Chương II BẤT ĐẲNG THỨC1... Như vậy * đã được chứng minh... Sử dụng phương pháp điểm rơi... Ta tìm được S max.
Trang 1Chương II BẤT ĐẲNG THỨC
1 Đại cương về bất đẳng thức:
1.1 Khái niệm: Cho hai số thực a b,
Ta nói a lớn hơn b, ký hiệu a b> nếu a b− là một số dương Lúc đó ta cũng nói
b nhỏ hơn a, ký hiệu b a< .
Ta nói a lớn hơn hay bằng b, ký hiệu a b≥ nếu a b− là một số không âm Lúc
đó ta cũng nói b nhỏ hơn hay bằng a, ký hiệu b a≤ .
Các mệnh đề “a b> ”, “a b< ” , “a b≥ ”, “a b≤ ” gọi là các bất đẳng thức 1.2 Tính chất: a b c d, , , ∈¡
a Tính chất 1: a b
a c
b c
>
>
b Tính chất 2: a b> ⇒ a c b c+ > +
c Tính chất 3: a b
a c b d
c d
>
>
, 0
ac bc c
a b
ac bc c
> >
e Tính chất 5: 0
0
a b
ac bd
c d
> >
> >
0
a b
>
>
g Tính chất 7:
{ }
*
0
\ 1
> > >
>
h Tính chất 8:
2 1 2 1
2 1 2 1
a b
>
>
>
a> ⇒ a >a ⇔ >b c
< < ⇒ > ⇔ <
j Tính chất 10: 1 ( c c 0)
a b> > ⇒ a >b ⇔ >c
< < < ⇒ > ⇔ <
2 Một số bất đẳng thức cơ bản:
2.1 Bất đẳng thức chứa dấu gía trị tuyệt đối:
Cho a a1, , ,2 a n∈¡ , ta có:
a + + ×××+a a ≤ a + a + ×××+ a
Dấu “=” xảy ra khi a i i ( =1,n) cùng dấu.
2.2 Bất đẳng thức Cauchy:
n a a, , , a
Trang 21 2
1 2
n
a a a n
+ + ×××+ ≥
(1) Dấu “=” xảy ra khi a1=a2 = ×××=a n
Chứng minh: bằng phương pháp quy nạp:
* Với n=2, ta có:
1 2
2
a a
: đúng.
* Giả sử bất đẳng thức đúng với n k= (k >2), tức là:
1 2
n
a a a k
+ + ×××+ ≥
Ta cần chứng minh bất đẳng thức đúng với n k= +1, ta có:
1
1
1 2 1 1
1
1
1 1
1
2
1
1
1
k
k
i
k
k
i
k k
k
k
k k
k
k a a a k a a a a
k a a a a a a a
k a a a
k a a a
+
+
+
=
+
=
− +
− +
+ + +
+
+ −
≥
≥
≥
∑
∑
Suy ra:
1
1
1 2 1 1
1
k
k
i
+
+
+
=
∑
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:
1
1 1
k k
k k
k
+
− +
+
= = ×××=
* Hệ quả 1: Bất đẳng thức Cauchy mở rộng:
Cho a a1, 2, ,a n >0 và m m1, 2, , m n là các số hữu tỉ dương, khi đó ta có:
( 1 2 ) 1 2
1
1 1 2 2
1 2
m n n
n n
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a1=a2 = ×××=a n
Trang 3Chứng minh:
Giả sử m i i ( =1,n) là các số tự nhiên Lúc đó, áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho
m +m + ×××+m số gồm m1 số a1; m2 số a2; …; m n số a n, ta có:
1 1 2 2
1 2
1
1 1 2 2
1 2
n n
m
n n
n n
m
n n
+ +×××+
+ +×××+
+ + ×××+
+ + ×××+
Nếu m i là số hữu tỉ dương tuỳ ý, ta đặt p i =m N i với N là mẫu số chung của các
i
m i= n , ta có:
1
1
n pi
i
p
i
i
p
N p
N
∑
=
1 1
1
1 2 1
n pi i n
n
i i
p
i
n n
i i
p a
p
∑
=
=
=
Các p i i( =1,n) là các số tự nhiên, trở lại bất đẳng thức Cauchy mở rộng trong trường hợp m i là số tự nhiên Như vậy (*) đã được chứng minh.
* Hệ quả 2: Cho n số dương x x1, 2, , x n có tổng S = + + ×××+x1 x2 x n không đổi thì tích
1m 2m m n
n
P x x= x có giá trị lớn nhất khi: 1 2
n n
x
m = m = ×××= m trong đó các m i là các số hữu tỉ cho trước.
Chứng minh: Vận dụng (2) với i ( 1, )
i i
x
m
* Hệ quả 3: Nếu n số dương x x1, 2, , x n có tích 1 2
1m 2m m n
n
P x x= x không đổi thì tổng
S = + + ×××+x x x có giá trị bé nhất khi mọi i ( 1, )
i
x
m = đều bằng nhau.
Chứng minh: Vận dụng (2) với i ( 1, )
i i
x
m
2.3 Bất đẳng thức Bunhiacôpxki:
Cho 2n số thực a a1, 2, ,a n; b b1, , ,2 b n Khi đó ta có:
Trang 4( )2 ( 2 2 2) ( 2 2 2)
a b +a b + +a b ≤ a +a + +a b + + +b b
a b +a b + +a b ≤ a +a + +a b + + +b b (3) Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: a i =k b i
Chứng minh:
Nếu A=0 hoặc B=0 thì bất đẳng thức hiển nhiên đúng.
Nếu A>0 và B>0 thì
n n
a b a b a b
Theo bất đẳng thức Cauchy:
2 2 1
1
2
Nên:
1
1
1 2
i
a b
=
∑
Dấu “=” xảy ra khi
0, 1,
i i
a k b
Hệ quả: Bất đẳng thức Bunhiacôpxki mở rộng:
Cho m n số không âm:
, , , , , ,
, , ,
n
n
n
b b b
c c c
Khi đó:
Dấu “=” xảy ra khi: a b1: :1 ××× =:c1 a b2: 2:×××:c2 = ×××=a b n: n:×××:c n
Chứng minh: tương tự.
2.4 Bất đẳng thức Bernulli:
Cho a≥ −1, α∈ ¡ , α ≥1. Ta có:
(1+a)α ≥ +1 αa
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 0
1
a
α
=
=
Trang 5Chứng minh: Xét f x( ) (= +1 x)α − −1 αx với x∈ − +∞[ 1, )
( )
1
α
( ) ( )
0
0
x
f x
f x
Vậy f x( ) ≥ f ( )0 =0, ∀ ∈ − +∞x [ 1, )
Hay (1+a)α ≥ +1 αa, ∀ ≥ −a 1, α∈¡ , α >1
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: 0
1
a
α
=
=
• Nếu a≥ −1, α∈¡ , 0< <α 1, ta có: (1+a)α ≤ +1 αa
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a=0.
2.5 Bất đẳng thức Trebưshep:
Dạng 1: Cho
1 2
n n
≤ ≤ ×××≤
≤ ≤ ×××≤
Ta có:
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 1 2
1 2
n n
= = ×××=
= = ×××=
Chứng minh: Dạng 1:
Đặt a1 a2 a n
A
n
+ + ×××+
= , lúc đó tồn tại k∈{1, 2, ,n} sao cho:
a ≤a ≤ ×××≤a ≤ ≤A a + ≤ ×××≤a
Chọn số B sao cho:
b ≤ ≤ ×××≤ ≤ ≤b b B b+ ≤ ×××≤b
Suy ra:
0, 1,
Do đó:
Trang 61 1 1
0
a b A b B a n AB
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
, 1, , 1,
n i
⇔
Dạng 2, chứng minh tương tự.
2.6 Bất đẳng thức Jensen:
Định nghĩa: Cho f : ,[ ]a b →¡ là một ánh xạ.
f được gọi là hàm lồi trên [ ]a b, nếu: ∀x x1, 2∈[ ]a b, , ∀α β, ≥0 thoả α β+ =1:
f ( αx1+βx2) ≤α f x( )1 +βf x( )2
* Trường hợp 1 2 [ ]
1
, , , n , , i 0 : n i 1
i
=
∈ ≥ ∑ = thì:
( )
* Ý nghĩa hình học: f là hàm lồi khi f′′( )x >0.
Bài tập:
1 Cho a b c, , >0 Chứng minh rằng:
2
b c c a+ +a b ≥
2
2 Cho a b c, , >0 và abc=1 Chứng minh rằng:
2
b c c a a b
+ +
3 Cho a b c, , >0 và abc=1 Chứng minh rằng:
a 3( ) 3( ) 3( )
2
a b c +b c a +c a b ≥
b 3( ) 3( ) 3( )
3 2
a b c +b c a +c a b ≥
Trang 7c
4 Cho 1 2
1
, , , n 0; n i
i
=
> =∑ Chứng minh rằng:
a
2
S a +S a + ×××+ S a ≥ n
b 1 1
n n
a
S a +S a + ×××+S a ≥ n
5 Cho a a1, , ,2 a n >0; S = + + ×××+a1 a2 a n Chứng minh rằng:
2; 2
n n
a
n
6 Cho a b c, , >0 và a b c+ + =1 Chứng minh rằng:
+ + + ≥
Từ đó hãy tổng quát bài toán.
7 Cho a b c, , >0 Chứng minh rằng:
32
2 3
a
8 a Cho , 0
4
a b
a b
>
+ ≥
Tìm min của
6 10
2 3
a b
b Cho
, , 0
3 2
a b c
a b c
>
+ + ≤
Tìm min của
1 1 1
S a b c
a b c
= + + + + +
c Cho
, , 0
3 2
a b c
a b c
>
+ + ≤
Tìm min của
2 2 2 1 1 1
a b c
d Cho , , 0
2 3 20
a b c
>
+ + ≥
Tìm min của
3 9 4
13 2
S a b c
e Cho , , 0
1
a b c
a b c
>
+ + ≤
Chứng minh rằng
1 1 1
28
S
9 a Cho , , 0
1
a b c
a b c
≥
+ + =
Tìm max của
S = a b+ + b c+ + c a+
Trang 8b Cho: , , , 0
1
a b c d
a b c d
>
+ + + =
Tìm max của S = 32a b+ +3 2b c+ + 32c d+ +3 2d a+
c Cho x y z, , ≥0 Tìm min của ( )6
2 3
x y z S
xy z
+ +
=
10 a Cho: a b c d, , , >0 Tìm min của: 2 2 2 2
S
b Cho: , , , 0
2
a b c d
a b c d
>
+ + + ≤
Tìm min của:
S
= + ÷ + ÷ + ÷ + ÷
11 a.Cho: , , 0
6
a b c
a b c
≥
+ + ≥
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau 2 12 2 12 2 12
b Cho: , , 0
1
x y z
x y z
>
+ + ≤
Chứng minh rằng 2 12 2 12 2 12
82
12 Cho: , , 0
6
a b c
a b c
≥
+ + ≥
Tìm min của:
13 Cho: a b c, , ≥0 Chứng minh rằng
14 a Chứng minh rằng trong mọi tam giác ta có:
3 3
sin +sin +sin +tg +tg +tg ≥ +
b Chứng minh rằng trong mọi tam giác nhọn ta có:
sinA sinBsinC sin≤ + sin + sin +
15 Cho tam giácABC nhọn, chứng minh rằng
* 3
3 , 2
tg A tg B tg C+ + ≥ + ∀ ∈n ¥
Trang 9Hướng dẫn giải bài tập.
(1) 2
b c c a+ +a b ≥
Cộng hai vế của bất phương trình đã cho với 3 ta có:
a b b c c a
⇔ + + + + + + + + + + ≥
Áp dụng Bất đẳng thức Cauchy lần lượt cho: a b b c c a+ , + , +
1 1 1
a b b c c a+ + +
Ta suy ra đpcm.
(2) 2
15
2
Theo bất đẳng thức Cauchy b c c a a b 6 (4)
a+ + + + +a b b c c ≥
Kết hợp (1) và (4) ta suy ra (3).
2
(1) 2
b c c a a b
+ +
Đặt
S
b c c a a b
Cách 1: Cộng hai vế của (1) với a b c+ + ta có:
2
b c c a a b
a b c S
+ +
Cách 2: Đặt
, , 0
b c x
c a y
a b z
x y z
+ =
+ =
+ =
>
(1) thành: ( ) (2 ) (2 )2
4
Ta có:
Trang 10( ) (2 ) (2 )2
p p
x y z
Cách 3: Sử dụng phương pháp điểm rơi.
Do S là biểu thức đối xứng nên dự đoán S sẽ đạt dấu '' ''= tại điểm rơi
a b c= = .
Sơ đồ điểm rơi:
2
2 1
2
a
a
Áp dụng Bđt Cauchy ta có:
2
2
2
a
b c a
b c b
c a b
c a c
a b c
a b
+ + ≥ +
+ + ≥ +
+ + ≥ +
Ta được
2
a b c
S≥ + +
Cách 4: Áp dụng Bđt Bunhiacopxki cho
Ta suy ra đpcm.
3a Đặt
1
xyz
=
Sau đó sử dụng kết quả bài 2 suy ra đpcm.
3b Đặt
, , 0, 1
x y z xyz
Bđt
2
Trang 11Áp dụng Bđt Trebưsep cho:
, ,
y z z x x y
x y z
Sau đó sử dụng kết quả bài 2 ta suy ra đpcm.
3c Sử dụng phương pháp điểm rơi.
Sơ đồ điểm rơi:
1
1
2
a b c
= = = ⇒
Ta có:
3
3
3
Từ đó ta suy ra đpcm.
4a Ta có
S a +S a + ×××+ S a
n
n
n S
2
1
1
n
n
n S
n
−
4b Ta có
Trang 121
1
1
n
n
a
n
n n
≥
−
5 Ta có:
1 1
2 , 1,
2
2
i
n i n
a a
=
=
−
−
∑
∑
6 Ta có:
abc
7
2
2
32 2
2 3
32
2 3
a
+
: 2 4 0
2
Ta có:
Trang 13( ) ( )2
32
2 3
a
+
8 3 5
≥ − = 8a Sơ đồ điểm rơi:
6 3 2
10 5
a
a
a b
b b
=
=
=
Ta chọn:
3
, :
5
6 5
6
α α
α β
=
=
Ta có:
3 6 5 10 1
6 10 2 18
Khi a b= =2 thì S =18 Vậy Smin =18.
8b Tương tự, ta có:
1 1 1 1 3 1 1 1
S a b c
3
+ +
2
a b c= = = thì 15
2
S = Vậy min 15
2
8c Tương tự, ta có
3
1 1 1 1 1 1 3 1 1 1
3
a b c abc
2
a b c= = = thì 27
4
S = Vậy min 27
4
8d Tương tự, áp dụng Bđt Cauchy tại điểm rơi a=2,b=3,c=4.
8e Tương tự, áp dụng Bđt Cauchy tại điểm rơi 1
a b c= = = .
Trang 149a Áp dụng Bđt Cauchy tại điểm rơi 1
3
a b c= = = .
2 2
a b
Tương tự cho 3b c+ , 3 c a+ Cộng vế theo vế ta có:
18
a b c
3
a b c= = = thì S = 318 Vậy 3
ax 18
m
9b Áp dụng Bđt Cauchy tại điểm rơi 1
4
a b c d= = = = Ta có:
3 3 2
a b
Tương tự cho 32b c+ , 3 2c d+ , 32d a+ Suy ra S≤ 3 48.
4
a b c d= = = = thì S = 348 Vậy 3
m
6
Ta chọn
, , : 3 2
6, 3, 2
Tiếp tục áp dụng Bđt Cauchy cho 6 số 6 , 3 , 3 , 2 , 2 , 2x y y z z z Ta tìm được S max.
10a Do S là biểu thức đối xứng nên dự đoán S sẽ đạt giá trị nhỏ nhất tại
a b c d= = = .
Ta có:
2 5
1
3 3 3 3 3 3 3
Tương tự cho 2 2 2
1 , 1 , 1
+ + + ta suy ra
4 5 3
S
≥ ÷ Khi a b c d= = = thì
4 5 3
S
= ÷ Vậy
4 min
5 3
= ÷
10b Do S là biểu thức đối xứng nên dự đoán S sẽ đạt giá trị nhỏ nhất tại
1
2
a b c d= = = =
Ta có: 1 1 1 3 3 2
Trang 15Tương tự với 1
1
b
1
c
+ , 1 1
d
+ Ta có
3
16 3
S
abcd
2
a b c d= = = = thì S =34 Vậy Smin =34.
11a Ta có:
2
β
Tương tự cho 2 12
b c
+ , 2 12
c a
+ Ta được:
a b c
Dự đoán S đạt giá trị nhỏ nhất tại a b c= = =2 Ta có:
1
1
4 1
a b b c c a
α β
α
α β
=
=
Ta chọn α =4, β =1 Lúc đó:
4 17
a b c
6 3
17
6 6
17
a b c
a b c
a b c
Khi a b c= = =2 thì 3 17
2
S = Vậy min 3 17
2
r
Ta có | | | | | |ar + br + cr ≥ |a b cr+ +r r| Nên
x y z
Ta có
Trang 16( )
2 2
2
2
1 1 1
1 1 1
1 1 1
x y z
x y z
x y z
x y z
Suy ra S ≥ 82.
12 Dùng phương pháp “điểm rơi” trong Bđt Bunhiacôpxki tại a b c= = =2.
Ta suy ra min 3 17
2
S = khi a b c= = =2.
13 Ta có:
Tương tự cho
5 3
b c
÷
,
5 3
c a
÷
Ta có:
3 3
14a Áp dụng bđt Jensen với ( ) sin , (0, ) ( ( ) 0)
f x = +tg x∈ π f x′′ >
Ta có:
f
≥ ÷, suy ra đpcm.
14b Áp dụng bđt Jensen cho f x( ) sin ,= x x∈(0,π ) (lõm).
Ta có:
3
sin sin sin sin sin sin sin
Tương tự cho 3
4
sin +
3 4
sin +
Ta suy ra đpcm.
15 Áp dụng bđt Cauchy và Jensen ta có:
2
tg A tg B tg C+ + ≥ tgAtgBtgC = tgA tgB tgC+ + ≥ +
Do
Trang 173
3 3 1
2
3 3 2
n
tg A tg B tg C
n
tg A tg B tg C
≥ +