2 Giải đề thi đại học khối A môn toán 2008

Hướng dẫn và lời giải chi tiết đề thi đại học Khối A Môn Toán 2008

Bản quyền thuộc Nhóm Cự Môn của Lê Hồng Đức

Tự học đem lại hiệu quả tư duy cao, điều các em học sinh cần là:

1 Tài liệu dễ hiểu − Nhóm Cự Môn luôn cố gắng thực hiện điều này

2 Một điểm tựa để trả lời các thắc mắc − Đăng kí “Học tập từ xa”

GIẢI ĐỀ THI MÔI TOÁN KHỐI A

NĂM 2008

 Các em học sinh đừng bỏ qua mục “Đánh giá và định hướng”

Học Toán theo nhóm (từ 1 đến 6 học sinh) các lớp 9, 10, 11, 12

Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC

Địa chỉ: Số nhà 20 − Ngõ 86 − Đường Tô Ngọc Vân − Hà Nội

Email: nhomcumon68@gmail.com

Phụ huynh đăng kí học cho con liên hệ 0936546689

đề thi môn toán khối A năm 2008

Phần chung cho tất cả các thí sinh

Câu I: (2 điểm): Cho hàm số:

mx (3m 2)x 2

x 3m à tham số

=

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = −1

2. Tìm m để góc giữa hai đờng tiệm cận của đồ thị hàm số (1) bằng 450

Câu II: (2 điểm)

1 Giải phơng trình:

4sin x 3

2

π

π

2 Giải hệ phơng trình:

5

x y x y xy xy

4 , (x,y )

5

x y xy(1 2x)

4

 + + + + = −





Ă

Câu III: (2 điểm): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(2; 5; 3) và

đờng thẳng:

x 1 y z 2 (d) :

1. Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc của A trên đờng thẳng (d)

2. Viết phơng trình mặt phẳng (P) chứa (d) sao cho khoảng cách từ A đến (P) lớn nhất

Câu IV: (2 điểm)

1 Tính tích phân

/ 6 4

0

tan x.dx

cos 2x

π

= ∫

2 Tìm các giá trị của tham số m để phơng trình sau có đúng hai nghiệm phân biệt:

42x+ 2x 2 6 x 2 6 x− 4 − + − =m, (m∈Ă )

Phần tự chọn: Thí sinh chọn câu V.a hoặc câu V.b

Câu V.a Theo chơng trình THPT không phân ban (2 điểm)

1 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, hãy viết phơng trình chính tắc của Elíp (E), biết rằng (E) có tâm sai bằng 5

3 và hình chữ nhật cở sở của (E) có chu

vi bằng 20

2 Cho khai triển (1 + 2x)n = a0 + a1x + + anxn, trong đó n∈Ơ và các hệ số a* 0,

a1, , an thoả mãn hệ thức 1 n

+ + + = Tìm số lớn nhất trong các

số a0, a1, , an

Câu V.b Theo chơng trình THPT phân ban (2 điểm)

1 Giải phơng trình log2x − 1(2x2 + x − 1) + logx + 1(2x − 1)2 = 4

2 Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC a 3= và hình chiếu vuông góc của đỉnh A’ trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh BC Tính theo a thể tích của khối chóp A’.ABC và tính côsin của góc giữa hai đờng thẳng AA’, B’C’

Đánh giá và định hớng thực hiện

Câu I.

1 Với hàm số:

y = ax2 bx c

dx e

+ + + , với ad ≠ 0, tử, mẫu không có nghiệm chung

ta lần lợt có:

Viết lại hàm số dới dạng:

y = f(x) = αx + β + dx eγ+

a Tập xác định D = Ă \{−e

d}

b Sự biến thiên của hàm số:

 Giới hạn của hàm số tại vô cực, giới hạn vô cực và các đờng tiệm cận:

x

lim

→∞y = ∞

x lim e / d

→− y = ∞ nên x = −de là đờng tiệm cận đứng

x

lim

→∞[y − (αx + β)] = 0 nên y = αx + β là đờng tiệm cận xiên

 Bảng biến thiên:

y' = α − 2

d (dx e)

γ + =

2 2

(dx e) d (dx e)

α + − γ + ,

Dấu của đạo hàm là dấu của tam thức g(x) = α(dx + e)2 − γd

Vậy phơng trình y' = 0 hoặc vô nghiệm hoặc có hai nghiệm phân biệt Do

đó hàm số hoặc không có cực trị hoặc có hai cực trị

Lập bảng biến thiên:

y'

y

Dựa vào bảng biến thiên đa ra kết luận về các khoảng đồng biến và nghịch biến và cực trị của hàm số

c Đồ thị: Do có bốn trờng hợp khác nhau về chiều biến thiên nên đồ thị của hàm số có bốn dạng

Một số tính chất của hàm phân thức hữu tỉ

bậc hai trên bậc nhất

Tích chất 1: Hàm số đồng biến trên D khi:

e D d

y ' 0, x D

− ∉





 ≥ ∀ ∈



Tích chất 2: Hàm số có cực đại, cực tiểu khi:

Phơng trình y' = 0 có hai nghiệm phân biệt khác −e

d. Khi đó:

 Giá trị cực trị của hàm số tại x0 là y(x0) = 2ax0 b

d

+

 Phơng trình đờng thẳng đi qua cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số có dạng y = 1

d (2ax + b).

Tích chất 3: Hàm số có hai cực trị trái dấu khi:

Phơng trình y' = 0 có hai nghiệm phân biệt khác −e

d và

ph-ơng trình ax2 + bx + c = 0 vô nghiệm

Tích chất 4: Hàm số có hai cực trị cùng dấu khi:

y' = 0 có hai nghiệm phân biệt khác − e

d và phơng trình ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm phân biệt

I

I

Tích chất 5: Đồ thị nhận giao điểm I của hai đờng tiệm cận làm tâm đối xứng.

Hớng dẫn chứng minh

Bớc 1: Thật vậy, dời trục bằng tịnh tiến về gốc I(x0, y0), với công thức dời trục:

0 0

x X x

y Y y

= +



 = +

Thay x, y vào phơng trình hàm số ta đợc:

Y = F(X)

Bớc 2: Hàm số này là hàm lẻ nên đồ thị nhận I làm tâm đối xứng

Tích chất 6: M là điểm tuỳ ý thuộc đồ thị hàm số Ta có:

a. Tích các khoảng cách từ M tới hai đờng tiệm cận là một hằng số

b. Nếu tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm cận tại A, B thì:

 M là trung điểm AB

 ∆IAB có diện tích không đổi

Hớng dẫn chứng minh

Ta lần lợt xác định:

 Miền xác định D

 Đạo hàm y'

 Các đờng tiệm cận, suy ra toạ độ giao điểm I của hai tiệm cận

 M là điểm tuỳ ý thuộc đồ thị, có hoành độ bằng a ⇒ M(a, y(a))

a. Ta có:

 Khoảng cách từ M tới tiệm cận đứng đợc cho bởi d1

 Khoảng cách từ M tới tiệm cận xiên đợc cho bởi d2

Suy ra:

d1.d2 = hằng số

b M(a; y(a)) ta có:

 Phơng trình tiếp tuyến (tM) tại M có dạng:

y − y(a) = y'(a)(x − a)

 Xác định toạ độ giao điểm A của (tM) và tiệm cận đứng

 Xác định toạ độ giao điểm B của (tM) và tiệm cận xiên

Nhận xét rằng:

xA + xB = 1 + 2a − 1 = 2a = 2xM

Vậy M là trung điểm AB

Diện tích ∆IAB đợc cho bởi:

S = 1

2IA.IB.sinAIB =

1

2|yA − yI|.|xB − xI| không phụ thuộc a

2 Yêu cầu của bài toán đợcchia thành hai phần:

Phần I: Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có hai đờng tiệm cận, với hàm số:

y = ax2 bx c

dx e

+ + +

ta lần lợt thực hiện:

Bớc 1: Viết lại hàm số dới dạng:

y = f(x) = αx + β + dx eγ+

Bớc 2: Khi đó, để hàm số có hai đờng tiệm cận điều kiện là γ ≠ 0

Và ta đợc:

x lim e / d

→− y = ∞ nên x = −de là đờng tiệm cận đứng

x

lim

→∞[y − (αx + β)] = 0 nên y = αx + β là đờng tiệm cận xiên

Phần II: Tìm điều kiện để hai đờng tiệm cận tạo với nhau một góc α, ta lần

l-ợt thực hiện:

Bớc 1: Chỉ ra các vtpt n , nuur uur1 2

của hai đờng tiệm cân

Bớc 2: Khi đó:

1 2

1 2

n n

n n

α =

uuruur uur uur

Bớc 3: Kết luận

Câu II.

1. Chúng ta đi đánh giá lần lợt:

7

VP 4sin x 4sin 2 x

π

π

2 2 sin x cos x ,

3 cos x sin x

2

= π

1 1 sin x cos x

sin x cos x sin x.cos x

+

Tức cả hai vế sẽ có nhân tử chung là (sinx + cosx), điều đó khẳng định rằng phơng trình sẽ đợc chuyển về dạng tích để giải Và cụ thể chúng ta sẽ thực hiện theo các bớc sau:

Bớc 1: Đặt điều kiện có nghĩa cho phơng trình (*)

Bớc 2: Sử dụng các phép biến đổi nh trên để chuyển phơng trình về dạng tích:

(sinx + cosx).f(x) = 0 ⇒ Nghiệm

Bớc 3: Kết hợp với (*) để đa ra kết luận về nghiệm cho phơng trình

2. Đây là hệ phơng trình không mẫu mực, do vậy để giải nó chúng ta cần có những đánh giá nh sau:

 Phơng trình thứ nhất của hệ có thể đợc phân chia nh sau:

x y xy(x y) xy

4

Tức là, nó đợc xây dựng dựa trên bộ cơ sở x2 + y và xy

 Chúng ta thử định hớng biến đổi phơng trình thứ hai của hệ theo x2 + y và

xy, cụ thể:

x y xy(1 2x)

4

(x y) xy

4

Từ đó, bằng việc sử dụng ẩn phụ u x= 2+y và v=xy, hệ phơng trình đợc biến

đổi về dạng:

2

5

u uv v

4 5

u v

4

 + + = −





 + = −



Hệ này đợc giải dễ dàng bằng phơng pháp thế

Cuối cùng với (u0; v0) tìm đợc chúng ta sẽ có hệ mới:

2

0 0

x y u

xy v

 + =



 =

Nh vậy, chỉ cần sử dụng phơng pháp thế chúng ta sẽ giải đợc hệ trên

Câu III

1. Với mong muốn cung cấp cho các em học sinh một lợng kiến thức tổng quát

là “Tìm điểm M thuộc đờng thẳng (d) thoả mãn điều kiện K", ta lựa chọn một

trong hai cách sau:

Cách 1: Thực hiện theo các bớc:

Bớc 1: Chuyển phơng trình đờng thẳng (d) về dạng tham số:

(d):

0 0 0

x x at

y y bt

y z ct



 = +



 = +



, t ∈ Ă (có vtcp u(a; b; c) r

)

Bớc 2: Điểm M ∈ (d), suy ra M(x0 + at; y0 + bt; z0 + ct)

Bớc 3: Thiết lập tính chất K cho điểm M

Cách 2: Sử dụng điều kiện K khẳng định M thuộc đờng (L), khi đó:

(d) ∩ (L) = {M}

Chúng thờng gặp:

1. Tìm trên đờng thẳng (d) điểm M(xM; yM; zM) sao cho x +2M 2

M

y + 2 M

z nhỏ nhất (hoặc đợc phát biểu dới dạng "Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc M của O trên (d)")

Khi đó, nếu sử dụng cách 1 thì bớc 3 có nội dung:

x +y +z = (x0 + at)2 + (y0 + bt)2 + (z0 + ct)2

= At2 + Bt + C ≥

4A

∆

Vậy, ta đợc ( 2 2 2 )

4A

∆ + + = − đạt đợc khi t b

2A

= − ⇒ M

2. Xác định toạ độ hình chiếu vuông góc của điểm A lên đờng thẳng (d)

Khi đó:

 Nếu sử dụng cách 1 thì bớc 3 có nội dung:

AM ⊥ (d) ⇔ AM uuuuur r⊥ ⇔ AM.u 0uuuur r = ⇒ Giá trị t ⇒ Toạ độ H

 Nếu sử dụng cách 2 thì thực hiện theo các bớc:

Bớc 1: Xác định vtcp ar của đờng thẳng (d)

Bớc 2: Viết phơng trình mặt phẳng (P) thoả mãn:

(P): qua A (P) (d)



Bớc 3: Hình chiếu vuông góc M của A lên đờng thẳng (d) là giao

điểm của (d) và (P)

Từ việc xác định đợc toạ độ hình chiếu vuông góc của A lên (d), chúng ta thực hiện đợc việc:

• Tìm toạ độ điểm M thuộc (d) sao cho độ dài AM ngắn nhất

• Tìm toạ độ điểm A1 đối xứng với điểm A qua (d), cụ thể ta thực hiện theo các bớc:

Bớc 1: Xác định toạ độ hình chiếu vuông góc M của A lên (d)

Bớc 2: Suy ra toạ độ điểm A1 từ điều kiện M là trung điểm của AA1 Tuy nhiên, yêu cầu này còn có thể thực hiện bằng cách:

Bớc 1: Xác định vtcp ur của đờng thẳng (d)

Bớc 2: Giả sử A1(x; y; z), suy ra:

1 1

Trung điểm M của AA thuộc(d)

AA (d)





⇔

1

x x y y z z

AA u 0



uuuur r

⇒ Toạ độ A1

• Viết phơng trình đờng thẳng đi qua A vuông góc với (d) và cắt (d), cụ thể ta thực hiện theo các bớc:

Bớc 1: Xác định toạ độ hình chiếu vuông góc M của A lên (d)

Bớc 2: Suy ra đờng thẳng (AM) là đờng thẳng cần dựng

Tuy nhiên, yêu cầu này còn có thể thực hiện bằng cách:

Bớc 1: Viết phơng trình mặt phẳng (P) đi qua A và chứa đờng thẳng

(d)

Bớc 2: Viết phơng trình mặt phẳng (Q) đi qua A và vuông góc với

đ-ờng thẳng (d)

Bớc 3: Đờng thẳng cần tìm chính là giao tuyến của hai mặt phẳng

(P) và (Q)

• Viết phơng trình mặt cầu tâm A và tiếp xúc với (d), cụ thể ta thực hiện theo các bớc:

Bớc 1: Xác định toạ độ hình chiếu vuông góc M của A lên (d)

Bớc 2: Mặt cầu (S) tâm A và tiếp xúc với (d) đợc xác định bởi:

(S): T B

âm A

án kính R=AM





Tuy nhiên, yêu cầu này còn có thể thực hiện bằng cách:

Bớc 1: Gọi R là bán kính mặt cầu (S) tâm A và tiếp xúc với (d) thì ta có:

R = d(A, (d))

Bớc 2: Phơng trình mặt cầu (S) đợc xác định bởi:

(S): T B

âm A

án kính R





• Viết phơng trình mặt cầu tâm A và cắt (d) tại hai điểm E, F sao cho EF

= l, cụ thể ta thực hiện theo các bớc:

Bớc 1: Xác định toạ độ hình chiếu vuông góc M của A lên (d) Ta có

M là trung điểm của đoạn EF

Bớc 2: Mặt cầu (S) cần dựng đợc xác định bởi:

(S): T

âm A

án kính R=AE= AM





+



⇔ (S):

T

EF B

2

2 2

âm A

án kính R= AM





+

 



Tuy nhiên, yêu cầu này còn có thể thực hiện bằng cách:

Bớc 1: Gọi M là hình chiếu vuông góc của A trên (d) (khi đó M là

trung điểm của đoạn EF) và R là bán kính mặt cầu (S) cần dựng thì ta có:

EM

R=AE= AM + = (A, (d)) EF

2

2 2

d +  ữ  

Bớc 2: Phơng trình mặt cầu (S) đợc xác định bởi:

(S): T B

âm A

án kính R





2. Sử dụng đánh giá rằng nếu gọi K là hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng (P), ta có:

d(A, (P)) = AK < AH − tính chất đờng vuông góc và đờng xiên

Do đó, khoảng cách từ A đến (P) lớn nhất khi và chỉ khi K ≡ H Suy ra, mặt phẳng (P) cần dựng sẽ đi qua H, do đó:

Qua A

(P) :

vtpt AH





 uuur.

Kết hợp hai câu 1), câu 2) chúng ta đa ra đợc lợc đồ để giải bài toán " Viết

ph-ơng trình mặt phẳng (P) chứa (d) sao cho khoảng cách từ A đến (P) lớn nhất",

bằng cách thực hiện theo các bớc:

Bớc 1: Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc H của A trên (d)

Bớc 2: Gọi K là hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng (P), ta có:

d(A, (P)) = AK < AH tính chất đờng vuông góc và đờng xiên

Bớc 3: Do đó, khoảng cách từ A đến (P) lớn nhất khi và chỉ khi K ≡ H Suy

ra, mặt phẳng (P) cần dựng sẽ đi qua H, do đó:

Qua A (P) :

vtpt AH





 uuur.

Câu IV.

1. Nhận xét rằng với tích phân chứa tannx, nếu muốn sử dụng ẩn phụ t = tanx, chúng ta cần có sự xuất hiện của dx2

cos x , và điều này đợc thực hiện thông qua biến đổi:

cos 2x =cos x sin x

1 (1 ta n x) cos x

=

Từ đó, khẳng định đợc rằng tích phân I sẽ tính đợc thông qua phơng pháp đổi biến t = tanx

2. Khi gặp bất một phơng trình không mẫu mực dạng f(x) = m, hầu hết các em học sinh đều biết tới một phơng pháp hiệu quả đó là sử dụng đạo hàm để xét

sự biến thiên của hàm số y = f(x), từ đó sử dụng tính tơng giao của nó với đ-ờng thẳng y = m

Với phơng trình này, khi đặt VT của phơng trình là f(x), chúng ta đi xét hàm số này trên tập D = [0; 6] (điều kiện có nghĩa của phơng trình), ta có:

f '(x)

2 2x 2x 2 6 x 6 x

Vấn đề tới đây là tìm cách giải phơng trình f’(x) = 0 thì mới có thể tạo ra đợc bảng biến thiên Với các em học sinh cha có kinh nghiệm thì đây là công việc khó, nên để bắt đầu các em hãy xét phơng trình dạng tổng quát:

Nếu phơng trình (*) có:

0

0

u(x ) 0

v(x ) 0

=



 ⇒ u(x0) + v(x0) = 0 ⇔ x = x0 là nghiệm của phơng trình (*).

Từ đó, để giải phơng trình f’(x) = 0 chúng ta sử dụng biến đổi:

0

2 2x 2 6 x 2x 6 x

1 4 44 2 4 4 43 1 4 4 2 4 4 3 (1) Nhận xét rằng:

u(x) = 0 41 4 1 0

2 2x 2 6 x

− ⇔ 4 2x= 46 x− ⇔ x = 2

v(x) = 0 1 1 0

2x 6 x

− ⇔ 2x = 6 x− ⇔ x = 2

Suy ra x = 2 là nghiệm của (1) Tới đây, để có đợc dấu của f’(x) trong bảng biến thiên các em học sinh cần nhận xét thêm rằng:

 Khi x ∈ [0; 2) thì u(x), v(x) cùng âm, do đó f’(x) < 0

 Khi x ∈ (2; 6] thì u(x), v(x) cùng dơng, do đó f’(x) > 0

Bảng biến thiên:

Câu V.a

1. Với yêu cầu lập phơng trình chính tắc elíp (E), chúng ta giả sử:

(E): x22 y22 1

a + b = , 0 < b < a

Từ đó, cần tìm a, b (hoặc a2, b2) bằng cách thiết lập một hệ hai phơng trình với

ẩn a, b (hoặc a2, b2)

2. Định hớng giải quyết bài toán gồm hai phần:

Phần 1: Tìm n từ biểu thức điều kiện:

biết (1 + 2x)n = a0 + a1x + + anxn (*)

Và để thực hiện điều này các em học sinh chỉ cần thay x 1

2

= vào (*) thì sẽ có đợc:

2n = 4096

Phần 2: Tìm k ∈ {1, 2, , n} sao cho k k

a =C 2 lớn nhất Ta xét:

k 1 k 1

k k

+ + + > ⇔ >

Câu V.b

1. Phơng trình đợc giải theo các bớc:

Bớc 1: Đặt điều kiện có nghĩa cho phơng trình (*)

Bớc 2: Sử dụng các phép biến đổi:

logaa.b = 1 + logab và logban = n.logba

Chúng ta sẽ chuyển đợc phơng trình về dạng chỉ chứa logab và logba Từ

đó, sử dụng ẩn phụ t = logab để giải phơng trình

Bớc 3: Kiểm tra điều kiện (*) rồi kết luận về nghiệm của bất phơng trình

2. Công việc:

 Tính thể tích của khối chóp A’.ABC khá đơn giản bởi chúng ta có ngay:

1

V A 'H.S

= 1A 'H.AB.AC

6

= với H là hình chiếu vuông góc của A’ trên BC

 Tính côsin của góc giữa hai đờng thẳng AA’, B’C’ dựa trên khẳng định:

ã g(A 'A, B'C ') B'BH.=

Đáp án chi tiết đề thi tuyển sinh môn toán khối A năm 2008

Câu I.

1. Với m = 1 hàm số có dạng:

2

x x 2 (H) : y

x 3

+ −

= +

4 (H) : y x 2

x 3

⇔ = − +

+

Ta lần lợt có:

a Hàm số xác định trên D = Ă \{ }− 3

b Sự biến thiên của hàm số:

 Giới hạn của hàm số tại vô cực, giới hạn vô cực và các đờng tiệm cận:

x lim y

→−∞ = −∞ ;

x lim y

→+∞ = +∞.

x lim 3

→− y = ∞ nên x = −3 là đờng tiệm cận đứng

x

lim[y (x 2)]

→∞ − − = 0 nên y = x − 2 là

đờng tiệm cận xiên

 Bảng biến thiên:

y' = 1 − 2

4 (x 3) + =

2 2

x 6x 5 (x 3)

+ + + ,

y' = 0 ⇔ x2 + 6x + 5 = 0 ⇔  = −xx= −15

y

c Đồ thị của hàm số: Lấy thêm các điểm A 2; 0 , B 1; 0(− ) ( )

2. Viết lại hàm số dới dạng:

6m 2

y mx 2

x 3m

−

Khi đó:

 Với:

6m − 2 = 0 m 1

3

đồ thị hàm số không có hai tiệm cận

 Với m 1

3

≠ đồ thị hàm số có hai tiệm cận là:

Tiệm cận đứng (d1): x = −3m ⇔ (d1): x + 3m = 0 ⇒ vtpt nuur1

(1; 0)

Tiệm cận xiên (d2): y = mx − 2 ⇔ (d2): mx − y − 2 = 0 ⇒ vtpt nuur2

(m; −1)

Để góc giữa hai đờng tiệm cận của đồ thị hàm số (1) bằng 450 điều kiện là:

1 2 0

1 2

n n cos 45

n n

=

uuruur uur uur

2

m 2

+ ⇔ m = ±1.

Vậy, với m = ±1 thoả mãn điều kiện đầu bài

I

y x

x=−3

y = x − 2

O

−9

2

−10 B’

B

−5