DE THI THU DAI HOC + DAP AN 2009

Tìm tỉ số thể tích của tứ diện SBCM và SABC.. Lập phương trình các cạnh và đường chéo thứ hai của hình vuơng.. Tính tổng tất cả các số này.. Tìm điểm M thuộc mặt cầu S sao cho khoảng cá

ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2009

Thời gian: 180 phút ( Khơng kể thời gian giao đề)

PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH

Câu I: ( 2 điểm)

Cho hàm số ( ) :C m y x= 3+mx2−1, m là tham số thực

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số khi m = 3

2) Xác định m để phương trình x3+mx2 − =1 0 cĩ nghiệm duy nhất

Câu II: ( 2 điểm)

1) Giải phương trình: tan (1 sin 2 ) sin 17 4

2) Tìm m để phương trình 3+ +x 6− −x (3+x)(6−x)=m cĩ nghiệm

Câu III: ( 2 điểm)

1) Tính tích phân 4 3

4 0

4sin

1 cos

x

x

π

= +

∫

2) Cho hình chĩp S.ABC cĩ các cạnh đều bằng 1, O là tâm của tam giác ABC, I là trung điểm SO, mặt phẳng (BIC) cắt SA tại M Tìm tỉ số thể tích của tứ diện SBCM và SABC

Câu IV: ( 1 điểm)

Cho 0≤x y z, , ≤1 và x2+ + =y2 z2 1.Chứng minh rằng 2 2 2 3 3

2

PHẦN RIÊNG Thí sinh chỉ được chọn mơt trong hai phần( phần 1 hoặc phần 2 )

1) Theo chương trình chuẩn:

Câu Va: (2 điểm)

1) Cho hình vuơng cĩ đỉnh A(-4, 5) và một đường chéo đặt trên đường thẳng 7x –y 8 0+ = Lập phương trình các cạnh và đường chéo thứ hai của hình vuơng

2) Từ các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 người ta lập ra được các số cĩ 4 chữ số khác nhau Tính tổng tất

cả các số này

Câu VI a: (1 điểm) Cho mặt cầu (S) x2 + + −y2 z2 2x−4y− + =6z 5 0 và mặt phẳng (P):

2 2 20 0

x+ y− +z = Tìm điểm M thuộc mặt cầu (S) sao cho khoảng cách từ điểm M đến mp(P) ngắn nhất

2) Theo chương trình nâng cao

Câu Vb: (1 điểm) Giải bất phương trình

2

3 1 4

3

x

x x x

>

Câu VIb: (2 điểm) Trong khơng gian Oxyz cho đường thẳng ( ) : 3 6 1

− và mặt phẳng (P)

2x y− + − =2z 6 0

a) Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng (d) và đi qua điểm O( O là gĩc tọa độ ) b) Viết phương trình mặt cầu cĩ tâm I là giao điểm của đường thẳng (d) với mặt phẳng (P) và mặt phẳng (P) cắt mặt cầu theo thiết diện là đường trịn cĩ chu vi bằng 16π

.Hết ( Chúc các em làm bài tốt ) HƯỚNG DẪN GIẢI

PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH

Câu I: ( 2 điểm)

1) Khi m = 3 →( ) :C y x= 3+3x2−1

' 3 6 , ' 0 3 6

 = → = −



• Giới hạn: lim ; lim

→−∞ = −∞ →+∞ = +∞

• Bảng biến thiên

• Đồ thị

2) Đặt y x= 3+mx2 −1

' 3 2 , ' 0

2 / 3

x

 =

 TH1: hàm số không có cực trị ⇒ m = 0

TH2: y y CD CT >0

2

3

3 2 : 0;

2

CD CT

m

= − > ⇔ >

= >

Câu II: ( 2 điểm)

1) Điều kiện ,

4

x≠ +π k k Zπ ∈

Ta có:

1 tan (1 sin2 ) cos4 (sin cos ) cos4 2sin 2 sin2 0

1 tan

2

12

x

k

π

π π

−

















2) Điều kiện − ≤ ≤ 3 x 6

Đặt t= 3+ +x 6−x , Khi x∈ − 3, 6→ ∈t 3, 3 2

Ta có phương trình 2 9 2 2 9

t− − = ⇔m − + + =m

Đáp số: 9 6 2 5

Câu III: ( 2 điểm)

1) Đặt t = cosx

2/2 2 2 /2 2 2 /2 2

2

2

3 2 /2 2 1

1 4(1 )

1

2

dx

I

x dt

−

= + → =

−

∫

Đáp số: 3 2 4

20

2) Lời giải:

Chọn hệ trục Oxyz sao cho O là gốc tọa độ

A∈Ox, S ∈Oz, BC//Oy Tọa độ các điểm: ( 3;0;0)

3

6 2

B ; ( 3 1; ;0)

6 2

−

3

S ; (0;0; 6)

6

I

Ta có: uuurBC =(0;1;0); ( 3 1; ; 6)

6 2 6

uur

⇒uuur uurBC IC= −

⇒ Phư¬ng trình mặt phẳng (IBC) là:

6

− + −z = mà ta lại cú: ( 3;0; 6) // (1;0; 2)

SA

Phương trình đường thẳng SA: 3 ;

3

x t y=0;z= − 2t

+ Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ:

3

(1) 3

6

6







=



 = −







y

x z

Thay (1) (2) (3) vào (4) có:

12 12

⇒uuurSM = − ⇒uurSA= uuurSM

⇒ M nằm trên đoạn SA và 1

4

=

SM SA

( ) 4

⇒ SBCM =

SABC

V

Câu IV: ( 1 điểm)

1

x

x

−

* Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f(x) trên [0, 1]

: [0,1]

3

3 3

(0) 0; (1) 0; 1

3

TXĐ D











3

3

Vậy f x = f ÷÷= ≤ ≤x

2

x

x

−

PHẦN RIÊNG Thí sinh chỉ được chọn mơt trong hai phần( phần 1 hoặc phần 2 )

1) Theo chương trình chuẩn:

Câu Va: (2 điểm)

1) + Vì A d x y∉ :7 − + =8 0 nên phương trình đường chéo đi qua A(-4, 5) là: x + 7y – 31 = 0

+ Tọa độ tâm hình vuông là nghiệm của hệ

x y

O Tọa độ điểm C là C

− + =



Vì AB, AD tạo với AC 1 góc 45 0 nên nếu gọi hệ số góc của AB, AD là k thì ta có

3

4

3

AC

AC

k

 =



Phương trình đường thẳng AB, AD là: 3x – 4y + 32 = 0; 4x + 3y + 1 = 0

Phương trình đường thẳng CB, CD là: 3x – 4y - 7 = 0; 4x + 3y -24 = 0

2) + Số các số cần tìm A94 =3024

+ Nếu a a a a a thỏa mản bài toán thì a= 1 2 3 4 '=a a a a với a' ' ' '1 2 3 4 ' 10i = −a i i, =1,4 cũng thỏa mản bài toán và a a≠ '

+ Ta có a a+ =' 10.10 10.10 10.10 10 111103+ 2+ + =

+ Tất cả có 1512 cặp (a, a’) nên tổng các số thỏa mản bài toán là: 1512.11110=16798320

Câu VIa: (1 điểm)

Mặt cầu (S) cĩ tâm I(1, 2, 3), bán kính R = 3

17

[ ,( )]

3

d I P = >R suy ra mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) khơng cĩ điểm chung

+ Gọi mp(Q) là mặt phẳng // mp(P) và tiếp xúc mặt cầu (S) Suy ra mp(Q1): x + 2y – 2z +10 = 0 và mp(Q2): x + 2y – 2z - 8 = 0

+ Gọi A=( ) ( );Q1 ∩ S B=( ) ( );Q2 ∩ S

+ A là hình chiếu vuơng gĩc của I lên mp(Q1) →A(0,0,5)

+ I là trung điểm AB →B(2,4,1)

10 28

[ ,( )] ; [ ,( )]

Vậy điểm cần tìm là M(0, 0, 5)

2) Theo chương trình nâng cao

Câu Vb: (1 điểm)

Ta có

2

2

2 2

3 1

2

2

2

0 3

1 3

0 3

1 3

3

x

x

x

x x x

x x x

x x

x x

x

x

x x

x

x

x x x

x x x x

−

−

 − >

 +

 >

 −

 +

 >

 −

 + >  + < − < < +



 < − <

>

 −



 + <

 −



 + > −

 −



Câu Vb: (2 điểm)

a) (d) có điểm M(3, 6, 1) và VTCP ur=(1,2, 1)−

Mp(Q) có cặp VTCP OM uuuuur r, →mp Q( ) : 2x y+ =0

b) I =( ) ( )P ∩ d →I(1,2, 1)−

Mp(P) qua tâm mặt cầu nên cắt mặt cầu theo đường tròn lớn Bán kính đường tròn chính là bán kính mặt cầu → = →R 8 pt mc x:( −1) (2+ −y 2) ( 1)2+ +z 2 =64