mot so bai tap jinh hoc khong gian

Phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng.. Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng d... Cách 1:  Viết phương trình mp α đi qua điểm M

Công thức tính khoảng cách

14 Cho 3 điểm A(0,0,-3), B(1;-2;1), C(1;2;-5) và mặt cầu (S) có phương trình

x +y + −z x+ y− = Viết phương trình mp (( )α song song với mp (ABC) và tiếp xúc với mặt cầu (S)

15.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(-2;4;3) và mp (P) có phương trình

2x−3y+6z+ =19 0 Viết phương trình mp (Q) chứa điểm A và song song với mp (P) tính khoảng cách giữa hai mp (P), (Q)

16 Cho tứ diện ABCD biết tọa độ các đỉnh A(-1;-2-4), B(-4;-2;0), C(3;-2;1), D(1;1;1) Tính độ dài đường cao xuất phát từ đỉnh A

17 Tìm trên trục Oz điểm M cách đều điểm A(2,3,4) và mp ( 2x+3y z+ − =1 0

18.Tìm trên trục Oy điểm M cách đều hai mp ( )α x y z+ − − =1 0 à ( ) v β x y z− + − =1 0

19 Tìm tập hợp các điểm M cách đều hai mp

( )α 4x y− −2z− =3 0 à ( ) 4 v β x y− −2z− =5 0

20 Lập phương trình mp phân giác của góc nhị diện tạo bởi 2mp

( )α 4x y− −2z− =3 0 à ( ) 4 v β x y− −2z− =5 0

21 Lập phương trình mp (( )α đi qua điểm A(2;-1;0), B(5,1,1) và khoảng cách từ điểm

1

0;0;

2

  đến mp ( )α bằng 7

6 3.

22 cho 3 điểm A(a,0,0), B(0,b,0), C(0,0,c) với a, b, c là ba số dương luôn thay đổi và luôn thỏa mãn a2+ + =b2 c2 3 Xác định a, b, c sao cho khoảng cách từ điểm O(0,0,0) đến mp (ABC) là ngắn nhất

Phương trình đường thẳng

A.Tóm tắt lý thuyết.

1 Phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng.

Đường thẳng đi qua điểm M(x0;y0;z0) với vectơ chỉ phương ur =(a b c u, , ) ( )r r≠0 có phương trình tham số

0 0 0

x x at

y y bt

z z ct

= +



 = +



 = +



(1) khử t ta được phương trình tham số

− = − = −

( phương trình chính tắc của đường thẳng) điều kiện

a + + >b c

Bài toán 1: Cho hai mp ( )α Ax By Cz D+ + + =0và ( )α' A x B y C z D' + ' + ' + ' 0=

a Với điều kiện nào thì hai mp ( )α và ( )α' cắt nhau

b Gọi d là giao tuyến của hai mp ( )α và ( )α' Hãy tìm tọa độ của một điểm thuộc d

và xác định vec tơ chỉ phương của d

c Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng d

PP a A:B:C:≠A’:B’:C’

b Tọa độ của một điểm thuộc d là nghiệm của hệ phương trình

0

Ax By Cz D

A x B y C z D

+ + + =



 vectơ chỉ phương của đường thẳng d u= n n; '

r r r

với

( , , ) , ( ', ', ')

n= A B C n= A B C

c phương trình trình đường thẳng d hoàn toàn xác định khi ta biết vtcp và tọa độ

điểm M

2 Vị trí tương đối của hai đường thẳng.

Vị trí tương đối giữa đường thẳng d ( đi qua M0 và có vtcp ur) và đường thẳng d’ (đi qua M0’ và có vtcp 'ur

)

 d và d’ cùng nằm trong một mp ⇔u u M Mr r uuuuuuur,  0 '0 =0

 d ≡d'⇔u ur ur, '  = u M Mr uuuuuuur, 0 '0=0



0 0

, ' 0 // '

u u

d d

u M M

  =

 

⇔ 



r ur

r uuuuuur

, ' 0

u u M M

u u

 

⇔ 

  ≠

 



r ur uuuuuuur

r ur

 d và d’ chéo nhau ⇔u u M Mr ur uuuuuuur; '  0 '0 ≠0

Chú ý: Nếu biết phương trình của hai đường thẳng d và d’ thì ta cũng có thể xét vị trí

tương đối giữa chúng bằng cách giải hệ gồm các phương trình xác định d và d’ để tìm giao điểm

 nếu hệ phương trình có nghiệm duy nhất thì d và d’ cặt nhau

 Nếu hệ phương trình có vô số nghiệm thì d và d’ trùng nhau

 Nếu hệ phương trình vô nghiệm thì d và d’ song song hoặc chéo nhau, song song nếu hai vec tơ chỉ phương của chúng cùng phương, chéo nhau nếu hai vec tơ đó không cùng phương

3 Một số bài toán về tính khoảng cách

Bài toán 1: Tính khoảng cách h từ một điểm M đến đường thẳng d đi qua điểm M 0 và có vtcp ur.

Cách giải.

Cách 1:

 Viết phương trình mp ( )α đi qua điểm M0 và vuông góc với đường thẳng d

 Tìm tọa độ giao điểm của ( )α ∩d= I

 Tính khoảng cách IM

Cách 2:

x

z

M

M0

U

Gọi U là điểm sao cho M U uuuuuur r0 = Nếu M∉d thì diện tích S của hình bình hành có hai cạnh M0M và M0U là S = M M M Uuuuuuur uuuuur0 , 0  = M M uuuuuuur r0 ,  Vì khoảng cách h cần tìm là chiều cao của hình bình hành ứng với cạnh M0U nên ta có

0 ,

M M u h

u

=

uuuuuur r r

Nếu M∈d thì h = 0 và công thức trên vẫn đúng

Bài toán 2:

Tính khoảng cách h giữa hai đường thẳng chéo nhau d1 và d2 biết d1 đi qua M1 và có vec tơ chỉ phương ur1

; d2 đi qua M2 có vtcp uuur2

d2 M1

U1

M2

U2

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: ( ) 1 2 1 2

1 2

,

; '

u u M M

d d d

u u

 

 

=

 

 

ur uur uuuuuur

r ur

Bài toán 3: Cho hai đường thẳng d d chéo nhau Viết phương trình đường vuông góc 1, 2

chung của hai đường thẳng chéo nhau?

M2 M1

Cách 1:

Bước 1: Gọi d là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau d d Khi đó 1, 2

một vtcpur của d thỏa mãn 1 1 2

2

;

u u

u u u

u u

 ⊥

⊥



r ur

r ur uur

Bước 2 : Gọi (P1) là mp chứa d v d khi đó (P1) à 1

( )

1 1

1 1

1

qua M qua M

;

à u

d d

P vtpt n u u

vtcp u v

∈



∈

 r uur  r r ur

Bước 3 : Giả sử d∩ =d1 { }B suy ra ( )P1 ∩ =d1 { }B ⇒ tọa độ của điểm B

Bước 4 : Khi đó phương trình đường thẳng (d) được cho bởi: :d qua B

vtcp u





 r

Cách 2:

Bước 1 : Giả sử A,B theo thứ tự là chân đường vuông góc chung của của d v d1 à 2 suy ra tọa độ của A,B theo thứ tự phương trình tham số của d v d1 à 2

uuur ur uuur ur uuur uur uuur uur (t1,t2 là tham số)

⇒tọa độ của A và B

Bước 3 : khi đó phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo

nhau của d v d là 1 à 2 d qua B

vtcp AB





 uuur

Bài toán 3 : Lập phương trình mp (P) chứa hai đường thẳng d 1 và d 2 cắt nhau tại I.

Cách 1:

Bước 1: xác định các vtcp u uur uur1, 2

của d1 và d2

d1 d2

A

1 2

qua I qua I

vtpt n u u cap vtcp u u



r ur uur

ur uur

Cách2:

Bước 1 : lấy hai điểm A∈d1, và B∈d2 với A, B≠I

Bước 2 : lập phương trình mp qua ba điểm A,B,I

Bài toán 4: Lập phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng d lên mp (P).

( Tùy thuộc vào vị trí tương đối của d và (P) ta có từng phương pháp giải cụ thể)

 Nếu d ⊥( )P thì ta có hình chiếu vuông góc của d lên (P) là tọa độ giao điểm của d

và (P)

 Nếu d // (P) ta thực hiện theo các bước:

Bước 1: Lấy điểm A d∈ Từ đó xác định tọa độ điểm HA là hình chiếu vuông góc

của A lên (P)

d d' A

H

Bước 2: Phương trình đường thẳng d’ là hình chiếu của d lên mp (P) là

' :

'//

A

qua H

d

d d







 Nếu d cắt P ta thực hiện theo các bước

Bước 1: xác định tọa độ giao điểm I của (d) và (P).

I

A H

Bước 2: lấy điểm A∈dtừ đó xác định tọa độ HA là hình chiếu vuông góc của A lên (P)

Bước 3: Phương trình đường thẳng d’ là hình chiếu vuông góc của d lên mp(P) được

cho bởi ' A

A

qua H d

vtcp IH





 uuuur

Bài toán 5: Viết phương trình đường thẳng d đi qua A(x 0 ; y 0 ; z 0 ) cắt cả hai đường thẳng

d 1 và d 2

d

d1

d2

C

Bước 1: đưa phương trình đường thẳng d1và d2 về dạng tham số:

Bước 2: Gọi B và C là tọa độ giao điểm của đường thẳng d với d1và d2.(tọa độ B, C

có chứa tham số t và t’)

Bước 3: A,B,C thẳng hàng ⇒uuur uuurAB AC, cùng phương Giải hệ phương trình

AB AC

  =

uuur uuur

Tìm được t và t’

Bước 4: Đường thẳng AB là đường thẳng d.

Bài toán 6: Viết phương trình đường thẳng d song song với đường thẳng d 1 , đồng thời cắt

cả hai đường thẳng d 2 và d 3

d d3

d2

d1

A B

Bước 1: Đường thẳng d1 có vtcp uur1

Đường thẳng d cắt đường thẳng d2, d3 tại các điểm A và B

Bước 2: Vectơ uuur urAB u, 1

cùng phương ⇒t t, '

Bước 3: Phương trình đường thẳng d là AB

Bài tập:

1 Viết phương trình chính tắc và phương trình tham số nếu có của các đường thẳng sau đây:

a Đi qua điểm M(2;0;-1) và có vtcp ur = −( 1;3;5)

b Đi qua điểm N(-2;1;2) và có vtcp ur =(0;0; 3− )

c Đường thẳng đi qua N(3;2;1) và vuông góc với mp ( )P x2 −5y+ =4 0

d Đường thẳng đi qua hai điểm P(2;3;-1) và Q(1;2;4)

e Các trục tọa độ Ox, Oy, OZ

f Các đường thẳng đi qua điểm M0(x0 ; y 0 ;z 0 ) Với (x 0 ; y 0 ; z 0 ≠0).

g Đi qua A(-2;1;0) và vuông góc với mặt phẳng ( )α x+2y−2z+ =1 0

h Đi qua A(2;-1;1) và vuông góc với hai đường thẳng lần lượt có các vtcp là

1 1;1; 2 ; 2 1; 2;0

uur= − − uuur= −

2 Lập phương trình chính tắc của đường thẳng d đi qua điểm M(1;1;2) và song song với đường thẳng d là giao tuyến của hai mp

( )α : 3x y− +2z− =7 0;( )β x+3y−2z+ =3 0

3 Cho đường thẳng d có phương trình 2 2

x+ = y+ = z

− và điểm A(4;-3;2) Tính khoảng cách từ A đến đường thẳng d

4 Viết phương trình tham số của đường thẳng d, biết :

5 viết phương trình chính tắc của đường thẳng d biết

a

2 2

1 3

4 3

= +



 = − +



 = − +



b

1

2 4

3 2

= − +



 = −



 = +



6 Cho đường thẳng d có phương trình tham số

2 2

1 2

y t

= − −



 =



 = +



và điểm A(4;-3;2) Tìm khoảng cách ngắn nhất từ A đến d và tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A lên d

7 Viết phương trình hình chiếu của đường thẳng d

1 2

2 3 3

= +



 = − +



 = +



trên mổi mp sau :

mp(Oxy), mp(Oxz), mp(Oyz), mp ( )α :x y z+ + − =7 0

8 Xét vị trí tương đối mổi căp đường thẳng được cho bởi các trường hợp sau:

−

e

9

3

x t

=



 =



 = − +



d’ là giao tuyến của hai mp

( )α : 2x−3y− − =3z 9 0;( )β :x−2y z+ + =3 0

9 Xét vị trí tương đối giữa đường thẳng d và mp ( )α cho bởi các phương trình sau:

x y z

α

10 viết phương trình đường thẳng đi qua A(1;-1;1) và cắt cả hai đường thẳng sau đây:

( )

1 2 3

d y t

= +



 =



 = −



2

x t

=



 = − −



 = +



11 viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng d1 và cắt cả hai đường thẳng d2, d3, biết phương trình của đường thẳng d1, d2, và d3 là

12 Cho hai đường thẳng: ( )1 ( )2

8

5 2

8

= +





 = −



a Chứng tỏ rằng hai đường thẳng đó chéo nhau

b Viết phương trình mp đi qua gốc tọa độ O, song song với cả d1 và d2

c Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng d1 và d2

d Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng d1 và d2

13 Cho mp (P) và đường thẳng (d) có phương trình:

2

x

P x+ y z− + = v + = + = −y z

a Tìm tọa độ giao điểm của d và (P)

b Tính góc giữa (d) và (P).

c Viết phương trình hình chiếu vuông góc của (d) lên (P)

d Viết phương trình đường thẳng ( )∆ ,nằm trên mp (P) đi qua giao điểm của (d) và (P) và vuông góc với d

14 Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng ∆và '∆ , trong đó ∆ là giao tuyến của

+ + = − + − =

a Chứng minh ∆và '∆ cắt nhau

b Viết phương trình chính tắc của các đường phân giác của góc tạo bởi ∆và '∆

15 cho đường thẳng d đi qua điểm M(0;0;1) có vtcp ur(1;1;3)

và mp ( )α có phương trình 2x y z+ − + =5 0 Chứng minh d song song với mp ( )α Tính khoảng cách giữa (d) và ( )α

Góc giữa hai đường thẳng và góc giữa đường thẳng và mp.

• Cho hai đường thẳng d, d’ lần lượt có các vtcp , 'u ur ur

Góc ϕ giữa hai đường thẳng đó được xác định theo công thức

' os

'

u u c

u u

ϕ =

r ur

r ur

• Cho đường thẳng d có vtcpur và mp ( )α có vtpt nr Gọi ϕ giữa đường

thẳng d với mp ( )α thì ϕ được xác định theo công thức:

' sin

'

u u

u u

ϕ =

r ur

r ur

16 Tính góc giữa mổi cặp đường thẳng sau:

 = − +  = − +

b ( )d x3−1= y1+2= z+42

(d’) là giao tuyến của hai mp

( )α :x+2y z− + =1 0 ( ') 2α x+ − =3z 2 0

17 Tính góc giữa đường thẳng (d) và mp ( )α

1 2

2

α

= +





 = −



d + = − = − α x y z+ − + =

−

d + = + = − α x+ y z− + =

18 a Tìm tọa độ hình chiếu của điểm M0(1;-1;2) trên mp ( )α : 2x y z− + + =12 0

b Cho bốn điểm A(4;1;4), B(3;3;1),C(1;5;5), D(1;1;1) Tìm tọa độ hình chiếu của D trên mp (ABC)

c Cho ba điểm A(1;1;2), B(-2;1;-1), C(2;-2;-1) Tìm tọa độ hình chiếu của gốc O trên mp (ABC)

19 a Tìm tọa độ điểm đối xứng của điểm M0(2;-3;1) qua mp ( )α :x+3y z− + =2 0

b Tìm tọa độ điểm đối xứng của điểm A(0;0;1) qua mp ( )α : 6x+3y+2z− =6 0

Tìm đ i ể m M∈( )α sao cho

 MA + MB ngắn nhất

 |MA – MB | dài nhất.

• Vị trí tương đối của hai điểm A, B đối với mp ( )α

Gọi I là giao điểm của đường thẳng AB với mp ( )α

- Nếu IAv IBuur uurà

ngược hướng ⇔A và B ở hai phía đối với mp ( )α

- Nếu IAv IBuur uurà

ngược hướng ⇔A và B ở hai phía đối với mp ( )α

Bài toán: Cho sẵn mp ( )α và hai điểm A, B Tìm điểm M ∈( )α sao cho

a MA + MB ngắn nhất

b |MA – MB | dài nhất.

Góc giữa hai đường thẳng và góc giữa đường thẳng và mp.

• Cho hai đường thẳng d, d’ lần lượt có các vtcp , 'u ur ur

Góc ϕ giữa hai đường thẳng đó được xác định theo công thức

' os

'

u u c

u u

ϕ =

r ur

r ur

• Cho đường thẳng d có vtcpur và mp ( )α có vtpt nr Gọi ϕ giữa đường

thẳng d với mp ( )α thì ϕ được xác định theo công thức:

' sin

'

u u

u u

ϕ =

r ur

r ur

20 Tính góc giữa mổi cặp đường thẳng sau:

 = − +  = − +

b ( )d x3−1= y1+2= z+42

(d’) là giao tuyến của hai mp

( )α :x+2y z− + =1 0 ( ') 2α x+ − =3z 2 0

21 Tính góc giữa đường thẳng (d) và mp ( )α

d ( ) ( )

1 2

2

α

= +





 = −



d + = − = − α x y z+ − + =

−

d + = + = − α x+ y z− + =

22 a Tìm tọa độ hình chiếu của điểm M0(1;-1;2) trên mp ( )α : 2x y z− + + =12 0

d Cho bốn điểm A(4;1;4), B(3;3;1),C(1;5;5), D(1;1;1) Tìm tọa độ hình chiếu của D trên mp (ABC)

e Cho ba điểm A(1;1;2), B(-2;1;-1), C(2;-2;-1) Tìm tọa độ hình chiếu của gốc O trên mp (ABC)

23 a Tìm tọa độ điểm đối xứng của điểm M0(2;-3;1) qua mp ( )α :x+3y z− + =2 0

c Tìm tọa độ điểm đối xứng của điểm A(0;0;1) qua mp ( )α : 6x+3y+2z− =6 0

Tìm điểm M∈( )α sao cho

 MA + MB ngắn nhất

 |MA – MB | dài nhất.

• Vị trí tương đối của hai điểm A, B đối với mp ( )α

Gọi I là giao điểm của đường thẳng AB với mp ( )α

- Nếu IAv IBuur uurà

ngược hướng ⇔A và B ở hai phía đối với mp ( )α

- Nếu IAv IBuur uurà

ngược hướng ⇔A và B ở hai phía đối với mp ( )α

Bài toán: Cho sẵn mp ( )α và hai điểm A, B Tìm điểm M ∈( )α sao cho

a MA + MB ngắn nhất

b |MA – MB | dài nhất.

Cách giải

Bước 1: Xác định vị trí tương đối của A và B với mp ( )α

Bước 2: Trường hợp 1:

24 Trong không gian Oxyz, cho mp ( )α : 2x y− − + =3z 5 0 và hai điểm A(0;0;3),

(9;15;12)

B Tìm điểm M thuộc mp ( )α sao cho

a MA + MB ngắn nhất b MA – MB dài nhất

6B Trong không gian Oxyz cho mp ( )α :x + 3y – z – 19 = 0 và hai điểm A(-2,0,1),

B(-7,-5,3) Tìm điểm M ∈( )α sao cho

b MA + MB ngắn nhất b MA – MB dài nhất

25 Cho ba điểm A(-1;3;2), B(4;0;-3), C(5;-1;4) Tìm tọa độ hình chiếu H của điểm A trên đường thẳng BC

26 Tìm tọa độ điểm đối xứng với điểm M0(2;-1;1) qua đường thẳng ( )

1 2 1 2

z t

= +



 = − −



 =



27 Tìm tọa độ điểm đối xứng của M0(-3;1;-1) qua đường thẳng (d) là giao tuyến của hai

mp ( )α : 4x−3y− =13 0 và ( )α' :y−2z+ =5 0

28 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 1 Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh B’B, CD, A’D’

a Tính khoảng cách giữa các cặp đường thẳng A’B, B’D và cặp đường thẳng

PI, AC’( I là tâm của đáy ABCD)

b Tính góc giữa hai đường thẳng MP và C’N

c Tính góc giữa hai mp (PAI) và DCC’D’

Mặt cầu

29 Trong không gian Oxyz cho bốn điểm A(3;-2;1), B(-1;-3;-2),C(0;-6;2), D(2;-2;-2)

a Chứng minh rằng ABCD là tứ diện

b Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

30 Cho tứ diện ABCD với A(1;-4;3), B(1,0,5), C(0,3,-2), D(-6,-1,-2)

a Lập phương trình đường vuông góc chung của cả hai đường thẳng AB và

CD Từ đó tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD

b Lập phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD

31 Lập phương trình mặt cầu có bán kính R = 3 và tiếp xúc với mp (P) có phương trình

2x + 2y + z + 3 = 0 tại điểm M(-3,1,1).

32 Cho mp (P) có phương trình 2x + 2 y + z = 0 Lập phương trình mặt cầu đi qua ba

diểm A(1,0,0), B(0,1,0), C(0,3,2) và cắt mp (P) theo thiết diện là đường tròn có bán kính bằng 1

33 Trong không gian Oxyz cho mặt cầu (S) và mp ( )α có phương trình lần lượt là

x +y + − +z x y− z+ = và 2x y− + − =3z 5 0

a Chứng minh rằng mp( )α cắt mặt cầu (S)

b Xác định tâm và bán kính của đường tròn giao tuyến của mặt cầu (S) và mp

( )α

34 Cho đường thẳng (d) là giao tuyến của hai mp

( )α :x y z+ + + =1 0 và ( )α' : x y z− + − =1 0 và cho hai mp

( )P1 :x+2y+2z+ =3 0, ( ) :P2 x+2y+2z+ =7 0 Viết phương trình mặt cầu có tâm

I thuộc đường thẳng d và tiếp xúc với cả hai mp (P1), (P2)

35 Trong không gian Oxyz lập phương trình mặt cầu (S) có tâm ở trên đường thẳng là giao tuyến của hai mp ( )α : 2x y z+ + + =1 0 và ( )α' : x y− −2z− =7 0 và tiếp xúc với cả hai mp ( )Q1 :x−2y−2z+ =5 0 và ( )Q2 : 3x−2y+6z− =13 0

Cách giải

Bước 1: Xác định vị trí tương đối của A và B với mp ( )α

Bước 2: Trường hợp 1: