuông nên tâm của đường tròn đi qua 4 đỉnh A,0,,B,M là trung điểm của AO

0,250,25 0,25 0,25

b (1 điểm) xét AMN và QMA có: AMN chung

MAN = AQN ( góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng

c (0,5 điểm)

Có :OA=OB (= bán kính); MA=MB (vì là hai tiếp tuyến cắt nhau)

=> OM là đường trung trực của AB,mà N thuộc OM nên NA=NB

=> ABN cân ở N => BAN = ABN Lại có

BAN = MBN (Góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng

chắn một cung BN)

⟹ ^ ABN = ^ MBN => BN là đường phân giác của ABM Hay BK là đường phân giác của ABM

Mà K là trung điểm của AM => BK là đường trung tuyến của AMB

Do đó AMB cân tại B nên BA=BMLại có: MA = MB(cmt) nên MA=MB =AB.Vậy AMB đều

=> AN là đường phân giác đồng thời là đường cao

Mà I là hình chiếu của A trên BM nên ba điểm A, N, I thẳng hàng

b) Chứng minh: Tia CA là tia phân giác của góc BCF

c) Gọi M là trung điểm của DE Chứng minh: CM.DB = DF.DO

ĐÁP ÁN Câu 3

E

D

C B

A

Xét tứ giác ABCD có

^ABD = 900 ( do tam giác ABD vuông tại B)

^ACD = 900 (gt)

Suy ra: ^ABD = ^ ACD = 900

Do đó tứ giác ABCD nội tiếp ( Vì có 2 đỉnh B và C kề nhau cùng nhìn cạnh đối

diện AD dưới một góc không đổi)

Vì các tam giác ABD và ACD là các tam giác vuông nên tâm(O) của đường tròn đi

qua 4 đỉnh A,B,C,D là trung điểm của AD

0,25 0,25 0,250,25

b (1 điểm)

Ta có tứ giác DCFE nội tiếp ( Vì có ^ECD + ^ EFD = 1800 )

 ^EDF = ^ ECF ( hai góc nội tiếp cùng chắn cung EF ) Hay ^ BDA = ^ ACF (1)

Mặt khác trong (O) ta cũng có ^BDA = ^ ACB(hai góc nội tiếp cùng chắn cung AB )

(2)

Từ (1) và (2) suy ra: ^ACF = ^ ACB

Vậy tia CA là tia phân giác của góc BCF

0,25 O,250,250,25

c (0,5 điểm)

Vì ∆ ECD và ∆ EFD là hai tam giác vuông và M là trung điểm của cạnh huyền ED

nên M là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác CDFE

12) Cho đường tròn tâm O đường kính AB, dây CD vuông góc với AB tại H Trên tia đối của tia

CD, lấy một điểm M ở ngoài đường tròn (O) Kẻ MB cắt đường tròn tại điểm E, AE cắt CD tạiđiểm F

a) Chứng minh tứ giác BEFH nội tiếp một đường tròn

b) Gọi K là giao điểm của BF với đường tròn (O) Chứng minh rằng EA là tia phân giác của

HEK.

c) Chứng minh rằng: MD.FC = MC.FD

ĐÁP ÁN

Bài 3 Hình vẽ: 0,5 điểm

K F E

Mà FEB, BHF là hai góc ở vị trí đối diện nhau. 

=> Tứ giác BEFH nội tiếp đường tròn đường kính BF (đpcm)

0,250,250,25

0,25

b) 1,0 điểm

Vì tứ giác BEFH nội tiếp một đường tròn (cm trên) nên HBF = HEF (2 góc nội tiếp cùng chắn cung HF) hay  ABK = HEA 

Xét (O) có: ABK = AEK (2 góc nội tiếp cùng chắn cung AK) 

=> HEA = AEK => EA là tia phân giác của HEK 

Vậy tia EA là tia phân giác của HEK (đpcm)

0,25

0,250,250,25

c) 0,5 điểm

Xét ADC có: AH vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến => ADCcân tại A => AC = AD => AC = AD => sđ AC = sđ AD  

Xét (O) có: DEA = CEA (2 góc nội tiếp cùng chắn hai cung bằng nhau) 

=> EA là tia phân giác của DEC

Vì EA là tia phân giác của DEC (cm trên) nên EF là đường phân giác trong của tam giác CDE (1)

2 Đường thẳng qua A cắt đường tròn (O) tại B và C (B nằm giữa A và C) Gọi I là trungđiểm của BC So sánh AIN và MON

3 Gọi K là giao điểm của MN và BC Chứng minh rằng AK.AI = AB.AC

b) 1,0 điểm

Do I là trung điểm của BC => OI  BC (đường kính và dây cung)

=> AIO = 90 nên I cũng nằm trên đường tròn ngoại tiếp tứ giác AMON  O

=> AIN = AMN (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AN của đường tròn đường  kính AO)

I

B

O A

C

=> ΔABK có: HIAMB ΔABK có: HIAMC (g.g)

2

Xét ΔABK có: HIAKM và ΔABK có: HIAIM có MAK chung

AIM AMK (Vì: AIM ANM cùng chắn AM

và AMK ANM )

=> ΔABK có: HIAMB ΔABK có: HIAMC (g.g)

2

b) Kẻ đường kính QS của đường tròn (O) Chứng minh ANK 2SNM

c) AO cắt PK, PQ lần lượt tại G và I Tính độ dài đoạn thẳng IG theo bán kính R

ĐÁP ÁN

Bài 3

(3,0điểm) Hình vẽ: 0,5 điểm

a) 1,0 điểm b) 1,0 điểm

Ta có AQ ^ QS (AQ là tiếp tuyến của (O) ở Q)

Mà PM //AQ (gt) nên PM ^ QS Đường kính QS ^ PM nên QS đi qua điểm chính giữa của cung nhỏ PM

sđPS = sđ SM Þ PNS=SNM (hai góc nt chắn 2 cung bằng nhau)Hay NS là tia phân giác của PNM => PNM 2SNM

mà PNM ANK(đđ) =>ANK 2SNM

0,250,250,250,25

c) 0,5 điểm

ΔABK có: HIAQO vuông ở Q, có QG ^ AO (Tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)

=> OQ2=OI OA. (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Q

P

A

O