Bất đẳng thức (I)

Trong chơng trình Toán lớp 6, chúng ta làm quen với một số vấn đề liên quan đến BĐT nh so sánh hai số, hai luỹ thừa; hai phân số...một số phơng pháp chứng minh BĐT, dùng BBĐT để tìm khoả

Soạn:

Gi

ả ng : Chuyên đề

Bất đẳng thức ( I )

I/ Kiến thức cần nhớ:

Với hai số a,b : a > b; a < b là các bất đẳng thức Trong chơng trình Toán lớp 6, chúng ta làm quen với một số vấn đề liên quan đến BĐT nh so sánh hai số, hai luỹ thừa; hai phân số một số phơng pháp chứng minh BĐT, dùng BBĐT để tìm

khoảng giá trị số phải tìm v.v

*/ Tính chất của BĐT

a/ Tính bắc cầu: Nếu a > b ; b > c Thì a > c

b/ Tính đơn điệu của phép cộng

Nếu a > b Thì a + c > b + c c/ Tính đơn điệu của phép nhân

Nếu a > b ; c > 0 Thì a.c > b.c

c < 0 Thì a.c < b.c d/ Cộng từng vế của các BĐT cùng chiều

Nếu a > b; c > d Thì a + c > b + d II/ Các ví dụ

A/ So sánh hai số:

a/ So sánh hai số tự nhiên VD: Giá tiền 7 quyển vở nhiều hơn giá tiền 8 cái bút chì Hỏi giá tiền 8 quyển vở

và 9 cái bút chì đằng nào nhiều hơn?

Giải:

Gọi giá tiền 1 quyển vở là x (đ)

giá tiền một cái bút chì là y (đ)

Theo bài ra ta có: 7x > 8y Ta cần so sánh 8x và 9y

Từ 7x > 8y (1) => 7x > 7y => x > y (2)

Cộng từng vế của hai BĐT cùng chiều (1) và (2) ta đợc 7x + x > 8y + y

Hay 8x > 9 y Vậy giá tiền 8 quyển vở nhiều hơn giá tiền 9 cái bút chì

b/ So sánh hai phân số

*/ Các ph ơng pháp th ơng dùng để so sánh hai phân số:

1, Quy đồng mẫu:

Trong hai PS cùng mẫu, PS nào có tử nhỏ hơn thì PS đó nhỏ hơn

b a <d c <=> a < c

2 Quy đồng tử:

Trong hai PS cùng tử , PS nào có mẫu nhỏ hơn thì PS đó lớn hơn

b a <d c <=> d < b ( a,b,c,d ∈Z +)

3 Sử dụng tính chất:

d

c b

a < <=> ad < bc ( a,b c,d ∈ Z

b a >d c <=> ad > bc b > 0; d > 0 )

4 Sử dụng “phần bù”tới đơn vị:

Hai PS đều nhỏ hơn đơn vị, nếu phần bù đến đơn vị của PS nào lớn hơn thì PS đó nhỏ hơn

Nếu

b

a

= 1 – M ;

d

c

= 1 - K

mà M > K Thì b a < d c

5 Sử dụng “ phần thừa” tới đơn vị:

Hai PS đều lớn hơn đơn vị, nếu phần thừa đến đơn vị của PS nào lớn hơn thì PS đó lớn hơn

Nếu b a = 1 + M ; d c = 1 + K

mà M > K Thì

b

a

>

d c

6 Dùng PS trung gian:

+/ Chọn một PS trung gian có cùng tử với một trong hai PS đã cho, cùng mẫu với

PS còn lại VD: So sánh

49

12

và

47 13

Chọn PS 1247 làm PS trung gian, ta có 1249 < 1247 (1)

47

12

< 4713 (2)

Từ (1) và (2) => 1249 < 1347

+/ Chọn một PS trung gian thể hiện mối quan hệ giữa tử và mẫu của hai PS

VD : So sánh

59

15

và

97 24

Ta thấy 1559 > 1560 =

4

1

(1)

97

24

<

96

24

=

4

1

(2)

Từ (1) và (2) => 9724 <

4

1

< 1559 Nên 9724 < 1559 Ngoài ra ta còn hay dùng phơng pháp “làm trội”, “ làm giảm” các tính chất của luỹ thừa để so sánh hai hay nhiều PS

*/ Ví dụ

So sánh A =

1 10

1 10 16

15 +

+ và B =

1 10

1 10 17

16 +

+

Cách 1: Để so sánh A với B ta đi so sánh 10A với 10B Ta có:

10A =

1 10

10 10 16

16 +

+ = 1 +

1 10

9

16 +

10B =

1 10

10 10 17

17 +

+ = 1 +

1 10

9

17 +

Dễ thấy

1 10

9

16 + >

1 10

9

17 + nên 10A > 10B => A > B

Cách 2 Ap dụng tính chất :

Nếu b a < 1 thì b a++m m > b a ( m > 0)

V× B < 1 nªn B =

1 10

1 10 17

16 +

+ <

9 1 10

9 1 10 17

16 + +

+ + =

10 10

10 10 17

16 + +

=

) 1 10 (

10

) 1 10 (

10

16

15

+

+

=

1 10

1 10 16

15 +

+ =A VËy A > B

c/ So s¸nh hai luü thõa Khi so s¸nh hai luü thõa ta th¬ng dïng c¸c ph¬ng ph¸p:

+/ §a vÒ cïng c¬ sè => so s¸nh hai sè mò

+/ §a vÒ cïng sè mò => so s¸nh hai c¬ sè

+/ So s¸nh qua luü thõa trung gian

Lu ý: Víi am; an ( a,m,n ∈N; m> n)

+/ NÕu a = 0 hoÆc a = 1 th× am = an

+/ NÕu a > 1 th× am > an

+/ NÕu 0 < a < 1 th× am < an

VD1 So s¸nh

a, 637 vµ 1612 b, 323 vµ 515 c, 12723 vµ 51318

32

1











16

1











80

1











243

1













Ta cã

a, 637 < 647

647 < 648 = ( 43)8 = 424 = 1612 Nªn 637 < 1612

b, 323 = ( 33 )7 32 = 277 9

515 = ( 52 )7 5 = 257 5 DÔ thÊy 277 9 > 257 5 Nªn 323 > 515

c, 12723 < 12823 = ( 27 )23 = 2161

51318 > 51218 = ( 29)18 = 2162

DÔ thÊy 2161 < 2162 Nªn 12723+ < 51318

d, 7

32

1











2

1











2

1













161 9









2

1











 = 2136









 DÔ thÊy 1235









 > 1236











32

1











16

1













80

1











81

1











3

1











 = 28

3 1

243

1











6 5 3

1











 =

30

3

1

Mµ 28

3

1

> 30

3

1

80

1











243

1













VD2

CMR sè 958 lµ mét sè cã 16 ch÷ sè khi viÕt kÕt qu¶ cña nã trong hÖ thËp ph©n

Gi¶i

Sè tù nhiªn nhá nhÊt cã 16 cs lµ 1015

Sè tù nhiªn nhá nhÊt cã 17 cs lµ 1016

Nh vËy ta cÇn c/m 1015 < 958 < 1016

Ta cã 958 < 1008 = ( 102)8 = 1016 (1)

Gi¶ sö 1015 < 958 => 158

95

10 < 1 <=> 168

95

10 < 10

Ta có 168

95

95

100











19

20













19

20











19

20 18

19

.1718 .

13

14 12

13

=

12

20

< 10

Do đó 1015 < 958 (2)

Từ (1) và(2) => 1015 < 958 < 1016 hay 958 là số có 16 cs

VD3:

Số 21991 và 51991 viết liền nhau đợc một số có bao nhiêu chữ số?

Giải

Giả sử số 21991 có x chữ số; số 51991 có y chữ số ( x; y ∈ N)

Ta đã biết số tự nhiên nhỏ nhất có x chữ số là 10x -1

số tự nhiên nhỏ nhất có x+1 chữ số là 10x

=> 10x-1 < 21991 < 10x (*)

Tơng tự số tự nhiên nhỏ nhất có y chữ số là 10y -1

số tự nhiên nhỏ nhất có y+1 chữ số là 10y

 10y-1 < 51991 < 10y ( **)

Nhân từng vế của BĐT (*) và(**) ta có:

10x-1 10y-1 < 21991 51991 < 10x 10y

<=> 10x+y-2 < 101991 < 10x+y

<=> x + y- 2< 1991 < x + y

Do x; y ∈N => x + y - 1 = 1991

=> x+y = 1992 Hay số 21991 và 51991 viết liền nhau đợc một số có 1992 chữ số

BT vân dụng

BT1/ Giá tiền 1 quyển sách, 6 quyển vở, 3 chiếc bút là 7700đ Giá tiền 8 qyển sách, 6 quyển vở, 6 chiếc bút là 16000đ

So sánh giá tiền 1 quyển sách và 1 quyển vở

BT2/ CMR 2100 là số có 31 cs khi viết kết quả của nó trong hệ thập phân BT3/ So sánh A= 1+2+3+ +1000 và B = 1.2.3 20

C = 1.2.3 11 và D = 1+2+3+ + 1000000

B/ Chứng minh bất đẳng thức

VD1: Cho A =1011 + 1021 + 1031 + + 2001

CMR a, A >

12 7

b, A > 85

Giải: a, Tách A thành 2 nhóm , mỗi nhóm có 50 số hạng rồi thay môĩ PS trong

nhóm bằng PS nhỏ nhất trong nhóm ấy, ta đợc:

A = (

101

1

+

102

1

+ +

150

1

) + (

152

1 151

1 + + +

200

1

)

=> A > ( 1501 + 1501 + +1501 ) + ( 2001 +2001 + +2001 )

50 số hạng 50 số hạng

=> A >

150

1

50 +

200

1

50 =

12

7 4

1 3

1 + =

Vậy A >

12

7

b, Tách A thành 4 nhóm, lập luận tơng tự nh phần a, ta có

A=(

101

1

+

102

1

+ .+

125

1

)+(

150

1

127

1 126

175

1

152

1 151

177

1

176

1

+ +

 A > 1251 25 + 1501 25 + 1751 25 + 2001 25

 A >

7

1 6

1 5

1 + + +

8

1

=

210

107

+

8

1

>

2

1 +

8

1

=

8 5

Vậy A > 85

VD2: Cho dãy số tự nhiên liên tiếp a; a+1; ; b-1; b trong đó b> a+1 Ghép các

số trên thành từng cặp hai số hai đầu và hai só cách đều hai đầu

a, CMR hai số thuộc cặp ngoài cùng có tích nhỏ nhất; hai số thuộc cặp trong cùng

có tích lớn nhất

b, áp dụng CMR

8

5

<

101

1

+

102

1

+

103

1

+ +

200

1

<

4

3

Giải:

a, Ta xét hai cặp ( a; b) và ( a+1; b-1)

Ta có (a+1) ( b-1) = ab – a + b -1 = ab+ b – ( a+1)

Mà b > a+1 => b- (a+1) > 0

=> ab + b- ( a+1) > ab Hay ( a+1) ( b-1) > a.b chứng tỏ rằng tích của hai cặp ngoài cùng nhỏ hơn tích của hai cặp bên cạnh Từ đó =>

+/ Hai số thuộc cặp ngoài cùng có tích nhỏ nhất

+/ Hai số thuộc cặp trong cùng có tích lớn nhất

b, áp dụng: Gọi A=

101

1

+

102

1

+

103

1

+ +

200 1

Ghép các số cách đều hai đầu thành từng cặp;









200

1 101

1









199

1 102

1









151

1 150 1

= 101301.200+ 150301.151

199 102









151 150

1

199 102

1 200

101

1

Xét mẫu của 50 PS ở trong ngoặc Theo c/m phần a, thì tích 101.200 có giá trị nhỏ nhất; Tích 150.151 có giá trị lớn nhất

=>

200 101

1

lớn nhất ;

151 150

1

nhỏ nhất

Do đó A < 301 1011.200.50 = 404301 < 404303 =

4

3

(1)

A > 301

151 150

1

50 =

453

301

>

453

300

>

480

300

=

8

5

(2)

Từ (1) và(2) => 85 < 1011 + 1021 + 1031 + + 2001 <

4 3

VD3

Cho P = 199200

6

5 4

3 2

1

(*) C/m rằng A2 < 2011

Giải Trớc hết ta có nhận xét rằng biểu thức P là tích của 100 PS nhỏ hơn 1 trong

đó các tử đều lẻ và các mẫu đều chẵn Ta cần tìm một biểu thức trung gian là tích của các PS mà tử chẵn, mẫu lẻ

Dễ thấy nếu thêm 1 vào tử và mẫu của mỗi PS của P thì giá trị mỗi PS tăng lên Ta

có P <

201

200

7

6 5

4

.

3

2

(**) Nhân từng vế của(*) và(**)

=> P2 < 











200

199

6

5 4

3 2

1











201

200

7

6 5

4 3 2

=> P2 < 12..34..56 199200 32..54..76 200201 = 2011

Vậy P2 <

201

1

( đpcm)

VD4

Cho 6 só tự nhiên khác nhau có tổng bằng 50 CMR trong 6 số đó tồn tại 3 số có tổng lớn hơn hoặc bằng 30

Giải Gọi 6 số đó là a,b,c,d,e,g

Theo bài ra ta có a+b+c+d+e+g =50

Không làm mất tính tổng quát , giả sử a > b > c > d > e > g

+/ Nếu c≥9 thì b ≥ 10; a≥ 11

Khi đó a + b + c ≥ 11+10+9 = 30 # +/ Nếu c≤ 8 thì d ≤ 7; e ≤ 6; g≤ 5

Khi đó d + e + g ≤ 7+6+5 = 18

=> a + b + c ≥ 32 #

VD5: CMR

a, A = 1001 !

! 4

1

! 3

1

!

2

b, B = 10009 !

! 12

9

! 11

9

! 10

9

+ + +

Giải: Ta có

a, A = 1001 !

! 4

1

! 3

1

!

2

1

+ + +

1

4.

3.

2.

1

1 3.

2.

1

1 2.

1

1

+ + +

+

Dễ thấy

4 3 2

.

1

1

<

4 3

1

;

5 4 3 2 1

1

<

5 4

1

do đó

A < 99.1100

4 3

1 3 2

1 2

.

1

1 + + + + = 1-1001 < 1 #

b, B =

! 1000

9

! 12

9

! 11

9

! 10

9

+ + + +

B < 10001000!1

! 12

1 12

! 11

1 11

!

10

1

! 11

1

! 11

1

! 10

1

! 10

1

!

9

1

− +

− +

− +

BT v©n dông

BT1/ Cho A = 1 +

1 2

1

4

1 3

1 2

1

100 − + + +

a, A < 100

b, A > 50

BT2/ CMR

6

1

100

1

7

1 6

1 5

1

+ + +

4 1

13

1 12

1 11

1

+ + + +

CMR a, B >

3 4

b, B < 2,5

100

1

4

1 3

1 2

1 + + + + CMR: C <

4 3