Chuyên đề một số ứng dụng của Định lý Vi-Ét vào việc giải toán-Đại số 9 – Xuctu.com

Như vậy với bài toán lập phương trình bậc hai khi đã biết trước hai nghiệm của nó ta chỉ cần áp dụng định lí Viét đảo song cũng cần lưu ý điều kiện để có hai. nghiệm là S 2 ≥ 4 P.[r]

Trang 1

Xuctu.com – Chuyên cung cấp sách tham khảo môn Toán THCS-THPT

x

2

2 1

2

1

∆ +

−

a

b x

=

a

c x x P

a

b x

x S

2 1

(Viet)

PHẦN I MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÍ VIÉT DẠNG 1:

ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÍ VIÉT VÀO VIỆC NHẨM NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ax 2 + bx + c = 0, a ≠0

x1 = 1 ; 2 =

Trang 2

2 Nếu a - b + c = 0 thì (*) có 2 nghiệm

a

c x

2 (

5 2 3

1 2

−

− +

−

+

m x

0 Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt x1<x2 Áp dụng hệ thức Viét có:

.

5 3

Vậy phương trình có 2 nghiệm là: − 3 và 5

b Đây là phương trình bậc hai có: a + b + c 0

) 3 )(

2 (

5 2 3

1 2

m m

Trang 3

a – b + c = m – 3 + m + 1 – 2m + 2 = 0 Nên x1 =−1; x2 =2m−2mà không thấy được phương trình đã cho chưa phải là phương trình bậc hai

Vì vậy ta cần xét m – 3 = 0; m – 3 ≠0, rồi nhẩm nghiệm

+ Xét a ≠0 kiểm tra sau đó nhẩm nghiệm

Trong thực tế HS có thể phải nhẩm nghiệm của PT bậc ba hoặc bậc 4 (dạng đặc biệt) Để giải quyết được tốt các định lí, khi đó phải đưa các PT ấy về dạng PT bậc 2 nhẩm được nghiệm

Hướng dẫn giải

PT (4) có tổng các hệ số là: 5 + 1 – 5 – 1 = 0, nên PT (4) có nghiệm x = 1

Trang 4

Khi đó ta đưa PT (4) về dạng: (x -1)(5x2 + 6x + 1) = 0, nhẩm tiếp nghiệm: 5x2 + 6x +

1 = 0

Kết quả phương trình (4) có 3 nghiệm: x1 = 1; x 2 = -1; x3 =

5 1

Trang 5

I PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Đối với bất phương trình giữa các nghiệm của một phương trình

ở dạng này biểu thức ta có thể gặp là biểu thức đối xứng hoặc không đối xứng giữa các nghiệm

Với biểu thức đối xứng ta có thể biểu thị biểu thức đó theo S = x1 + x2 và P = x1 x2nhờ đó có thể tính được giá trị của biểu thức mà không phải giải phương trình

II MỘT SỐ VÍ DỤ

2c -1 = 0 Tính theo c giá trị của biểu thức A = 3

3

1 2

3 6

2 1

c x x

x x

3 1 3 2

2 1 2 1 3 2 1

.

3

x x

x x x x x

3

.3

12

( )2

2

1 2

9 18

c

Với biểu thức không đối xứng 2 nghiệm trước hết ta cũng phải tính S = x1 + x2 ; P

= x1 x2 Sau đó cần kéo biến đổi biểu thức đó nhiều xuất hiện S và P từ đó ta tính được giá trị của biểu thức

Trang 6

Bài tập mẫu 2: Không giải phương trình , hãy tính hiệu các lập phương của các

nghiệm lớn và nhỏ của phương trình bậc hai : x2 - 0

16

5 1 4

21 4 16

85

=

−

=

∆ 〉 0 ⇒ Phương trình (*) có 2 nghiệm phân

biệt x1, x2 Không mất tính tổng quát Giả sử x1 〉 x2

x + + = (x1 - x2 )[ ( ) 1 2]

2 2

85 16

84 16

85

= 16

64 4

3

+

=

Trang 7

a ở đây 7

2 7

x + không biẻu diễn trực tiếp được dưới dạng x1 + x2 và x1 x2 Tuy nhiên ta có thể biểu diễn S = 7

2 7

3 2 3 1 3 2 3 1 4 2 4

Như vậy ta phải tính 4

2 4

2 3

1 2

1

2 1

x x

a x x

Do đó S2 =x12 +x22 =(x1 +x2)2 − 2x1x2 =a2 − 2

( 12 22)2 2 12 22 ( 2 2)2 2

4 2 4 1

(x x ) x x (x x ) a a x

x

Vậy S7 =(a4 − 4a2 + 2)(.a3 − 3a)−a=a7 − 7a5 + 14a3 − 7a

bậc 7 mà khi thay αvào thế giá trị của đa thức bằng 0: Theo phần a có:

3

; x1 x2 = 1

3

55

3

7

Trang 8

Do đó x1, x2 là các nghiệm của phương trình x2 −αx+ 1 = 0

3

5 5

3 7 14

α

15α7 − 105α5 + 210α3 − 105α − 34 = 0

Vậy đa thức cần tìm là 15x7 − 105x5 + 210x3 − 105x− 34

Với biểu thức cần tính là biểu thức mà không đối xứng giữa các nghiệm trước hết

ta tách S =x1 + x2 ; P= x1 x2 sau đó cần có sự nhìn nhận một cách linh hoạt khéo léo để biến đổi biểu thức đã cho nhằm x hiệu S; P từ đó tính được giá trị của biểu thức

là x1, x2

Tính giá trị của biểu thức A = x1 − 2 − x2 + 1

.Như vậy nếu để ý kỹ ta thấy ( )2

Trang 9

gặp bế tắc Thế nhưng nếu học sinh khéo thay thế x1 −2 bởi x1 +1như trên với bình phương 2 vế thì giá trị của biểu thức A tính đước 1 cách dễ dàng Với

những biểu thức mà có chứa luỹ thừa bậc cao thì việc biểu diễn luỹ thừa bậc cao của 1 nghiệm qua luỹ thừa thấp hơn của nghiệm đó cũng là 1 phương án đôi khi giúp cho việc tính toán thuận lợi hơn nhiều Với phương trình ax2 +bx+c= 0có 2 nghiệm x1 , x2 và S = x1 + x2 ; P = x1 x2 Khi đó :

1 2

Trang 10

giá trị của các biểu thức :

A= x14 + 2x23 + 3x12 + 8x2 − 8

4 2 1

2 1 5

2

3 1

1 4

18

4 18

18

8 8 3 6 4 10 5

12

8 8 ) 1 2 ( 3 ) 2 5 ( 2 5

12

2

1

2 1

= + +

=

+ +

=

− + + + + +

+

=

− + + +

+ +

x x

4 2 1

2 2 1

2 1 1 2

2

3 1 3

5

Trang 11

2

3 1 6

9x12 + x1 + − x22 − x2 +

2

3 1

3 2

3 1

1 =

* Đối với biểu thức giữa các nghiệm của hai phương trình Trong thực tế nhiều khi ta phải tính biểu thức giữa các nghiệm của hai phương trình Để làm được các bài tập kiểu này ta phải tìm S,P trong từng phương trình rồi xem xét, thay thế

1 cách hợp lý ( thường thì phải thay thế nhiều lần ) ta sẽ tách được giá trị của biểu thức đó

Bài tập mẫu 2: Giả sử x1, x2là hai nghiệm của phương trình x2 +ax+ 1 = 0và

1 4

3

4 3

x x

b x x

Trang 12

3 2 2 2 1 2

M= ( ) ( 2)

2 2 1 2 4 2

M= [ ( ) ] [ ( ) 1 2]

2 2 1 4 3 2 4

b,c là hai nghiệm của phương trình : x2 +qx+ 2 = 0

Chứng minh hệ thức (b−a)(.b−c)= pq−6

Vì a,b là hai nghiệm của phương trình : x2 + px+ 1 = 0

Trang 13

b,c là hai nghiệm của phương trình : x2 +qx+ 2 = 0 nên theo định

1

ab

p b

2

bc

q c b

Ta có (b−a)(.b−c)= b2 −ab−bc+ac

= b2 +ab+bc+ac− 2(ab+bc) = b(a+b) (+c a+b) (−2 ab+bc) = (a+b)(b+c) (−2ab+bc) = ( )( ) (− p −q −21+2)= pq−6 ( Điều phải chứng minh)

x

d x1 x2 + x2 x1

e x1 + x2

hãy tìm giá trị của mỗi biểu thức:

2 1 3 2 2 2 1 3

2x − x x + x − x x

Trang 14

B =

1

2 1

2 2

1 2

1

++++

+

x

x x

11

x x

2 1

+

x x

x

2 1 2 2 1

2 2 2 1 2

4

x x x x

1 3

x

6 Cho phương trình x2 +(a− 4)x+a2 − 3a+ 3 = 0gọi x1; x2là 2 nghiệm của phương trình Tìm giá trị của a để

Trang 15

9

8 1

2 2 1

ax

( thi học sinh giỏi năm 2002 -2003)

7 Cho phương trình x2 −x− 1 = 0 có 2 nghiệm x1; x2 hãy tính giá trị của biểu thức

A = x1 −3x2

6 2 8

DẠNG 3: ứng dụng địng lý Viét vào việc tìm 2 số biết tổng và tích của chúng

Nếu hai số v và V có tổng v + V = S và tích u.v =p thì v và V là nghiệm của phương trình x2 −Sx+P= 0(*) Điều kiện để phương trình (*) có nghiệm là

0 4

=

∆ S P hay S2 ≥ 4P Đó chính là điều kiện tồn tại hai số v và V mà tổng v +

V = S và v V =P Như vậy khi biết tổng hai số thì ta sẽ tìm được hai số đó thông qua tích giải phương trình bậc hai

Trang 16

Bài tập mẫu 2: Tính hai cạnh của 1 hình chữ nhật cho biết chu vi bằng 4a và diện

tích bằng b2 ( a,b〉0 cho trước)

Gọi x,y là độ dài của 2 cạnh hình chữ nhật ( 0 〈x;y〈 2a)

Theo giả thiết ta có x+y= 2a

X = + −

2 2

=

2 2

b a

a

y

b a

2 2

b a a y

b a a x

Nếu a=b ⇒ ∆′=0 (1) có nghiệm kép là x1 =x2 =a Khi đó hình chữ nhật là vuông cạnh a

Trang 17

Nếu a〈b ⇒ ∆′ 〈0 ⇒ (1) vô nghiệm khi đó không có hình chữ nhật thoả mãn đầu bài

Bài tập mẫu 1: Tìm 2 số a,b biết

= +

ab

2

13

52 = + ⇒ 2ab = 12 ⇒ ab =6

Nên a,b là nghiệm của phương trình : x2 − 5x+ 6 = 0

Giải phương trình này ta được x1 =3;x2 =2 Vậy a= 3 và b = 2 hoặc a= 2 và b= 3

b có a- b = 2 ⇒ a+ (-b) = 2

a.b =80 ⇒ a.(-b) = -80

Trang 18

⇒ a và -b là nghiệm của phương trình x2 − 2x− 80 = 0 Giải phương trình được

10

29

2 2

10

102

)

ab

ab b

10

49)

ab

b

a

⇔ a+b = 7 và ab = 10 hoặc a+b =-7 và ab = 10

* Nếu a+b = 7 và ab = 10 ⇒ a,b là 2 nghiệm của phương trình

0 10 7

+

=+

=

− +

= + +

14 7 6

2 2 2

z y x

zx yz xy

z y x

Nhận xét : Để giải hệ phương trình trên ( phần a) ta biến đổi để tìm được x+y và

xy sau đó đưa về phương trình bậc 2 đã biết cách giải

+

=+

= + +

7

5

2

xy y x

= + +

0 12 ) (

5

2

y x y x

xy y x

y x S

=+

012

5

2

S S

P S

4

; 3

5

S S P S

Trang 19

=

5 4 5 3

P S S

P S

) 1 ( 2 3

P S P

S

Giải (1) : Theo định lý Viét, x,y là nghiệm của phương trình

0 2 3

=

− +

= + +

14 7 6

2 2 2

z y x

zx yz xy

z y x

− + +

=

− +

= + +

14 ) (

2 7 6

2

xz yz xy z

y x

zx yz xy

z y x

=

−+

=++

)3(9)(

)2(7

)1(6

z x y

zx yz xy

z y x

=

−+

=++

)3(9)(

)2(7

)1(6)

(

z x y

zx yz xy

y z x

Từ (1) và (3) theo định lí Viét ⇒y và x+z là các nghiệm của phương trình

0 9 6

t ⇔ (t− 3)2 = 0 ⇔ t = 3

Trang 20

)6(2

)5(

)4(3

z x

z x y

Từ (5) và (6) Theo định lí Viet ⇒x và z là các nghiệm của phương trình

0 2 3

t ⇒ t1 =1;t2 =2

Vậy hệ phương trình đã cho có các nghiệm ( x,y,z) = ( 1;3;2) ; (2;3;1)

Nhận xét : Vậy từ bài toán giải hệ 3 phương trình ba ẩn bằng cách biến dổi thích hợp ta đã đưa bài toán về dạng tìm 2 số khi biết tổng và tích của chúng ( với số thứ nhất là x+z) , số thứ là y và ta giải được hệ nhờ định lí Viet

Trang 21

x1 2 =

S =

a

b x

Trang 22

1.phương trình có 2 nghiệm dương ⇔

S P

2.Phương trình có 2 nghiệm âm ⇔

S P

3 Phương trình có 2 nghiệm trái dấu: P〈 0

Nhiều bài toán đòi hỏi tìm điều kiện để phương trình bậc 2 có ít nhất 1 nghiệm không âm Thường có 2 cách giải:

Hoặc P = 0 Trường hợp này tồn tại 1 nghiệm bằng 0

S

P

Thì hai nghiệm đều dương

âm nếu :

0

〉

S ( Trường hợp này tồn tại nghiệm dương)

Hoặc S=0 ( Trường hợp này tồn tại nghiệm không âm)

Hoặc S 〈 P0 , ≤ 0 ( Trường hợp này có 1 nghiệm không âm 1 nghiệm âm)

Trang 23

Tuỳ theo đầu bài mà chọn cách xét biểu thức P hay S

Bài tập mẫu 1: Tìm giá trị của m để phương trình sau có 2 nghiệm cùng dấu

Khi đó 2 nghiệm mang dấu gì ?

−

045

2

m

m m

4

9 2

5 2

m m

5

m m

Trang 24

Bài tập mẫu 2: Cho phương trình (m + 1)x2 + 2(m + 4)x + m + 1 = 0

Tìm m để phương trình có:

a Một nghiệm

b Hai nghiệm cùng dấu phên biệt

c Hai nghiệm âm phân biệt

2

11

2

1 00

1

40

m

m m

Trang 25

Tìm m để phương trình

a Có hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có GTTĐ lớn hơn

b Có 2 nghiệm trái dấu và bằng nhau về GTTĐ

0 4

m

a

m m

S

m m

Trang 26

Vậy m = 4 là một giá trị thoả mãn

TH2: Nếu m – 4 ≠0 ⇔m ≠4 phương trình đã cho là phương trình bậc hai có 3 khả năng xảy ra để phương trình có một nghiệm dương

i) PT có 2 nghiệm trái dấu Điều này xảy ra khi và chỉ khi P = ac < 0

0 0

4

m

m m

b

m a

Trang 27

Kết hợp lại ta có: Với 1 ≤ ≤m 4 hoặc m = 0 thì phương trình có một nghiệm

Vậy m = -1 không phải là giá trị cần tìm

ii) Khi m ≠ -1 PT đã cho là phương trình bậc hai

Cách 1: PT đã cho có ít nhất một nghiệm không âm khi và chỉ khi

+ Hoặc PT có một nghiệm dương, tức là:

1

m m

Trang 28

Vậy giá trị cần tìm của m là -1 < m ≤ 2

Cách 2: PT đã cho có ít nhất một nghiệm không âm khi và chỉ khi

+ Hoặc PT có 2 nghiệm trái dấu, tức là: P = 0 hay – 1 < m < 1

+ Hoặc PT có một nghiệm bằng 0, tức là: P = 0 hay m = 1

+ Hoặc PT có 2 nghiệm cùng dương, tức là:

1

m m

1

m m

Trang 29

hai nghiệm

a Trái dấu

b Hai nghiệm dương

c Hai nghiệm âm

a Có đúng một nghiệm dương

b Có đúng một nghiệm không dương

DẠNG 5

ỨNG DỤNG ĐỊNH LÍ VIÉT VÀO SO SÁNH NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH

BẬC HAI VỚI MỘT SỐ CHO TRƯỚC

Ở dạng này các bài toán thường gặp là: Tìm điều kiện của tham số để so sánh

nghiệm với một số cho trước

Để giải các bài tập kiểu này ta thường thực hiện các bước sau:

B1: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm

Trang 30

B2: Từ điều kiện đầu bài tìm ra được biểu thức về mối liên hệ giữa các nghiệm

của phương trình

B3: Thay tổng, tích giữa các nghiệm vào biểu thức

B4: Tìm giá trị của tham số, rồi kết luận

Trang 31

Kết hợp cả hai trường hợp và đối chiếu với điều kiện có nghiệm thì 4

3

m≤− là các giá trị cần tìm

nghiệm đều lớn hơn m

4 4

m m

m

m m

Trang 32

Bài tập mẫu 3:Cho phương trình (m− 4).x2 − 2(m− 2)x+m− 1 = 0 Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1; x2thoả mãn : x1〈0 x〈 2 và x 〉1 x2

Hướng dẫn: Vì x1〈0 nên x1 =−x1do vậy x 〉1 x2 ⇒ −x 〉1 x2 hay S =x1 + x2〈0

Do đó phương trình đã cho có hai nghiệm x1; x2thoả mãn điều kiện bài toán khi

s p

2 2

0 4 1

0 1 4 2

0 4

2

m m m m

m m

4 1 0 4

m m m

m

⇔ 2〈m〈 4

Vậy giá trị cần tìm của m là: 2〈m〈 4

VD4: Cho hai phương trình bậc hai:

thuộc Ba Lan 1950)

Trang 33

Không mất tính tổng quát, giả sử rằng x 〈1 x2 và x 〈3 x4 Theo yêu cầu của đề bài ta phải có : x1 〈x3 〈x2 〈x4 hoặc x3 〈x1 〈x4 〈x2 Dễ dàng trong trường hợp nào ta cũng có

⇔ (x +mx +n)(x2 +mx4 +n)

4 3

b Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm nhỏ hơn 2

3 Tìm m để phương trình mx2 − 2(m− 2)x+ 1 = 0 Có hai nghiệm phân biệt và

nghịch đảo của hai nghiệm đều nhỏ hơn 1

Trang 34

4 Cho hai phương trình : x2 − 2px+n= 0

0 2

Bài tập mẫu 1: lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là :

1

72 10

1

7210

72107210

2 −

−+

28 20

Trang 35

=

=x1x2

P

72 10

1

72 10

20

Như vậy với bài toán lập phương trình bậc hai khi đã biết trước hai nghiệm của

nó ta chỉ cần áp dụng định lí Viét đảo song cũng cần lưu ý điều kiện để có hai nghiệm là S2 ≥ 4P

phải phương trình hãy lập phương trình bậc hai theo y mà các nghiệm số của nó

2 1 2 1

2 1

++

−

x x x x

x x

=

2

2 2

+ +

−

q p q

2 1 2 1

++

−

+++

x x x x

=

1

+ +

+

−

p q

Với S2 ≥ 4P thì y1, y2là hai nghiệm của phương trình

0 1

1

+

− + +

+

−

p q

p q y q

p

q

y ⇔ (p+q+ 1)y2 − 2(q− 1) (y+ q+ 1 − p)= 0

Trang 36

Vì p2 ≥ 4q ( do phương trình (1) có hai nghiệm nên 0

1

4 1

2 2

= + +

+

−

≥ + +

−

p q

p q q

2 2 1 1 2 1 2

2

−

−+

−

=

x x x x x x x

2 1 2 1

++

−

+

−

x x x x

( 1 2)

2 1

5

4.2

x x

8

2 2

Trang 37

Khi đó x1, x2là các nghiệm của phương trình : X2 −(a2 + 1)2X + 4 = 0

q q

−

=+

=

1

1 1

2 1

2

p p

p q p

p x

x S

P= x1.x2= ( )

( )2 1

2 1 1

q q

p p qq

−

Với các giá trị của p , q S2 ≥ 4P thì x1, x2 là các

0)

(

1

2 1 1

1

1 1

−

−+

++

q q

p p qp x p p

q q p

p x

* Với α = 0 từ (1) ⇒ x1 =−p ; x2 =−p1 ⇒ Ta có phương trình :

( 1) . 1 0

2 + p+ p x+ p p =

Trang 38

Như vậy để lập phương trình bậc 2 biết các nghiệm của nó thoả mãn một điều kiện nào đó ( có thể là 2 số cho trước hoặc liên quan tới các nghiệm của 1 phương trình hoặc 2 phương trình nào đó) Ta cần:

1

x x

3.Cho phương trình x2 − 2mx+ 1 = 0 , có 2 nghiệm x1, x2hãy tìm 1 phương trình bậc hai có hai nghiệm là:

1 1 1

3

x x

X = − ;

2 2 2

3

x x

4 Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình 6x2 + 5x+ 1 = 0 Không tính x1, x2hãy

lập phương trình bậc hai ẩn số y mà nghiệm là

Trang 39

5 Gọi p, q là hai nghiệm của phương trình bậc hai 3x2 + 7x+ 4 = 0 Không giải phương trình hãy lập phương trình bậc hai mà các nghiệm của nó là:

g Lớn hơn nghiệm của PT đã cho một lượng bằng n

h Gấp n lần nghiệm của PT đã cho

BT7 Gọi x1, x2 là nghiệm của PT x2 - 7x + 3 = 0

a Lập PT bậc hai có 2 nghiệm 2x1- x2 và 2x2 - x1

b Tính giá trị của A = 2x1 −x2 + 2x2 −x1

(Đề thi tuyển sinh vào trường THPT NK - ĐHQG, năm học: 2000 – 2001)

=

−

= + +

−

) 1 (

1

1 ) 1 )(

1

(

0 4 ) (

2

1

m m x

x

x x

x

Trang 40

DẠNG 8:

Ứng dụng định lí Viét vào giải các bài toán cực trị liên quan đến biểu thức giữa các nghiệm của PT bậc hai Các biểu thức thường gặp là cho một nghiệm của PT ta phải tìm GTNN, GTLN của một biểu thức nào đó giữa các nghiệm

của PT ấy

Để giải các biểu thức thuộc dạng này ta phải hướng dẫn HS:

B1: Tìm điều kiện để PT bậc hai có nghiệm

B2; Sử dụng định lí Viét biểu diễn tổng, tích hai nghiệm theo tham số, rổi thay vào biêut thức cần tìm sau đó tìm GTLN, GTNN của biểu thức ấy

II CÁC VÍ DỤ

VD1: Cho phương trình x2 + 2 (m− 1 )x− ( 2m+ 5 ) = 0 tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 và biểu thức B = 12 - 10x1x2 – ( 2

1 2

x + ) đạt giá trị lớn nhất

Xét x2+ 2 (m− 1 )x− ( 2m+ 5 ) = 0 phương trình có hai nghiệm

0 ) 5 2 ( )

Định dạng
Số trang	42
Dung lượng	809,33 KB