BÀI GIẢNG học Phần CƠ điện tử

Cấu tạo hệ thống đo 2.1.1 - Hệ thống đo dịch chuyển kiểu số - gia số 2.1.2 - Hệ thống đo dịch chuyển kiểu số- tuyệt đối Phần VI: ĐIỀU KHIỂN VÀ ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG Tổng số tiết : 12, số

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KỸ THUẬT CÔNG NGHIỆP

Thái Nguyên, năm 2014

TS Phạm Thành Long Ths Lê Thị Thu Thủy Ths Dương Quốc Khánh, Ths Vũ Đức Vương Ths Nguyễn Ngọc Hà, Ths Nguyễn Đăng Minh, KS Dương Công Định

BÀI GIẢNG HỌC PHẦN

CƠ ĐIỆN TỬ

Theo chương trình 150 tín chỉ

Số tín chỉ: 3 (Lưu hành nội bộ)

MỤC LỤC

ĐỀ CƯƠNG CHI TIẾT

NỘI DUNG

Phần I: TỔNG QUAN VỀ CƠ ĐIỆN TỬ 8

I.1 CƠ ĐIỆN TỬ LÀ GÌ 8

I.2 CÁC THÀNH PHẦN CHÍNH CỦA CƠ ĐIỆN TỬ 8

I.3 CÁC THUỘC TÍNH CỦA THIẾT KẾ TRUYỀN THỐNG VÀ THIẾT KẾ CƠ ĐIỆN TỬ 11

I.4 CHỨC NĂNG CỦA CÁC HỆ CƠ ĐIỆN TỬ 11

I.5 CÁC TÍN HIỆU ĐẦU VÀO CỦA HỆ CƠ ĐIỆN TỬ 11

I.6 CÁC TÍN HIỆU ĐẦU RA CỦA HỆ CƠ ĐIỆN TỬ 12

I.7 XỬ LÝ TÍN HIỆU 13

Phần II: XÂY DỰNG MÔ HÌNH TOÁN HỌC CÁC HỆ VẬT LÝ 14

II.1 MÔ HÌNH TOÁN CÁC HỆ THỐNG CƠ HỌC 22

1 Mô hình dao động của cơ hệ có một bậc tự do 23

2 Mô hình dao động của cơ hệ hai bậc tự do 24

3 Mô hình toán học đường đàn hồi 29

4 Mô hình vật thể chịu kéo nén 31

5 Mô hình của vật chuyển động 33

II.2 MÔ HÌNH TƯƠNG TỰ ĐIỆN CƠ 34

1 Mạch RLC mắc nối tiếp 34

2 Mạch RLC mắc song song 40

II.3 CÁC MÔ HÌNH LIÊN QUAN ĐẾN VẬT RẮN 41

1 Động học vật rắn 41

2 Các mô hình toán với hệ vật rắn 45

2.1 Bài toán thuận về vận tốc 45

2.2 Bài toán thuận về gia tốc 47

2.3 Bài toán ngược về vị trí 47

2.4 Bài toán ngược về vận tốc 48

2.5 Bài toán ngược về gia tốc 49

3 Các phương trình cơ bản của động lực học vật rắn 50

3.1 Mô hình độ cứng dầm chịu uốn thuần túy 50

Phần III: CƠ CẤU CHẤP HÀNH 62

III.1 TỔNG QUAN 62

III.2 HỆ THỐNG THỦY LỰC VÀ KHÍ NÉN 64

2.1 Các thiết bị trong hệ thống và vai trò 65

Các dạng và các thông số đặc trưng của các cơ cấu dẫn động thủy lực 66

2.2 Van trượt có mép điều khiển dương, trung gian và âm 68

2.3 Van solenoid 70

2.4 Van tỷ lệ 73

2.5 Một số sơ đồ ứng dụng điều khiển với van tỉ lệ 76

2.7 Van servo 78

III.3 TÍNH TOÁN, THIẾT KẾ CÁC MẠCH ĐIỀU KHIỂN THỦY LỰC 90

Phần IV: CẢM BIẾN VÀ ĐO LƯỜNG 101

IV.1 CÁC HỆ THỐNG MÃ HÓA THỒN TIN 101

IV.2 HỆ THỐNG ĐO DỊCH CHUYỂN 102

2.1 Cấu tạo hệ thống đo 105

2.1.1 - Hệ thống đo dịch chuyển kiểu số - gia số 105

2.1.2 - Hệ thống đo dịch chuyển kiểu số- tuyệt đối 109

Phần V: CÁC PHẦN TỬ XỬ LÍ DỮ LIỆU TRONG HỆ THỐNG 113

1 CHUẨN 8051 113

2 CHÂN VI ĐIỀU KHIỂN 8051 114

3 TẬP LỆNH 8051 VÀ LẬP TRÌNH HỢP NGỮ CHO 8051 115

Phần VI: ĐIỀU KHIỂN VÀ ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG 117

VI.1 HÀM TRUYỀN 117

VI.2 PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI 119

VI.3 HÀM TRUYỀN CỦA MỘT SỐ MẠCH ĐIỀU KHIỂN THỦY LỰC 125

3.1 Hệ thuỷ lực chuyển động tịnh tiến điều khiển bằng bơm dầu 125

3.2 Hệ thủy lực chuyển động tịnh tiến sử dụng phần tử điều khiển là van servo 127

3.3 Hệ thủy lực chuyển động quay điều khiển bằng bơm dầu 130

3.4 Hệ thủy lực chuyển động quay điều khiển bằng van servo 132

VI.4 Ý NGHĨA CỦA MÔ HÌNH TOÁN HỌC TRONG ĐIỀU KHIỂN 135

VI.5 ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG 136

5.1 Mở đầu về bài toán ổn định của hệ động lực 136

5.1.1 Khái niệm ổn định (về mặt hình thức) 137

5.1.2 Khái niệm ổn định (về mặt toán học) 137

5.1.3 Giải quyết bài toán khảo sát ổn định 138

5.1.4 Phương pháp tuyến tính hóa 141

5.1.5 Các phương pháp của Liapunov 145

VI.6 THIẾT KẾ ĐIỀU KHIỂN 148

ĐỀ CƯƠNG CHI TIẾT HỌC PHẦN CƠ ĐIỆN TỬ

(Học phần bắt buộc)

1 Tên học phần: Cơ điện tử (MEC408)

2 Số tín chỉ: 3

3 Trình độ cho sinh viên năm thứ: 4

4 Phân bổ thời gian

- Lên lớp lý thuyết: 36 tiết

- Bài tập, thảo luận: 18 tiết

- Thực hành: 0 tiết

5 Các học phần học trước: Kỹ thuật điện tử

6 Học phần thay thế, học phần tương đương: Không

7 Mục tiêu của học phần

Mục tiêu của môn học nhằm trang bị cho sinh viên khối kiến thức cơ bản về cơ điện tử, là thành phần kiến thức thiết yếu trong các ngành kỹ thuật hiện đại, thuộc khối kiến thức chung

8 Mô tả vắn tắt nội dung học phần

Nội dung môn học chủ yếu hướng vào giới thiệu, phân tích, thiết kế một số hệ

thống cơ điện tử cơ bản Bao gồm ba phần:

- Phần I : Giới thiệu về các thành phần cơ bản Cơ điện tử

- Phần II : Giảng dạy về thiết kế, điều khiển một số hệ thống cơ điện tử

- Phần III: Ứng dụng Cơ điện tử

9 Nhiệm vụ của sinh viên

9.1 Đối với học phần lý thuyết

1 Dự lớp  80 % tổng số thời lượng của học phần

2 Chuẩn bị thảo luận

3 Bài tập, bài tập lớn (dài)

[2] TS Trương Hữu Chí; TS Võ Thị Ry, Cơ điện tử: Hệ thống trong chế tạo

máy, Nhà xuất bản khoa học và kỹ thuật, 2005

[3] TS Trương Hữu Chí; TS Võ Thị Ry, Cơ điện tử: Các thành phần cơ

bản, , Nhà xuất bản khoa học và kỹ thuật, 2005

11 Tiêu chuẩn đánh giá sinh viên và thang điểm

11.1 Các học phần lý thuyết

* Tiêu chuẩn đánh giá

1 Chuyên cần;

2 Thảo luận, bài tập;

3 Kiểm tra giữa học phần;

- Thảo luận, bài tập: 10 %

- Kiểm tra giữa học phần: 20 %

+ Điểm thi kết thúc học phần : 60 %

+ Điểm học phần: Là điểm trung bình chung có trọng số của các điểm đánh giá bộ phận và điểm thi kết thúc học phần làm tròn đến một chữ số thập phân

11.2 Các học phần thí nghiệm: không

12 Nội dung chi tiết học phần

Phần I: TỔNG QUAN VỀ CƠ ĐIỆN TỬ

(Tổng số tiết : 4, số tiết lý thuyết: 4)

I.1 CƠ ĐIỆN TỬ LÀ GÌ

I.2 CÁC THÀNH PHẦN CHÍNH CỦA CƠ ĐIỆN TỬ

I.3 CÁC THUỘC TÍNH CỦA THIẾT KẾ TRUYỀN THỐNG VÀ THIẾT KẾ CƠ ĐIỆN TỬ

I.4 CHỨC NĂNG CỦA CÁC HỆ CƠ ĐIỆN TỬ

I.5 CÁC TÍN HIỆU ĐẦU VÀO CỦA HỆ CƠ ĐIỆN TỬ

I.6 CÁC TÍN HIỆU ĐẦU RA CỦA HỆ CƠ ĐIỆN TỬ

I.7 XỬ LÝ TÍN HIỆU

Phần II: XÂY DỰNG MÔ HÌNH TOÁN HỌC CÁC HỆ VẬT LÝ

(Tổng số tiết : 12, số tiết lý thuyết:8, thảo luận: 4)

II.1 MÔ HÌNH TOÁN CÁC HỆ THỐNG CƠ HỌC

1 Mô hình dao động của cơ hệ có một bậc tự do

2 Mô hình dao động của cơ hệ hai bậc tự do

3 Mô hình toán học đường đàn hồi

4 Mô hình vật thể chịu kéo nén

5 Mô hình của vật chuyển động

II.2 MÔ HÌNH TƯƠNG TỰ ĐIỆN CƠ

1 Mạch RLC mắc nối tiếp

2 Mạch RLC mắc song song

II.3 CÁC MÔ HÌNH LIÊN QUAN ĐẾN VẬT RẮN

1 Động học vật rắn

2 Các mô hình toán với hệ vật rắn

2.1 Bài toán thuận về vận tốc

2.2 Bài toán thuận về gia tốc

2.3 Bài toán ngược về vị trí

2.4 Bài toán ngược về vận tốc

2.5 Bài toán ngược về gia tốc

3 Các phương trình cơ bản của động lực học vật rắn

3.1 Mô hình độ cứng dầm chịu uốn thuần túy

Phần III: CƠ CẤU CHẤP HÀNH

(Tổng số tiết : 12, số tiết lý thuyết:8, thảo luận: 4)

III.1 TỔNG QUAN

III.2 HỆ THỐNG THỦY LỰC VÀ KHÍ NÉN

2.1 Các thiết bị trong hệ thống và vai trò

Các dạng và các thông số đặc trưng của các cơ cấu dẫn động thủy lực

2.2 Van trượt có mép điều khiển dương, trung gian và âm

2.3 Van solenoid

2.4 Van tỷ lệ

2.5 Một số sơ đồ ứng dụng điều khiển với van tỉ lệ

2.7 Van servo

III.3 TÍNH TOÁN, THIẾT KẾ CÁC MẠCH ĐIỀU KHIỂN THỦY LỰC

Phần IV: CẢM BIẾN VÀ ĐO LƯỜNG

(Tổng số tiết : 8,: 12, số tiết lý thuyết:8, thảo luận: 4)

IV.1 CÁC HỆ THỐNG MÃ HÓA THỒN TIN

IV.2 HỆ THỐNG ĐO DỊCH CHUYỂN

2.1 Cấu tạo hệ thống đo

2.1.1 - Hệ thống đo dịch chuyển kiểu số - gia số

2.1.2 - Hệ thống đo dịch chuyển kiểu số- tuyệt đối

Phần VI: ĐIỀU KHIỂN VÀ ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG

(Tổng số tiết : 12, số tiết lý thuyết: 8, thảo luận: 4)

VI.1 HÀM TRUYỀN

VI.2 PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI

VI.3 HÀM TRUYỀN CỦA MỘT SỐ MẠCH ĐIỀU KHIỂN THỦY LỰC

3.1 Hệ thuỷ lực chuyển động tịnh tiến điều khiển bằng bơm dầu

3.2 Hệ thủy lực chuyển động tịnh tiến sử dụng phần tử điều khiển là van servo 3.3 Hệ thủy lực chuyển động quay điều khiển bằng bơm dầu

3.4 Hệ thủy lực chuyển động quay điều khiển bằng van servo

VI.4 Ý NGHĨA CỦA MÔ HÌNH TOÁN HỌC TRONG ĐIỀU KHIỂN

VI.5 ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG

5.1 Mở đầu về bài toán ổn định của hệ động lực

5.1.1 Khái niệm ổn định (về mặt hình thức)

5.1.2 Khái niệm ổn định (về mặt toán học)

5.1.3 Giải quyết bài toán khảo sát ổn định

5.1.4 Phương pháp tuyến tính hóa

5.1.5 Các phương pháp của Liapunov

VI.6 THIẾT KẾ ĐIỀU KHIỂN

Phần I: TỔNG QUAN VỀ CƠ ĐIỆN TỬ

Các thành phần chính của một hệ thống cơ điện tử (cdt) gồm:

Một số phần của hệ thống cần các kỹ năng thiết kế thật sự chi tiết như động học, động lực học, kết cấu Trong khi các mô đun khác như điều khiển, các mạch chức năng mang tính chất tính chọn là chính (vì các mô đun này sản xuất đại trà với trình độ chuyên môn cao) Nội dung của giáo trình này vì thế mà cũng nhấn mạnh và đi sâu vào các phần theo quan điểm trên

I.1 CƠ ĐIỆN TỬ LÀ GÌ

“Cơ điện tử là sự tích hợp chặt chẽ của cơ khí với điện tử và điều khiển máy tính thông minh trong thiết kế chế tạo các sản phẩm và quy trình công nghiệp”

“Cơ điện tử là sự áp dụng tổng hợp các quyết định tạo nên hoạt động của các hệ vật lý”

“Cơ điện tử là một phương pháp luận được dùng để thiết kế tối ưu các sản phẩm

I.2 CÁC THÀNH PHẦN CHÍNH CỦA CƠ ĐIỆN TỬ

Lược đồ sau đây mô tả tương đối dễ hiểu các thành phần chính của Cơ điện tử

(xem hình 1.1), năm thành phần cơ bản trong sơ đồ này là đối tượng nghiên cứu của tất cả các giáo trình cơ điện tử, việc trình bày theo cấu trúc này làm cho người đọc có

tư duy thống nhất, tiện cho việc theo dõi các lĩnh vực liên quan đến từng vấn đề

Trong quỹ thời gian có hạn các vấn đề sẽ được trình bày với trọng số khác nhau trên

cơ sở phù hợp với nền tảng kiến thức của sinh viên ngành cơ khí

Hình 1.1: Các thành phần chính của cơ điện tử

Có ba loại hệ cơ điện tử như sau nếu dựa trên quan điểm các lý thuyết cơ sở được

áp dụng:

- Hệ cơ điện điện tử truyền thống;

- Hệ cơ điện tử kích thước micro;

- Hệ cơ điện tử kích thước nano

Hình 1.2: Phân loại và các lý thuyết cơ sở được áp dụng trong hệ thống CĐT

Sản phẩm cơ điện tử hiện đang được chia làm bốn lớp như sau:

- Lớp I: các sản phẩm cơ khí là chính có sự kết hợp của điện tử để nâng cao tính năng, ví dụ các máy công cụ điều khiển số CNC;

- Lớp II: các hệ cơ khí truyền thống với sự hiện đại hóa đáng kể các thiết

bị bên trong bằng việc kết hợp với các thiết bị điện tử, giao diện người dùng bên ngoài không đổi, ví dụ như máy khâu hiện đại

- Lớp III: các hệ thống giữ lại chức năng của hệ cơ khí truyền thống nhưng máy móc bên trong được thay thế bằng các thiết bị điện tử, vd đồng hồ

I.3 CÁC THUỘC TÍNH CỦA THIẾT KẾ TRUYỀN THỐNG VÀ THIẾT KẾ CƠ ĐIỆN TỬ

Các thành phần phải thêm vào

8 Các đại lượng không đo được thay

đổi tùy tiện

9 Theo dõi đơn giản

10 Khả năng cố định

Tích hợp các thành phần (phần cứng)

1 Nhỏ gọn

2 Kết cấu đơn giản

3 Truyền thông không dây hoặc bus

4 Các thiết bị tự trị

Tích hợp bởi xử lý thông tin (phần mềm)

5 Cấu trúc mềm dẻo với phản hồi điện tử

6 Điều khiển số phản hồi khả lập trình (phi tuyến)

7 Độ chính xác nhờ đo lường và điều khiển phản hồi

8 Điều khiển các đại lượng không đo được mà ước lượng được

9 Giám sát với chẩn đoán lỗi

10 Khả năng tự học

I.4 CHỨC NĂNG CỦA CÁC HỆ CƠ ĐIỆN TỬ

Sự phân chia chức năng giữa cơ khí và điện tử:

Trong thiết kế hệ cơ điện tử sự tác động qua lại của các phần cơ khí và điện tử nhằm thực hiện các chức năng là điều rất quan trọng So với việc thực hiện các chức năng cơ khí đơn thuần sử dụng các bộ khuếch đại và cơ cấu chấp hành với năng lượng điện phụ trợ đã mang đến sự đơn giản hóa đáng kể cho các thiết bị như đồng hồ đeo tay, camera Một sự đơn giản hóa trong cơ khí bắt nguồn từ việc mang máy tính kết nối với các thiết bị điện phân tán

I.5 CÁC TÍN HIỆU ĐẦU VÀO CỦA HỆ CƠ ĐIỆN TỬ

Đầu vào bộ chuyển đổi cảm biến

Tất cả các đầu vào của hệ cơ điện tử đều bắt nguồn từ một vài dạng cảm biến hoặc

từ các hệ thống khác Cảm biến có thể được phân loại ra thành hai nhóm, cảm biến chủ

động và cảm biến thụ động Cảm biến chủ động phát ra tín hiệu để ước tính thuộc tính của môi trường và thiết bị được đo còn cảm biến thụ động thì không

Đầu vào của bộ cảm biến thường là một tín hiệu tương tự, dạng đơn giản nhất của tín hiệu tương tự là mức điện áp có mối liên hệ trực tiếp với điều kiện đầu vào Dạng thứ hai là thiết bị điều chế độ rộng xung Dạng thứ ba là sóng điều biên hoặc điều tần, trong một số trường hợp kết hợp cả điều biên và điều tần Những thay đổi này phản ánh sự biến đổi của trạng thái được theo dõi

Bộ biến đổi tương tự số (A/D)

Các bộ biến đổi này có thể được phân loại theo hai thông số, dải tín hiệu đầu vào tương tự và dải tín hiệu đầu ra số Chẳng hạn biến đổi mức điện áp trong khoảng 0 –

12 V thành một byte đơn 8 bit

Chẳng hạn các van servo nhận tín hiệu analogue từ thiết bị chỉ huy dưới dạng dòng điện hoặc điện áp, nếu là van hiệu suất cao có sử dụng cảm biến vị trí, nó sẽ chuyển tín hiệu về thiết bị điều khiển dưới dạng analogue Nếu thiết bị điều khiển kiểu

vi xử lý khi tiếp nhận tín hiệu này sẽ cần chuyển đổi A/D để tiếp tục xử lý

I.6 CÁC TÍN HIỆU ĐẦU RA CỦA HỆ CƠ ĐIỆN TỬ

Bộ biến đổi số - tương tự (D/A)

Lệnh đầu ra của bộ vi điều khiển là một giá trị nhị phân dưới dạng bit, byte 8 bit hoặc 16 bit Tín hiệu số được biến đổi thành tín hiệu tương tự nhờ bộ chuyển đổi D/A Chẳng hạn biến đổi một giá trị 8 bit thành điện áp trong khoảng 0 – 12 V

Chẳng hạn tín hiệu số từ vi xử lí cần chuyển thành tín hiệu tương tự khi chuyển xuống điều khiển van servo Tín hiệu thích hợp có thể tồn tại dưới dạng dòng điện hoặc hiệu điện thế

Đầu ra của cơ cấu chấp hành

Có ba cơ cấu chấp hành thường sử dụng trong các hệ cơ điện tử là chuyển mạch, solenoit và động cơ Chuyển mạch là thiết bị trạng thái đơn giản để điều khiển một hoạt động nào đó như bật tắt lò sưởi, các chuyển mạch bao gồm rơle, và các thiết bị liền khối như điôt, thyristor, tranzitor lưỡng cực, tranzitor trường chuyển mạch có thể được kết hợp với cảm biến giúp bật tắt một phần hoặc toàn bộ các chức năng của cảm biến

Solenoid là thiết bị bao gồm lõi sắt chuyển động được, lõi sắt này được kích hoạt bởi một dòng điện Sự chuyển động của nó giúp điều khiển dòng thủy lực hoặc khí

nén, thiết bị này được ứng dụng nhiều trong các hệ thống phanh và trong công nghiệp chất lỏng

Cơ cấu chấp hành kiểu động cơ có ba loại chính gồm:

- Động cơ điện một chiều DC;

- Động cơ điện xoay chiều AC;

I.7 XỬ LÝ TÍN HIỆU

Xử lý tín hiệu là việc thay đổi một tín hiệu để nó có ích hơn đối với một hệ thống Hai dạng xử lý tín hiệu quan trọng là chuyển đổi giữa tín hiệu D/A và A/D Ngoài ra lọc cũng là một dạng xử lý tín hiệu quan trọng

Lọc là làm suy giảm bớt tần số nào đó của tín hiệu, quá trình này có thể loại bỏ nhiễu khỏi tín hiệu và giúp xử lý đường truyền để chuyển tải dữ liệu tốt hơn Bộ lọc có thể được chia thành bộ lọc tương tự và bộ lọc số Trong đó bộ lọc tương tự lại chia thành bộ lọc chủ động và lọc bị động

Các bộ lọc cũng có thể phân biệt trên các loại tần số bị ảnh hưởng:

- Bộ lọc thông thấp cho phép các tần số thấp hơn đi qua, còn các tần số cao sẽ bị làm suy giảm;

- Ngược lại với bộ lọc thông thấp là bộ lọc thông cao, cho phép các tần số cao đi qua và lọc các tần số thấp

- Bộ lọc thông dải cho phép một dải tần số nhất định đi qua, còn tất cả các dải khác sẽ bị làm suy giảm

- Bộ lọc ngăn dải chỉ lọc một dải tần số nhất định trong khi vẫn cho phép tất cả các dải tần số khác đi qua

Phần II: XÂY DỰNG MÔ HÌNH TOÁN HỌC CÁC HỆ VẬT LÝ

Bộ não của một thiết bị cơ điện tử là một dạng máy tính, khi chuyển bài toán cho máy xử lý cần có mô hình bài toán, trong thiết kế nói chung và thiết kế cơ khí nói riêng thường sử dụng các loại mô hình cơ bản sau đây:

Định nghĩa mô hình: Mô hình là một thể hiện bằng thực thể hay bằng khái niệm, một số thuộc tính và quan hệ đặc trưng của nguyên hình nhằm:

1 Làm đối tượng quan sát thay cho nguyên hình

2 Làm đối tượng nghiên cứu (thực nghiệm hay suy diễn) về nguyên hình

Các loại mô hình thường sử dụng trong kĩ thuật để mô tả đối tượng thiết kế rất đa dạng nhưng có mấy dạng cơ bản như sau:

a Mô hình trích mẫu: Là tập hợp các cá thể lấy ra từ một tổng thể, để hình thành một tập mẫu, chúng được nghiên cứu bằng quy luật thống kê toán học

để xác định số lượng cá thể cần thiết có thể đại diện cho nguyên hình với độ chính xác yêu cầu Mô hình trích mẫu hay dùng trong kiểm tra chất lượng sản phẩm

b Mô hình đồng dạng: Hai mô hình được gọi là đồng dạng khi các đại lượng vật lí cùng tên của chúng tỉ lệ với nhau, đồng dạng hình học khi các kích thước dài và kích thước góc tỉ lệ nhau, đồng dạng động hình học khi vận tốc tỉ lệ với nhau, đồng dạng động lực học khi lực tỉ lệ với nhau Mô hình đồng dạng thường sử dụng trong kiểm tra bền đối tượng thiết kế hoặc thay thế

mô hình gốc khi không tiếp cận được mô hình gốc

c Mô hình tương tự: Hai thực thể khác nhau về bản chất vật lí được gọi là tương tự khi trạng thái của chúng được mô tả bằng cùng một hệ phương trình

vi phân và điều kiện đơn trị Mô hình tương tự có thể vận dụng để cấu trúc thí nghiệm trong trường hợp thí nghiệm với nguyên hình khó dựng hoặc tốn kém lớn

d Mô hình toán học: Ba mô hình nói trên đều ở dạng các thực thể vật lí,

mô hình toán học là mô hình khái niệm, nó tồn tại dưới dạng cấu trúc hay hệ thức toán học Mô hình toán học dùng để thiết kế đối tượng trên máy tính thông qua việc khảo sát đến cùng để xác định thông số thiết kế tối ưu

e Mô hình lược tả: Là mô hình biểu diễn bằng hình học trực quan những thuộc tính quan hệ nào đó (những thuộc tính này có thể là hình học hay phi

hình học, ví dụ mô yình nguyên tử là mô hình mang ý nghĩa hình học, sơ đồ khối mô tả thuật toán để lập trình trên máy tính không mang ý nghĩa hình học)

- Mô hình toán học: mô tả đối tượng dưới dạng phương trình toán (có thể là

phương trình, hệ phương trình, hoặc phương trình vi phân…) kèm theo những

điều kiện xác định (điều kiện biên, điều kiện đầu) Đối với các hệ thống cơ học rất thích hợp cho việc mô tả bằng phương trình toán, chẳng hạn mô hình dao động của con lắc đơn, mô hình dao động của mạch điện R, L, C , mô hình của các vật thể chuyển động trên bộ giảm chấn lò xo, nhún thuỷ lực…

-Mô hình hình học:

Để tăng tính trực quan của đối tượng khi nghiên cứu người ta sử dụng các mô

hình hình học của đối tượng, mô hình hình học của vật thể là dạng hình học được xây dựng đồng dạng với vật thể thực theo một tỉ lệ thu nhỏ, hoặc phóng to, nó có thể được xây dựng trên máy tính hoặc bằng các loại vật liệu có thực, chẳng hạn mô hình vật thể 3D, mô hình nguyên tử…

Hai loại mô hình này cũng là đối tượng cơ bản được trình bày trong chương này

-Mô hình hóa và định nghĩa chức năng trong cơ điện tử

Việc nghiên cứu các hệ và các quá trình được thực hiện nhờ các mô hình Các mô hình là sự mô tả có định hướng về mục tiêu và chức năng, hoặc phản ảnh các quan hệ

cơ bản của vấn đề khảo sát Mô hình toán học có thể được biểu diễn qua các phương tình toán, các bảng số hoặc các sơ đồ dòng tín hiệu và mô tả sự thay đổi theo thời gian của các tín hiệu Mô hình toán học có một ý nghĩa đặc biệt quan trọng Quan điểm về

sự mô tả hệ thống và những nhận thức phải đạt được qua sự mô tả đó có thể rất khác nhau và thường xuất phát từ mục đích khảo sát

Bảng 2.1: So sánh hệ dao động cơ và hệ dao động điện

Việc xây dựng mô hình dựa trên hai phương pháp:

- Xây dựng mô hình lý thuyết

- Xây dựng mô hình thực nghiệm (nhận dạng)

Trong việc xây dựng mô hình lý thuyết, đòi hỏi phải có kiến thức về hệ thống, tối thiểu là kiến thức về các giả thuyết khoa học Chúng được sử dụng thuận tiện đối với

hệ mà trong đó có thể sử dụng các định luật vật lý, các định luật về kinh tế và các quy luật khác Thí dụ như:

- Cơ học: định lý biến thiên động lượng, định lý biến thiên moomen động lượng, định lý động năng, hay các nguyên lý biến phân khác nhau,

- Kỹ thuật điện: các phương trình cơ bản của trường điện từ (định luật Ampere, định luật cảm ứng, …) và đối với mạch điện (định luật OHM, định luật KIRCHHOFF, …)

Định luật bảo toàn

Trong một không gian xác định (điểm, thể tích, mặt cắt) một đại lượng nào đó đi vào thì phải đi ra hoặc được tích trữ tại đó

Ghi chú: các định luật bảo toàn này có thể xuất hiện dưới dạng đạo hàm

Bảo toàn động lượng (định luật II Newton)

Nếu xung lượng tác dụng lên vật bằng không thì động lượng được bảo toàn

Bảo toàn mô men động lượng

r F d r mv

dt

Nếu  rF dt 0 thì mô men động lượng được bảo toàn

Bảo toàn điện tích

Điện tích trong một hệ điện được bảo toàn Dạng đạo hàm chính là định luật

Định luật bảo toàn khối lượng (Dùng nhiều trong Hóa học và Chất lỏng)

Khối lượng trong một hệ được bảo toàn

m d  v v v

Định luật bảo toàn năng lượng

Năng lượng trong một hệ được bảo toàn

Dạng đạo hàm: tổng công suất vào và ra của hệ bằng đạo hàm năng lượng tích trữ trong thể tích khảo sát

Trong hệ nhiệt chỉ có thành phần mang tính chất trở và tụ

Việc xây dựng mô hình thực nghiệm dựa trên việc quan sát, tức là dựa trên các phép đo Nhiệm vụ này thường được gọi là bài toán nhận dạng Trên cơ sở các thực nghiệm ta cần xác định các giá trị đặc trưng mô tả hệ (thí dụ như các tham số) hay các

hàm đặc trưng (thí dụ như hàm truyền) Bài toán được đơn giản hóa khi ta biết quan hệ vào- ra, khi đó ta có một bài toán nhận dạng tham số Trong nhiều trường hợp, sự kết hợp việc xây dựng mô hình bằng lý thuyết và thực nghiệm là chìa khóa cho sự thành công Cách tiếp cận theo phương pháp này thể hiện trên hình 2.1

Hình 2.1: Mối quan hệ giữa việc xây dựng mô hình lý thuyết và nhận dạng

Nhiệm vụ xây dựng mô hình lý thuyết cũng như mô hình thực nghiệm đòi hỏi nhất thiết phải có công cụ tính toán mạnh Mô hình của hệ được thiết lập thông qua phân tích tín hiệu và phân tích quá trình Mô hình này tạo thành cơ sở cho việc điều

khiển quá trình, một hoạt động được hiểu là thiết kế một phương án tác động vào quá trình, tức là xác định các đại lượng điều khiển với mục tiêu đạt tới một chức năng mong muốn

Điểm đặc trưng của cá hệ cơ điện tử là sự kết nối các phần tử cấu thành từ những lĩnh vực hoàn toàn khác nhau Ngoài ra, cấu trúc như vậy được ứng dụng trong các hệ

cơ điện tử đơn giản (thí dụ điều khiển từng trục cho robot) cũng như các hệ phức tạp (chẳng hạn như robot di động)

Hình 2.2 thể hiện sơ đồ nguyên lý điều khiển quá trình dựa trên mô hình

Hình 2.2: Nguyên lý điều khiển quá trình dựa trên mô hình

Các chức năng cơ bản xuất hiện trong hệ cơ điện tử được phân theo các nhóm với

độ phức tạp tăng lên như sau:

- Các chức năng động học:

Đồng nghĩa với việc định trước một cơ hệ phù hợp để thỏa mãn chức năng chuyển động theo yêu cầu Nhiệm vụ này thuộc vào lĩnh vực động học (cơ học, động lực học máy, lý thuyết cơ cấu) và bao hàm việc mô tả hình học của bài toán đặt ra (chẳng hạn cho trước tác vụ công nghệ của robot công nghiệp, yêu cầu xác định cấu hình tối thiểu phần cơ để robot thực hiện được tác vụ đó)

- Các chức năng động lực học:

Là vấn đề tiếp theo có liên quan tới các lực và momen cần thiết cho việc thực hiện các nhiệm vụ đã đề ra, kể cả việc bám theo quỹ đạo cho trước trong không gian công tác Vấn đề này có thể được giải quyết nhờ các phương trình chuyển động như phương trình Lagrange II, phương trình Newton-Euler

- Các chức năng cơ điện tử:

Nhiệm vụ mô tả chức năng của một hệ cơ điện tử sẽ đạt được hoàn toàn khi mô

hình được mở rộng, kết nối với hệ cảm biến, các cơ cấu dẫn động, các thuật toán điều khiển và các thành phần khác Sự mở rộng này thường gặp khi khảo sát các hệ động lực có điều khiển

Để mô tả chuyển động của hệ cơ điện tử có n bậc tự do ta đưa vào các khái niệm

sau:

- Hệ quán tính (KS) 0 (hệ tọa độ cơ sở, hệ tọa độ gắn liền môi trường):

Thông thường đó là tọa độ Đềcác và cố định trong không gian Các thao tác công nghệ được mô tả trong hệ này

- Hệ tọa độ vật (KS) k ; k = 1, 2, … , N:

Là các hệ tọa độ gắn cố định vào vật k Do đó vị trí và hướng của vật khảo sát cũng chính là vị trí và hướng của hệ tọa độ (KS)k trong hệ quy chiếu quán tính (KS)0

- Điểm quan sát (điểm tác động (EP)):

Vị trí hình học của hệ, mà ứng xử (thí dụ chuyển động) của nó có liên quan đến nhiệm vụ đã vạch ra Lưu ý rằng, vị trí hình hịc của hệ có thể được xác định từ vị trí của một tập các điểm

- Các tọa độ môi trường của EP:

Chúng mô tả vị trí (x, y, z) và hướng (, , ) của EP trong hệ quy chiếu quán

tính (KS) 0

6

],,,,

,

[

Đôi khi vị trí điểm quy chiếu và hướng của vật được tổng hợp thành một vector

gọi là vị trí của vật hay thế của vật đó

- Các tọa độ suy rộng:

n T

q q

q

Cùng với các vận tốc suy rộng

m T

q

q z

Biểu diễn các trạng thái của hệ

- Không gian cấu hình:

 min max

Các tọa độ suy rộng bị giới hạn bởi qmin và qmax

- Không gian làm việc hay còn gọi là không gian thao tác và mô hình động học:

x x f q q Q

Quan hệ phi tuyến giữa các tọa độ môi trường và các tọa độ suy rộng được biểu

diễn bởi x = f(q) Ta gọi quan hệ này là mô hình động học

- Mô hình động lực học:

Mô hình này có thể được thiết lập trong không gian cấu hình hoặc trong không

gian làm việc và mô tả mối quan hệ giữa các đại lượng chuyển động q(t) hay x(t) và các đại lượng lực Q(t) hay

T z y x

z y

))

(

(

t Q t q t q h t q

t

q

.

) 0

Q() biểu diễn lực và mômen suy rộng, ma trận M(q) là ma trận quán tính

(ma trận khối lượng)

Đối với các hệ lấy mẫu (được rời rạc hóa), hệ phương trình (1.9) có thể được biến đổi thành một hệ các phương trình sai phân

Thí dụ 1.3: Không gian làm việc của robot hai khâu (hình 2.3)

Không gian cấu hình được cho trước như sau:

cos

2 1 2 1

1

2 1 2 1 1

y

l l

x

Hình 2.3: Robot hai khâu

Hình 2.4: Không gian làm việc khi l 1 = 2l 2

Không gian làm việc:

Thế các giá trị biên của các tọa độ suy rộng vào hệ thức trên và cho l1 = 2l2 ta nhận được không gian làm việc như biểu diễn trên hình 2.4

Từ ví dụ này ta nhận thấy rằng, trong kỹ thuật robot mô hình động học có thể được xác định tương đối dễ và đáng tin cậy khi giả thiết rằng các khớp là lý tưởng (tức

là không có khe hở và không xảy ra mất liên kết) và các khâu là rắn tuyệt đối Để xác định các đặc tính thực của khớp, đặc biệt là tính chất hao tán của chúng do cản và ma sát, ta phải thực hiện bài toán nhận dạng nhờ thực nghiệm, trường hợp đơn giản nhất là bài toán nhận dạng tham số

Nhiệm vụ khảo sát hệ thống tổng thể sẽ được thực hiện sau khi ta hoàn thành việc

mô tả toán học các hệ con, còn được gọi là các mô đun chức năng cơ điện tử Nhiệm

vụ này có thể đánh giá ổn định trong vùng lân cận của việc làm việc ổn định, hay khảo sát tính điều khiển được và quan sát được của hệ Đặc biệt, các mô phỏng theo bước thời gian có thể cung cấp các thông tin trạng thái động lực học của hệ, chẳng hạn như

về ứng xử khéo léo theo của đại lượng dẫn hay về ảnh hưởng của các đại lượng nhiễu Trong lý thuyết hệ thống hiện đại, việc biểu diễn các phương trình hệ thống được biến đổi về dạng trạng thái (các phương trình trạng thái) Theo đó, các hệ động lực được biểu diễn dưới dạng phương trình vi phân dạng tường minh bậc nhất

II.1 MÔ HÌNH TOÁN CÁC HỆ THỐNG CƠ HỌC

Trong mục này sẽ đề cập tới cách xây dựng mô hình toán của một số hệ thống cơ học điển hình, mô hình toán vật thể chịu kéo nén, mô hình toán vật thể chịu uốn, mô hình cơ hệ dao động một và hai bậc tự do

1 Mô hình dao động của cơ hệ có một bậc tự do

Điển hình của mô hình này là chuyển động của của các loại xe trên đường, có bộ giảm chấn kết hợp cả cơ khí và thuỷ lực như hình vẽ

Hình 2.5: Cơ hệ một bậc tự do và sơ đồ lực tác dụng

Đặc trưng cho vật thể dao động là khối lượng m, bộ giảm chấn là kết hợp giữa lò

xo có độ cứng k, và xy lanh thuỷ lực có hệ số cản nhớt b, kết nối theo sơ đồ như hình

vẽ Khi chạy trên đường xe có dao động sinh ra từ hai nguồn:

Giả sử đường hoàn toàn bằng phẳng, bản thân xe sinh ra rung động do các chi tiết của nó có rung động khi làm việc (động cơ nổ sinh ra rung, các chi tiết chuyển động quay không cân bằng sinh ra rung…) Mặt khác đường không hoàn toàn bằng phẳng nên cũng làm cho xe rung động, trên thực tế xe luôn chịu cả hai loại tác động này

Để khảo sát bài toán này ta chia ra hai trường hợp riêng biệt là trường hợp xe dao động, nền đứng yên, và trường hợp hai là nền dao động xe đứng yên sau đó cộng chuyển vị thành lập được trong cả hai trường hợp lại ta có chuyển vị của xe hay rung động tác dụng lên xe trong trường hợp tổng quát

Kết quả của cách khảo sát này có thể chấp nhận được vì cơ hệ như mô tả ở trên

có tính chất tuyến tính, hay một hệ thoả mãn cộng đại số (chỉ khi sử dụng lò

xo giảm xóc hình trụ, các loại lò xo lá Lò xo côn không làm cho hệ thoả mãn tính chất này)

Hệ thoả mãn cộng đại số có nghĩa là khi sử dụng lò xo trụ, nếu tác dụng vào vật thể khối lượng m một lực F1 ta nhận được chuyển vị L1, khi tác dụng vào hệ một lực

F2 ta nhận được chuyển vị L2, như vậy hệ tuyến tính thì khi tác dụng một lực bằng (F1+ F2) chuyển vị phải là (L1 + L2)

Trường hợp vật dao động nền đứng yên:

Gọi x(t) là chuyển vị của nền, trong trường hợp này x(t) = 0

Gọi y là chuyển vị của vật thể, trục y được gắn vào vật thể theo phương thẳng đứng có chiều như hình vẽ (hình a) Tách vật và đặt các lực tác dụng như hình b bao gồm các lực như:

Lực quán tính Fqt= m.y’’

Lực tác dụng lên lò xo Flx

) 1 (

= k.y (vật thể dịch chuyển) Lực ma sát Fms

) 1 (

= b.y’ Chiếu tất cả các lực này lên phương thẳng đứng ta có phương trình cân bằng lực trong trường hợp này như sau:

Fqt+ Flx

) 1 (

+ Fms

) 1 (

= 0 (1)

Trường hợp vật đứng yên nền dao động:

Thực ra dao động chỉ có tính tương đối nếu ta quan niệm vật dao động nền đứng yên cho thuận tiện thì thực tế nền không dao động nên khi đó thực tế là vật thể dao động theo quy luật của nền đường

Tách chi tiết và đặt lực như hình c bao gồm các lực như sau:

Phản lực của lò xo Flx

) 2 (

Phản lực của xy lanh Fms

) 2 (

= b.x’ Chiếu tất cả các lực này lên phương thẳng đứng ta có phương trình cân bằng lực như sau:

-Flx

) 2 (

-Fms

) 2 (

= 0 (2) Cộng theo vế hai phương trình (1) và (2) ta có:

Fqt+ Flx

) 1 (

+ Fms

) 1 (

-Flx

) 2 (

-Fms

) 2 (

= 0 Thay số ta có:

m.y’’+ b(y’ – x’) + k(y – x) = 0 (3) Với điều kiện đầu:

y(t = 0) = 0 (chuyển vị ban đầu bằng không)

y’(t = 0) = 0 (vận tốc ban đầu bằng không)

Phương trình (3) chính là mô hình toán học mô tả dao động của xe chạy trên đường ghồ ghề, khi khảo sát phương trình này ở thời điểm nào nó cho ta biết tình trạng dao động của xe ở thời điểm đó

2 Mô hình dao động của cơ hệ hai bậc tự do

Cơ hệ hai bậc tự do được biểu diễn như hình vẽ dưới đây:

Cơ hệ này gồm hai khối lượng xếp chồng lên nhau, khối lượng m ở dưới được liên kết với nền thông qua bộ giảm chấn thứ nhất, khối lượng m0 ở trên liên kết thông qua bộ giảm chấn thứ hai xuống khối lượng m Lúc này cũng có hai trường hợp xảy ra như sau:

Trường hợp thứ nhất: nền không dao động chỉ có cơ hệ dao động, bao gồm cả hai khối lượng m và m0 cùng dao động

Trường hợp thứ hai: nền dao động, cơ hệ đứng yên, ta sẽ lần lượt xét từng bài toán

Trường hợp cơ hệ dao động:

Vì bản thân cơ hệ hợp thành từ hai khối lượng nên sẽ có hai phương trình mô tả

dao động của từng khối Khi cơ hệ dao động thì khối lượng m0 sẽ nhận khối lượng m làm nền, song bản thân khối lượng m cũng dao động nên trường hợp này rơi vào trường hợp cơ hệ có một bậc tự do dao động cùng với nền như vừa xét ở mục 1 Tức là bản thân khối lượng m0 có phương trình mô tả dao động là:

m0.y1’’+ b1(y1’ – y’ ) + k(y1 – y) = 0 Với điều kiện đầu: y1(t = 0) = 0 (chuyển vị đầu bằng không)

Hình 2.6: Cơ hệ hai bậc tư do và mô hình lực tác dụng

Để thành lập phương trình dao động của khối lượng m, ta tách riêng nó và đặt lực các lực tác dụng như hình vẽ bao gồm:

Vì bản thân khối lượng m0 dao động nên có các lực Flx và Fms tác dụng từ m0 lên

m, do m cũng dao động nên nên một mặt tác dụng các lực Flx và Fms lên m0 mặt khác

cũng tác dụng các lực như Fqt, Flx, Fms lên nền cứng đỡ nó như hình vẽ

Các lực xuất hiện trên vật m phải cân bằng lực với lực kích thích đặt vào: F=F0sin(t)

Ta có phương trình cân bằng lực trên vật như sau:

Trường hợp nền dao động:

Trong trường hợp này nền của khối lượng m0 dao động như trường hợp thứ nhất,

nền của khối lượng m cũng dao động cả hai trường hợp này đều đã xét ở trên Tức là khi đó ta lưu ý thêm rằng ngoài các lực do vật m0 dao động tác dụng từ m0 xuống m,

và các lực do bản thân m dao động tác dụng lên gối đỡ, do nền dao động nên còn có các lực do nền tác dụng lên m

Để xét phương trình dao động của khối lượng m ở dưới ta chia ra hai trường hợp như hình vẽ: (vật dao động nền đứng yên và vật đứng yên nền dao động)

Trường hợp vật thể dao động ta tách vật đặt các lực tác dụng như hình vẽ:

Hình 2.7: lực tác dụng lên khối lượng m khi vật dao động

Giá trị cụ thể của các lực trên sơ đồ đã được đề cập ở phần đầu tiên, Chú ý rằng ở đây ta không đặt lực kích thích hình sin nữa, chiếu các lực lên phương thẳng đứng ta

có phương trình cân bằng lực như sau:

0

) 2 ( ) 2 ( ) 1 ( ) 1 (

Hình 2.8: Lực tác dụng lên khối lượng m khi nền dao động

Trường hợp này do nền dao động nên chỉ có hai lực tác dụng lên vật thể như hình

vẽ, phương trình của trường hợp này là:

F(lx2)F(ms2) 0 (2) Cộng vế hai phương trình (1) và (2) ta có phương trình mô tả dao động của khối lượng m như sau:

Flx FmsFms Flx FlxFmsFqt

) 2 ( ) 2 ( ) 1 ( ) 1 (

0

) 2 ( ) 2 (



F

Flx ms hay: my’’ + b(y’ – x’) – b1(y1’ – y’) + k(y – x) – k1(y1 – y) = 0

Với điều kiện đầu y(t = 0) = 0

y’(t = 0) = 0

Vậy phương trình vi phân mô tả dao động của cả hệ là hệ hai phương trình thành lập được ở trên Ta nhận thấy rằng khi tần số dao động riêng trùng với tần số dao động kích thích thì năng lượng của dao động chủ yếu tập trung vào khối lượng m0, và năng lượng bị tiêu tán chủ yếu ở đó rung động ít ảnh hưởng tới khối lượng chính m, người

ta áp dụng kết quả này để làm thêm các khối lượng phụ trên các xe cần giảm xóc mạnh như xe khách, xe du lịch, điểm khó ở đây là việc tính toán khối lượng m0 sao cho hợp

Trong đó:

M (khối lượng tác động lên bánh xe), B (hệ số cản) và K (độ

cứng lò xo) là các thông số hệ thống f t 

(lực do sốc) là tín hiệu vào, y t 

(dịch chuyển của thân xe) là tín hiệu ra

Ta có thể áp dụng phương trình Lagrange để thiết lập phương trình vi phân chuyển động của cơ hệ trên như sau:

Cơ hệ có một bậc tự do Dưới tác dụng của lực kích động f t 

khối M dịch chuyển xuống Chọn tọa độ suy rộng y như hình vẽ

Động năng của cơ hệ:

Q  f t

(1.5) Thế các biểu thức trên vào phương trình Lagrange có dạng:

Ví dụ 1.2: Phương trình vi phân mô tả chuyển

động của con lắc toán học

Con lắc toán học là một hệ dao động gồm một

chất điểm có khối lượng m, treo vào điểm O cố định

bằng một sợi dây nhẹ, không dãn, có chiều dài l

(hình 1.2)

Gọi tọa độ của chất điểm là x, y Từ hình vẽ ta có:

x l cos , y l sin

cossin

Thế các biểu thức trên vào phương trình Lagrange loại hai:

   

(1.9)

Nếu ta đặt

2 0

g l

3 Mô hình toán học đường đàn hồi

Cơ sở toán học của phép toán này là dựa vào việc giải gần đúng phương trình vi phân mô tả đường đàn hồi, gắn với các điều kiện biên cụ thể mà ta xác định cho bài toán Trong giáo trình sức bền vật liệu ta đã thành lập được phương trình vi phân của đường đàn hồi có dạng như sau:

J E

M y

không thay đổi, M là mô men uốn tại tiết diện

đang xét tính ra từ biểu đồ mô men uốn

Hãy xem ví dụ sau đây:

Hình 2.9: Mô hình đường đàn hồi

Hình trên là mô hình một thanh thẳng chịu uốn với lực tác dụng tại hai đầu mút Trong đó w1 và w2 là độ võng hai đầu mút thanh, thanh có chiều dài là h, trạng thái sau khi uốn thanh có góc xoay tại hai đầu là 1 và 2 như hình vẽ Phương trình vi phân mô tả độ võng w(x) của thanh tại tiết diện bất kì( hay chính là mô hình toán học của thanh) có dạng như sau:

( (2 )) 0

2 2

2



x

d x

d

d

x w EI

Mô hình này được đưa ra với giả thiết rằng mặt cắt ngang của dầm đồng nhất trên suốt chiều dài dầm, khi đó tích phân hai vế của phương trình này 4 lần ta có

w(x) = c1x3 + c2x2 + c3x + c4

Ta có thể xác định được các hằng số tích phân từ các điều kiện biên:

w(x= 0) = w1 (độ võng ứng với toạ độ x = 0, là w1 như đã cho)

(x 0 ) 1

dx

dw

(góc xoay tại x = 0 là 1) w(x= h) = w2 (độ võng ứng với toạ độ x = h, là w2 như đã cho)

(x  h) 2

dx

dw

(góc xoay tại x = h là 2) Thực hiện lấy đạo hàm của hàm w(x) và triển khai các điều kiện mô tả ở trên ta

có kết quả như sau:

3 w h w h

2 2 1 1

2 w h w h

c3 =1

c4 = w1

Vậy mô hình toán của dầm chịu lực có thể được viết dưới dạng như sau:





2

3 2

2

3 2

1

3 2

1

3 2

.

2 3

2

2 3

x x

w

h

x h

x

w h

x h

x h

x h

x w

h

x h

Cho x biến thiên từ 0  h ta có độ võng của từng tiết diện trên dầm

Trường hợp trên đây chỉ là một ví dụ nhỏ, đối với phương trình vi phân của đường đàn hồi ta cũng làm tương tự song phải giải gần đúng (cách giải trình bày trong chương 5: phương pháp tính) Các ràng buộc cơ bản trong trường hợp này là: chuyển

vị tại gối bằng không, chuyển vị tại các mặt cắt chuyển tiếp bằng nhau

4 Mô hình vật thể chịu kéo nén

Xét một vật thể dạng thanh chịu lực như hình vẽ:

Hình 2.10a: Mô hình thanh chịu kéo nén đúng tâm

Mô hình toán học của thanh dựa vào định luật Hook có dạng như sau:

Mô hình của lò xo và hệ lò xo mắc nối tiếp

Lò xo là chi tiết cơ khí chỉ chịu kéo nén đúng tâm, xuất hiện trong rất nhiều thiết kế quan trọng Dưới đây giới thiệu mô hình lò xo trụ bước không đổi dưới dạng lò xo đơn

Một lò xo trụ bước không đổi có độ cứng k, hai nút i và j có chuyển vị lần lượt là ui

và uj như hình vẽ, pi và pj là lực tác dụng theo trục của lò xo tại nút i và nút j theo thứ

pi = -k ui (3) Dựa trên cân bằng lực của hệ:

pj = - pi = k.ui (4) Phần tử lò xo trụ bước không đổi là tuyến tính, hệ tuân theo nguyên tắc chồng chất, trong trường hợp cả hai nút i và j đều có khả năng chuyển động tự do:

i j i

ku ku p

ku ku p

(5) Viết (5) dưới dạng ma trận:

i

u

u k k

k k p

Sau khi tách nút hệ lò xo trở thành hai lò xo đơn đúng theo mô hình (6), triển khai

mô hình này dưới dạng mở rộng nút:

i

u u

u k

k

k k p

p

.000

000

1 1

(7)

j

u u u

k k

k k p

00

000

"

0

2 2

2

2 (8) Cộng theo vế (7) với (8) để được:

k j i

u u u

k k

k k k k

k k

p p

p

0

) (

0

2 2

2 2 1 1

1 1

(9)

Ma trận độ cứng của hệ lò xo mắc nối tiếp là một ma trận băng với độ rộng bằng 1 đơn vị, đối xứng qua đường chéo chính

Sự tương tự của chi tiết lò xo và chi tiết thanh thẳng chịu kéo nén đúng tâm

Biến dạng tỉ đối của thanh chịu kéo nén được định nghĩa là:

l là chiều dài của thanh;

 (11) biến đổi tương đương để có:

l

EF

p  [ ]  (12) Dạng phương trình cơ bản (12) cho phép xác định sự tương tự giữa một lò xo trụ với một thanh chịu kéo nén đúng tâm:

l

EF

k  (13) Tức là một thanh chịu kéo nén đúng tâm có thể được xem như một lò xo với độ cứng quy đổi tính theo (13) và ngược lại

5 Mô hình của vật chuyển động

Với vật thể chuyển động các mô hình toán chủ yếu dựa vào các định luật sau: Định luật II Newton, mô hình toán có dạng:

F = - m.a

Định luật bảo toàn động lượng, mô hình toán có dạng:

m.v = const

II.2 MÔ HÌNH TƯƠNG TỰ ĐIỆN CƠ

Mục đích của phần này là chỉ ra sự tương đương giữa một sơ đồ cơ học thuần tuý

và một sơ đồ điện thuần tuý trên một khía cạnh là năng lượng Sự tương tự này là cơ

sở để thay thế việc nghiên cứu mô hình này bằng mô hình khác khi mô hình gốc đắt tiền hoặc khó khảo sát

1 Mạch RLC mắc nối tiếp

Hãy xét một sơ đồ mạch điện R, L, C mắc nối tiếp như hình vẽ:

Hình 2.11a: Mạch RLC mắc nối tiếp

Theo định luật Kieckhop phương trình vi phân viết cho mạch R, L, C này có dạng như sau:

 



 1 i.dt U(t)

C i R dt

di L

1

2

2

t U q C dt

dq R d

q L

t

Xem lại mô hình cơ hệ một bậc tự do có phương trình vi phân mô tả như sau:

)(

2

2

t p y k dt

dy b d

y m

t

Vậy ta so sánh các đại lượng tương ứng trong hai phương trình vi phân trên và rút

ra kết luận như sau:

do

Biểu diễn trong miền thời gian:

) ( )

( )

()(

0 1 2 2 0 0

1 2 2

0 2 0 1 2

p F a p a p a

b a

p a p a

y a y a p a p Y

0

) (

a p a p a

b p

G





Trong đó Y(p) và F(p) là biến đổi LAPLACE của y(t) và f(t)

Từ các quan hệ nêu trên, rõ ràng là ứng xử dao động của hệ dao động cơ và hệ

dao động điện là như nhau Các hệ như vậy cũng được gọi là các khâu trễ bậc 2

Ví dụ: để ổn định rung của một chiếc xe trong điều kiện tổng quát giả thiết là đường

có xóc, việc nghiên cứu dựa trên tính đối xứng với sơ đồ thay thế:

Hình 2.11b: Mô hình động lực học ¼ xe

Giả thiết này dẫn đến mô hình toán học của cơ hệ có hai bậc tự do, việc nghiên cứu thực nghiệm được tiến hành trên mô hình mạch RLC theo định nghĩa mô hình tương tự

có phương trình vi phân mô tả dao động giống nhau

Việc dập rung cho mô hình thực hiện bằng cách cực đại hóa dao động của khối lượng phụ và cực tiểu hóa dao động của khối lượng chính Việc lấy đi hay thêm vật liệu vào những vị trí nhất định hoặc làm ngăn cản sự lan truyền rung động trong môi trường liên tục, hoặc thay đổi thông số nhằm làm cộng hưởng (hoặc tránh cộng hưởng) dao động

Thiết lập phương trình vi phân mô tả hệ điện

Để có thể thiết lập được các phương trình vi phân mô tả hệ điện ta căn cứ vào các mối quan hệ của các phần tử, các định luật chuyên biệt của hệ điện

Các mối quan hệ giữa các đại lượng và các phần tử được thể hiện như sau:

Quan hệ điện áp – dòng điện: u t Ri t  (Định luật Ôm)

Quan hệ dòng điện – điện áp: i t  1u t 

Quan hệ điện áp – dòng điện: u t  L di t 

Quan hệ điện áp – dòng điện:  

Các định luật chuyên biệt

Định luật Kirchhoff 1 (Định luật Kirchhoff về dòng điện – Kirchhoff’s Current

Law, KCL)

Tổng đại số các dòng điện tại một nút bằng không: i 0, trong đó thường quy ước các dòng điện có chiều đi tới nút mang dấu dương, và các dòng điện có chiều rời khỏi nút thì mang dấu âm

ii i i i 



Đây thực chất là hệ quả của định luật bảo toàn điện tích (điện tích tại một nút không

tự sinh ra và cũng không bị mất đi)

Định luật Kirchhoff 2 (Định luật Kirchhoff về điện áp – Kirchhoff’s Volt Law,

KVL)

Tổng đại số hiệu điện thế của các nhánh theo một vòng kín bằng không

Hoặc: đi theo một vòng khép kín, theo một chiều dương tùy ý, tổng đại số các điện

áp rơi trên các phần tử R, L, C bằng tổng đại số các sức điện động có trong vòng; trong

đó những sức điện động và dòng điện có chiều trùng với chiều dương của vòng sẽ mang dấu dương, ngược lại mang dấu âm

Định luật kirchhoff 2 thực chất là hệ quả của nguyên lý bảo toàn năng lượng: công trong một đường cong kín bằng không

nạp điện tích Điện tích qua tụ q sẽ tăng từ 0 đến giá trị cực đại thì tụ C không tích điện

nữa Bỏ nguồn ra và nối C với nhánh chứa cuộn cảm có độ tự cảm L, tạo thành một mạch kín gọi là mạch dao động LC Khi đó, tụ C phóng nạp liên tục và cuộn cảm cũng xuất hiện dòng điện cảm ứng biến thiên điều hòa tạo thành dao động của mạch Ta thiết lập phương trình vi phân cho mạch như sau:

Điện áp giữa hai bản tụ: u C t 1q t 

u t u t 

Do đó ta thu được phương trình:

10

Phương trình (1.12) là phương trình vi phân mô tả dao động của mạch LC

Ví dụ 1.4 Phương trình của hồ quang trong mạch RLC

Hồ quang là một đoạn mạch không tuân theo định luật Ôm, khi hai điện cực chạm nhau, vật chất của điện cực ỏ phần tiếp xúc bị nóng chảy và bốc hơi, hơi đó dẫn điện cháy sáng và cháy duy trì khi hai điện cực được giữ ở một khoảng cách nhất định, ta

có hồ quang Sơ đồ mạch như hình vẽ 1.4

Hình 1.4 Sơ đồ mạch hồ quang

Trong đó, i L  , i u C u , E là suất điện động của nguồn, L là độ từ cảm, R là trở

kháng,   i  là cung vôn (là đoạn mạch không tuân theo định luật Ôm) Giả thiết v

dòng điện hồ quang là hàm của điện áp, tức là bỏ qua quán tính của quá trình ion hóa

Áp dụng định luật Kirchhoff 1 và 2 cho mạch ta nhận được các phương trình sau:

dU C

đạo hàm hai vế phương trình này theo thời gian ta có:

dt

di U L dt

dU R d

U C

2

2

t p y k dt

dy b d

y m

Trở lại mô hình cơ hệ một bậc tự do ta đã xét ở phần trên, năng lượng được tích luỹ dưới dạng thế năng trong vật thể khối lượng m, năng lượng tích luỹ dưới dạng động năng trong lò xo độ cứng k, và năng lượng bị tiêu tán trong xy lanh thuỷ lực có

độ cản nhớt b

Vì vậy ta thấy có sự tương đồng giữa hai mô hình này dù chúng thuộc hai lĩnh vực khác nhau