Chứng minh đường thẳng GG/ song song với mặt phẳng ABB/A/.. CMR đường chéo A/C vuông góc với mặt phẳng AB/D/.. CMR giao điểm của đường chéo A/C và mặt phẳng AB/D/ là trọng tâm của tam
Trang 1Một số bài toán hình học không gian, giải bằng phương pháp toạ độ và vector
1 Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc, OA=a, OB=b, OC=c Tính
chiều cao của tứ diện kẻ từ O
2 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Trên các cạnh AA’, BC, C’D’ lần lượt
lấy các điểm M, N, P sao cho AM=CN=D’P=t, với 0<t<a Chứng minh rằng mp(MNP) song song với (ACD’) và tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng đó
3 Cho tứ diện OABC có các tam giác OAB, OBC, OCD là những tam giác vuông đỉnh
O Gọi α, β, γ lần lượt là góc giữa mặt phẳng (ABC) và các mặt phẳng (OBC), (OCA), (OAB) Bằng phương phương pháp tọa độ , hãy chứng minh :
a Tam giác ABC có ba góc nhọn;
b Cos2α+Cos2β+Cos2γ=1
4 Cho hình hộp đứng ABCD.A/B/C/D/ có đáy là hình thoi.Biết AC = 2; BD = 4;AA/ = 4
a.Xác định góc và khoảng cách giữa AD/ và BD
b.Điểm M thuộc cạnh AA/ sao cho góc BMD = 1V khi đó M chia AA/ theo tỷ số nào ?
5 Cho tứ diện SABC có mặt ABC là tam giác vuông tại A cạnh SB vuông góc với mặt
phẳng (ABC); cạnh SB = AC = 4; cạnh AB = 2; M là trung điểm của SC
a Xác định góc giữa SC và mặt phẳng (ABM)
b Xác định giao điểm của đường vuông góc chung của SA và BC với mặt phẳng (ABM)
6 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bên SA vuông góc
với đáy Điểm M thuộc cạnh SD sao cho MD : MS =1:2.Góc giữa SC và AD bằng 600, khoảng cách từ S đến mặt phẳng ( AMC) bằng 2 Tính diện tích của tam giác AMC
7 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi có hai đường chéo AC = 2,
BD = 4; hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm O của AC và
BD Đường cao của hình chóp bằng 2 Gọi M và N lần lượt là trọng tâm của hai mặt bên (SAB) và (SAD)
a Chứng minh rằng mặt phẳng (MNO) // với SC
b Gọi d là đường thẳng đi qua trung điểm I của SO và vuông góc với mặt phẳng (MNO)
Xác định giao điểm của d với mặt phẳng (SCD)
8 Cho hình hộp chữ nhật ABCD A’B’C’D’ có cạnh A/D/ = 4; A’B’=AA/ = 3
a Điểm M ∈ AA/, mặt phẳng (BMD/ ) cắt hình hộp chữ nhật theo thiết diện là hình gì ?
b Trong trường hợp nào thiết diện là hình chữ nhật
c Tìm vị trí của M để thiết diện là bé nhất
Trang 29 [ Bài 5 trang 60 SGK HH 12 ]: Cho hình lập phương ABCD A/B/C/D/ có cạnh bằng a Trên B/C/ và CD lấy các điểm M và N sao cho B/ M = CN = x ( 0 ≤ x ≤ a )
Chứng minh AM⊥CN
10 [Bài 6 trang 60 SGK HH 12 ]: Cho hình hộp ABCD A/B/C/D/ có cạnh bằng a Gọi
M và N lần lượt là trung điểm của CD và DD/ ; G, G/ lần lượt là trọng tâm của các tứ diện A/ D/MN và BCC/ D/ Chứng minh đường thẳng GG/ song song với mặt phẳng (ABB/A/)
11 [Bài 7 trang 60 SGK HH 12 ]: Cho tứ diện ABCD; P và Q lần lượt là trung điểm
của AB và CD; Hai điểm M; N lần lượt chia 2 đoạn thẳng BC và AD theo cùng tỷ
số k Chứng minh bốn điểm P, Q, M, N cùng thuộc một mặt phẳng
12:[Bài 6 trang 112 SGK HH 12]: ho hình lập phương: ABCD.A/B/C/D/ có cạnh bằng a
a CMR đường chéo A/C vuông góc với mặt phẳng ( AB/D/)
b CMR giao điểm của đường chéo A/C và mặt phẳng ( AB/D/ ) là trọng tâm của tam giác AB/D/
c Tìm khoảng cách giữa hai mặt phẳng ( AB/C/ ) và ( C/BD )
d Tìm cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng ( DA/C/ ) và ( ABB/A )
13: [Bài 7 trang 112 SGK HH 12 ]: Cho hình lập phương ABCD A/B/C/D/ cạnh a Các điểm M thuộc AD/ và N thuộc DB sao cho AM = DN = k ( 0 < k < a 2 )
a Tìm k để MN ngắn nhất
b CMR MN luôn song song với mặt phẳng ( A/D/CB ) khi k biến thiên
c Khi MN ngắn nhất, CMR MN là đường vuông góc chung của AD/ và DB, và MN
song song với A/C
14: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A1B1C1 có các cạnh đều bằng a Trên AB1 và
BC1 lấy hai điểm M và N sao cho MN⊥AB và MN =
3
a
Tìm tỉ số M chia đoạn thẳng AB1 và tỉ số N chia đoạn thẳng BC1
15: Cạnh của hình lập phương ABCD A1B1C1D1 bằng a Một mặt phẳng đi qua D1 song
với DA1 và AB1, cắt đường thẳng BC1 tại M Tính độ dài D1M
16: Cho hình lập phương ABCD A/B/C/D/ cạnh a.trên đoạn thẳng BD và AD/ lần lượt lấy
2 điểm thay đổi M và N, sao cho DM = AN = x ( 0≤ x ≤ a 2 ) Chứng minh rằng
MN luôn song song với một mặt phẳng cố định
17: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A Gọi M và
N lần lượt là trung điểm của BC và CC’, góc giữa AB và mặt phẳng (AMN) bằng 300; Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (AMN) là 2 Tính thể tích của lăng trụ
18: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ cạnh AB = AD = 2 ; AA’ = 3.
Gọi M ; N ; K lần lượt là trung điểm các cạnh AA’; AD; AB Điểm P thuộc BB’ sao cho BP = 1
Trang 3a Xác định góc giữa hai mặt phẳng (MNK) và mặt phẳng (A’DP)
b Hình chiếu của D’P trên mặt phẳng (MNK) cắt mặt phẳng (ABCD) tại I, tính
khoảng cách từ I đến mặt phẳng (A’DP)
19: Tứ diện S.ABC , ABC là tam giác vuông cân đỉnh B, AB = a, SA vuông góc với mặt
phẳng (ABC) Gọi (Q) là mặt phẳng trung trực của SB, O là trung điểm của BC, (d) là đường thẳng đi qua O và vuông góc với mặt phẳng (ABC) Dựng giao diện điểm K của (d) và mặt phẳng (Q) Tính OK
20: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Cạnh bên
SA = a và vuông góc với đáy ABCD Dựng đường vuông góc chung và tính
khoảng cách giữa AB và SC
21:[ĐHCĐ- A- 2002]: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC đỉnh S, có độ dài cạnh đáy
bằng a.Gọi M và N lần lượt là trung điểm các cạnh SB và SC Tính theo a diện tích tam giác AMN, biết rằng mặt phẳng (AMN) vuông góc với mặt phẳng (SBC)
22:[ĐHCĐ- B- 2002]: Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 có cạnh bằng a.
a Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng A1B và B1D
b Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh A1B; CD; A1D1 Tính góc giữa hai đường thẳng MP và C1N
23:[ĐHCĐ- B- 2003]: Cho hình lăng trụ đứng ABCD A/B/C/ D/ có đáy ABCD là một hình thoi cạnh a, góc BAD = 600 Gọi M là trung điểm của cạnh AA/ và N là trung điểm của cạnh CC/ Chứng minh rằng 4 điểm B/, M, D, N cùng thuộc một mặt phẳng Hãy tính độ dài cạnh AA/ theo a để tứ giác B/MDN là hình vuông
………